逻辑联结词
逻辑联结词
例:下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢? ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
例:下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢? ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
课堂小结
①命题--可以判断真假的语句; ②逻辑连接词--“或” 、 “且” 、 “非”; ③命题的构成及形式:p 或 q,p 且 q,p 非 q; ④“或” 、 “且” 、 “非”类似于集合中的 “并” 、 “交” 、 “补”.
课外作业
1. 2. 3. 阅读教材; 教材第 28 页第 1 题, 29 页第 2 题; 预习教材 P26~P28.
例 1. 分别指出下列复合命题的形式以及 构成它的简单命题:
1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数;
例 1. 分别指出下列复合命题的形式以及 构成它的简单命题:
1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数; 2)小强是篮球运动员或跳高运动员;
例 1. 分别指出下列复合命题的形式以及 构成它的简单命题:
逻辑联结词:“或”、 “且” 、 “非”
例:下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢? ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
逻辑联结词:“或”、 “且” 、 “非”
简单命题:不含逻辑联结词的命题.
例:下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢? ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
定义中的意义“或”相同;
“或”、 “且” 、 “非” 与集合中哪些运算 性质相同?
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
考点48 逻辑联结词及数学归纳法一.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二.量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词:“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,用符号“∀”表示. (2)存在量词:“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,用符号“∃”表示.3.全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三.数学归纳法1.由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法,通常叫做归纳法. 2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤如下: (1)归纳奠基:证明取第一个自然数n 0时命题成立;(2)归纳递推:假设n =k (k ∈N *,k ≥n 0)时命题成立,证明当n =k +1时,命题成立; (3)由(1)(2)得出结论.知识理解考向一 命题的否定【例1】(2021·四川成都市·高三二模(理))命题“0x ∀>,210x x ++>”的否定为( )A .00x ∃≤,20010x x ++≤ B .0x ∀≤,210x x ++≤ C .00x ∃>,20010x x ++≤D .0x ∀>,210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“0x ∀>,210x x ++>”的否定是:00x ∃>,20010x x ++≤.故选:C .【举一反三】1.(2021·全国高三月考(理))命题“0x R ∃∈,002ln 0x x +≤”的否定是( ) A .x R ∀∈,2ln 0x x+≥ B .x R ∀∈,2ln 0x x+> C .0x R ∃∈,002ln 0x x +≥ D .0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈,002ln 0x x +≤”为特称命题,该命题的否定为“x R ∀∈,2ln 0x x+>”. 故选:B.2.(2021·湖南岳阳市)命题“()1,x ∀∈+∞,21x e x ≥+”的否定是( ) A .()1,x ∃∈+∞,21x e x ≥+ B .()1,x ∀∈+∞,21x e x <+ C .()1,x ∃∈+∞,21x e x <+ D .()1,x ∀∈+∞,21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞,21x e x ≥+”为全称命题,该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞,21x e x <+”. 故选:C.考向分析3.(2021·泰州市第二中学)巳知命题p :0x ∃>,10x e x --≤,则命题p 的否定为( ) A .0x ∀≤,10x e x --> B .0x ∀>,10x e x --> C .0x ∃>,10x e x --≥ D .0x ∃≤,10x e x -->【答案】B【解析】命题p :0x ∃>,10x e x --≤,则命题p 的否定为0x ∀>,10x e x -->. 故选:B考向二 逻辑连接词求参数【例2】(2021·全国高三专题练习)若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题,则实数a 的范围是( ) A .2a > B .2a C .2a >- D .2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题,则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题, 当0x =时,()2max22x -+=,所以2a >.故选:A. 【举一反三】1.(2021·天水市第一中学高三月考(理))已知命题():1,3p x ∃∈-,220x a --≤.若p 为假命题,则a 的取值范围为( ) A .(),2-∞- B .(),1-∞-C .(),7-∞D .(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题,∴():1,3p x ⌝∀∈-,220x a -->为真命题,故22a x <-恒成立,22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-,∴2a <-. 故选:A.2.(2020·北京人大附中高三月考)若命题“x R ∃∈,使得2210ax x ++<成立”为假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .[1,+∞) B .[0,+∞)C .(-∞,1)D .(-∞,0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈,使得2210ax x ++<成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈,2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥,所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选:A.3.(2020·江西高三期中(文))存在[1,1]x ∈-,使得230x mx m +-≥,则m 的最大值为( ) A .1 B .14C .12D .-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥,可化为23x m x≤-,设()[]2,1,13x f x x x=∈--,则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--,当[1,0)x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当(0,1]x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,又由()11(1),142f f -==,所以函数()f x 的最大值为()112f =, 要使得存在[1,1]x ∈-,使得230x mx m +-≥,则12m ≤,则m 的最大值为12. 故选:C.考向三 数学归纳法【例3-1】(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明不等式“1+12+13+…+121n -<n (n ∴N *,n ≥2)”时,由n =k (k ≥2)时不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是( ) A .2k -1 B .2k -1 C .2k D .2k +1【答案】C【解析】n k =时,左边=1111 (2321)k ++++-,而n =k +1时,左边=11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-,增加了1111 (22121)k k k +++++-,共(2k +1-1)-(2k -1)=2k 项, 故选:C.【例3-2】.(2020·全国高三专题练习)设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. (1)计算23,a a ,猜想{}n a 的通项公式并加以证明; (2)求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】(1)25a =,37a =,21n a n =+,证明见解析;(2)1(21)22n n S n +=-+. 【解析】(1)由题意,等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-, 可得21345a a =-= ,323427a a =-⨯=,,猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+,证明如下:(数学归纳法)当1,2,3n =时,显然成立; ∴ 假设n k =时,即21k a k =+成立;其中*(N )k ∈, 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立,综上(1)(2),数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.(2)令2(21)2n nn n b a n ==+,则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得:23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-, 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1.(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时,从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是( ) A .22k + B .[]2(1)1k ++ C .[(22)(23)]k k +++ D .[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时,左边123(21)k =+++++,共21k +个连续自然数相加,当1n k =+时,左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++,所以从n k =到1n k =+,等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选:C.2.(2021·全国高三专题练习)设集合T n ={1,2,3,…,n }(其中n ≥3,n ∴N *),将T n 的所有3元子集(含有3个元素的子集)中的最小元素的和记为S n . (1)求S 3,S 4,S 5的值; (2)试求S n 的表达式.【答案】(1)S 3=1,S 4=5,S 5=15;(2)41n C + .【解析】(1)当n =3时,T 3={1,2,3},3元子集有:{1,2,3},∴S 3=1;当n =4时,T 4={1,2,3,4},3元子集有:{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},∴S 4=1×3+2=5;当n =5时,T 5={1,2,3,4,5},3元子集有:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=.(2)由S 3=1,S 4=5,S 5=15,S 6=35…归纳猜想出41n n S C +=(n ≥3).下面用数学归纳法证明猜想:∴当n =3时,S 3=1=44C ,结论成立;∴假设n =k (k ≥3,k ∴N *)时,结论成立,即S k =41k C +,则当n =k +1时,T k +1={1,2,3,4,…,k ,k +1},()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n =k +1时,结论成立. 