《大学物理AII》作业 No.10 平衡态的气体动理论 参考答案
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f( v ) a b
O
v
12、理想气体分子模型在气体动理论中讨论不同问题是有所不同， 说明如下情况 中使用的气体分子模型。 在压强和温度公式的推导中(弹性自由质点)； 在能均分定律中（有内部结构的质点组）； 在分子平均碰撞自由程的推导中（直径为 d 的刚性小球）。 13、指出下列表达式的物理含义：
1 （1） kT 表示（平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能）； 2 1 （2） iRT 表示（平衡态下，1mol 理想气体内能）； 2 i （3） RT 表示（ mol 理想气体内能）； 2 3 （2） kT 表示（平衡态下，物质分子的平均平动动能）； 2
0 0 vF
3 2 v dv 0.75vF ； 3 vF
方均根速率：因为 v 2 v 2
0
vF
3 2 2 v d v 0 .6 v F ， 所以 v 2 0.6 vF 0.77vF vF
（4）因为 v 0.75vF ,电子速率 v v 的分子的平均速率公式：
vv ~ v F
（3） f ( v ) d v ：分子速率在 v1—v2 区间内的概率；或者速率在 v1—v2 区间的
v1
v2
分子数占总分子数的比值。
3、大气层又称大气圈，是因重力关系围绕着地球的一层混合气体。大气圈没有 确切的上界，在离地表 2000~16000 公里高空仍有稀薄的气体和基本粒子。试讨 论， （１）如果忽略重力作用，地球表面的气体分子如何分布？地球表面的大气 层能否形成？（２）如果只考虑重力作用，气体分子又如何分布？此时地球表面 大气层中的气体分子将是怎样分布？（３）现实中，随着高度的增加，大气层中 气体分子密度呈负指数关系逐渐降低。这是什么原因造成的？
14、用总分子数 N、气体分子速率 v 和速率分布函数 f (v) 写出相应表示式，表 示下列各量：
(1) 速率大于 v 0 的分子数＝( N
v0
f v dv ） vf v dv ） f v dv
v0 v0
(2) 速率大于 v 0 的那些分子的平均速率＝（
解：
2、说明下列各式的物理意义： （1） f ( v ) d v ；（２） Nf ( v ) d v ；（３） f ( v ) d v
v1 v2
答：（1） f ( v ) d v ：分子速率在 v—v+dv 区间内的概率；或者速率在 v—v+dv 区 间的分子数占总分子数的比值； （2） Nf (v) d v ：速率在 v—v+dv 区间内的分子数目；
3 kT ，温度仅是分子无规则热运动平均平动动能的量度，与 2
是否有定向运动无关。 当容器相对某惯性系运动时，虽然每个分子此时在原有热 运动基础上叠加了定向运动， 但也不会改变分子的热运动状态，所以气体的温度 不会升高。 当容器突然停止运动，分子的定向运动动能经过分子与容器壁的碰撞 和分子间的相互碰撞从而发生能量的转化， 定向运动的机械能转化为分子热运动 动能。因此气体的内能增加，温度升高，而体积不变，压强会增大。
2 n t ）。理想气体温度与（分子平均平动动能 t ）有 3 m气 RT ）或者（ p nkT ）两种形式， M
关，其定量表达式为（ t
3 kT ）。由此式可知，从微观上看，温度是（分子热 2
运动剧烈程度） 的标志； 同时该式也表明温度是 （大量分子热运动） 的集体表现， 具有统计意 理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是（平衡态下，系统内分子处于 容器内任一位置的概率相同）和（平衡态下，气体分子沿各个方向运动的概率相 同）。 5、速率分布函数 f ( v )
v dN
N v0
v0
N vf v dv
v0 v0
