导数应用题
【高考数学】22道压轴题：导数及其应用(练习及参考答案)
【高考数学】22道压轴题导数及其应用（练习及参考答案）1.已知函数xa x x f +=ln )(. （1）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当e a 2≥时，x e x f ->)(.2.已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.3.已知函数32()f x x mx nx =++（,m n R ∈）（1）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；（2）若'(1)0f =，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值.4.已知函数2()x f x x e =，3()2g x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：x R ∀∈，()()f x g x ≥5.已知函数f （x ）= xx ln ﹣ax +b 在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =﹣ax +2e ． （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在x ∈[e ，e 2]，满足f （x ）≤41+e ，求实数a 的取值范围．6.已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥.7.已知函数()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--，a R ∈. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.8.设函数2)(--=ax e x f x（1）求)(x f 的单调区间；（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，1)(1<'+-x f x x k 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值.9.设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ，都有()(1)f x f ≥成立，求实数b 的值；（2）若函数()f x 的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意的正整数n ，33311111()123n k f k n=<++++∑.10.已知函数1()(1)ln x f x a e x a a=-+-（0a >且1a ≠），e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当a e =时，求函数()y f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 只有一个零点，求a 的值．11.已知函数1()f x x x=-，()2ln g x a x =. （1）当1a ≥-时，求()()()F x f x g x =-的单调递增区间；（2）设()()()h x f x g x =+，且()h x 有两个极值12,x x ，其中11(0,]3x ∈，求12()()h x h x -的最小值.12.已知函数f （x ）=ln x +x 2﹣2ax +1（a 为常数）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x 0∈（0，1]，使得对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a （a +1）+f （x 0）＞a 2+2a +4（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．13.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣x ln a （a ＞0，a ≠1）．（1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．14.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值； （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：2122x x e >15.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1S ．（Ⅰ）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（Ⅱ）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？16.已知()()2ln x f x e x a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.17.已知函数()()()2ln 1f x ax x xa R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.18.已知函数f （x ）=（ln x ﹣k ﹣1）x （k ∈R ）（1）当x ＞1时，求f （x ）的单调区间和极值．（2）若对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f （x ）＜4ln x 成立，求k 的取值范围．（3）若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明：x 1x 2＜e 2k ．19.已知函数()21e 2x f x a x x =--（a ∈R ）. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：当1x >时，1e ln x x x x>-.20.已知函数()()321233f x x x x b b R =-++?. (1)当0b =时，求()f x 在[]1,4上的值域；(2)若函数()f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.21.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . （1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性.22.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈. （Ⅰ）求函数()f x 在其定义域内的极值；（Ⅱ）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得0002()e kx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.参考答案1.（1）函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由x a x x f +=ln )(，得221)(xa x x a x x f -=-='. ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增， 又+∞→+∞→<=+=)(,,01ln )1(x f x a a f ，所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有1个零点.②当0>a 时，则),0(a x ∈时，),(;0)(+∞∈<'a x x f 时，0)(>'x f . 所以函数)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增. 当1ln )]([min +==a x f a x .当01ln ≤+a ，即e a 10≤<时，又01ln )1(>=+=a a f ， 所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有2个零点.综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞. 另解：函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由xa x x f +=ln )(，得x x a ln -=. 令x x x g ln )(-=，则)1(ln )(+-='x x g . 当)1,0(e x ∈时，0)(>'x g ；当),1(+∞∈e x 时，0)(<'x g . 所以函数)(x g 在)1,0(e 上单调递增，在),1(+∞e 上单调递减. 故e x 1=时，函数)(x g 取得最大值ee e e g 11ln 1)1(=-=. 因+∞→+∞→)(,xf x ，两图像有交点得e a 1≤， 综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞.（2）要证明当e a 2≥时，x e x f ->)(， 即证明当e a x 2,0≥>时，x e xa x ->+ln ，即x xe a x x ->+ln .令a x x x h +=ln )(，则1ln )(+='x x h . 当e x 10<<时，0)(<'x f ；当ex 1>时，0)(>'x f . 所以函数)(x h 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增. 当e x 1=时，a ex h +-=1)]([min . 于是，当e a 2≥时，ea e x h 11)(≥+-≥.① 令x xe x -=)(ϕ，则)1()(x e xe e x x x x -=-='---ϕ.