综上:由∴∴可得()413n n S C n +=≥.1.(2021·涡阳县育萃高级中学)已知命题:p x R ∀∈,2104x x -+,则p ⌝( ) A .21,04x x x ∃∈-+R B .21,04x x x ∃∈-+>R C .21,04x x x ∀∈-+>R D .21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题,根据全称命题的否定为特称命题,可得:p ⌝: 21,04x x x ∃∈-+>R 故选:B2.(2021·漠河市高级中学高三月考(文))下列说法正确的是( ) A .若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题B .命题“若cos cos x y ≠,则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =,则x y ≠”C .“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D .若p :x ∀∈R ,2320x x --<,则p ⌝:0x ∃∈R ,200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项,若p q ∨为真命题,可能p 真q 假,则p q ∧为假,故A 选项错误.对于B 选项,命题“若cos cos x y ≠,则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =,则x y =”,故B 选项错误. 对于C 选项,当2x =时,20x x ->,所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件,C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知,D 选项正确. 故选:D3.(2021·全国高三专题练习)下列关于命题的说法中正确的是( )∴对于命题P :x R ∃∈,使得210x x ++<,则:P x R ⌝∀∈,均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题是“若1x ≠,则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题,则p 、q 均为假命题 A .∴∴∴ B .∴∴∴ C .∴∴∴∴ D .∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<,则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++,故∴正确;∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”,反之由“2320x x -+=”可能推出2x =,则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件,故∴正确;∴命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题是“若1x ≠,则2320x x -+≠”,故∴正确; ∴若p q ∧为假命题,则p ,q 至少有一个为假命题,故∴错误. 则正确的命题的有∴∴∴. 故选:A4.(2021·河南高三其他模拟(文))命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为( )A .0,2sin 0x x x ∀≥-<B .0,2sin 0x x x ∀<-<C .0000,2sin 0xx x ∃≥-< D .0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题,又全称命题的否定是特称命题,故“0x ∀≥,2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选:C.5.(2021·山东菏泽市·高三一模)命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是( )A .2,0x R x ∃∈≥B .2,0x R x ∀∈<C .2,0x R x ∃∈<D .2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题:x R ∀∈,20x ≥的否定是:x R ∃∈,20x <.故选:C6.(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))设命题:0p x ∀≤x =-,则p ⌝为( ) A .0x ∀≤x ≠- B .00x ∃≤0x =- C .0x ∀>x =- D .00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题,该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选:D.7.(2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)“0m >”是“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意,命题“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时,即1m =时,不等式30>恒成立;当10m -≠时,即1m ≠时,则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩,解得14m <<,综上可得,实数14m ≤<,即命题“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时,实数m 的取值范围是[1,4),又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件,所以“0m >”是“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件, 故选:B.8.(2021·全国高三专题练习)若命题“∀[]1,4x ∈时,240x x m --≠”是假命题,则m 的取值范围( ) A .[4,3]-- B .()-∞,-4 C .[4,)-+∞ D .[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈,4]时,240x x m --≠”是假命题, 则命题“[1x ∃∈,4]时,240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-,设22()4(2)4f x x x x =-=--, 当14x 时,4()0f x -,则40m -. 故选:D .9.(2020·江苏海门市·高三月考)命题“[]21220x x a ∀∈-≤,,”为真命题的一个充分不必要条件是( )A .2a ≤B .2a ≥C .4a ≤D .4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤,,”为真命题,可得2a ≥,因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ , 故选:D .10.(2021·全国高三专题练习)已知命题“02x ∃>,20040ax ax --<”是假命题,则a 的取值范围是( )A .[)2,+∞B .()2,+∞C .(],2-∞D .(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>,20040ax ax --<”是假命题,所以240ax ax --≥对2x >恒成立, 所以()242a x x x≥>-恒成立.因为2x >, 所以22x x ->,则242x x<-, 故2a ≥. 故选:A11.(2020·全国高三专题练习)用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”,从“k到1k +”左端需增乘的代数式为( ) A .21k + B .2(21)k +C .211k k ++ D .231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时,等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+,当1n k =+时,等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++, 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选:B.12.(多选)(2021·恩施市第一中学)下列命题正确的有( ) A .命题“x R ∀∈,20x ≥”的否定是“x R ∃∈,20x <”. B .函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =. C .函数()21f x x =-的零点为()1,0-,()1,0.D .1弧度角表示:在任意圆中,等于半径长的弦所对的圆心角. 【答案】AB【解析】对A ,根据全称命题的否定性质,A 为正确的; 对B ,()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=;对C ,函数零点是数而不是点,故C 错误;对D ,1弧度角表示为在任意圆中,等于半径长的弧所对的圆心角,故D 错误; 故选:AB.13.(多选)(2021·全国高三专题练习)下列命题中正确的是( ) A .(0,)x ∃∈+∞,23x x >B .(0,1)x ∃∈,23log log x x <C .(0,)x ∀∈+∞,121()log 2xx >D .1(0,)3x ∀∈,131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A :当0x >时,22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,所以23x x <恒成立,故选项A 不正确;对于选项B :当(0,1)x ∈时,23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>,且3log 0x <,所以23log log x x <,故选项B 正确;对于选项C :当12x =时,1211()()222x ==,11221log log 12x ==,则121log ()2x x >,故选项C 不正确; 对于选项D :当13x =时,131log 13=,由对数函数和指数函数的性质可知,当1(0,)3x ∈时,131()1log 2x x <<,故选项D 正确; 故选:BD14.(多选)(2021·全国高三专题练习)若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得200210x x λ-+<成立是假命题,则实数λ可能取值是( ) A .32B.C .3 D .92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2210x x λ-+≥是真命题, 即22112x x x xλ+≤=+,即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选:AB15.(2021·江西高三其他模拟(文))已知命题“存在x ∈R ,使220ax x -+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ,使220ax x -+≤”是假命题, 所以命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是真命题,当0a =时,得2x <,故命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是假命题,不合题意;当0a ≠时,得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得18a >.故答案为:18a >16.(2021·全国高三专题练习)若“存在x ∴[﹣1,1],3210x x a ⋅++>成立”为真命题,则a 的取值范围是___.【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1,1],3210xxa ⋅++>成立,即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解, 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,[1,1]x ∈-, 易得y =f (x )在[﹣1,1]为减函数, 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-,即213()3332f x +≤≤+,即91()2f x ≤≤, 即92a -<,所以92a >-, 故答案为:9(,)2-+∞.17.(2020·江西高三其他模拟(文))若命题:p x R ∃∈,210x mx -+<为假命题,则m 的取值范围是______. 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈,210x mx -+<为假命题,p ∴⌝:x R ∀∈,210x mx -+≥为真命题,则240m ∆=-≤,解得22m -≤≤,即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为:[]22-,. 18.