南通市2019届高三数学第一次调研测试 参考答案

【答案】 4
10．已知数列an 是等比数列，有下列四个命题：
①数列 an 是等比数列；
③数列

1 an

是等比数列；
其中正确的命题有 ▲ 个．
②数列an an+1 是等比数列； ④数列lg an2 是等比数列．
【答案】 3
11．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x + 2) = f (x) ．当 0 x ≤1 时， f (x) = x3 − ax +1 ，则实
l
被两圆截得的弦长相等，1 −
d12
=
4
−
d
2 2

d22
−
d12
=
3
①当斜率 k 不存在时，此时直线不可能与两圆相交，斜率 k 存在 ②当斜率 k 存在时，设 l : kx − y − mk = 0
d22
− d12
=
(4 − m)2 k 2 − m2k 2
k2 +1
=3
整理可得： (13 − 8m)k 2 = 3 k 2 = 3
数 a 的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】由题意得： T = 2
x3 − ax + 1, 0 x 1
f ( x) = 0,
x=0 ,


−
ax
−
1,
−1

x

0
由奇函数得 f (−1) = f (1) f (1) = 2 − a = 0 a = 2
12．在平面四边形 ABCD 中， AB = 1，DA = DB ， AB AC = 3，AC AD = 2 ，则 AC + 2AD 的最小 值为 ▲ ． 【答案】 2 5
所以线段 AF 的中垂线方程为： x a − c ． 2
又因为△ ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y −x 上，
所以 C(a − c ，− a − c ) ．
2
2
因为 A(a ，0) ，B(0，b) ，
所以线段 AB 的中垂线方程为： y − b a (x − a ) ． 2b 2
由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 − a − c − b a (a − c − a ) ， 2 2b 2 2
1 (a
b
0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，
上顶点为 B ．
（1）已知椭圆的离心率为
1 2
，线段
AF
中点的横坐标为
2 ，求椭圆的标准方程； 2
（2）已知△ ABF 外接圆的圆心在直线 y −x 上，求椭圆的离心率 e 的值．
【解】（1）因为椭圆 x2 + y2 a2 b2
所以 c = 1 ，则 a a2
整理得， b(a − c) + b2 = ac ，
即 (b − c)(a + b) = 0 ． 因为 a + b 0 ，所以 b = c ．
所以椭圆的离心率 e = c = c = 2 ． a b2 + c2 2
17 页
18．（本小题满分 16 分） 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD ， AB ，AD 的长分别为 2 3 m 和
则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm3． 【答案】 54 7． 若实数 x，y 满足 x ≤ y ≤ 2x + 3 ，则 x + y 的最小值为 ▲ ． 【答案】 − 6 8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2 = 2 px( p 0) 的准线为 l，直线 l 与双曲线 x2 − y2 = 1
4 的两条渐近线分别交于 A，B 两点， AB = 6 ，则 p 的值为 ▲ ．
【答案】 2 6
9． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y = 3x + t 与曲线 y = a sin x + b cos x (a ，b ，t R) 相切于
点 (0 ，1) ，则 (a + b)t 的值为 ▲ ．
纵观整张试卷，基础题比较陈旧，小题需要一些解题套路。学生会在 18 题开始感觉到难度，如果想 要取得高分，需要提高中难档题目的解题能力。
南通市 2019 届高三第一次调研测试
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． 已知集合 A = 1，3 ， B = 0 ，1 ，则集合 A B = ▲ ．
法二：以 A 为原点， AB 为 x 轴正方向建系，
则
A
(
0,
0)
,
B
(0,1)
，由
DA
=
DB,
AB
•
AC
=
3
可设
C
(3,
a
)
D

