第三章 随机过程的功率谱密度分解
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第三章 随机过程的功率谱密度
主要内容： • 随机过程的功率谱密度函数 • 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 • 功率谱密度函数与自相关函数的关系 • 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽 • 联合平稳随机过程的互功率谱密度 • 白噪声与色噪声
§3.1
功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
•
－函数
图3-6
－函数
• 利用 －函数，含有直流分量或周期分量的 平稳随机过程的功率谱密度可表示为
图 3-7 直流分量
图 3-8 周期分量
• 若功率谱密度函数为常数，则自相关函数 为 —函数。
图3-9 常功率谱函数
图3-10 自相关函数
例3-1 平稳随机过程
的自相关函数为
求该随机过程的功率谱密度函数。 解：由维纳－辛钦定理，有
白噪声的自相关函数
为白噪声过程简
图 3-21 理想白噪声自相关函数
自相关时间： 等效带宽： 平均功率：
图 3-22 理想白噪声
• 理想白噪声是数学上的理想化模型
1.实际过程的平均功率是有限的；
2.现实中的信号都具有一定的惯性，在短时间内的状态总 存在一定的相关性。
• 工程中，只要随机过程的功率谱密度在一 个比系统带宽大得多的频率范围内近似均 匀分布，则可视为白噪声。
例3-3 设随机过程
的自相关函数为
试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。 解：由自相关函数定义
等效功率谱带宽
例3-4 已知平稳过程
的谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。 功率谱密度函数
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时 间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频 率上分布范围。
3.3.1 自相关时间
相同的方差 相同的数学期望
(a)
(b)
图3-12
和
的样本函数曲线
(a)
(b)
图 3-13
和
的自相关函数
(a)
(b)
图 3-14 自相关时间
因为
，有
由于 因此
扩展比
要大一些，
k1 能描述相关
程度
自相关时间定义：
通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽
相同的方差 相同的数学期望
0
(a)
t
0
t
(b)
图3-15
和
的样本函数曲线
(a)
图3-15 功率谱
设 则
互功 率谱密度
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 相加： 自相关函数为
和
对自相关函数取时间平均 则 的功率谱密度为
是 和 间上的表现。
绞联、耦合部分在频率空
3.4.3 互功率谱与互相关函数的关系
1.两个随机过程 和 的互相关函数 互功率谱 之间满足 和
其中
证明：根据互功率谱定义有
图 3-11 例3-1
3.2.4
几种常见的
与
例3-2 已知平稳随机过程
，具有功率谱密度为
求该过程的自相关函数。 解：由上例可知，若自相关函数具有 的形式，则功率谱密度为 ，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然
因此
所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
功率谱 函数形状
• 白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声。
理想白噪声 带限白噪声
(a)
(b)
图 3-19 色噪声(a)和白噪声(b)
(a)
(b)
图 3-20 理想白噪声(a)和带限白噪声(b)
3.5.1 理想白噪声 定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机过 程，其功率谱密度均匀分布在 的整个区 间，即 其中 为一正实数，则称 称白噪声。
• 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。
图 3-1 样本函数
• 采取截断函数 规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。
保留有限区 间的数据
置其它区 间为0
图 3-2
及截断函数
截断函数定义为：
当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为
傅立叶反变换为
由巴塞伐定理得
对上式两边除2T
• 样本函数在时间区间 的平均功率。 • 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数， 取决于随机试验，平均功率具有随机性。 • 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即 两边取极限
若设 上式表示为
称为随机过程 的功率谱密度。
如随机过程是宽平稳过程时，则
§3.2 功率谱密度与自相关函数之 间的关系及其性质
§3.1
功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 确定信号 是在 的非周期实函数， 的傅立叶变换存在的充要条件是： (1). 满足狄利赫利条件 (2). 总能量有限，即
则信号 的傅立叶变换为
傅立叶反变换为
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度
• 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。 • 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。 • 自相关函数 功率谱密度？
自相关函数
?
