韦达定理的应用专题

韦达定理的应用一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲破解规律例1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，证明：x1x2=p24，y1y2=−p2；点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)离心率为√63，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心，√3+1为半径的圆和以F2为圆心、√3−1为半径的圆的交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(),0n例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(−2√3，0)，F 2(2√3，0)，且长轴长为8．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线y =x +2与椭圆相交于A ，B 两点，求弦长|AB|．例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=u u u r u u u rλ规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.三.课堂练习 强化技巧1. 已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

3. 已知是圆： 上的动点， 在轴上的射影为，点是线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 327P C 224x y +=P x P 'M段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点， ，并且，求直线的方程.四.课后作业 巩固内化1. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点.(1)求线段的长度；(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点，若，求的值．2. 已知椭圆经过点，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.3. 已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P (1，32)在椭圆EPP 'P C ME E ()02A ，l E C D 35AC AD =u u u v u u u vl 28y x=()()112212,,,()A x y B x y x x <AB O C +OC OA OB λ=u u u ru u u ru u u rλ2222:1(0)x y C a b a b +=>>1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2C l C ,A B AB y 30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB =l上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．4. 如图，已知椭圆： ， 其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为， 的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为， （为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是， 的中点到轴的距离是.C 22221(0)x y a b a b+=>>()11,0F -()21,0F 1F C ,A B AB G AB x y ,D E 1AF 12F F 2AF C 1GF D ∆1S OED ∆O 2S AB 1212S S =F x F P Q ，PQ 10PQ y 4(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，①求证： 轴为的角平分线； ②若交抛物线于，且，求的值.6. 椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点（I ）求的方程；（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）7 已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点.()-10H ，0)t t <（,A B AF M x AHM ∠BF N 6AF BF FMFN+=t ()2222:10x y a b a bΓ+=>>())12,F F )PΓ2y xm =+Γ.,,,.A B C D ΓQ QA QB QC QD ===Q 2:4C x y =()()0.0P m m >l C ,A B C A B Q（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：点在直线上；韦达定理的应用答案一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲 破解规律例1. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 1与C 交于A ，B 两点，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，证明：x 1x 2=p 24，y 1y 2=−p 2；分析:设直线l 1的方程为：x =my +p2，与抛物线联立得y 2−2pmy −p 2=0，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线l 1的方程为：x =my +p2， 联立方程{x =my +p2y 2=2px化简得：y 2−2pmy −p 2=0,易知所以y 1y 2=−p 2，而x 1x 2=y 122p ⋅y 222p =p 24．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为x =my +n,这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要Q y m =->0∆(),0n注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为√63，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，以F 1为圆心，√3+1为半径的圆和以F 2为圆心、√3−1为半径的圆的交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的下顶点为A ，直线l:y =kx +32与椭圆C 交于两个不同的点M,N ，是否存在实数k 使得以AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解析： （1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知k ≠0，联立方程{y =kx+32x 23+y 2=1，整理得，Δ=81k 2−4(1+3k 2)⋅154>0（化简可得），①设，则，x 1x 2=154(1+3k 2),设MN 中点为H ，由，知，所以点H 的坐标为H(−9k2+6k 2,32+6k 2)，因为|AM |=|AN |，所以AH ⊥MN ， 又直线AM,MN 斜率均存在，所以k AH ⋅k MN =−1. 于是k AH ⋅k MN =32+6k 2+1−9k 2+6k 2−0⋅k =−1,解得，即k =±√63，将k =±√63代入①，满足Δ>0．故存在k 使得以AM,AN 为邻边的平行四边形可以是菱形，k 值为±√63．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(−2√3，0)，F 2(2√3，0)，且长轴长为8．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线y =x +2与椭圆相交于A ，B 两点，求弦长|AB|．解析:(Ⅰ)∵椭圆的中心在原点，焦点为F 1(−2√3，0)，F 2(2√3，0)， 且长轴长为8,∴c =2√3,a =4,∴b 2=a 2−c 2=4,C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=故要求的椭圆的方程为x 216+y 24=1.(Ⅱ)把直线y =x +2代入椭圆的方程化简可得5x 2+16x =0，∴x 1+x 2=−165，x 1⋅x 2=0， ∴弦长|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√2⋅√(165)2−0=16√25例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围. 分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，， 22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=u u u r u u u rλ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-,.,22P t Q t ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y ()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=则由（2）（4）解得代入（3）式得 ，化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是.规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴（2）设点横坐标为, 点横坐标为. 平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k kλλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则 或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1. 已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2.解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为: （Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以① 所以 ② 将①带入②,化简得:,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,A x y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。