当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f .所以函数)(x ϕ在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减. 当1=x 时，ex 1)]([min =ϕ. 于是，当0>x 时，ex 1)(≤ϕ.② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当ea 2≥时，x e x f ->)(. 2.（Ⅰ）0,22)(2>-=-='x xa x x a x x f (1)当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()上+∞,0单调递增，(2)当0>a 时，20)(a x x f =='得 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>,22,0)(0a a x f a ，单调增区间是的单调减区间是时，所以 (Ⅱ) bx x x x g +-=ln 2)(2假设)(x g y =在0x 处的切线能平行于x 轴.∵()0,22)(>+-='x b xx x g 由假设及题意得：0ln 2)(11211=+-=bx x x x g0ln 2)(22222=+-=bx x x x g1202x x x +=022)(000=+-='b x x x g ④ 由-得，()()()0ln ln 221212221=-+---x x b x x x x即0212`12ln2x x x x x b --=由④⑤得，()1121212122222ln 1x x x x x x x x x x --==++ 令12x t x =，12,01x x t <∴<<.则上式可化为122ln +-=t t t ， 设函数()()10122ln <<+--=t t t t t h ，则 ()()()()011141222>+-=+-='t t t t t t h , 所以函数()122ln +--=t t t t h 在(0,1)上单调递增. 于是，当01t <<时，有()()01=<h t h ，即22ln 01t t t --<+与⑥矛盾. 所以()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴.3.（Ⅰ）n mx x x f ++='23)(2()02301=++='n m f 得由.01242>-=∆n m∴()3032-≠>+m m ，得到 ①∵()()()32313223)(2++-=+-+='m x x m mx x x f∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==='32110)(m x x x f 或，得 由题3,1321-<>⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 解得② 由①②得3-<m（Ⅱ）()02301=++='n m f 得由 所以()m mx x x f 2323)(2+-+='因为过点)1,0(且与曲线)(x f y =相切的直线有且仅有两条， 令切点是()00,y x P ，则切线方程为()()000x x x f y y -'=- 由切线过点)1,0(，所以有()()0001x x f y -'=-∴()()[]()0020020302323231x m mx x x m mx x -+-+=++--整理得0122030=++mx x.01220300有两个不同的实根的方程所以，关于=++mx x x ()()需有两个零点，则令x h mx x x h 1223++= ()mx x x h 262+='所以()3000mx x x h m -==='≠或得，且()03,00=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 或由题，()03,10=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 所以又因为0133223=+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m 所以3-=m 解得,即为所求4.（Ⅰ）()x x e e x xe x f xxx22)(22+=+='∴()()()上单调递减；在时，0,2,002-<'<<-x f x f x()()()().,02,,002上单调递增和在时，或+∞-∞->'>-<x f x f x x()()()+∞-∞--,020,2)(，和，，单调递增区间是的单调递减区间是所以x f（Ⅱ）显然0≤x 时有)()(x g x f ≥，只需证0>x 时)()(x g x f ≥，由于02≥xx e x x 20≥>时，只需证()+∞∈-=,0,2)(x x e x h x 令 2)(-='x e x h2ln ,0)(=='x x h 得()()02ln ln 22ln 222ln 22ln )(2ln min >-=-=-==∴e e h x h ()恒成立0)(,,0>+∞∈∴x h x所以当0>x 时，)()(x g x f >. 综上R x ∈∀，()()f x g x ≥5.解：（Ⅰ）f （x ）=﹣ax+b ，x ∈（0，1）∪（1，+∞）， 求导，f′（x ）=﹣a ，则函数f （x ）在点（e ，f （e ））处切线方程y ﹣（e ﹣ex+b ）=﹣a （x ﹣e ）， 即y=﹣ax+e+b ，由函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣ax+2e ，比较可得b=e ， 实数b 的值e ；（Ⅱ）由f （x ）≤+e ，即﹣ax+e≤+e ，则a≥﹣在[e ，e 2]，上有解，设h （x ）=﹣，x ∈[e ，e 2]，求导h′（x ）=﹣==，令p （x ）=lnx ﹣2，()()()()0,,2ln ,0,2ln ,0>'+∞∈<'∈∴x h x x h x ()()()上单调递增上单调递减，在，在+∞∴,2ln 2ln 0x h∴x 在[e ，e 2]时，p′（x ）=﹣=＜0，则函数p （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴p （x ）＜p （e ）=lne ﹣2＜0，则h′（x ）＜0，及h （x ）在区间[e ，e 2]单调递减，h （x ）≥h （e 2）=﹣=﹣，∴实数a 的取值范围[﹣，+∞]．6.（1）由'1()f x ax b x=-+，得'(1)1f a b =-+， l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-，又l 过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-，解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+， ∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x--+-+-+=-+-==>， 当1(0,)x a∈时，'()0g x >，()g x 单调递增； 当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减. 故2max 111111()()ln()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-. （2）证明：∵4a =-，∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，'1()m m mϕ-=，令'()0m ϕ<得01m <<；令'()0m ϕ>得1m >.∴()m ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1m ϕϕ≥=，∴212122()1x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥.7.（1）当1a =-时，1()ln f x x x x =-，(1)1f =-，'21()ln 1f x x x=++， '(1)2f =，从而曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-.（2）对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，从而min max ()()f x g x ≥ 对32()3g x x x =--，'2()32(32)g x x x x x =-=-，从而()y g x =在12[,]23递减，2[,2]3递增，max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. 又(1)f a =，则1a ≥. 下面证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x +≥. 令1()ln h x x x x =+，则'21()ln 1h x x x=+-，'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时，'()0h x ≤，当[1,2]x ∈时，'()0h x ≥，从而()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==，从而1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立.8.