(2020·北京密云区·高三期中)若“01x ∃>,使得11x a x +<-.”为假命题,则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1,使得11x a x +<-.”为假命题,可知,“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题, 11a x x ∴≤+-恒成立,由11111311x x x x +=-++≥=--,当且仅当2x =时取等号, 即a 的最大值为3. 故答案为:3.19.(2021·湖南永州市·高三二模)若对[]1,2x ∀∈,都有20ax x -≤,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解:因为[]1,2x ∀∈,都有20ax x -≤,所以[]1,2x ∀∈,都有1a x≤,令()1g x x =,[]1,2x ∈,因为()1g x x=,在[]1,2x ∈上单调递减,所以()()min 122g x g ==,所以12a ≤,即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦;故答案为:1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20.(2020·全国高三月考(文))已知命题():0,p x ∀∈+∞,2230x mx -+>,命题:q m a <;若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞,2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ,{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞,223x mx +>,则32x m x +>,所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =,即x =时等号成立,所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<,因为p 是q 的充分不必要条件,所以A B,所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为:()+∞21.(2020·凌海市第二高级中学高三月考)命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题,则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题,且20x ≥,10t ∴+<,则1t <-,故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为:(),1-∞-.22.(2020·上海徐汇区·高三一模)用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时,从k 到1k +添加的项数共有__________________项(填多少项即可). 【答案】5【解析】当n k =时,原式为:251122...2k -++++,当1n k =+时,原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++, 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++,共5项. 故答案为:523.(2020·浙江高三其他模拟)用数学归纳法证明:111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++,第一步应验证的等式是__________;从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时,应当验证的第一个式子是11122-=,从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24.(2021·全国高三专题练习)设数列{}n a 满足11a =,12(23)n n a a n +=--. (1)计算2a ,3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明; (2)记2n nn b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)23a =,35a =,21n a n =-;证明见解析;(2)1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】(1)由题意可得2121213a a =+=+=,3221615a a =-=-=, 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项,2为公差的等差数列, 即21n a n =-, 证明如下:当1n =时,12111a =⨯-=成立; 假设n k =时,21k a k =-成立.那么1n k =+时,12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ,都有21n a n =-成立;(2)因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯,∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯,∴∴-∴得:2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25.(2020·全国高三专题练习)已知数列{}n a 满足:11a =,点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.(1)求2a ,3a ,4a 的值,并猜想数列{}n a 的通项公式; (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.【答案】(1)2343,7,15a a a ===,21n n a =-;(2)证明见解析.【解析】(1)因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+, 因为11a =,故22113a =⨯+=,32317a =⨯+=, 427115a =⨯+=,由上述结果,猜想:21nn a =-.(2)1︒,当1n =时,1211a =-=成立,2︒,假设当()1,n k k k N =≥∈时,21kk a =-成立,那么,当1n k =+时,()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立,由1︒,2︒可得21nn a =-.26.(2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考(理))已知数列{}n a 满足1a m =,2n a ≠,11210n n n a a a ++-⋅-=. (1)求2a ,3a ,4a ;(2)猜想{}n a 的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 【答案】(1)212a m =-,3232m a m -=-,43243ma m-=-;(2)()()()121n n n m a n n m ---=--;证明见解析.【解析】1)因为11210n n n a a a ++-⋅-=,2n a ≠,所以112n na a +=-,又因为1a m = 211122a a m ==--,3212232m a a m -==--,43132243ma a m-==-- (2)()()()121n n n ma n n m---=--证明:1n =时,()1011ma m --==,结论成立 假设n k =时,结论成立,即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时:()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上,数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27(2020·云南师大附中高三月考(理))设数列{}n a 满足11a =,23a =,当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.(1)计算3a ,4a ,猜想{}n a 的通项公式,并加以证明. (2)求证:()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】(1)35a =,47a =,21n a n =-,证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】(1)解:由11a =,23a =, 所以()123121225a a a a a +=++=+,()234231327a a a a a +=++=+. 猜想:21n a n =-,证明:当2n =时,由11a =,23a =,故成立;假设n k =(2k ≥)时成立,即21k a k =-, 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+,即当1n k =+时成立,综上所述,21n a n =-. (2)证明:由(1)知,()22411n n a =+, 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭,证毕.。
如何学好“逻辑联结词”
如何学好“逻辑联结词”一、【基础知识精讲】 1、命题判断一件事情的句子,叫做命题.高中教科书中的定义是:可以判断真假的语句叫做命题,说法不同,实质是一样的.语句是不是命题,关键在于能不能判断其真假,也就是判断其是否成立,不能判断真假的语句,就不能叫命题.例如:“这是一棵大树”;“x <2”都不能叫命题,由于“大树”没有界定,就不能判断“这是一棵大树”的真假.由于x 是未知数,也不能判断“x <2”是否成立.“0是自然数”,“5>2”,“31>21”,都是简单命题.其中前两个命题为真命题,后一个命题是假命题.2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词,不含逻辑联结词的命题,叫做简单命题.由简单命题与逻辑联结词构成的命题,叫做复合命题. 例如:“菱形的对角线互相垂直或平分”, “菱形的对角线互相垂直且平分”, “菱形的对角线互相不垂直”,分别是“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题.① 逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的,要结合真值表加以理解.另外,结合集合的并集、交集、补集来理解联结词,它们的定义分别用“或”、“且”、“非”联结词.② 对于复合命题的理解要注意“由简单命题与…”,其中我们只注意“联结词”,而不注意“命题”.如x >2或x <-2就不是复合命题,因为它不是命题,因此,不要认为凡是含有联结词的语句就是复合命题.③ 对于三个真值表可做如下理解Ⅰ )“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反;Ⅱ )“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同时为真时为真,其他情况时为假;Ⅲ )“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假,其他情况时为真.真值表是我们判断真假命题的直接依据.表示命题真假的表叫真值表pq非pq 或pp 且q真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假假真假假下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下:正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是应该强调的是:如“x =0或x =1”的否定是“x ≠0且x ≠1”,并非“x ≠0或x ≠1”。
常用的逻辑联结词
3.如果命题“p或q”是真命题, “非p”是假命题, 则( ) A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题 C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者假命题
例题讲解
例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p ∧q”“﹁p”的形式。 (1)p:π是无理数, q:e不是无理数;
(1)“p∨q”: π是无理数或e不是无 理数, “p∧q”: π是无理数且e不是无理数, “﹁p”: π不是无理数。
p 且q
真
真假
真
真
真
假假
真
假
假
真真
真
假
假
假真
假
假
【拓展提升】“且”命题的联结形式与真假判断 (1)逻辑联结词“且”联结的是两个命题,不能简单联结两 个命题的条件或结论,否则就会出错,如p:对角线相等的四 边形为矩形,q:对角线互相平分的四边形为矩形.若p∧q叙 述为“对角线相等且互相平分的四边形为矩形”,该命题 为真命题,事实上,由于p,q都是假命题,所以p∧q应是假命 题. (2)用逻辑联结词“且”联结简单命题p,q所得的新命题 p∧q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的 联系:若p,q都真,则p∧q为真;若p,q不都真(至少一个为假), 则p∧q为假.
