李永乐图书-2015年660题数学一答疑整理截止9.29
2015考研数一真题答案及详细解析
(8) D
解 因为X,Y不相关，所以Cov(X,Y) =E(XY) =EX• EY=O, 即E(XY)=EX• EY, 则E[X(X +Y — 2)] =E(X2 + XY-2X) =E(X2 ) +E(XY) — 2EX
=[DX+ (EX) 2 ] +EX• EY-2EX=5.
二、填空题
(9)
——
(6) A 解
�m� Q =P[�
�1�)
又因为 所以
_J, pTAP{ 1
（1
QT A Q
。 一。 ff[� �ff ( 1
＿
0
＼0
01
O＼ 勹 0
PTAP[�!
rn
!
�l�J
＿ \0 0
。1
·） 0 10
＼ 、
0 1
2
2
_J[ rJ[ 三J[ 1
王子
)[
J
玄�l子 �
-1
故应选A.
(7) C
解 对于A,B选项：
P{XY — Y<O}=P{(X —l)Y<O}
=P{X — 1 <O,Y> O}+P{X -1 > O,Y<O}
=P{X — 1 <O} P{Y> O}+P{X —1 > O} P{Y<O}
=- 1 X- 1 +- 1 X- 1 =-1 2 2 2 2 2·
三、解答题
+ + (15)解
由于ln(l +x) =x
(2 ) A
解
由题设条件知，Y1 = — e幻 , Y2 = —— ex 是已知二阶常系数非齐次线性微分方程所对应
2015年考研数一真题及答案解析
2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1n n a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ωxyo(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()()()2P A P B P AB P A P B +≤⋅≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( ) (A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 2ln cos lim_________.x xx→= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10) 22sin ()d ________.1cos xx x xππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则 又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L L M M OM M L L【答案】122n +-【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<= 【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而 11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()30ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 即10,0,123a aa b k+=-== 法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- (16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程， 即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++f x y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数. 【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()2211y x +++，此题目转化为对函数()()()22,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. 所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()（II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式. 【解析】（I ）0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=（II ）由题意得(19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d L I y z x z x y y x y z =++-+++⎰. 【答案】2π2【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ. 【答案】【解析】(I)证明： 故123,,βββ为3R 的一个基.（II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠ 即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =. (I)求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.. 【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++(II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ， (22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生. 则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()，12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。
2015年考研数学一真题与答案解析
