4-4力矩 力矩的平衡

4—4 力矩力矩的平衡

教学设计方案

（一）引入新课

物体的机械运动有平动和转动两种基本形式，力既能改变物体的平动状态，也能改

变物体的转动状态。（教师提出问题请同学们思考：）

（1）请大家列举力改变物体转动状态的实例。

（2）演示用力推门，总结改变转动状态的原因。

（物体转动状态的改变，不仅与施加的作用有关，还与施加力的作用点、力的作用位置有关。）

我们知道，力具有三个要素：大小、方向、作用点。使物体转动，例如开关门、窗的过程，很能说明这三要素中只要有一个不同就会产生不同的效果。那么，能不能定义一个物理量，把这三要素对转动的影响全部考虑进去呢？

（二）引出课程内容

1．刚体的转动

转动：物体上面的各点都绕着同一直线做圆周运动，这种运动称为转动，这条直线称为转轴。

刚体：作转动的物体，在受外力作用时，如果大小和形状都不发生变化，这种物体称为刚体。

刚体的特点：在力的作用下，不发生形变。

刚体是一种理想模型，在研究转动时，我们把物体视为刚体。固体转动时，如果固体上各点都绕轴做匀速圆周运动，则这种转动称为匀速转动。如：风扇的扇叶，齿轮、电动机的转子等正常转动时，都属于匀速转动。起动和停止过程是非匀速转动。

当游乐园的转马的大转盘做匀速转动时，它上面各匹马转动的线速度和角速度是否相同？（见图1，也可以在黑板上画示意图）

图1

物体做匀速转动时，它上面各点的线速度不同，角速度是相同的。如果物体做匀速转动时，它的角速度就是常量，我们用角速度来描述匀速转动的快慢。

2．力矩

请同学们分析怎样才能容易地打开门？结论是力对物体的转动效果不仅与力的大小有关，还和力的方向，力与门轴的距离有关。即

与力和力臂的乘积有关。

（1）力臂：从转动轴到力或力的作用线的垂直距离。

如图2所示，转盘可以绕轴O 转动，在盘上 A ，B 两点各受到1F 和2F 的作用，且1F 和2F 在垂 直于转轴的平面内，画出1F 和2F 的力臂。 1F 的力臂是图中O 点到1F 的作用线的垂直距

离d 1；2F 的力臂是图1中O 点到2F 的作用线的垂直距离d 2

（2）力矩

如图3所示，把横杆水平悬挂起来，其左端系一

质量为m 的物块，用弹簧秤在右端不同位置A 、A ′

竖直向下拉横杆，使细线处于伸直状态，横杆恰

能转动。记下两次弹簧秤的读数1F 、2F 和A 、A ′

与悬点O 之间的距离d 1、d 2。

实验结果：1F d 1= 2F d 2 上述实验表明，不同的力作用在一个物体上，如果这些力和对应的力臂的乘积Fd 相等，则力所产生的转动效果相同。这个实验事实告诉我们：应当Fd 用来表示力的转动效果。物理学中，用力矩（M ）作为描述力所产生的转动效果的物理量。可得:

①

定义：力和力臂的乘积称为力矩。M =Fd

② 单位：牛顿米，符号是N ·m 。

（3）力矩的方向：

转动物体角速度的改变情况，就是由力矩决定的。

力矩可以使物体向不同方向转动。在图2中，1F 的力矩

1M 使转盘绕轴O 作顺时针方向转动，而2F 的力矩则使

转盘绕轴O 做逆时针方向转动。通常规定：

F 1 图4

使物体向逆时针方向转动的力矩为正，顺时针方向转动的力矩为负。

（4）合力矩：合力矩等于物体所受力矩的代数和。

若1M 和2M 同时作用于转盘，它们的合力矩M 就是1M 和2M 的代数和，即 21M M M =-

例题1 如图4所示，1F =10 N, 2F =7 N, 3F =4 N , d 1=5 cm, d 2=3 cm,求物体所受合力矩。若物体原来静止，受到力矩后怎样转动？

解 由图知，F 1的力矩为顺时针，F 2的力矩为逆时针，F 3的力矩为零。

则M 1=-d 1F 1=-(0.05×10)N ·m=-0.5 N ·m

M 2=-d 2F 2=(0.03×7)N ·m=0.21 N ·m

M 3=0

合力矩

M =M 1+M 2+M 3==(-0.5+0.21) N ·m=-0.29 N ·m

合力矩为负, 说明物体顺时针转动

3.力矩的平衡

（1）转动的平衡状态

物体静止或作匀速转动的状态，称为转动的平衡状态。

（2）定轴转动物体的平衡条件

力矩的代数和不为零时，物体转动的角速度将发生改变，物体做变速转动；力矩的代数和为零时，转动的角速度不变，物体静止或做匀速转动。绕定轴转动的物体保持平衡的条件就是力矩的代数和为零。

转动平衡条件：合力矩为零。合力矩为零也称为力矩平衡。

4. 例题讨论讲解：

例题2 如图5所示，一块均匀板长为L ，质量为m ，与竖直方向夹角为θ ，斜靠在光滑墙面上，求墙面和地面对板的作用力。

解 首先，对板进行受力分析，如图：板受重力G 作用，

方向向下，重心C 位于板的中点；在A 点，受墙的正压力1N F ，

方向与墙面垂直，向右；在B 点，受地面的正压力2N F ，方向

与地面垂直，竖直向上，板有相对地面向右滑动的趋势，受到

地面的静摩擦力f F ，方向向左。板处于静止状态，所受合力为

零，列出力平衡方程：

1N f F F = 2N F G =

图5

板处于转动平衡状态，所受合力矩为零。以B 点为轴求力矩：

1cos sin 02

N L M L F G θθ=-⋅⋅+⋅⋅= 所以，板在A 点受墙的作用力为

111tan tan 22

N F G mg θθ=⋅= 在B 点受地面作用力为

2N F mg =

11tan 2

f N F F m

g θ== 各力方向如前所述

想一想，计算力矩时为什么要选B 点为轴？选A 点可以吗？

例题3 在图6 中，压力F = 81 N ，制动轮半径R = 0.3 m ，制动块与制动轮间的摩擦因数μ=0.35，力F 到转轴的距离与制动块到转轴的距离之比为7：3，求制动力矩。 解 作制动杆与制动轮的受力图（图6 ）

以O 点为轴，计算力F 与力F N 的力矩：

M F = - F ·OB M N = F N ·OA

杆OB 处于转动平衡状态，合力矩为零：

M F + M N = -F ·OB +F N ·OA = 0

F N ·OA = F ·OB

解得：F N = F ·OB 7=81OA 3

⨯ N = 189 N 制动轮所受压力 F N ′= F N = 189 N 图6 由制动产生的摩擦力 F f =μF N ′=0.35×189 N = 66.15 N

摩擦力距 M f =R F f =(0.3×66.15) N ·m = 19.85 N ·m

摩擦力距是逆时针旋转的力矩，与制动轮原来的转动方向相反，此即制动力矩。

5. 教师引导学生用所学知识讨论或提问：P112-113 习题 4-4 1、2、3

（三） 小结

1．转动；物体上各点都绕着同一直线做圆周运动，这种运动称为转动。

2．力矩

M =Fd

单位： N·m (牛顿米)。

通常规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，顺时针方向转动的力矩为负。

3．绕定轴转动的物体保持平衡的条件：力矩的代数和为零，即M=0。

（四） 作业布置

1．P112-113 4、5题 2．《技术物理练习册》（第二版）相关习题