【拓展提升】“或”命题的联结形式与真假判断 (1)逻辑联结词“或”联结的是两个命题,不能简单联结两 个命题的条件或结论.叙述时要验证简单命题的真假以及 新命题的真假. (2)用逻辑联结词“或”联结简单命题p,q所得的新命题 p∨q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的 联系:若p,q都假,则p∨q为假;若p,q不都假(至少一个为真), 则p∨q为真.
“﹁p”: 方程 x2 2x 1 0 实数根。
简单的逻辑联结词
简单的逻辑联结词一、学习目标1、掌握逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义2、能判断、、的真假性重难点:正确理解逻辑联结词“且”、“或”“非”的含义,并能正确表述、、这些新命题,判断其真假性.二、独学Ⅰ、“且”或““非”逻辑联结词的含义:1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题和命题联结起来就得到一个新命题,记作“”,读作“”2.一般地,用逻辑联结词“或”把命题和命题联结起来就得到一个新命题,记作“”,读作“”.3.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题,记作“”,读作“”或“”.注意(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,含逻辑联结词的命题叫复合命题。
(2)命题、、与集合的交、并、补运算联系密切,可以借助集合的关系理解他们的含义。
Ⅱ、命题、、的真假判断:【题型一】用逻辑联结词构成新命题1、分别写出有下列各组命题构成的、、形式的复合命题:(1): 是无理数:大于1(2)p:菱形的对角线互相垂直q:菱形的对角线互相平分(3): 35是15的倍数:35是7的倍数【题型二】 判断复合命题的构成2、指出下列命题的形式及构成它的简单命题:(1) 方程230x -=没有有理根;(2) 两个角是45度的三角形是等腰直角三角形; (3) 如果xy<0,则点(x,y )的位置在第二、四象限。
【题型三】含有逻辑联结词命题的真假判断3 、分别指出由下列各组命题构成的“p 或q”、“ p 且q”‘’“非p”形式的复合命题的真假(1) p: 2+2=5 q: 3>2(2) p: 9是质数 q: 8是12的约数 (3) p: 1∈{1,2} q: {1}是{1,2}子集四、检测反馈1.若命题为真命题,为真命题,则( )真,q 真 B .p 假,q 真 真,q 假 假,q 假2.命题p :在ABC ∆中,C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件;命题:是22ac bc >的充分不必要条件,则( ).A.真假B.假假C.“或”为假D.“且”为真3.命题:(1)平行四边形对角线相等;(2)三角形两边的和大于或等于第三边;(3)三角形中最小角不大于;(4)对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有( ).4.命题:0不是自然数,命题:是无理数,在命题“或”“且”“非”“非”中假命题是 ,真命题是 .5. 写出下列命题,并判断他们的真假: (1),这里:4{2,3}∈,:2{2,3}∈; (2) ,这里:2是偶数,:3不是素数.6.判断下列命题的真假: (1)且 (2) (3)或。
联言命题中常用的联结词可以表示
联言命题中常用的联结词可以表示什么意思
联言命题中常用的联结词主要有:
1. 并列关系:并且、又、而且、同时、此外、或者、既…又…、不但…而且…;
2. 递进关系:而、更、另外、又、再者、此外、比如、然而、因此、所以、以至于、甚至于;
3. 对比关系:但是、然而、反之、相反、尽管、即使、不管;
4. 转折关系:但、不过、可是、不仅、不但、反而;
5. 条件关系:如果、假如、只有、仅当、当…的时候;
6. 结果关系:因此、以至于、以致、致使、所以、故而。
上述联结词可以表达出不同的逻辑关系,例如并列关系表示多个情况同时存在;递进关系表示前一种情况增加了一个新的情况;对比关系表示前面强调的情况和当前强调的情况存在差异;转折关系表示前一种情况和当前情况相反;条件关系表示某一情况必须满足另一情况;结果关系表示前一情况导致了后一情况的发生。
简单的逻辑联结词(共19张PPT)
符号“∧”与“∩”开口都是向下
例1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真
假。 (1) p :平行四边形的对角线互相平分,
q :平行四边形的对角线相等; 解: p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等。 假命题
假
命题p∨q:函数 y x3是奇函数或在定义域内是减函数。 真
5:命题p: 相似三角形的面积相等;
假
命题q: 相似三角形的周长相等;
假
命题p∨q:相似三角形的面积相等或周长相等。
假
6:命题p:三边对应成比例的两个三角形相似;
真
命题q:三角对应相等的两个三角形相似;
真
命题p∨q:三边对应成比例或三角对应相等的两个三 角形相似 真
解:(1)p:2=2 ;q:2<2 ∵ p是真命题,∴p∨q是真命题.
(2)p:集合A是A∩B的子集;q:集合A是A∪B的子集 ∵q是真命题, ∴p∨q是真命题.
(3)p:周长相等的两个三角形全等; q:面积相等的两个三角形全等.
∵命题p、q都是假命题, ∴ p∨q是假命题.