1 2
,
b


AC
•
AD
=
ab
+
3 2
=
2

ab
=
1 2
，
则 AC + 2AD = (a + 2b)2 +16 = a2 + 4b2 +18 2 5, 当且仅当 a = b 时取等号
2 当 −673 x 1346 时， f (x) = 2019(2x − 673) = 2019 ，求得 x = 337 当 x −673 时， f (x) = −(2x − 673)2 = 2019 ，无解 综上： x = 337
17 页
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
a←0，b←1
【答案】7 5． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参
加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】 2
3
a < 15 Y
a←4a+1
b←b＋2
N 输出 b 结束
（第 4 题）
6． 已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是 3 5 cm，
17 页
棱 PA，PD 的中点， 所以 MN∥AD．
A
B
（第 15 题）
又底面 ABCD 是矩形，
所以 BC∥AD．
所以 MN∥BC．
又 BC 平面PBC ，MN 平面PBC ，
所以 MN∥平面 PBC． （2）因为底面 ABCD 是矩形，
所以 AB⊥AD． 又侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧面 PAD∩底面 ABCD=AD，AB 底面 ABCD， 所以 AB⊥侧面 PAD． 又 MD 侧面 PAD， 所以 AB⊥MD． 因为 DA=DP，又 M 为 AP 的中点， 从而 MD⊥ PA ． 又 PA ，AB 在平面 PAB 内， PA AB = A ， 所以 MD⊥平面 PAB．
15．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点．已知侧面 PAD⊥底面 ABCD，底面
ABCD 是矩形，DA=DP．
P
求证：（1）MN∥平面 PBC；
N
（2）MD⊥平面 PAB．
M
D
C
【证明】（1）在四棱锥 P − ABCD 中，M，N 分别为
【解析】法一：由题意得： D 在 AB 的垂直平分线上， AC 在 AB 上的投影为 3，
17
作 AE = 2AD, 连接 CE ,设 CE 中点为 F ,
则 2AC • AD = AC • AE = AF 2 − EF 2 = 4, AF 2 = EF 2 + 4 5, 即 2 AF 2 5
4 m ，上部是圆心为 O 的劣弧 CD ， COD = ． 3
（1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离； （2）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，
如图 2、图 3、图 4 所示．设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 ．记拱门上的点到地面 的最大距离为 h ，试用 的函数表示 h ，并求出 h 的最大值．
1 (a b 2c ．
0) 的离心率为 1 ， 2
因为线段 AF 中点的横坐标为 2 ， 2
所以 a − c 2 ． 22
y B
FO
Ax
所以 c 2 ，则 a2 8 ， b2 a2 − c2 6 ．
所以椭圆的标准方程为 x2 + y2 1 ． 86
（2）因为 A(a ，0) ，F(−c ，0) ，
（第 17 题）
13．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O ：x2 + y2 = 1 ，圆 C ：( x − 4)2 + y2 = 4 ．若存在过点 P (m ，0) 的直线 l，
l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．
( ) 【答案】
− 4 ，4 3
【解析】设圆心 O、C 到直线 l 的距离分别为 d1, d2
17 页
16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长， a cos B =
2bcos A ， cos A =
3． 3
（1）求角 B 的值；
（2）若 a = 6 ，求△ABC 的面积．
【解】（1）在△ABC 中，因为 cos A = 3 ， 0 A π ， 3
2 又∵ f (1) + f (2) + f (3) + … + f (672) = 0 ∴1 + 672 = 2(− a ) = −a
2 ∴ a = −673 ∴ f (x) = (2x − 673)(| x + 673 | + | x −1346 |) 令 f (x) = 2019 当 x 1346 时， f (x) = (2x − 673)2 = 2019 ，求得 x = 673 2019 1346 （舍）
f (x) = 2019 的 x 的值为 ▲ ． 【答案】337
【解析】由 f (x) = (2x + a)(| x − a | + | x + 2a |) 可得： f (−x − a) = (−2x − 2a + a)(| −x − a − a | + | −x − a + 2a |)
= (−2x − a)(| x + 2a | + | x − a |) = −(2x + a)(| x + 2a | + | x − a |) = − f (x) ∴ f (−x − a) + f (x) = 0 ∴函数 f (x) 关于点 (− a , 0) 对称
【答案】0 ，1，3
2． 已知复数 z 2i − 3i （i 为虚数单位），则复数 z 的模为 ▲ . 1−i
【答案】 5
3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次数统计如下：
次数
2
3
4
5
人数
20
15
10
5
则平均每人参加活动的次数为 ▲ . 【答案】3
开始
4． 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 ▲ ．
= sin Acos B + cos Asin B
= 6 2 + 3 2 =2 3+ 6 ．
32 32
6
所以△
ABC
的面积为
S
=
1 2
ab
sin
C
=
1 2

63 22 3+
2
6
6 = 6+3 2 . 4
17 页
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2 + y2 a2 b2
13 − 8m
k2 = 3 0 m 8
13 − 8m
13
同时，直线必须保证和两圆相交，即
d12 d 2 2
= =
m2 k2
k2 +1

1
(m − 4)2 k
k2 +1
2
4
k2 = 3 13 − 8m

d12 d 2 2
= =
m2k 2 k2 +1
=
3m2 16 − 8m
1
(m − 4)2 k 2 3(4 − m)2
= k 2 + 1 16 − 8m
−4 m 4
4 3
综上所述， m − 4, 4 3
17 页
14 ． 已 知 函 数 f (x) = (2x + a)(| x − a | + | x + 2a |)(a 0) ． 若 f (1) + f (2) + f (3) + … + f (672) = 0 ， 则 满 足
试卷综评:
南通一模卷的小题并不是很难，1-11 都属于比较基础的题目。12，13 只要基本功扎实难度一般。12 题既可以用几何也同时也可以坐标来解决。13 题需要注意一下设直线先讨论斜率。14 题很多同学可能会 想不到，但是如果能够想到对称性，解题就会简单很多。
大题的前三题比较常规且简单，而应用题出的有一些新意，考到了初中的旋转的知识，对于学生而 言有难度。19，20 题的最后一问难度都比较大，20 题的最后一问也比较有新意。
所以 sin A = 1 − cos2 A = 6 ． 3
因为 a cos B = 2bcos A ，
由正弦定理
a sin
A
=
b sin
B
，得
sin
Acos
B
=
2 sin B cos A ．
所以 cos B = sin B ．
若 cos B=0 ，则 sin B=0 ，与 sin2 B + cos2 B = 1 矛盾，故 cos B 0 ．
于是
tan
B
=
sin B cos B
=1
．
又因为 0 B π ，
所以
B
=
π 4
．
（2）因为 a =
6 ， sin A =
6， 3
由（1）及正弦定理
a sin
A
=
b sin
B
，得
6= 6
b， 2
32
所以 b = 3 2 ． 2
又 sin C = sin (π − A − B) = sin ( A + B)