随机过程
功率谱密度
time
frequency
图3-3 功率谱密度与自相关函数
3.2.1 维纳—辛钦定理 平稳各态历经随机过程 的自相关函数 和功率谱密度 有如下关系：
(b)
图3-15 等效功率带宽
因为 所以
，且
能描述出随机
过程起伏程度
等效功率带宽定义：
通常， 说明了
中起伏的最高频率。
3.3.3 时间带宽乘积
相同的方差 相同的数学期望
0
(a)
t
0
t
(b)
图3-16
和
的样本函数曲线
• •
变化缓慢， 变化快， ； 起伏频繁程度低， 变化起伏频繁程度 高， 。 常数 • 时间带宽乘积：
相隔
图 3-23 低通带限白噪声自相关函数
带通型带限白噪声自相关函数：
图 3-24 带通型带限白噪声自相关函数
3.5.2 色噪声
图 3-24 色噪声
例3-5 若
为宽平稳噪声信号，其自相关函数为
式中A为常数。求其功率谱密度。 解：由维纳－辛钦定理
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
证明：由功率谱密度函数定义
在区间
定义
则有
令
则
得证。
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系
同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
4. 功率谱与相关函数
随机过程
平稳随机过程
平稳各经历态过程
偶函 数 非负
实数
可积 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数
3.2.3 功率谱 与 平均功率 1. 平均功率是功率谱在频率空间的积分
由傅立叶变换
2. 若随机过程 和互功率谱
和 联合平稳，互相关函数 之间满足
证明：据联合平稳过程的性质，有
将其带入一般关系式，就可得此关系。
3.4.4 互功率谱性质 1. 2.
3.若随机过程
4.若随机过程 数 ，则
和 正交，则
和 不相关，且的均值为常
§3.5
白噪声和色噪声
• 按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声 和有色噪声；
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻 的关联程度。 互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱 • 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
• 采取截断函数规范化随机信号，使之满足 傅立叶变换条件。
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
图 3-18 样本函数及截断函数
带限白噪声
3.5.2 带限白噪声
定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机 过程，其功率谱密度在某一个有限频率范 围内均匀分布，而在范围外为零，则称随 机过程为带限白噪声。 低通型带限白噪声： 带通型带限白噪声：
(a)
(b)
图 3-23 带限白噪声
低通型带限白噪声自相关函数：
整数倍的随 机变量不相关。
证明：
平稳各态历经
2.特定频率
上平均功率
3.单边谱密度
与双边谱密度
物理谱密度 函数
4. －函数 • 功率谱密度指单位带宽上平均功率； • 直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散 谱线；
零带宽上有限 功率 无限 的功率谱密度
图3-5 周期平稳随机过程及其功率谱密度
• 随机过程的功率谱密度不一定可积，即
截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即
傅立叶变换分别为
在时间范围 据巴塞伐定理 用 代换
内， 和 的互功率为
，则有
wk.baidu.com互功率也可表示为
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性； • 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。 将时间范围扩展至 ，即
主要内容： • 随机过程的功率谱密度函数 • 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 • 功率谱密度函数与自相关函数的关系 • 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽 • 联合平稳随机过程的互功率谱密度 • 白噪声与色噪声
§3.1
功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
•
－函数
图3-6
－函数
• 利用 －函数，含有直流分量或周期分量的 平稳随机过程的功率谱密度可表示为
图 3-7 直流分量
图 3-8 周期分量
• 若功率谱密度函数为常数，则自相关函数 为 —函数。
图3-9 常功率谱函数
图3-10 自相关函数
例3-1 平稳随机过程
的自相关函数为
求该随机过程的功率谱密度函数。 解：由维纳－辛钦定理，有
白噪声的自相关函数
为白噪声过程简
图 3-21 理想白噪声自相关函数
自相关时间： 等效带宽： 平均功率：
图 3-22 理想白噪声
• 理想白噪声是数学上的理想化模型
1.实际过程的平均功率是有限的；
2.现实中的信号都具有一定的惯性，在短时间内的状态总 存在一定的相关性。
• 工程中，只要随机过程的功率谱密度在一 个比系统带宽大得多的频率范围内近似均 匀分布，则可视为白噪声。
例3-3 设随机过程
的自相关函数为
试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。 解：由自相关函数定义
等效功率谱带宽
例3-4 已知平稳过程
的谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。 功率谱密度函数
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时 间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频 率上分布范围。
3.3.1 自相关时间
相同的方差 相同的数学期望
(a)
(b)
图3-12
和
的样本函数曲线
(a)
(b)
图 3-13
和
的自相关函数
(a)
(b)
图 3-14 自相关时间
因为
，有
由于 因此
扩展比
要大一些，
k1 能描述相关
程度
自相关时间定义：
通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽
相同的方差 相同的数学期望
0
(a)
t
0
t
(b)
图3-15
和
的样本函数曲线
(a)
图3-15 功率谱
设 则
互功 率谱密度
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 相加： 自相关函数为
和
对自相关函数取时间平均 则 的功率谱密度为
是 和 间上的表现。
绞联、耦合部分在频率空
3.4.3 互功率谱与互相关函数的关系