判断复合命题真假的步骤:
注:逻辑联结词“且”与日常用语中的“并且”、 “及”、“和”相当;在日常用语中常用“且”连接两 个语句。表明前后两者同时兼有,同时满足 .
例1 将下列命题用“且”联结成新命题 (1) p :平行四边形的对角线互相平分,
q :平行四边形的对角线相等; 解: p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等。
⑴把复合命题写成两个简单命题,并确定复合命 题的构成形式;
⑵判断简单命题的真假;
⑶利用真假表判断复合命题的真假。
简单的逻辑联结词的定义逻辑联结词的意义
一、简单的逻辑联结词的定义
1、逻辑联结词:或、且、非;
2、且:一般地,用连接词“且”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p∧q,读作p且q;
3、或:一般地,用连接词“或”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p∨q,读作p或q;
4、非:一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p,读作“非p”或“p的否定”;
5、简单命题:不含逻辑联结词的命题(常用小写字母p,q,r,s,…表示)
6、复合命题:由简单命题和逻辑联结词构成的命题;
7、复合命题的形式及真值表:(1)“非p”的复合命题的真假与命题“p”的真假相反。
(2)“p且q”形式的复合命题的真假,只有命题“p”与“q”都为真时才为真,否则为假;
(3)“p或q”形式的复合命题的真假,只有命题“p”与“q”都为假时才为假,否则为真。
简单的逻辑联结词(二)
练习
x ≥0 2. 命题 :“不等式 x − 1 命题p: 的解集为 {x | x ≤ 0或x ≥ 1}”;
命题q: 命题 :“不等式 x 2 > 4 的解集为 { x | A.p真q假 B.命题“p且q”为真 . 真 假 .命题“ 且 为真 C.p假q真 D.命题“p或q”为假 . 假 真 .命题“ 或 为假
复合命题的真值表 复合命题的真值表
p 真 真 假 假
q 真 假 真 假
p且q 且
真 假 假 假
p 真 真 假 假
q 真 假 真 假
P或q 或
真 真 真 假
一假必假
一真必真
课前练习: 、判断下列命题的真假: 课前练习:1、判断下列命题的真假:
是矩形, (1)正方形 )正方形ABCD是矩形,且是菱形; 是矩形 且是菱形; 的约数且是15的约数 (2)5是10的约数且是 的约数 ) 是 的约数且是 的约数; 的约数且是8的约数 (3)5是10的约数且是 的约数 ) 是 的约数且是 的约数. 为真时, 为真; 当p、q为真时,p且q为真; 当p、q中至少有一个为假时,p且q为假。 中至少有一个为假时, 为假。 2、判断下列命题的真假: 、判断下列命题的真假: 的约数或是15的约数 (1)5是10的约数或是 的约数; ) 是 的约数或是 的约数; (2)5是12的约数或是 的约数; ) 是 的约数或是8的约数; 的约数或是 的约数 的约数或是15的约数 (3)5是12的约数或是 的约数; ) 是 的约数或是 的约数; 的判别式大于或等于零. (4)方程 2-3x-4=0的判别式大于或等于零 )方程x 的判别式大于或等于零 中至少有一个为真时, 为真; 当p、q中至少有一个为真时,p或q为真; 当p、q都为假时,p或q为假。 都为假时, 为假。
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”、“或”
“”与“”类似
例如:p:a>3 q:a<5
p q:a 3且a 5, 即:3 a 5
q
p
p q的真值表如下:
p q p q
真真真
类似于串联电路, 真 假 假 一假“且”即假
当且仅当开关p与 开关q都闭合时,
假
真
假
灯才会亮
假假假
例2:书本P15(详见书本)
补例 用逻辑连结词"且"改写下列命题,并判断 它们的真假:
1.2 简单的逻辑联结词
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”、“或”
联结词“非”
我们学习了命题的否命题,知道“若p则q”的否命题为 “若﹁p则﹁q”,其中“﹁p”是p的否定“﹁q”是q的否定。
“非” 否定
﹁p:排除p以外的所有事实
(概率中,即为求对立事件)
例如:p:a是大于5的实数,则﹁p:a是不大于5的实数
真
(4)﹁p:方程至少有三个解
假
(5)﹁p:小王和小李不都是一中的学生 假
即:小王或小李不是一中的学生
常用否定词语如下:
正面词语 = >
否定词语
是
不是
全是不全是至多有源自个至少有两个至少有一个
一个也没有
至多有n个
至少有n+1个
至少有k个
至多有k-1个
任意(每一个) 存在(某一个)
所有
存在某一些
a且b
11既是奇数,又是素数; 22和3都是素数.
解 1命题"1既是奇数,也是素数"可以改写
为"1是奇数且1是素数"因为"1是素数"是假命 题, 所以这个命题是假命题.