（1）函数f （x ）=e x -ax -2的定义域是R ，f ′（x ）=e x -a ，若a ≤0，则f ′（x ）=e x -a ≥0，所以函数f （x ）=e x -ax -2在（-∞，+∞）上单调递增 若a ＞0，则当x ∈（-∞，ln a ）时，f ′（x ）=e x -a ＜0； 当x ∈（ln a ，+∞）时，f ′（x ）=e x -a ＞0；所以，f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增 （2）由于a=1，1)1)((1)(1'+<--⇔<+-x e x k x f x x k x x e x k e x xx +-+<∴>-∴>11.01,0 令x e x x g x +-+=11)(，min )(x g k <∴，22')1()2(1)1(1)(---=+---=x x x xx e x e e e xe x g 令01)(,2)('>-=--=xxe x h x e x h ，)(x h ∴在),0(+∞单调递增，且)(,0)2(,0)1(x h h h ∴><在),0(+∞上存在唯一零点，设此零点为0x ，则)2,1(0∈x 当),0(00x x ∈时，0)('<x g ，当),(00+∞∈x x 时，0)('>x g000min 11)()(0x e x x g x g x +-+==∴， 由)3,2(1)(,20)(0000'0∈+=∴+=⇒=x x g x ex g x ，又)(0x g k <所以k 的最大值为29.（1）由01>+x ,得1->x ．∴()x f 的定义域为()+∞-,1．因为对x ∈()+∞-,1,都有()()1f x f ≥，∴()1f 是函数()x f 的最小值，故有()01='f ．,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得4-=b ． 经检验，4-=b 时，)(x f 在)1,1(-上单调减，在),1(+∞上单调增．)1(f 为最小值．（2）∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数，∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立． 若()0≥'x f ，则012≥++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21； 若()0≤'x f ,则012≤++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立． 因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值，∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立． 综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21． （3）当1-=b 时，函数()()1ln 2+-=x x x f ．令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ，则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h ． 当()+∞∈,0x 时，()0<'x h ，所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减．又()00=h ，∴当[)+∞∈,0x 时，恒有()()00=<h x h ，即()321ln x x x <+-恒成立．故当()+∞∈,0x 时，有()3x x f <．而*∈N k ，()+∞∈∴,01k ．取k x 1=，则有311kk f <⎪⎭⎫ ⎝⎛． ∴33311312111n k f nk +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫⎝⎛∑=．所以结论成立．10.解：（Ⅰ）当a e =时，1()(1)xf x e e x e=-+-，'()xf x e e =-，令'()0f x =，解得1x =，(0,1)x ∈时，'()0f x <；(1,2)x ∈时，'()0f x >，∴{}max ()max (0),(2)f x f f =，而1(0)1f e e =--，21(2)3f e e e=--， 即2max 1()(2)3f x f e e e==--． （Ⅱ）1()(1)ln xf x a e x a a=-+-，'()ln ln ln ()x xf x a a e a a a e =-=-， 令'()0f x =，得log a x e =，则 ①当1a >时，ln 0a >，所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a==--， 因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞，则min 1()ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=， 因为当1a >时，ln 0a >，所以此方程无解． ②当01a <<时，ln 0a <，所以当log a x e =时，()f x 有最小值min 1()(log )ln a f x f e e a a==--， 因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞， 所以min 1()ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=（01a <<）（*） 设1()ln (01)g a e a a a =+<<，则2211'()e ae g a a a a -=-=， 令'()0g a =，得1a e=， 当10a e <<时，'()0g a <；当1a e>时，'()0g a >； 所以当1a e =时，min 11()()ln 0g a g e e e e ==+=，所以方程（*）有且只有一解1a e=． 综上，1a e=时函数()f x 只有一个零点．11.(1)由题意得F (x)= x －－2a ln x . x 0,=,令m （x ）=x ２－2ax+1，①当时F(x)在（0，+单调递增； ②当a 1时，令，得x 1=, x 2=x(0,) ()()+－+∴F (x)的单增区间为(0,)，()综上所述，当时F (x)的单增区间为（0，+）当a 1时，F (x)的单增区间为(0,)，()（2）h (x )= x －2a ln x , h /(x)=,(x >0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根，∴x 1x 2=1, x 1+x 2=－2a,x 2=,2a=,－=－=2()令H (x )=2(), H /(x )=2()lnx=当时，H/(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H()=,即－的最小值为.12.解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（me a﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（﹣2）=0，所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．13.解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）14.（1）解：h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=1ln x ax b x ---，则211()h x a x x'=+-， ∵h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴对∀x ＞0，都有211()0h x a x x '=+-≥，即对∀x ＞0，都有211a x x≤+，.…………2分 ∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(],0-∞；.…………3分 （2）解：设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，亦即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，令010t x =>，由题意得220011a t t x x =+=+，002ln 1ln 21b x t t x =--=--- ， 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，.…………6分当()0,1t ∈时，()()0,t t ϕϕ'<在()0,1上单调递减；当()1,t ∈+∞时，()()0,t t ϕϕ'>在()1,+∞上单调递增，∴()()11a b t ϕϕ+=≥=-， 故a b +的最小值为﹣1；.…………7分 （3）证明：由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+ 两式相减得()21221112lnx x x a x x x x x --=-即212112ln 1x x a x x x x +=-∴()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭，即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭，. 9分不妨令120x x <<，记211x t x =>， 令()21()ln (1)1t F t t t t -=->+，则()221()0(1)t F t t t -'=>+，∴()21()ln 1t F t t t -=-+在()1,+∞上单调递增，则()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴()21ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>，.…………10分 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在()0,+∞上单调递增．又1ln 210.8512=+≈<，∴1ln G =>>>，即2122x x e >．.…………12分15.