vf v dv ； N f v dv f v dv
v0 v0
(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 v 0 的概率＝( 二、简答题
v0
f v dv )。
1、当盛有理想气体的密闭容器相对某惯性系运动时，有人说“容器内的气体分 子相对惯性系的速度也增大了，从而气体的温度要升高”。试分析这种说法对不 对？为什么？若容器突然停止运动，容器内气体的状态将如何变化？ 答：根据公式 t
1 的每一个可能的自由度都有相同的平均动能（ kT ），称之为能均分定理。 2
9、 理想气体分子间的相互作用势能可以忽略不计， 因此理想气体的内能就是 （所 有分子热运动动能之和），其定量的表达式为（ E
m气 i RT ）。对于实际气 M 2
体，在没有特别要求的情况下，都可将其视为刚性的理想气体。 10、 平衡态时分子速率的稳定分布， 以及分子平均动能按自由度均分都是因为 （分
《大学物理 AII》作业
No.10 平衡态的气体动理论
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、理解热力学系统、热力学平衡态、热力学温标的概念。 2、理解理想气体状态方程的意义并能用它求解有关气体状态的问题。 3、理解理想气体的微观模型和统计假设， 掌握对理想气体压强微观公式的推导。 4、理解理想气体压强和温度的微观统计意义。 5、理解能量均分定理的意义及物理基础，并能由它导出理想气体内能公式。 6、理解速率分布函数及麦克斯韦速率分布定律的意义，理解并会计算三种速率 （最概然速率、平均速率、方均根速率）的统计值。 7、理解玻耳兹曼分布定律的意义和粒子在重力场中按高度分布的公式。 8、理解平均自由程、平均碰撞频率的概念并掌握其相关计算。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题 1、热运动指的是（大量微观粒子永不停息的无规则运动）；热力学系统指的是 （由大量微观粒子构成的有限的宏观物质体系） ； 根据系统与外界是否有 （物质） 和（能量）的交换，热力学系统可分为（开放系统）、（封闭系统）和（孤立系 统）。 ２、热力学平衡态是指（系统的各种宏观性质不随时间发生变化的稳定状态）。 处于平衡态时，反映系统整体特征的宏观量如（体积）、（温度）、（压强）等 具有稳定值；描述单个粒子运动状态的微观量，如（单个粒子的动量）、（单个 粒子的瞬时速度）、（单个粒子的动能）等却是不断变化的。因此热力学平衡态 是一种（动态）平衡（填：动态或静态）。按照统计物理的思想，描述系统的宏 观量是组成系统单个粒子微观量的（统计平均值）。 ３、理想气体的物态方程可表示为（ pV 式中Ｔ 是采用（热力学）温标下的温度。 ４、理想气体的压强大小与（分子数密度 n）和（分子平均平动动能 t ）因素有 关，其定量表达式为（ p
（3）分子平动动能： t
3 3 kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 J 2 2 2 把分子看成刚性分子，无论 N2 或 CO 其转动动能： t kT 3.77 10 21 J 2
（4）由压强公式：p=nkT，可得气体分子数密度 n=p/kT。单位体积内气体分子
f (v ) dN N dv
Av 0
2
(v
F
v 0)
F
(v v
)
则速率分布曲线如右图所示：：
（2）由归一化条件： f (v)dv Av2dv
0 0
vF
A 3 3 vF 1 , 得 A 3 3 vF
（3）由电子速率分布函数曲线可知，电子最概然速率： v p vF ； 平均速率： v vf ( v )dv v
m气 pV p RT RT 可得： ，所以： M m气 M
（1）方均根速率 v 2
3RT p 3 1.01 102 3 493m / s M 1.25 103
（2）根据 v 2 N2 或 CO.