2命题" 2和3都是素数"可以改写为"2是素数
简单逻辑联结词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表:p q p∧q p∨q ¬p真真假真真假假假2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.(3)全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示.3.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.4.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定为:¬p且¬q;p且q的否定为:¬p或¬q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.两类否定1.含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0).(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).2.复合命题的否定(1) ¬ (p∧q)⇔(¬p)∨(¬q);(2) ¬ (p∨q)⇔(¬p)∧(¬q).三条规律(1)对于“p∧q”命题:一假则假;(2)对“p∨q”命题:一真则真;(3)对“¬p”命题:与“p”命题真假相反.二、双基自测一、选择题1.(2011·北京)若p是真命题,q是假命题,则( ).A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.¬p是真命题D.¬q是真命题2.(2011·山东日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的() A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设p、q是两个命题,则复合命题“p∨q为真,p∧q为假”的充要条件是 ( ).A.p、q中至少有一个为真B.p、q中至少有一个为假C.p、q中有且只有一个为真D.p为真、q为假4.(2011·潍坊模拟)下列说法错误的是() A.命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2-4x+3≠0”B .“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C .若p 且q 为假命题,则p 、q 均为假命题D .命题p :“存在x 0∈R 使得x 02+x 0+1<0”,则¬p :“任意x ∈R ,均有x 2+x +1≥0”5.由命题p :“函数y =1x是减函数”与q :“数列a ,a 2,a 3,…是等比数列”构成的复合命题,下列判断正确的是 ( ) A .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真 B .p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为真 C .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假D .p 或q 为假,p 且q 为真,非p 为真6.若函数f (x )=x 2+ax (a ∈R ),则下列结论正确的是 ( )A .任意a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是增函数B .任意a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是减函数C .存在a ∈R ,f (x )是偶函数D .存在a ∈R ,f (x )是奇函数7.已知命题“任意a ,b ∈R ,如果ab >0,则a >0”则它的否命题是 ( ) A .任意a ,b ∈R ,如果ab <0,则a <0 B .任意a ,b ∈R ,如果ab ≤0,则a ≤0 C .存在a ,b ∈R ,如果ab <0,则a <0 D .存在a ,b ∈R ,如果ab ≤0,则a ≤08.(人教A 版教材习题改编)已知命题p :∀x ∈R ,sin x ≤1,则( ). A .¬p:∃x 0∈R ,sin x 0≥1 B .¬p:∀x ∈R ,sin x ≥1 C .¬p:∃x 0∈R ,sin x 0>1 D .¬p:∀x ∈R ,sin x >1二、填空题9.(2010·安徽)命题“对任何x ∈R ,|x -2|+|x -4|>3”的否定是___ ________________. 10.(2011·山东淄博调研)已知命题“存在x 0∈R ,使2 x 02+(a -1) x 0+12≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是________.11.已知命题p :函数f (x )=log 0.5(3-x )的定义域为(-∞,3);命题q :若k <0,则函数h (x )=kx在(0,+∞)上是减函数.则下列结论中错误的是________.①命题“p 且q ”为真;②命题“p 或¬q ”为假;③命题“p 或q ”为假;④命题“¬p 且¬q ”为假.12.命题p :函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6+1满足f ⎝⎛⎭⎫π3+x =f ⎝⎛⎭⎫π3-x , 命题q :函数g (x )=sin(2x +φ)+1可能为奇函数(φ为常数),则复合命题①“p 或q ”,②“p 且q ”,③“ ¬p ”中,真命题是________. 三、解答题13.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)q :任意x ∈R ,x 不是5x -12=0的根; (2)r :有些质数是奇数;(3)s:存在x0∈R,|x0|>0. (4)p:∀x∈R,x不是3x-5=0的根;(5)q:有些合数是偶数; (6)r:∃x0∈R,|x0-1|>0. 14.(2010·江苏盐城调研)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.。
逻辑联结词
研究构成复合命题的简单命题的真假 对复合命题的真假的影响:
1.
非p形式的复合命题:
p 真 假 非p 假 真
当p为真时, 非p为假;
非p为真. 当p为假时,
布尔代数: 当x、y是命题,则 x=1表示的是命题 x为真, x=0表示命题x为假, 1-x表示x的否定等。
非p形式的复合命题:
逻辑运算从集合运算角度理解: 从布尔代数角度理解: p 真 非p 假 p 1r,q且s形式的复合命题,并判断真假 p:5是10的约数 q:5是8的约数 r:5是15的约数 s:5是12的约数 p且q:5是10的约数且是8的约数 p且r:5是10的约数且15的约数 q且s:5是8的约数且是12的约数 p q p且q 真 真 真 真 假 假 真值表 假 真 假 假 假 假
3. p或q形式的复合命题:
当p,q中至少有一个为真时,p或q为真 ; p或q为假 . 当p,q都为假时,
p
q
(或门电路)
从集合运算角度理解 ——并集
从布尔代数角度理解 ——逻辑加
从集合角度理解:
从布尔代数角度理解:
p
真
非p
假
假
真
集合运算、逻辑运算是类似的。
真值表:简单命题的真假对复合命题的真假的影响
小结:
1.判断复合命题真假的步骤:
(1)确定复合命题的构成形式;
(2)判断其中各简单命题的真假;
(3)利用真值表判断复合命题的真假.
2 .真值表
p 真 假 非p 假 真
P28 练 习
1.判断下列命题的真假: (1)2≤3;(2)2≥2; (3)5≤4。 解:(1)命题形式: p或q,其中 p:2<3, q: 2=3. 因为p真q假,所以,p或q为真. (2)命题形式: p或q,其中 p:2>2, q: 2=2. 因为p假q真,所以,p或q为真. (3)命题形式: p或q,其中 p:5<4, q: 5=4. 因为p假q假,所以,p或q为假.
简单的逻辑联结词-且、或 课件
应角相等;
(3)p:函数 y= cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.
解析:(1)因为 p是真命题,q是真命题,所以 “ p∨q”和“ p∧q”都是真命题.
(2)因为p是假命题,q是真命题,所以“p∨q”是真 命题,“ p∧q”是假命题.
∴p或q是真命题,p且q是假命题.
点评:有些命题表面上不含逻辑联结词,可以通过
改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题,然后通过p、 q
的真假判断命题的真假.
或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真,要假全 假”,且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假,要真全
真”.
变式 训练
3.指出下列“p∨q”,“p∧q”命题的真假. (1)p: 当x∈R时,x2+1≥2x,q:当 x∈R时, |x|≥0;
点评:(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连 接时,可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题, 改写时要注意不能改变原命题的意思,这就要仔细考虑到 底是用“且”还是用“或”.
(2)在用“且”、“或”联结两个命题 p、 q时, 在不引起歧义的情况下,可将 p、 q中的条件或结论合
并,使叙述更通顺.
变式 训练
2.用“且 ”、“或”改写下列命题: (1)等腰三角形的顶角平分线平分底边,也垂直底边; (2)45 既能被 5 整除又能被 9 整除;
(3) x2-2=0 的根是± 2;
(4)3≥3.
解析:(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边; (2)45 能被 5 整除且能被 9 整除;
(3)x2-2=0 的根是 2或- 2;
个相等的实数根且两根的绝对值相等.
(3)“p∨q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;“p∧q”:三 角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不 相邻的任何一个内角.