（Ⅰ）由题意，AB x =,2-BC x =，2,12x x x >-∴<<Q .…………1分 设=DP y ，则PC x y =-，由△ADP ≌△CB'P ，故PA=PC=x ﹣y ，由PA 2=AD 2+DP 2，得()()2222x y x y -=-+即：121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭..…………3分（Ⅱ）记△ADP 的面积为2S ，则()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………5分当且仅当()1,2x =时，2S 取得最大值．，宽为(2m 时，2S 最大．….…………7分 （Ⅲ）()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是令()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭分∴关于x 的函数12+2S S 在(上递增，在)上递减，∴当x =12+2S S 取得最大值．，宽为(m 时，12+2S S 最大．.…………12分16.（1）1a =时，()()2ln 1xf x ex =++，()2121x f x e x '=++ ()01f =，()10231f '=+=，所以()f x 在()0,1处的切线方程为31y x =+ （2）存在[)00,x ∈+∞，()()20002ln f x x a x <++，即：()02200ln 0x ex a x -+-<在[)00,x ∈+∞时有解； 设()()22ln xu x ex a x =-+-，()2122x u x e x x a'=--+ 令()2122xm x ex x a =--+，()()21420x m x e x a '=+->+ 所以()u x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()102u x u a''≥=- 1°当12a ≥时，()1020u a'=-≥，∴()u x 在[)0,+∞单调增， 所以()()max 01ln 0u x u a ==-<，所以a e > 2°当12a <时，()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭设()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()11211122x h x x x -'=-=++ 令()102h x x '>⇒>，()1002h x x '<⇒<< 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，所以11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭所以()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭，()2221x g x e x '=--，令()2221xx ex ϕ=--，()242420x x e ϕ'=-≥->所以()2221xx ex ϕ=--在[)0,+∞上单调递增，所以()()010g x g ''≥=>所以()g x 在()0,+∞单调递增，∴()()00g x g >>， 所以()()00g x g >>， 所以()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>所以，当12a <时，()()22ln f x x a x >++恒成立，不合题意 综上，实数a 的取值范围为12a ≥.17.（1）因为()ln 2f x a x x '=-，依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根， ∴0a ≠，2ln x a x=，令()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()10g =， 当x e >时，()0g x >， 所以()20g e a<< ∴()210g e a e<<= 解得2a e >，故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得，11ln 2a x x =，22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-， 故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-， 所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-， 因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t t t λλ+>+-即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-， 则()0h t <在()0,1上恒成立，()ln h t t tλλ'=+-，令()ln I t t t λλ=+-，()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈ ①当1λ≥时，()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时，()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意； ③当01λ<<时，()01I t t λ'>⇔<< 所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减， 故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.18.解：（1）∵f （x ）=（lnx ﹣k ﹣1）x （k ∈R ）， ∴x ＞0，=lnx ﹣k ，①当k≤0时，∵x ＞1，∴f′（x ）=lnx ﹣k ＞0，函数f （x ）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值； ②当k ＞0时，令lnx ﹣k=0，解得x=e k ，当1＜x ＜e k时，f′（x ）＜0；当x ＞e k，f′（x ）＞0，∴函数f （x ）的单调减区间是（1，e k ），单调减区间是（e k ，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f （e k ）=（k ﹣k ﹣1）e k =﹣e k，无极大值． （2）∵对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f （x ）＜4lnx 成立，∴f （x ）﹣4lnx ＜0，即问题转化为（x ﹣4）lnx ﹣（k+1）x ＜0对于x ∈[e ，e 2]恒成立，即k+1＞对于x ∈[e ，e 2]恒成立，令g （x ）=，则，令t （x ）=4lnx+x ﹣4，x ∈[e ，e 2]，则，∴t （x ）在区间[e ，e 2]上单调递增，故t （x ）min =t （e ）=e ﹣4+4=e ＞0，故g′（x ）＞0， ∴g （x ）在区间[e ，e 2]上单调递增，函数g （x ）max =g （e 2）=2﹣，要使k+1＞对于x ∈[e ，e 2]恒成立，只要k+1＞g （x ）max ，∴k+1＞2﹣，即实数k 的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f （x 1）=f （x 2），由（1）知，函数f （x ）在区间（0，e k）上单调递减， 在区间（e k，+∞）上单调递增，且f （e k+1）=0，不妨设x 1＜x 2，则0＜x 1＜e k＜x 2＜e k+1，要证x 1x 2＜e 2k，只要证x 2＜，即证＜，∵f （x ）在区间（e k ，+∞）上单调递增，∴f （x 2）＜f （），又f （x 1）=f （x 2），即证f （x 1）＜，构造函数h （x ）=f （x ）﹣f （）=（lnx ﹣k ﹣1）x ﹣（ln﹣k ﹣1），即h （x ）=xlnx ﹣（k+1）x+e 2k（），x ∈（0，e k）h′（x ）=lnx+1﹣（k+1）+e 2k （+）=（lnx ﹣k ），∵x ∈（0，e k ），∴lnx ﹣k ＜0，x 2＜e 2k ，即h′（x ）＞0，∴函数h （x ）在区间（0，e k ）上单调递增，故h′（x ）＜h （e k ）， ∵，故h （x ）＜0，∴f （x 1）＜f （），即f （x 2）=f （x 1）＜f （），∴x 1x 2＜e 2k成立．19.（Ⅰ）由()21e 2xf x a x x =--得()e 1x f x a x '=--.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直， 所以()010f a '=-=，解得1a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()e 1xf x a x '=--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10x f x a x '=--=，即 1e x x a +=有两个不同的根，且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=，则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-， 所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x <时，()0h x '>，()h x 单调递增. 又当x →-∞时，()h x →-∞；0x =时，()01h =；0x >时，()0h x >；x →+∞时，()0h x →，所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<. （Ⅲ）证明：令()1e ln xg x x x x=-+（1x >），则()10g =，()2e 1e ln 1x xg x x x x'=+--.