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图形如下列图，那么曲线yf(x)的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】〔C〕【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由f(x)的图形可得，曲线yf(x)存在两个拐点.应选〔C〕.(2)设112xxye(x)e是二阶常系数非齐次线性微分方程23xyaybyce的一个特解，那么()(A)a3,b2,c1(B)a3,b2,c1(C)a3,b2,c1(D)a3,b2,c1【答案】〔A〕【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，122xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程yayby0的解，所以2,1为特征方程20rarb的根，从而a(12)3，b122，从而原方程变为x y3y2yce，再将特解xyxe代入得c1.应选〔A〕(3)假设级数a条件收敛，那么x3与x3依次为幂级数nn na(x1)的()nn1n1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】〔B〕【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为a条件收敛，即x2为幂级数nna(x1)的条件收敛点，所以nna(x1)nn1n1n1的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故nna(x1)的收nn1敛区间还是(0,2)。
因而x3与x3依次为幂级数nna(x1)的收敛点，发散点.应选〔B〕。
李永乐图书-2015年660题数学二答疑整理截止9.29
8.6.32 茉莉花与猫 问题：李老师你好，您的 2015 版数二 660 题第 21 页高数部分的第 119 题我有疑问。结论 2 中，如果函数存在几个点是大于零，其余点全为零它的积分还是为零。所以结论是存疑的。 回答：
题 26 鲍鲍 Polaris 问题：老师您好，数二 660 题中选择第 100 题的解析我有疑问。存在有限个第一类间断短就 一定没有原函数吗？ 分段函数往往是第一类间断点，也常常求定积分。所以此题的解析理解不了。 所以划黄色标记的“因为有第一类间断点而没有原函数”是不是不对？因为分段函数可积分
回答：
8.6.37 lonelylonely 太阳 问题：老师数二 660 题 182 页 424 题答案最后两部没有看懂能写详细一些吗谢谢老师 回答：
8.13.2
在路上_Zoe 问题：《数学基础过关 660 题》数学二 p7 29 题。按照结果 lim x/u(x)=2，那么 lim u(x)/x=1/2， 我只能算出来为 0，老师能否给出 lim u(x)/x 的计算过程？谢谢 回答：
回答：
18 请给我微博取个名 数学二，660 题，第三页，第三题，圈 2，前推后是整体到部分，肯定成立，后推前是部分 到整体，怎么会对呢 回答：
问题 10 我不叫大脸猫 老师，你好，660 题数二，第第 180 页 403 题，二重积求偏导，看不懂，能写详细点吗？麻 烦老师了 回答：
问题 22 T-Lee 做一个奋斗狂 李永乐 660 题，数二的 老师你好，42 题这个图形不是这样吗？我觉得在加了绝对值号后， 间断点就是 1 和 3 了，为什么答案说是只有 1
2015年考研数学真题答案(数一-)
3、若级数 an 条件收敛，则 x 3 与 x 3 依次为幂级数 nan x 1n 的：
n1
n1
（A）收敛点，收敛点 （C）发散点，收敛点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★
（B）收敛点，发散点 （D）发散点，发散点
【 详 解 】 因 为 an 条 件 收 敛 ， 故 x 2 为 幂 级 数 an x 1n 的 条 件 收 敛 点 ， 进 而 得
x) 2x y y) 2y x
0 0 可得 (1,1), (1,1)
, (2,2), (1,2)
F x 2 y 2 xy 3 0
其中 z(1,1) 4, z(1,1) 0, z(2,1) 9 z(1,2)
求 a ， b ， k 值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★
【详解】 f (x) x a ln(1 x) bx sin x
x
a
x
x2 2
x3 3
x3
bx
x
x3 3!
x3
1
a
x
a 2
b
x2
a 3
x3
x3
f (x)与g(x) kx3 是等价无穷小
D X E2 X E X E Y 2E X 5
二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、 lim x0
ln cos x2
x
【答案】 1 2
【考点】极限的计算
4
【难易度】★★
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
【详解】 lim ln cos x
n1
n1
an x 1n 的收敛半径为 1，收敛区间为 0, 2 ，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
李永乐图书-2015复习全书数学二答疑整理截止9.29
Hale Waihona Puke 复习全书数二 18 页例 10 方法二 4b/3!+a/2!=0 如何推导出的？ 回答：
8.9.11 小蕾蕾的新年愿望是不挂科 问题：考研数学复习全书 数学二 P17 例 9 最后用洛必达求导结果不应该是图片上那样 么？
同步训练（数二）3 页 1 题第四
回答：
8.8.10 Joanne 张小 c
问题：老师您好，分阶习题同步训练数学二的 39 页第四题的 A 选项不明白 助 回答：
麻烦老师帮
7.23.6 等下 yi 个天亮 数二，分阶习题同步练习，P13 第 9 题 答案中的有些不懂，疑问在图片上
回答：
8.4.21 冇両 问题： 数二 国家行政版 分阶习题同步训练 第 53 页 第 4 题，求老师详细解答啊。。。 回答：
8.18.10 追 ing 梦 问题：数二复习全书 p226 例 2（2）中，[β1β2β3]＝[α1α2α3]C 为什么可以表示成这样的形 式，怎么找到对应的 c？而在线性方程组时，都是表示成列向量，本题可否用列向量表示？ α1α2α3 线性无关，行列式 C 不等于 0，为什么 β1β2β3 线性无关？ 数二复习全书 p228 例 6（1）δ 必可由 α，β 线性表示推出 δ 必可由 α，β，γ 线性表示，多 了 γ 为什么还成立？ 数二复习全书 p227 例 3（2）β 不能由 α1α2α3 线性表示，知 α1α2α3 必线性相关，而，复习 全书 p232 例 14 解法一中，α4+α5 不能由 α1α2α3 线性表示，可不可以推出 α1α2α3 必线性 相关？而从题目中推知 α1α2α3 线性无关，出现矛盾了？为什么 在复习全书知识点时，一直有一个疑问，线性表出方法唯一和不唯一，和，非齐次线性方程 组有唯一解和无穷多解之间的充分必要条件能帮忙总结一下吗？（线代辅导讲义和全书给的 不一样，一个是充分条件，一个是必要条件） 回答：
2015年考研数学一真题及答案(完整版)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题2015年考研数学一真题及答案（完整版）一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,12015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015复习全书数一【答疑整理】李永乐考研团队.