3RT 3 8.31 273 493m / s 可得摩尔质量 M=0.028kg，这是 M M
3kT 3RT ）。 m M
7、重力场中，气体分子数密度按高度分布的规律为 （ n n0e
mgh kT
，或者n n0e
mgh kT
Mgh RT
）；根据此式可推出压强按高度分布的公式
Mgh RT
（ p n0kTe
p0e
mgh kT
或者p p0e
）。
8、完全确定一个物体的空间位置（所需要的相互独立的坐标数）称为该物体的 自由度。对于刚性气体分子而言，单原子分子有（3）个自由度，双原子分子有 （5）个自由度，多原子分子有（6）个自由度。在温度为Ｔ 的平衡态下，分子
3 3 的总平动动能 Et n kT p 1.52 102 J / m 2 。 2 2
（5）刚性气体 N2 或 CO 自由度 i=5，则其内能为：
E m气 i 5 RT 0.3 8.314 273 1.701 103 J M 2 2
２、导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（称“电子气”），设 导体中共有Ｎ个自由电子，其中电子的最大速率为 vF （称“费米速率”）。已 知电子在速率 v ~ v d v 间的速率为
d Nv 的意义是指（速率在 v 附近单位速率间隔内的分子 N dv
数与分子总数的比值）或者（一个分子的速率在 v~v+dv 区间内的概率密度）。 速率分布函数要满足（归一化）条件。 6、根据麦克斯韦速率分布规律，得出气体分子最概然速率 （ vp （ v2
2kT m 2 RT 8kT 8 RT ）、平均速率（ v ）、方均根速率 M m M
三、计算题 1、容器内某理想气体的温度Ｔ＝273Ｋ，压强 P=0.001atm，密度 1.25g/m3，求： （１）气体分子运动的方均根速率？ （２）气体的摩尔质量？是何种气体？ （３）气体分子的平均平动动能和转动动能？ （４）单位体积内气体分子的总平动动能？ （５）假设该气体为 0.3mol，求气体的内能。 解：由理想气体状态方程： pV
子间频繁碰撞）的结果。一个分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞频率
2 （ Z 2nd ）；分子在连续两次碰撞间通过的路程的平均值 称为（平均自
由程），其表达式（
1 2d 2 n
kT ）。 2d 2 p
11、设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线， 其中代表氧气分子速率分布的曲线是（a）（填：a 或 b）
答：（1）如果忽略重力，由于气体分子的热运动，气体分子最终将平均分布到 宇宙的各个角落，因此地球表面不会形成大气层；（2）如果只考虑重力，不考 虑分子的热运动，所有空气分子将紧密堆积到地球表面，在地表附近，空气密度 异常强大，但随着高度的上升就将很快下降为零。（3）现实中，大气层中气体 分子密度呈负指数关系逐渐降低， 这正是气体分子无规热运动和地球重力共同作 用的结果。
0.75 v F 0.75 v F
vf v dv f v dv
vF
0.75 v F
dN Av 2 d v ( vF v 0， ) N dN 0( v vF ) N
（１）画出速率分布函数曲线； （２）用 vF 定出常数Ａ； （３）求电子的最概然速率 v p 、平均速率 v 、方均根速率 v 2 ； （４）写出电子速率 v v 的分子的平均速率公式。
解：(1)由题意得电子速率分布函数 f ( v )
O
v
12、理想气体分子模型在气体动理论中讨论不同问题是有所不同， 说明如下情况 中使用的气体分子模型。 在压强和温度公式的推导中(弹性自由质点)； 在能均分定律中（有内部结构的质点组）； 在分子平均碰撞自由程的推导中（直径为 d 的刚性小球）。 13、指出下列表达式的物理含义：
1 （1） kT 表示（平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能）； 2 1 （2） iRT 表示（平衡态下，1mol 理想气体内能）； 2 i （3） RT 表示（ mol 理想气体内能）； 2 3 （2） kT 表示（平衡态下，物质分子的平均平动动能）； 2
0 0 vF
3 2 v dv 0.75vF ； 3 vF
方均根速率：因为 v 2 v 2
0
vF
3 2 2 v d v 0 .6 v F ， 所以 v 2 0.6 vF 0.77vF vF
（4）因为 v 0.75vF ,电子速率 v v 的分子的平均速率公式：
vv ~ v F
（3） f ( v ) d v ：分子速率在 v1—v2 区间内的概率；或者速率在 v1—v2 区间的
v1
v2
分子数占总分子数的比值。
3、大气层又称大气圈，是因重力关系围绕着地球的一层混合气体。大气圈没有 确切的上界，在离地表 2000~16000 公里高空仍有稀薄的气体和基本粒子。试讨 论， （１）如果忽略重力作用，地球表面的气体分子如何分布？地球表面的大气 层能否形成？（２）如果只考虑重力作用，气体分子又如何分布？此时地球表面 大气层中的气体分子将是怎样分布？（３）现实中，随着高度的增加，大气层中 气体分子密度呈负指数关系逐渐降低。这是什么原因造成的？
14、用总分子数 N、气体分子速率 v 和速率分布函数 f (v) 写出相应表示式，表 示下列各量：
(1) 速率大于 v 0 的分子数＝( N
v0
f v dv ） vf v dv ） f v dv
v0 v0
(2) 速率大于 v 0 的那些分子的平均速率＝（