令()()h x g x '=，则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x-++， 因为1x >，所以e ln 0xx >，e 0xx >，()2e 10x x x ->，320x>， 所以()0h x '>，即()()h x g x '=在1x >时单调递增，又()1e 20g '=->，所以1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时，()0g x >，即1x >时，1e ln xx x x>-.20.(1)当0b =时，()321233f x x x x =-+，()()()2'4313f x x x x x =-+=--.当()1,3x Î时，()'0f x <，故函数()f x 在()1,3上单调递减； 当()3,4x Î时，()'0f x >，故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =，()()4143f f ==.∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3轾犏犏臌；(2)由(1)可知，()()()2'4313f x x x x x =-+=--， 由()'0f x <得13x <<，由()'0f x >得1x <或3x >. 所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-?，()3,+?上单调递增；所以()()max 413f x f b ==+，()()min 3f x f b ==，所以当403b +>且0b <，即403b -<<时，()10,1x $?，()21,3x Î，()33,4x Î，使得()()()1230f x f x f x ===，由()f x 的单调性知，当且仅当4,03b 骣琪?琪桫时，()f x 有三个不同零点.21.（1）当1=a 时，函数2ln 21)(2--=x x x f ，xx x f 1)('-=， ∴0)1('=f ，23)1(-=f ， ∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为23-=y . （2）)0(1)('2>-=x xax x f . 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f 的单调递减区间为),0(+∞； 当0>a 时，)(x f 在),0(a a 递减，在),(+∞aa 递增.22.（Ⅰ）211()0sin f x x x θ'=-+≥∙在[1,)-+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ∙-≥∙.∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>.故sin 10x θ∙-≥在[1,)-+∞上恒成立 只须sin 110θ∙-≥，即sin 1θ≥，又0sin 1θ<≤只有sin 1θ=，得2πθ=.由22111()0x f x x x x-'=-+==，解得1x =. ∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.故()f x 在1x =处取得极小值1，无极大值. （Ⅱ）构造1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--，则转化为；若在[1,]e 上存在0x ，使得0()0F x >，求实数k 的取值范围.当0k ≤时，[1,]x e ∈，()0F x <在[1,]e 恒成立，所以在[1,]e 上不存在0x ，使得0002()ekx f x x ->成立. ②当0k >时，2121()e F x k x x+'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x ++-+++-==. 因为[1,]x e ∈，所以0e x ->，所以()0F x '>在[1,]x e ∈恒成立. 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max 1()()3F x F e ke e ==--，只要130ke e-->， 解得231e k e +>. ∴综上，k 的取值范围是231(,)e e++∞.。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
导数应用练习题含答案(供参考)
课外作业 一．选择题，1. ．函数x x x x f +--=23)(的单调减区间是 ( )A ．（)1,-∞- B.),31(∞ C ．（)1,-∞-和),31(∞ D.)31,1(-解: 'f （x ）=-32x -2x+1<0，所以x>31或x<-1，故选C 2．函数xxx f sin )(=，则 ( ) A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数C ．)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数 D. )(x f 在)2,2(ππ-内是增函数 解: 'f （x ）=2sin cos xx x x -，当x ∈),0(π时'f （x ）<0，故选A 3. .函数()(1)x f x x e 的单调递增区间是 （ ）A .[0，＋∞）B . [2，＋∞）C .（－∞，2]D .（－∞，1]解：令'f （x ）=x e -（x-1）xe >0,得2-x>0,x<2，故选C4..()f x '是f （x ）的导函数，()f x '的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）A B C DA ．B ．C ．D ． 解：)('x f 越大表示曲线f （x ）递增（减）速度越快，故选D5.下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.y=sinx+1, B.xxe y = C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(解：y=sinx+1是周期函数，不满足条件； xxe y =，则'y =x e +x xe ,当x>0时'y >0成立。
故选B6.对于R 上可导的任意函数，若满足()()01/≥-x fx ，则必有（ ）A . ()()()1220f f f <+ B. ()()()1220f f f >+ C . ()()()1220f f f ≥+ D. ()()()1220f f f ≤+解：x ≥1时'f （x ）≥0；x ≤1时'f （x ）≤0。
导数综合应用(含答案)
11.导数的综合应用（含答案）（高二）1.（15北京理科）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2．（15年安徽理科）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数(sin )22f x ππ在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2000,D 14aa b z b ===-≤求满足时的最大值。
求导数的实际应用题
求导数的实际应用题导数作为微积分的重要概念，具有广泛的实际应用价值。
在物理学、经济学、生物学等领域中，求导数可以帮助我们解决一系列实际问题。
本文将以几个实际应用题为例，阐述导数的应用。
1. 速度和加速度假设有一个小车在直线道路上行驶。
我们知道，速度可以看作是位移对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt，其中v(t)表示时刻t的速度，s(t)表示距离。
如果我们已知小车的位移函数s(t)，则可以通过求导数的方法得到其速度函数v(t)。
同样地，加速度可以看作速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
如果我们已知小车的速度函数v(t)，可以通过求导数得到其加速度函数a(t)。
这些速度和加速度的函数关系可以帮助我们对行驶中的小车进行分析，如判断是否超速或者行驶过程中是否需要采取制动等措施。
2. 弹簧振动在物理学中，弹簧振动是一个常见的问题。
假设一个弹簧的位置可以用函数x(t)表示，其中x(t)表示时刻t的位置。
根据胡克定律，弹簧受力与其伸长程度成正比。
设弹簧的劲度系数为k，则弹簧的受力可以表示为F = -kx(t)。
根据牛顿第二定律，物体受力与加速度成正比。
设物体的质量为m，则物体的加速度可以表示为a = F/m = -kx(t)/m。
我们可以通过求导数的方法，得到物体的速度v(t) = dx(t)/dt，并进一步求得物体的加速度。
通过对弹簧振动过程的分析，可以了解弹簧在不同时刻的位置、速度以及加速度，从而揭示了弹簧振动的规律。
3. 生物学中的增长问题在生物学中，许多生物群体的增长问题都可以通过求导数来解决。
以细菌繁殖为例，假设初始时刻有N个细菌，细菌的繁殖速率与其当前数量成正比。
设细菌繁殖速率为r，则细菌的繁殖速度可以表示为dN/dt = rN。
将微分方程化简后可得到N(t) = N0 * e^(rt)，其中N(t)表示时刻t的细菌数量，N0表示初始时刻的细菌数量。
通过求导数，我们可以得到细菌数量随时间变化的规律，以及在不同时刻细菌数量的增长速度。
导数的应用试卷
导数的应用试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，若f'(x)>0，则函数f(x)在(a,b)内（）A. 单调递减B. 单调递增C. 是常数函数D. 有极大值答案：B。
解析：根据导数的性质，导数大于零函数单调递增。
2. 函数y = x³ - 3x的极小值点为（）A. -1B. 1C. 0D. 不存在答案：A。
