工程流体力学44二维平面流动的流函数

第四节 二维平面流动的流函数
（2）流线与等势线正交
0 x x y y
是等势线簇[ （x，y）常数]和流线簇
[ （x，y） 常数]互相正交的条件，若在同一流 场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必 然构成正交网格，称为流网。
第四节 二维平面流动的流函数
【例4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布 为 u 4x，v 4y。①该平面流动是否存在流函数和速度 势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中A （1m，1m）处的绝对压强为1.4×105Pa，流体的密度 1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？
VB2 (4 2)2 (4 5)2 464(m2 s2 )
由伯努里方程
pA
1 2
VA2
pB
1 2
VB2
可得
pB
pA
1 2
(VA2
VB2 )
1.4 105
1 2
1.2 (32
464)
139740.8(Pa)
第四节 二维平面流动的流函数
方程，流函数也是调和函数。
对于平面无旋流动 z 0
v u 0 x y
2
x 2
2
y 2
2
0
不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，
也是一个调和函数。
在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化 为求解一个满足边界条件的Ψ的拉普拉斯方程.
第四节 二维平面流动的流函数
（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积 流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。
第四节 二维平面流动的流函数
一、流函数的引入
对于流体的平面流动，其流线的微分方程为 dx u dy v , 将其改写成下列形式
vdx udy 0
在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压
缩流体的连续性方程 u v 0 x y
u v x y
（x，y）表示该函数
d dx dy vdx udy
如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速
度势和流函数，可得到速度势函数和流函数之间存在的如
下关系
，
x y y
x
0
x x y y
柯西-黎曼条件
φ和Ψ互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数 这样一种有力的工具求解此类问题。 当势函数φ和流函数Ψ二者知其一时，另一个则可利用 式（4-27）的关系求出，而至多相差一任意常数。
d dx dy vdx udy 4ydx 4xdy
x y
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d dx dy udx vdy 4xdx 4ydy
x y
积分
2(x2 y 2 ) C
（3）由于 V 2 u 2 v2，因此，A和B处的速度分别为
VA2 (4 1)2 (4 1)2 32(m2 s2 )
【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程
u v (4x) (4 y) 0
x y x
y
该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由于是平面流动 x y 0
该流动无旋，存在速度势函数。
z
2
v x
u y
1 2
4y
x
4x
y
0
第四节 二维平面流动的流函数
（2）由流函数的全微分得：
x
y
成为某函数全微分的 充分必要条件
函数Ψ称为流场的流函数
u ，v
y
x
第四节 二维平面流动的流函数
Ψ =常数，可得流线微分方程式 vdx udy 0
由此可见, Ψ=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值， 就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标 （x0，y0）代入流函数Ψ ，便可得到一条过该点的确定的流线。 因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。
对于极坐标系，可写成
1 vr r
v r
d vdr vrrd
在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数 一样，可由曲线积分得出
第四节 二维平面流动的流函数
在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，就可求出 速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方 程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体 还是黏性流体，必然存在流函数。
等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维 流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是 存在的。
第四节 二维平面流动的流函数
二、流函数的性质
（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ 永远 满足连
续性方程。
2
2
yx xy
（2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯
在两流线间任一曲线AB，则 通过单位厚度的体积流量为
y2
x2
y2
x2
qV
udy
y1
v(dx)
x1
y1
y
dy
x1
x
dx
x2 , y2
d 2 1
( x1 , y1 )
平面流动中两条流线间通过的 流量等于这两条流线上的流函 数之差。
第四节 二维平面流动的流函数
三、 和 的关系
（1）满足柯西-黎曼条件