1.两个随机过程 和 的互相关函数 互功率谱 之间满足 和
其中
证明：根据互功率谱定义有
图 3-11 例3-1
3.2.4
几种常见的
与
例3-2 已知平稳随机过程
，具有功率谱密度为
求该过程的自相关函数。 解：由上例可知，若自相关函数具有 的形式，则功率谱密度为 ，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然
因此
所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
功率谱 函数形状
• 白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声。
理想白噪声 带限白噪声
(a)
(b)
图 3-19 色噪声(a)和白噪声(b)
(a)
(b)
图 3-20 理想白噪声(a)和带限白噪声(b)
3.5.1 理想白噪声 定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机过 程，其功率谱密度均匀分布在 的整个区 间，即 其中 为一正实数，则称 称白噪声。
• 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。
图 3-1 样本函数
• 采取截断函数 规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。
保留有限区 间的数据
置其它区 间为0
图 3-2
及截断函数
截断函数定义为：
当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为
傅立叶反变换为
由巴塞伐定理得
对上式两边除2T
• 样本函数在时间区间 的平均功率。 • 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数， 取决于随机试验，平均功率具有随机性。 • 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即 两边取极限
若设 上式表示为
称为随机过程 的功率谱密度。
如随机过程是宽平稳过程时，则
§3.2 功率谱密度与自相关函数之 间的关系及其性质
§3.1
功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 确定信号 是在 的非周期实函数， 的傅立叶变换存在的充要条件是： (1). 满足狄利赫利条件 (2). 总能量有限，即
则信号 的傅立叶变换为
傅立叶反变换为
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度
• 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。 • 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。 • 自相关函数 功率谱密度？
自相关函数
?
随机过程
功率谱密度
time
frequency
图3-3 功率谱密度与自相关函数
3.2.1 维纳—辛钦定理 平稳各态历经随机过程 的自相关函数 和功率谱密度 有如下关系：
(b)
图3-15 等效功率带宽
因为 所以
，且
能描述出随机
过程起伏程度
等效功率带宽定义：
通常， 说明了
中起伏的最高频率。
3.3.3 时间带宽乘积
相同的方差 相同的数学期望
0
(a)
t
0
t
(b)
图3-16
和
的样本函数曲线
• •
变化缓慢， 变化快， ； 起伏频繁程度低， 变化起伏频繁程度 高， 。 常数 • 时间带宽乘积：
相隔
图 3-23 低通带限白噪声自相关函数
带通型带限白噪声自相关函数：
图 3-24 带通型带限白噪声自相关函数
3.5.2 色噪声
图 3-24 色噪声
例3-5 若
为宽平稳噪声信号，其自相关函数为
式中A为常数。求其功率谱密度。 解：由维纳－辛钦定理
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
证明：由功率谱密度函数定义
在区间
定义
则有
令
则
得证。
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系
同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
4. 功率谱与相关函数
随机过程
平稳随机过程
平稳各经历态过程
偶函 数 非负
实数
可积 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数
3.2.3 功率谱 与 平均功率 1. 平均功率是功率谱在频率空间的积分
由傅立叶变换
2. 若随机过程 和互功率谱
和 联合平稳，互相关函数 之间满足
证明：据联合平稳过程的性质，有
将其带入一般关系式，就可得此关系。
3.4.4 互功率谱性质 1. 2.
3.若随机过程
4.若随机过程 数 ，则
和 正交，则
和 不相关，且的均值为常
§3.5
白噪声和色噪声
• 按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声 和有色噪声；
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻 的关联程度。 互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱 • 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
• 采取截断函数规范化随机信号，使之满足 傅立叶变换条件。
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
图 3-18 样本函数及截断函数
带限白噪声
3.5.2 带限白噪声
定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机 过程，其功率谱密度在某一个有限频率范 围内均匀分布，而在范围外为零，则称随 机过程为带限白噪声。 低通型带限白噪声： 带通型带限白噪声：
(a)
(b)
图 3-23 带限白噪声
低通型带限白噪声自相关函数：
整数倍的随 机变量不相关。
证明：
平稳各态历经
2.特定频率
上平均功率
3.单边谱密度
与双边谱密度
物理谱密度 函数
4. －函数 • 功率谱密度指单位带宽上平均功率； • 直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散 谱线；
零带宽上有限 功率 无限 的功率谱密度
图3-5 周期平稳随机过程及其功率谱密度
• 随机过程的功率谱密度不一定可积，即
截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即
傅立叶变换分别为
在时间范围 据巴塞伐定理 用 代换
内， 和 的互功率为
，则有
wk.baidu.com互功率也可表示为
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性； • 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。 将时间范围扩展至 ，即