韦达定理的应用专题

韦达定理的应用

一.综述

直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.

二.例题精讲破解规律

例1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，证明：x1x2=p2

4

，y1y2=−p2；

点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.

规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.

现学现用1: 椭圆C:x 2

a +y2

b

=1(a>b>0)离心率为√6

3

，F1，F2是椭圆的左、右

焦点，以F1为圆心，√3+1为半径的圆和以F2为圆心、√3−1为半径的圆的交点

在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+3

2

与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

(),0n

例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，

且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，

与双曲线交于两点，求的面积.

点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.

规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.

现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(−2√3，0)，F 2(2√3，0)，且长轴长为8．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线y =x +2与椭圆相交于A ，B 两点，求弦长|AB|．

例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关

于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；

（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.

()2222:10,0x y C a b a b -=>>22

162

y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 3

4

πl C ,A B 1F AB ∆2

2:14

x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=u u u r u u u r

λ

规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,

现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且

，求的值.

三.课堂练习 强化技巧

1. 已知椭圆过，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线

的斜率之和.

2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，

）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；

（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为

，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

3. 已知是圆： 上的动点， 在轴上的射影为，点是线

22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR

=m 2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭

1

2e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 3

2

7

P C 2

2

4x y +=P x P 'M

段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）经过点的直线与曲线相交于点， ，并且，求直线的方程.

四.课后作业 巩固内化

1. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于

两点.

(1)求线段的长度；

(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点，若，求的值．

2. 已知椭圆经过点，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.

3. 已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P (1，3

2)在椭圆E

PP 'P C M

E E ()02A ，

l E C D 35

AC AD =u u u v u u u v

l 2

8y x

=()()112212,,,()A x y B x y x x

u u u r

u u u r

λ2222:1(0)x y C a b a b +=>

>1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝

⎭

2C l C ,A B AB y 30,2P ⎛⎫ ⎪⎝

⎭AB =l