解析：先求导y' = 3x² - 3，令y' = 0，解得x = ±1，再通过判断导数在x = - 1两侧的正负性可知x = - 1为极小值点。
3. 函数y = sinx在区间[0,2π]上，导数为零的点有（）个。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C。
解析：y' = cosx，在[0,2π]上cosx = 0时，x = π/2，3π/2，5π/2，有3个点。
二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y = lnx的导数是______。
答案：1/x。
解析：根据对数函数的求导公式。
2. 曲线y = x²在点(1,1)处的切线方程为______。
答案：y = 2x - 1。
解析：先求导得y' = 2x，在点(1,1)处切线斜率为2，再利用点斜式得到切线方程。
三、解答题（每题20分，共40分）1. 求函数y = x⁴ - 2x² + 3的单调区间和极值。
答案：先求导y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)=4x(x + 1)(x - 1)。
令y' = 0，解得x = - 1，0，1。
当x < - 1时，y' < 0，函数单调递减；当- 1 < x < 0时，y' > 0，函数单调递增；当0 < x < 1时，y' < 0，函数单调递减；当x > 1时，y' > 0，函数单调递增。
数学导数练习题和答案
数学导数练习题和答案1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数。
解：首先应用幂函数的导数规则，\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
2. 计算函数 \( g(x) = \sin(x) + e^x \) 的导数。
解：利用三角函数和指数函数的导数规则，\( g'(x) = \cos(x) + e^x \)。
3. 确定函数 \( h(x) = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解：对数函数的导数为 \( \frac{1}{x} \)，因此 \( h'(1) = 1 \)。
4. 求函数 \( k(x) = \frac{1}{x} \) 的导数。
解：使用商的导数规则，\( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \)。
5. 计算复合函数 \( F(x) = (x^2 + 1)^3 \) 的导数。
解：应用链式法则，\( F'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x =6x(x^2 + 1)^2 \)。
6. 求函数 \( G(x) = \sqrt{x} \) 的导数。
解：使用根号函数的导数规则，\( G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)。
7. 计算函数 \( H(x) = e^{2x} \) 的导数。
解：指数函数的导数规则表明，\( H'(x) = 2e^{2x} \)。
8. 确定函数 \( I(x) = \tan(x) \) 的导数。
解：正切函数的导数为 \( \sec^2(x) \)，因此 \( I'(x) =\sec^2(x) \)。
9. 求函数 \( J(x) = \arcsin(x) \) 的导数。
解：反正弦函数的导数为 \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)，所以 \( J'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)。
求导数的高级应用题
求导数的高级应用题导数是微积分中十分重要的概念，它可以用来描述函数的变化率。
在数学和物理学等学科中，求导数有着广泛的应用。
本文将介绍一些求导数的高级应用题，以帮助读者更好地理解和应用导数的概念。
1. 最优化问题求导数的一个重要应用是解决最优化问题。
最优化问题指的是在一定的约束条件下，找到使某个函数取得最大值或最小值的变量值。
例如，假设有一个矩形的周长为10厘米，求其面积的最大值。
设矩形的长为x厘米，宽为（10 - 2x）厘米。
矩形的面积可以表示为A(x) = x(10 - 2x)。
为了求解面积的最大值，我们需要将A(x)对x求导，并令导数等于0。
A'(x) = 10 - 4x令A'(x) = 0，可以得到x = 2.5。
将x = 2.5代入A(x)，可以得到最大面积为6.25平方厘米。
因此，当矩形长是2.5厘米，宽是5厘米时，面积达到最大值。
2. 曲线的切线和法线导数还可以用来求解曲线的切线和法线。
在微积分中，切线是曲线在某一点上的斜率，而法线则垂直于切线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则曲线在该点上的切线斜率可以通过求导得到。
切线的方程可以表示为y = f(a) + f'(a)(x - a)。
其中，f(a)表示曲线在点x=a处的纵坐标，f'(a)表示该点处的导数。
例如，考虑函数f(x) = x^2，在点x=2处求切线的方程。
首先，求函数f(x)的导数：f'(x) = 2x在x=2处，f'(2) = 4。
根据切线的方程公式，可以得到切线方程为y = 4x - 4。
法线的斜率与切线斜率互为相反数。
因此，在点x=2处的法线斜率为-1/4。
根据法线的方程公式，可以得到法线方程为y = (-1/4)x + 9/2。
3. 常微分方程常微分方程是描述物理过程中变量之间关系的方程。
通过求解常微分方程，可以获得物理系统的行为模式。
导数在求解常微分方程中起着重要的作用。
导数应用题
来源于生活 应用于生活
导数的应用举例 1
导数的应用举例 2
某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 ( 某厂生产某种产品 已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品 的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24200- 1x2, 且生产 x 吨的 ( -5 该厂每月 每月生产多少吨产品才能使 成本为 R=50000+200x 元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使 利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入 成本) 收入利润达到最大 最大利润是多少 (利润 收入-成本) 每月生产 解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x≥0, 且 1 y=(24200- 5x2)x-(50000+200x) 1 3 =- 5 x +24000x-50000. 舍去) ( 舍去 由 y′=- 3x2+24000=0 得 x=200(-200舍去). ′ -5 ∵在 [0, +∞) 上只有一个点 x=200 使 y′=0, ′ 它就是最大值点, ∴它就是最大值点 且最大值为 1 - 5×2003+24000×200-50000=3150000(元). × ( 故每月生产 吨产品时利润最大, 万元. 故每月生产 200 吨产品时利润最大 最大利润是 315 万元
(完整版)导数应用题
(完整版)导数应用题
导数应用题
导数是微积分中的一个重要概念，它在物理学、经济学等学科
中有广泛的应用。
下面是几个关于导数应用的题目。
题目一：速度和加速度
一个物体随时间 t 的位移函数为：s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 6。
求：
1. 物体在 t=2 时的速度；
2. 物体在 t=2 时的加速度。
题目二：边际利润
某公司生产某种产品的总成本和销售量之间的关系由函数 C(x) = 40x^2 - 10x + 200 决定，其中 x 表示销售量（单位：千件）。
产
品的销售价格为 500 元/件。
求：
1. 销售量为 10 千件时的总成本；
2. 销售量为 10 千件时的边际利润（边际利润定义为每增加一
单位销售量所带来的额外利润）。
题目三：物体的高度
一颗子弹以初速度 v0 被发射成 60°角度与水平面成的抛体轨迹。
子弹的飞行轨迹可以用函数 h(t) = -5t^2 + v0*sin(60°)*t 表示，
其中h(t) 表示子弹的高度（单位：米），t 表示时间（单位：秒）。
求：
1. 子弹飞行的最高点的高度；
2. 子弹从发射到达最高点的时间。
题目四：排队等候时间
某银行服务窗口的等候时间服从指数分布，平均等候时间为 10 分钟。
一位客户进入银行后等候 8 分钟后决定离开，请问他的等待
时间与等候时间之差服从的概率分布是什么？
以上是关于导数应用的几个题目，希望能帮助到你。
如果有任何疑问，请随时提问。
导数应用精选50题(含有答案)
C.2
D. 3
2
13.对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ a 0 ），定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的
导数，若方程 f (x) 0 有实数解 x0，则称点（x0，（f x0））为函数 y f (x) 的“拐点”．有
同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
常数 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证：当 x > 时，总有 x > f (x) 成立； (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1－ | < 1,| x2－ | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2.