简单的逻辑联结词(且)说
当使用逻辑非时,表示某个条件不满足;而当使用 逻辑且时,表示所有条件都满足。
03
逻辑非和逻辑且在逻辑运算中经常一起使用,以构 建复杂的逻辑表达式。
与其他复合联结词的关系
除了逻辑或、逻辑非之外,还有其他复合联结词,如逻辑异或、逻辑与非 等。
这些复合联结词在功能和使用上与逻辑且有所不同,但它们在逻辑运算中 都有各自的应用场景。
真值表
当p为真,q为真时,p∧q为真;当p为假,q为假时,p∧q为假。 当p为真,q为假时,p∧q为假;当p为假,q为真时,p∧q为假。
逻辑联结词(且)的运算性质
幂等性
p∧p为真,即一个命题与其自身"且"运算结果 为真。
吸收性
p∧(q∨r)等价于(p∧q)∨(p∧r),即"且"运算可以 吸收"或"运算。
在化学中,逻辑联结词(且)用于描 述化学反应的条件和产物。通过使用 “且”操作,可以连接多个反应条件 和产物,构建更为复杂的化学反应模 型。
在生物学中,逻辑联结词(且)用于 描述生物体的生理特征和行为模式。 通过使用“且”操作,可以连接多个 生理特征和行为模式,揭示生物体的 复杂行为和生态适应性。
THANKS
3
"且"是双条件性的,即A∧B与A和B都有关系。
02 逻辑联结词(且)的运算规则
运算规则
01
逻辑联结词"且"表示两个命题同时成立,记作 p∧q。
02 当p∧q为真时,p、q必须同时为真;当p∧q为假 时,p、q至少有一个为假。
03
"且"运算满足交换律和结合律,即p∧q等价于 q∧p,(p∧q)∧r等价于p∧(q∧r)。
在人工智能中的应用
简单的逻辑联结词教案
简单的逻辑联结词教案1. 引言在学习逻辑思维和表达的过程中,逻辑联结词是不可或缺的一部分。
逻辑联结词用于连接不同的思想、观点和论证,帮助我们建立清晰、连贯的逻辑关系。
本教案旨在介绍一些简单的逻辑联结词,帮助学生提高逻辑思维和表达能力。
2. 目标通过本课程的学习,学生将能够: - 理解逻辑联结词的作用和重要性; - 掌握一些常用的逻辑联结词; - 能够运用逻辑联结词表达自己的观点和论证。
3. 教学内容3.1 逻辑联结词的定义和作用•逻辑联结词是连接句子、短语和观点的词语,用于表达逻辑关系。
•逻辑联结词帮助我们建立起因果关系、对比关系、条件关系等逻辑推理。
3.2 常用的逻辑联结词以下是一些常用的逻辑联结词及其用法:3.2.1 因果关系•因为:用于表达一个观点或论证的原因。
例如:因为下雨,所以我带伞出门。
•所以:用于表达一个观点或论证的结果。
例如:John学习刻苦,所以他考试成绩很好。
3.2.2 对比关系•但是:用于表达两个相对互补或相对矛盾的观点或论证。
例如:他很聪明,但是他不努力。
•而且:用于表达两个相对互补或相对增强的观点或论证。
例如:这家餐馆的菜很好吃,而且价格便宜。
3.2.3 条件关系•如果…就…:用于表达一个假设和其可能的结果。
例如:如果你努力学习,就会取得好成绩。
3.3 练习请学生完成以下练习,以加深对逻辑联结词的理解和运用能力:1.用合适的逻辑联结词填空:•我非常喜欢运动,但是/所以每天都去健身房锻炼。
•妈妈生日即将到来,我打算买一件漂亮的礼物,而且/因为她对珠宝很感兴趣。
2.请学生用逻辑联结词连接以下句子,形成连贯的段落:•我非常喜欢读书。
•读书可以扩大知识面。
•知识可以帮助我们更好地理解世界。
4.逻辑联结词是逻辑思维和表达的关键部分。
通过掌握一些常用的逻辑联结词,我们可以更好地组织思路,表达清晰的观点和论证。
通过本教案的学习,学生应该能够更好地理解逻辑联结词的作用和运用。
在实际应用中,学生需要不断练习和积累,以提高逻辑思维和表达能力。
简单的逻辑联结词
[解] (1)∵p是真命题,q是真命题,
∴p∨q是真命题,p∧q是真命题,綈p是假命题.
(2)∵p是假命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题. (3)∵p是假命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题.
[点评与警示]
判断含有逻辑联结词 “或”“且”“非”
(1) 全( 特 ) 称命题的否定与命题的否定有
着一定的区别,全 (特 ) 称命题的否定是将其全称量词改为存 在量词( 或存在量词改为全称量词 ),并把结论否定;而命题 的否定,则直接否定结论即可. (2)要判断“綈p”的真假,可以直接判断,也可以判断p
的真假,利用p与綈p的真假相反判断.
写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出 命题的否定属全称命题还是特称命题: (1)所有的有理数是实数; (2)有的三角形是直角三角形;
1.如命题“p∨q”为真命题则 ( A.p、q均为真命题 B.p、q均为假命题 )
C.p、q中至少有一个为真命题
D.p、q中至多有一个为真命题 [答案] C
2.(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是
(
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1 C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,2x>0
”在
逻辑中通常叫做全称量词,用“ ∀ ”表示,常用的全称量词 还有“ ”等. 的命题叫全称命题. (2)全称命题:含 全称量词
(3)存在量词:短语“ 存在一个 ”、“ 至少一个 ” 在
逻辑中通常叫存在量词,用“∃ ”表示,常见的存在量词还
有“ 有些、有一个、某个 ”等. (4)特称命题:含有 存在量词 的命题叫特称命题.
的命题的真假:①必须弄清构成它的命题的真假;②弄清结 构形式;③根据真值表判断其真假.
《逻辑联结词》的数学教案
《逻辑联结词》的数学教案章节一:引言教学目标:1. 让学生理解逻辑联结词的概念和重要性。
2. 引导学生通过日常生活中的例子来感知逻辑联结词的使用。
教学内容:1. 介绍逻辑联结词的定义和作用。
2. 举例说明逻辑联结词在日常生活中的应用。
教学活动:1. 引导学生思考逻辑联结词在生活中的例子,如“而且”、“或者”、“如果”等。
2. 让学生通过小组讨论,分享彼此对逻辑联结词的理解和应用。
章节二:逻辑联结词“而且”教学目标:1. 让学生理解逻辑联结词“而且”的含义和用法。
2. 培养学生运用“而且”进行逻辑推理的能力。
教学内容:1. 介绍逻辑联结词“而且”的定义和特点。
2. 举例说明如何使用“而且”进行逻辑推理。
教学活动:1. 引导学生通过日常生活例子,理解“而且”的含义。
2. 让学生进行逻辑推理练习,使用“而且”连接两个条件。
章节三:逻辑联结词“或者”教学目标:1. 让学生理解逻辑联结词“或者”的含义和用法。
2. 培养学生运用“或者”进行逻辑推理的能力。
教学内容:1. 介绍逻辑联结词“或者”的定义和特点。
2. 举例说明如何使用“或者”进行逻辑推理。
教学活动:1. 引导学生通过日常生活例子,理解“或者”的含义。
2. 让学生进行逻辑推理练习,使用“或者”连接两个条件。
章节四:逻辑联结词“如果”教学目标:1. 让学生理解逻辑联结词“如果”的含义和用法。
2. 培养学生运用“如果”进行逻辑推理的能力。
教学内容:1. 介绍逻辑联结词“如果”的定义和特点。
2. 举例说明如何使用“如果”进行逻辑推理。
教学活动:1. 引导学生通过日常生活例子,理解“如果”的含义。
2. 让学生进行逻辑推理练习,使用“如果”连接条件和结论。
章节五:综合练习教学目标:1. 让学生综合运用所学的逻辑联结词进行逻辑推理。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容:1. 综合运用逻辑联结词“而且”、“或者”、“如果”等进行逻辑推理。
2. 解决实际问题,如判断条件语句的真假等。
简易逻辑知识点
1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单
命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:p或q(记作“p∨q” );p且q(记作“p∧q” );非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:若P则q;逆命题:若q则p;
否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题逆否命题)
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真,它的否命题不一定为真。
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
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第一章
第二节 命题、量词、逻辑联结词
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点:1.四种命题的关系及命题的否定. 2.全称量词与存在量词使用上的区别. 难点:1.逻辑联结词“或”、“且”的含义及命题的否 定形式与否命题的区别. 2.全称量词与存在量词的区别运用.