解：
2、说明下列各式的物理意义： （1） f ( v ) d v ；（２） Nf ( v ) d v ；（３） f ( v ) d v
v1 v2
答：（1） f ( v ) d v ：分子速率在 v—v+dv 区间内的概率；或者速率在 v—v+dv 区 间的分子数占总分子数的比值； （2） Nf (v) d v ：速率在 v—v+dv 区间内的分子数目；
3 kT ，温度仅是分子无规则热运动平均平动动能的量度，与 2
是否有定向运动无关。 当容器相对某惯性系运动时，虽然每个分子此时在原有热 运动基础上叠加了定向运动， 但也不会改变分子的热运动状态，所以气体的温度 不会升高。 当容器突然停止运动，分子的定向运动动能经过分子与容器壁的碰撞 和分子间的相互碰撞从而发生能量的转化， 定向运动的机械能转化为分子热运动 动能。因此气体的内能增加，温度升高，而体积不变，压强会增大。
2 n t ）。理想气体温度与（分子平均平动动能 t ）有 3 m气 RT ）或者（ p nkT ）两种形式， M
关，其定量表达式为（ t
3 kT ）。由此式可知，从微观上看，温度是（分子热 2
运动剧烈程度） 的标志； 同时该式也表明温度是 （大量分子热运动） 的集体表现， 具有统计意 理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是（平衡态下，系统内分子处于 容器内任一位置的概率相同）和（平衡态下，气体分子沿各个方向运动的概率相 同）。 5、速率分布函数 f ( v )
v dN
N v0
v0
N vf v dv
v0 v0
vf v dv ； N f v dv f v dv
v0 v0
(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 v 0 的概率＝( 二、简答题
v0
f v dv )。
1、当盛有理想气体的密闭容器相对某惯性系运动时，有人说“容器内的气体分 子相对惯性系的速度也增大了，从而气体的温度要升高”。试分析这种说法对不 对？为什么？若容器突然停止运动，容器内气体的状态将如何变化？ 答：根据公式 t
1 的每一个可能的自由度都有相同的平均动能（ kT ），称之为能均分定理。 2
9、 理想气体分子间的相互作用势能可以忽略不计， 因此理想气体的内能就是 （所 有分子热运动动能之和），其定量的表达式为（ E
m气 i RT ）。对于实际气 M 2
体，在没有特别要求的情况下，都可将其视为刚性的理想气体。 10、 平衡态时分子速率的稳定分布， 以及分子平均动能按自由度均分都是因为 （分
《大学物理 AII》作业
No.10 平衡态的气体动理论
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、理解热力学系统、热力学平衡态、热力学温标的概念。 2、理解理想气体状态方程的意义并能用它求解有关气体状态的问题。 3、理解理想气体的微观模型和统计假设， 掌握对理想气体压强微观公式的推导。 4、理解理想气体压强和温度的微观统计意义。 5、理解能量均分定理的意义及物理基础，并能由它导出理想气体内能公式。 6、理解速率分布函数及麦克斯韦速率分布定律的意义，理解并会计算三种速率 （最概然速率、平均速率、方均根速率）的统计值。 7、理解玻耳兹曼分布定律的意义和粒子在重力场中按高度分布的公式。 8、理解平均自由程、平均碰撞频率的概念并掌握其相关计算。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题 1、热运动指的是（大量微观粒子永不停息的无规则运动）；热力学系统指的是 （由大量微观粒子构成的有限的宏观物质体系） ； 根据系统与外界是否有 （物质） 和（能量）的交换，热力学系统可分为（开放系统）、（封闭系统）和（孤立系 统）。 ２、热力学平衡态是指（系统的各种宏观性质不随时间发生变化的稳定状态）。 处于平衡态时，反映系统整体特征的宏观量如（体积）、（温度）、（压强）等 具有稳定值；描述单个粒子运动状态的微观量，如（单个粒子的动量）、（单个 粒子的瞬时速度）、（单个粒子的动能）等却是不断变化的。因此热力学平衡态 是一种（动态）平衡（填：动态或静态）。按照统计物理的思想，描述系统的宏 观量是组成系统单个粒子微观量的（统计平均值）。 ３、理想气体的物态方程可表示为（ pV 式中Ｔ 是采用（热力学）温标下的温度。 ４、理想气体的压强大小与（分子数密度 n）和（分子平均平动动能 t ）因素有 关，其定量表达式为（ p
（3）分子平动动能： t
3 3 kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 J 2 2 2 把分子看成刚性分子，无论 N2 或 CO 其转动动能： t kT 3.77 10 21 J 2
（4）由压强公式：p=nkT，可得气体分子数密度 n=p/kT。单位体积内气体分子
f (v ) dN N dv
Av 0
2
(v
F
v 0)
F
(v v
)
则速率分布曲线如右图所示：：
（2）由归一化条件： f (v)dv Av2dv
0 0
vF
A 3 3 vF 1 , 得 A 3 3 vF
（3）由电子速率分布函数曲线可知，电子最概然速率： v p vF ； 平均速率： v vf ( v )dv v
m气 pV p RT RT 可得： ，所以： M m气 M
（1）方均根速率 v 2
3RT p 3 1.01 102 3 493m / s M 1.25 103
（2）根据 v 2 N2 或 CO.