25.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax3 bx2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
f
( ) ， f 3
(x ) 为 f(x)的导函数，令 a＝
12，b＝log32，则下列关系
正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b)
D．f(|a|)<f(b)
16.设在函数 y x sin x cos x 的图象上的点 x0, y0 处的切线斜率为 k，若 k g x0 ，则
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B【解析】由分析导函数的图像可知:原函数的从左向右一直是增函数，并且增长速度先是越来越快再越来越慢.【考点】导函数的应用.2.定义在R上的连续函数g(x)满足：当时，恒成立(为函数的导函数)；对任意的都有．函数满足：对任意的，都有成立;当时.若关于的不等式对恒成立. 则的取值范围是A．RB．C．或D．【答案】C【解析】当时，恒成立(为函数的导函数)，在单调递增；对任意的都有，为偶函数；即在递减．关于的不等式对恒成立，即对恒成立，即.对任意的，都有成立，，即;当时，，，且，即在，.，对，.因此，即，.【考点】函数的性质、导数的应用.3.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.4.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.5.若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.【考点】常见基本函数的导函数.6.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由函数，，是方程的两根，由，则有两个使等式成立，，如下示意图象：如图有三个交点，故选A．【考点】1．导数的性质；2．函数的零点．7.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）;（2）或.【解析】(I)求出当时函数的导数即切线斜率，代入点斜式；(II)求导解得函数的两个极值点和因为异号，分，，讨论.（1）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，令，得或.当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或.【考点】1、导数及其应用；2、导数在研究函数中的应用.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ;【答案】【解析】由题意得：在上恒成立，即，因为则由得，所以当时，；当时，；因此当时，取最大值即实数的取值范围是.【考点】利用导数求参数取值范围9.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元。
与导数有关的应用题
与导数有关的应用题1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．2.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。
设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=10,31000108100,3018.10)(22x x xx x x R （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）3.某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元(1)设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )(2)由于条件限制[30,40]r ,问当r 取何值时,运动场造价最低?4一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为21,y y 且翻转前后的比例系数相同都为k ）(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为d 多少时，可使安全负荷y 最大？O A BCθ 5.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上设计的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 的为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带宽度忽略不计）（1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ；（2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．6.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2l r≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c＞.设该容器的建造费用为y千元.（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.。
导数及其应用常见题型
导数及其应用题型一利用导数研究函数的单调性设函数y=Hx)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f,M>0,那么函数y=F(x)为在这个区间内的函数；如果在这个区间内F'G)V0,那么函数尸F(X)为在这个区间内的函数.设函数尸f(x)在某个区间内有导数，如果y=f(x)在这个区间内为增函数，那么在该区间内有；如果尸f(x)在这个区间内为减函数，那么在该区间内有；用导数求函数单调区间的步骤：(1)求函数f(x)的(2)函数F(X)的导数/'(X).(3)令/*)>0解不等式，得函数的区间；令(")Vo解不等式，得函数的区间3例1.1、函数y=∕(x)在定义域(一-,3)内可导，其图象如下图，那么不等式/(x)W0的解集为3变式1.1、函数、=/(外在定义域(一耳,3)内可导，其图象如上图所示(同例1),记y=∕(x)的导函数为y=∕<χ),那么不等式/'(X)WO的解集为例1.2、函数/(x)在R上可导，其导函数为/'*),且函数y=(l-x)∕'(x)的图像如下图，那么f(x)的极大值点为，极小值点为例L3、设f(x),g(x)均是定义在R上的奇函数,当x<0时,f,Mg(x)+f(x)g'(x)>0,且/(-2)=O,那么不等式/(x)∙^(x)<O的解集是练习1.1函数/(制的定义域是开区间(4,b),导函数∕∙'(x)在(〃力)内的图象如下图，那么函数/(X)在开区间内极小值点有个，极大值点有个。
/\练习1.2f(x)=—(a+I)X2+4x+∖(a∈R)(1)讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数。
，使x∈[-l,θ],函数有最小值一3?题型二利用导数研究函数的极值和最值求可导函数Fa)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数(2)求方程/"(X)=O的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.如果左正右负，那么F(X)在这个根处取得极值；如果左负右正，那么F(X)在这个根处取得极值；如果左右不改变符号，那么F(X)在这个根处无极值.例2.1假设函数〃制二/一3"+36在(0,1)内有极小值，那么b的取值范围为。
求导数练习题
求导数练习题一、基本求导公式应用题1. 求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数 \( f'(x) \)。
2. 计算函数 \( g(t) = t^3 - 4t^2 + 7t \) 的导数 \( g'(t) \)。
3. 给定函数 \( h(z) = z^4 + \frac{1}{z} \)，求 \( h'(z) \)。
二、复合函数求导4. 若 \( u(x) = \sin(x^2) \)，求 \( u'(x) \)。
5. 求函数 \( v(y) = \ln(y^2 + 1) \) 的导数 \( v'(y) \)。
6. 计算 \( w(θ) = e^{θ^2} \) 的导数 \( w'(θ) \)。
三、隐函数求导7. 给定方程 \( xy^2 - x^3 + y = 6 \)，求 \( y' \)。
8. 若 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( y' \)。
四、参数方程求导9. 参数方程 \( x = t^2 \) 和 \( y = t^3 \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
10. 若 \( x = e^{\sin t} \) 和 \( y = e^{\cos t} \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
五、高阶导数11. 求函数 \( f(x) = x^3 \) 的二阶导数 \( f''(x) \)。
12. 计算 \( g(t) = t^5 - 3t^4 + 2t^3 \) 的三阶导数 \( g'''(t) \)。
六、应用题13. 某物体的位移函数为 \( s(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t \)，求其速度和加速度函数。
14. 一个物体的体积 \( V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \) 随半径\( r \) 变化，求其表面积 \( A(r) \) 关于 \( r \) 的导数。
导数的应用题型
（导数的应用：求切线、单调区间、极值、最值、图像）题型一：利用导数的几何意义求切线1.曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）A.y=3x －4B.y=－3x+2C.y=－4x+3D.y=4x －52.若抛物线y=x 2－x+c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.3.曲线y=2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________.4.过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x+2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是____________5.已知曲线y=31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.6.已知曲线y=x 2－1与y=3－x 3在x=x 0处的切线互相垂直，求x 0。