互为逆否的命题等价(同真同假),互逆(或互否)的两个命 题的真假性没有关系.
3.逻辑联结词 (1)逻辑联结词 或:若p∨q成立,则p与q至少一个成立. 且:若p∧q成立,则p与q均成立. 非:对一个命题的否定.命题p的否定记作綈p.
(2)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题;由简单命题与 逻辑联结词构成的命题,叫做复合命题.
(5)含有一个量词的命题的否定: ①全称命题p:∀x∈M,p(x);它的否定綈p:“∃x0∈ M,綈p(x0)”是特命题 ②特称命题p:“∃x0∈M,p(x0)”;它的否定綈p:“∀ x∈M,綈p(x)”是全称命题.
疑难误区 点拨警示 1.已知命题p、q,写出复合命题“p或q”,“p且q” 时,一定注意所写命题要符合真值表. 2.“否命题”与“命题的否定”不是同一概念.“否命 题”是对原命题“若p则q”既否定其条件,又否定其结论; 而“命题p的否定”即非p,只是否定命题p的结论. 3.注意对全称命题的否定与特称命题的否定的区别.全 称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
4.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词,用“∀”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题叫全称命题. (3)存在量词:短语“存在一个”、“有些”、“至少有 一个”在逻辑中通常叫做存在量词.用“∃”表示. (4)特称命题:含有存在量词的命题叫做特称命题.
A.∀a,b∈R,若ab<0,则a<0 B.∀a,b∈R,若ab≤0,则a≤0 C.∃a,b∈R,若ab<0,则a<0 D.∃a,b∈R,若ab≤0,则a≤0
“p且q”的否定为“綈p或綈q”.
(3)含有一个量词的命题的否定: ①全称命题p:∀x∈M,p(x);它的否定綈p:“∃x0∈ M,綈p(x0)”是特称命题. ②特称命题p:“∃x0∈M,p(x0)”;它的否定綈p:“∀ x∈M,綈p(x)”是全称命题.
3.要肯定一个全称命题是真命题,须对所有可能情形予 以考察,穷尽一切可能,但要说明一个全称命题是假命题, 只需举一个反例即可.
夯实基础 稳固根基 1.命题 (1)用语言、符号或式子表达的,可以判断__真__假__的语句 叫做命题.判断为真的为真命题,判断为假的为假命题. (2)把一个命题表达为“若p,则q”的形式,则p叫做命 题的条件,q叫做命题的结论.
2.四种命题及其关系 (1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件,那么这两个命题叫做_互__逆__命__题___,其中一个叫做原 命题,则另一个叫做原命题的__逆____命题. (2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件 的否定和结论的否定,那么这两个命题叫做_互__否__命__题__,其中 一个叫做另一个的__否__命题.
思想方法技巧
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假,一定要先确定命 题的形式,再判断简单命题的真假,最后按真值表进行.
2.要写一个命题的否定,必须先判断命题的构成形式, 简单命题须分清条件和结论.复合命题须弄清其复合形式, 然后按不同情况写出命题的否定.
(1)简单命题的否定: “若p,则q”,否定为“若p,则綈q”. (2)复合命题的否定: “p或q”的否定为“綈p且綈q”;
考点典例讲练
命题的否定与否命题
[例1] (2011·辽宁文,4)已知命题p:∃n∈N,2n>1000,
则¬p为( )
A.∀n∈N,2n≤1000
B.∀n∈N,2n>1000
C.∃n∈N,2n≤1000
D.∃n∈N,2n<1000
解析:特称命题的否定为全称命题,“>”的否定为 “≤”.
答案:A
(2012·湖北理)命题“∃x0∈∁RQ,x30∈Q”的否定是( ) A.∃x0∉∁RQ,x30∈Q B.∃x0∈∁RQ,x03∉Q C.∀x∉∁RQ,x3∈Q D.∀x∈∁RQ,x3∉Q 分析:特称命题的否定为全称命题,“∈”的否定为 “∉”,命题的否定只否定结论.
(3)复合命题的真假可通过下面的表来加以判定:
p
q
非p
p∨q
p∧q
真 真 _假___ __真____ _真____
真 假 __假___ _真___ __假____
假 真 __真___ __真___ ___假____
假 假 __真____ __假____ _假_____
记忆方法为:一真“或”为真,一假“且”为假.
(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论 的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做_互__为__逆__否__命__题_ .把其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_逆__否___命 题.
一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p和
綈q分别表示p和q的否定.于是四种命题的形式及逆否命题是在命题为 “若p,则q”形式或可改写为这种形式的前提下进行的.不 具备这种形式的命题讨论其逆、其否是没有意义的.故复习 本章内容一定要紧扣概念.
5.准确理解逻辑联结词“或”的含义:“p或q”为真命 题时,包括三种情形:p真q假,p假q真,p真q真.如“x∈A 或x∈B”包括“x∈A且x∉B”,“x∈A且x∈B”,“x∉A且x ∈B”.
解析:命题的否定为,∀x∈∁RQ,x3∉Q. 答案:D
点评:命题的否定形式有:
∀x∈A ∃x0∈
至少有 至多有
m,
原语句 是 都是 >
使
一个
一个 p(x)真 p(x0)成
立
否定 形式
不都 不是
是
一个也 至少有 ∃x0∈A ∀x∈
≤ 没有
两个 使p(x0) M,p(x)
假 不成立
[例2] 已知命题“∀a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它 的否命题是( )