体的话，解出来的结果不一样。还有就是，用泰勒公式展开的话，是不是前面 x 的极 限取多少，后面展开的 x0 就取多少？还是说 x0 就是取 0 的，和 x 的极限无关？ （2）额...老师，有一个问题请教，打不出来只能拍照了…问题里多写了个“不可以” 希望 老师能看懂…
来 自 @李 永 乐 考 研 数 学 辅 导 团 队
2015 数学复习全书（数学一） 主编：李永乐 王式安 季文铎
老师答：
（问题四） 学生问： （1）2015 复习全书，数一 ，P10， x=0 处的泰勒公式展开。第 5 个。（1+x）^m 看不太懂。 老师能多展开几项吗？ （2）2015 复习全书，数一，P29 最上面，f（x）在 x=-1 处连续，是怎么推倒出 f（x）就等 于-1 的呢？ 下面一行的 x=1 也一样，希望老师讲解一下 老师答：
（问题三） 学生问：老师，2015 复习全书，数一，P7，定理 1.2.2;后面的 Lim2u 怎么理解？
来 自 @李 永 乐 考 研 数 学 辅 导 团 队
2015 数学复习全书（数学一） 主编：李永乐 王式安 季文铎
老师答：
（问题三） 学生问： 2015 复习全书：数一： 问题一：P7，定理 1.2.2 中的 U(2n-1),为什么不采用 U(2n 1)呢？ 问题二：P8， 3.几个重要极限与几个重要的等价无穷小下面的 第 (3)个中的后两个怎么证 明？ 谢谢老师
例 16，都不懂，谢谢老师了 老师答：
来 自 @李 永 乐 考 研 数 学 辅 导 团 队
2015 数学复习全书（数学一） 主编：李永乐 王式安 季文铎
2015复习全书数学一【题目答疑整理】
（十四） 学生问：老师，2015 复习全书，数一，P47，例 2， 关于函数 F'(x)的求法不理解。 老师答：
来 自 @李 永 乐 考 研 数 学 辅 导 团 队
2015 数学复习全书（数学一） 主编：李永乐 王式安 季文铎
（十五） 学生问：老师，2015 复习全书，数一 ，p47， 例 2 求 F（x）的 2 阶导数有点迷糊 老师答：
2015 数学复习全书（数学一） 主编：李永乐 王式安 季文铎
（一） 学生问：2015 复习全书，数一，P4，关于有界性第(6)点，为什么其逆不存在？ 老师答：
（二） 学生问：老师，2015 复习全书数一，P5，例 3。用等价无穷小替换 sinx 后，x 趋近 0 的时候 f（x）应该趋近于 0 啊，为什么解析说是－1？ 老师答：
（三） 学生问： （1）2015 复习全书，数一，P12，例 3 解法 2 为什么要把 2x 看成整体？ 如果不看成整体 的话，解出来的结果不一样。还有就是，用泰勒公式展开的话，是不是前面 x 的极限 取多少，后面展开的 x0 就取多少？还是说 x0 就是取 0 的，和 x 的极限无关？ （2）额...老师，有一个问题请教，打不出来只能拍照了…问题里多写了个“不可以” 希望 老师能看懂…
逆矩阵。这样做比书上的解答要麻烦，并且要对初等矩阵及其逆矩阵非常熟练。
（二十三） 学生问：请问下 2015 年复习全书数一 P339 例 7 的解法 2 是不是有错误？ 老师答：证法二 的矩阵 第一列 数字写错了 ，应该改成 2 3 0 ， 后面同改。 方法是 可以用的。
（二十四） 学生问：2015 复习全书数一 P369，例 24 Dn=Vn 不等于 0 方程组有唯一解 这句话没看明 白，例 25 也没看明白。 老师答：如图
李永乐图书-2015年复习全书数学三答疑整理截止9.29
要努力努力考上研究生 问题：【答疑】数学三 复习全书 P141 例 65 【详解】中的第三行 ：为什么分部积分的前 面部分就等于零了呢 y=0 那 y=1 事的 f 对 X 的导数又不是零 ？ 回答 ：
8.3.19 阳光律动闯天涯 问题：考研数学复习全书（数学三）第 92 页，例题 54 中解题思路的第二行的第一个公式中 的二分之一是怎么来的？请老师解答。不胜感激。 回答 ：
ID：张小卓 411 Q：数三的复习用书 P247 页问号处为什么呢貌似很简单但是我就是想不通 A：
8.2.2 十点半__ 问题：老师，数三全书 p110 例 9，多元函数在（00）点，偏导数存在且连续，为什么不可 维啊， 回答：
8.2.4 DavidXiaoYB 问题：老师您好，我这又来了一个问题（加上前面的共有 6 个问题了）数三全书 132 页例题 44 中我算到 A=1/4，而题目中为什么是 A=0 呢？还请老师帮我看一下，我的步骤如下图。 谢谢
8.5.16 艾朵倪__LIN 问题：老师您好，我想请问一下，复习全书数学三 163 页，例 31，在最后解答是要分 x=0 和 x 不等于 0 来解。 当 x=0 时，原式不是直接就等于 0 了吗？为什么会等于 3 呢？ 谢谢 回答：
8.4.8 猫咪爱不爱 问题： 数 3 全书 你好 160 页例题 26 当 x=1-2^1/2 的时候 。原级数的（-1）^n 去哪了 回答：
就是这道题。 回答：
8.9.23 ID：淡然馨静 问题： 2015 数学三考研复习全书上第 7 页例 10，没看懂过程 回答：
8.10.9 shire_william 问题：考研数学（数学三）复习全书第 13 页例 13，答案看不懂 回答：
8.10.18 shire_william 问题：考研数学（数学三）复习全书第 16 页例 21，用泰勒公式解的，但我对这个公式运用 比较糊涂，答案太简单，请写出具体过程 回答：