3RT 3 8.31 273 493m / s 可得摩尔质量 M=0.028kg，这是 M M
3kT 3RT ）。 m M
7、重力场中，气体分子数密度按高度分布的规律为 （ n n0e
mgh kT
，或者n n0e
mgh kT
Mgh RT
）；根据此式可推出压强按高度分布的公式
Mgh RT
（ p n0kTe
p0e
mgh kT
或者p p0e
）。
8、完全确定一个物体的空间位置（所需要的相互独立的坐标数）称为该物体的 自由度。对于刚性气体分子而言，单原子分子有（3）个自由度，双原子分子有 （5）个自由度，多原子分子有（6）个自由度。在温度为Ｔ 的平衡态下，分子
3 3 的总平动动能 Et n kT p 1.52 102 J / m 2 。 2 2
（5）刚性气体 N2 或 CO 自由度 i=5，则其内能为：
E m气 i 5 RT 0.3 8.314 273 1.701 103 J M 2 2
２、导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（称“电子气”），设 导体中共有Ｎ个自由电子，其中电子的最大速率为 vF （称“费米速率”）。已 知电子在速率 v ~ v d v 间的速率为
d Nv 的意义是指（速率在 v 附近单位速率间隔内的分子 N dv
数与分子总数的比值）或者（一个分子的速率在 v~v+dv 区间内的概率密度）。 速率分布函数要满足（归一化）条件。 6、根据麦克斯韦速率分布规律，得出气体分子最概然速率 （ vp （ v2
2kT m 2 RT 8kT 8 RT ）、平均速率（ v ）、方均根速率 M m M
三、计算题 1、容器内某理想气体的温度Ｔ＝273Ｋ，压强 P=0.001atm，密度 1.25g/m3，求： （１）气体分子运动的方均根速率？ （２）气体的摩尔质量？是何种气体？ （３）气体分子的平均平动动能和转动动能？ （４）单位体积内气体分子的总平动动能？ （５）假设该气体为 0.3mol，求气体的内能。 解：由理想气体状态方程： pV
子间频繁碰撞）的结果。一个分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞频率
2 （ Z 2nd ）；分子在连续两次碰撞间通过的路程的平均值 称为（平均自
由程），其表达式（
1 2d 2 n
kT ）。 2d 2 p
11、设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线， 其中代表氧气分子速率分布的曲线是（a）（填：a 或 b）
答：（1）如果忽略重力，由于气体分子的热运动，气体分子最终将平均分布到 宇宙的各个角落，因此地球表面不会形成大气层；（2）如果只考虑重力，不考 虑分子的热运动，所有空气分子将紧密堆积到地球表面，在地表附近，空气密度 异常强大，但随着高度的上升就将很快下降为零。（3）现实中，大气层中气体 分子密度呈负指数关系逐渐降低， 这正是气体分子无规热运动和地球重力共同作 用的结果。
0.75 v F 0.75 v F
vf v dv f v dv
vF
0.75 v F
dN Av 2 d v ( vF v 0， ) N dN 0( v vF ) N
（１）画出速率分布函数曲线； （２）用 vF 定出常数Ａ； （３）求电子的最概然速率 v p 、平均速率 v 、方均根速率 v 2 ； （４）写出电子速率 v v 的分子的平均速率公式。
解：(1)由题意得电子速率分布函数 f ( v )