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年全国考研数学一真题及答案解析.doc
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年考研数学真题答案(数一 )
215年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】由()f x ''2、设y =（A ）a =（C ）a =【答案】【详解，从而(1a =-3（A （C 【答案】【难易度】★★★ 【详解】因为1n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故()11nn n na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x =与3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)由2xy =由4xy =所以Df ⎰⎰5、设矩阵（A ）a （C ）a 【答案】【详解】[]()()()()22,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以f =7、若,A （A ）(P （C ）(P 【答案】【考点】【详解】∴8（A ）【答案】【考点】【详解】9、20ln cos limx xx →=【答案】12-【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx xππππ+==+⎰⎰ 110,1y =时，0z =12、设其中D z 13、n 02020022-12=【答案】122n +-【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ，则(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★ 【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
2015年考研数学一真题及答案(完整版)
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
中国教育在线个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资ห้องสมุดไป่ตู้整理仅限参考个人资料整理仅限参考个人资料整理仅限参考申明
2015年考研数学一真题及答案完整版）
2015年人大劳人院人力资源管理考研牛人经验共享
育明教育2014年中国人民大学行政管理考研辅导再创佳绩2014年，育明教育共有12名学员成功考上人大公共管理学院，包括公共财政与公共政策专业状元张xiaoyu（二本跨专业）、社会保障专业状元王shiyu 以及4名行管专业学员，3名公共组织与人力资源专业学员都成功录取。
2013年育明教育共有10名学员成功考上人大公共管理学院，包括社会保障专业状元赵xiaowen(跨专业)，还有5名考上行管专业，3名考上公共财政与公共政策专业，2名考上公共组织与人力资源管理专业。
北大人大教授+阅卷名师+精准的押题2015年人大行管考研全程班（基础+强化+冲刺）优惠价2500元！赠送阅卷人指导一对一指导！人大劳人院人力资源考研备考经验首先来说说数学。
楼主第一年倒在了数学上，所以第二年的重点就放在了这上面。
楼主文科生，数学基础一般，起初对数学也有很深的排斥情绪。
不过，渐渐掌握了做题方法之后，楼主渐渐喜欢上了做数学题，所以，对于某物的感情，是会变化滴。
参考书当然就是永乐大帝的数学全书，楼主认为看全书就可以了，没有必要看那四本教材（当然，因人而异了，有时间，还是看看好了）全书最少看三遍，上面的题要全部会做。
楼主看完全书之后，就开始疯狂做题了，题海战术当然有待商榷，但是做题多了，很多方法就自然而然的印在脑海中了，而且，慢慢的你会发现，做出难题，会很有成就感。
楼主做过的数学题主要有：李永乐660题，李永乐400题，合工大五套题，历年真题，还有各种内参啥的。
楼主当时为了能找到考试的感觉，11月开始，每周六，周日上午8点半到11点半，限时做模拟和真题，合理安排时间。
后来真的考试时，确实很有感觉，对于时间的把控也很有底气。
总之一句话，数学就是要心细，多做多练。
练到一定程度了，你发现你喜欢上做数学题了，那么我觉得130+完全是没问题的。
对自己一定要有信心。
对于英语，楼主做的是张剑的阅读150，作文看的是新东方王江涛的高分作文，翻译和新题型没有专门的做练习。
2015年考研数学(一)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C)3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C)发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1n n a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C)2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C)()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C)5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim _________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++ 122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()30ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++= 201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k→----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-= 00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+（II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.π【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭2012102024021201kk kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8.9.19 ID：滋滋 2974642303 问题：Q：老师，您好，我想请问一下考研数学基础过关 660 题数学一的第 9 页的第 43 题 C D 选项为什么不能选择，我计算得出这两个答案的导函数也不连续。 回答：
8.10.3 _普罗旺斯的微笑 问题：数学一，660 题，p30, 186 题 你好，660 中的 186 题曲线 L 的外法线的方向余弦与沿逆时针方向的切线向量的余弦的关系 不太搞得清楚，为什么 y 的余弦是原法线的相反数呢？ 回答：
8.20.7 沉默的羔羊 wxh 问题：老师，数一 660 题第 724 题，能不能解释一下我的做法问题出在哪里？
回答：
8.18.3 dutchj 问题：老师数学一 660 题中 169（P27）题用的积分中值定理解出来了，用 179 题的微分法 也可解出。但 179(P28)题用积分中值定理解为啥就错选 A 了呢？ 回答：
题 75 沉默的羔羊 wxh 数一 660 题的第 188 题 这个二元函数的全微分不就是第一个被积式吗？
回答：
问题 7 雒磊 Alexen 数学基础题过关 660（数一） P25 第 155 题 切向量为什么是 1 -2 3。而不是 1 2 3
回答：
问题 47 Xu 国庆 李永乐王安石的基础 数 1 回答：
题4 荡漾的小时光 问题：660 题，26 页第 190 题。 想问为什么必须是分段光滑简单闭曲线
回答：
题5 小小伙児 问题：你好！数一 660 题，第 10 页第 50 题 D 选项的解析中（解析在 93 页），分析 2 中为 什么恒有 f(x)的一介导数大于 1？谢谢啦！ 回答：
题8 桀骜不驯_27751 问题：答疑：2015 数学基础过关 660 题，数学 1，第 35 页，第 221 题，命题 2 的反例，请 举出一个反例！ 回答：
660 第 16 页 89 是不是答案错了
高数部分选择题里 89
8.1.19 沉默的羔羊 wxh 问题：老师你好，数一 660 题 137 页对于 188 题的解答貌似不太严谨，因为第一个被积式 也是某个二元函数的全微分，麻烦老师看一下 回答：
8.2.10 竹筏出海 问题：2015 版的数学基础过关 660 题（数学一）选择题的第 228 题（高数）中的 C 选项为 什么错了，搞不懂，希望李老师赐教！ 回答：
8.17.21 鲁鲁要减肥 问题：2015 年 660 题的数学一的 231 页的 577 题的交换积分次序后的积分限怎么确定的 回答：
8.18.3 dutchj 问题：老师数学一 660 题中 169（P27）题用的积分中值定理解出来了，用 179 题的微分法 也可解出。但 179(P28)题用积分中值定理解为啥就错选 A 了呢？ 回答：
8.16.9 竹筏出海 问题：老师，2015 版的数学基础过关 660 题（数学一）第 36 页的选择题第 228 题中的 C 选 项为什么错了，答案没解析，希望李老师赐教! 回答：
8.16.14 星河追月 问题：老师，我想问下面图中的问题
回答：
题 71 Kyle183 你好 我想请问一下 数一 660 题第 36 题 为什么那个函数的导数不等于零就代表不可导？ 您好，我想请问一下数一的复习全书的分阶习题中的第 25 页 第 8 题的计算过程，还有第 9 题的计算过程。（原书中习题解答只有一个答案没有过程）谢谢 回答：
8.2.24 沉默的羔羊 wxh 问题：老师，我还想请问一下数一 660 题第 380 题，为什么 X=k 的概率为零？ 回答：
8.9.13 水流任急竟常静 问题：数学一，基础过关 660 题里，选择题第 9 题的解答（P75）,中在分解法之后的那一步， 使用了等价无穷小的替换，但是，按照条件，前后的比例为-1，所以，两个无穷小的和是不 能替换的，此处为什么替换了呢？ 回答：
8.15.12 L 克-银 Y 问题：660 题 第 250 页的 769 题第一个问的答案是否有错 回答：
数学一的
8.17.7 dutchj 问题：老师数学一 660 题中 169（P27）题用的积分中值定理解出来了，用 179 题的微分法 也可解出。但 179(P28)题用积分中值定理解为啥就错选 A 了呢？ 回答：