7.曲线y=x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?8.确定抛物线方程y=x 2+bx+c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y=2x 在x=2处相切.9.曲线y=x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.（ 有点难度哟！）题型二：求函数单调区间1.函数y=x 2（x －3）的减区间是 （ ）A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2） 2.函数f （x ）=ax 2－b 在（－∞，0）内是减函数，则a 、b 应满足 （ ）A.a<0且b=0B.a>0且b ∈RC.a<0且b ≠0D.a<0且b ∈R3.已知a>0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 （ ）A.0B.1C.2D.34.已知f （x ）=（x －1）2+2，g （x ）=x 2－1，则f ［g （x ）］ （ ）A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增5.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个6.在（a ，b ）内f （x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的________条件.7.若函数y=－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________.8.设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x+5（a>0），求f （x ）的单调区间.9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a>0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.10.若函数y=31x 3－21ax 2+（a －1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.11.设f （x ）=x 3－22x －2x+5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围. 题型三：求函数的极值1．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）a bx y)(x f y '=O A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.函数f （x ）=x 3－3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<213.y=3x －x 3的极大值是________，极小值是________.4.已知函数y=x 3+ax 2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.5.已知函数f （x ）=ax 3+cx+d （a ≠0）是R 上的奇函数，当x=1时，f （x ）取得极值－2.（1）求f （x ）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x 1、x 2∈（－1，1），不等式|f （x 1）－f （x 2）|＜4恒成立.题型四：函数的最大值与最小值 1.函数f （x ）=x 3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－192.函数y=x 4－8x 2+2在［－1，3］上的最大值为A.11B.2C.12D.103.已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是 （ ）A.－37B.－29C.－5D.以上都不对4.函数y=2x 3+3x 2－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.5.设函数f （x ）=x 3－22x －2x+5.若对任意x ∈［－1，2］，都有f （x ）>m ，则实数m 的取值范围是________.6.直线y=a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点，求a 的取值范围.7.已知实数a>0，函数f （x ）=ax （x －2）2（x ∈R ）有极大值32.（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间.8.设x=－2与x=4是函数f （x ）=x 3+ax 2+bx 的两个极值点.（1）求常数a 、b ；（2）判断x=－2，x=4是函数f （x ）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 题型五：图像题1.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）3.函数f （x ）的导函数y=f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________. xyO 2-13．设)(x f 是一个三次函数，)(x f '为其导函数，如图所示的是)(x f x y '⋅=的图象的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别是 ( )A ．)1()1(-f f 与B ．)1()1(f f 与-C ．)2()2(f f 与-D ．)2()2(-f f 与巩固练习：1.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，其中a 、b 、c 为实数，当a 2－3b<0时，f （x ）是 （ ）A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数2.下列各式正确的是A.x －63x ＞sinx （x ＞0）B.sinx ＜x （x ＞0）C.π2x ＞sinx （0＜x ＜2π） D.以上各式都不对 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件5．函数344+-=xx y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．06．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数7.函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.（2π,2π3）B.（π,2π）C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π） 8.函数y=1+3x －x 3有（ ）A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值39.如果函数y=f （x ）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： -3 -2 2 3 4 51 -2xyO①函数y=f （x ）在区间（－3，－21）内单调递增；②函数y=f （x ）在区间（－21，3）内单调递减；③函数y=f （x ）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f （x ）有极小值；⑤当x=－21时，函数y=f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是________.10.若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是_______________.11.函数y=x －2x （x ≥0）的最大值为_____________.12.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
高二数学导数应用2023练习题及答案
高二数学导数应用2023练习题及答案一、函数极值与最值问题1. 求函数f(x) = 3x^4 - 4x^3在闭区间[-2, 3]上的极值及最值。
解析：首先求出函数的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)的零点，即f'(x) = 0的解。
根据求得的导数零点，将闭区间[-2, 3]分为了若干个子区间，分别对每个子区间进行讨论，确定极值点以及正、负号区间，最后比较得出极值和最值。
步骤如下：1) 求导：f'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)。
2) 导数的零点：12x^2(x - 1) = 0，解得x = 0或x = 1。
3) 分析子区间：a) 当x < -2时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
b) 当-2 < x < 0时，f'(x) = 12x^2(x - 1) > 0，函数递增。
c) 当0 < x < 1时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
d) 当1 < x < 3时，f'(x) = 12x^2(x - 1) > 0，函数递增。
e) 当x > 3时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
4) 确定极值点：当x = -2时，f(-2) = 3(-2)^4 - 4(-2)^3 = 48，当x = 0时，f(0) = 0，当x = 3时，f(3) = 3(3)^4 - 4(3)^3 = 189。
5) 比较得出极值和最值：函数在x = -2处取得极大值48，函数在x = 0处取得极小值0，函数在x = 3处取得极大值189。
答案：极大值48，极小值0，最大值189。
二、函数图像与导数的关系问题2. 已知函数g(x)在区间[-∞,+∞]上可导，且g(-1) = 2，求证：在区间[-∞, +∞]上，一定存在点c，使得g'(c) = 0。
导数在函数中的应用题库
）．．，，则（＞﹣第1页，总8页答案第28页15.函数1sin sin33y a x x =+在π3x =处有极值，在a 的值为（ ）．A ．6-B ．6C ．2-D ．216.函数32()1f x x x x =+-+在区间[]2,1-上的最小值（ ）．A ．2227B ．2C ．1-D ．4-17.函数21e x ax y -=存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．1a <-B ．0a >C ．1a ≤-或0a ≥D ．1a <-或0a >18.若函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数y=（1﹣x ）f′（x ）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数f （x ）有极大值f （﹣2），无极小值B ．函数f （x ）有极大值f （1），无极小值C ．函数f （x ）有极大值f （﹣2）和极小值f （1）D ．函数f （x ）有极大值f （1）和极小值f （﹣2）．19.已知三次函数f （x ）=x 3﹣（4m ﹣1）x 2+（15m 2﹣2m ﹣7）x+2在x ∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2或m ＞4B ．m ≥2或m ≤4C ．2≤m ≤4D ．2＜m ＜420.已知x=2是函数f （x ）=x 3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f （x ）的极大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18 21.函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1的一个极值点为x=1，则f （x ）的极大值为（ ）A ．﹣1B ．﹣2e ﹣3C ．5e ﹣3D ．122.设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）23.当x ∈[﹣2，﹣1]，不等式ax 3﹣x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣5，﹣3]B ．（﹣∞，﹣] C ．（﹣∞，﹣2] D ．[﹣4，﹣3]24.设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）+x恒成立，则第3页，总8页答案第4页，总8页C．D．31.已知函数y=f （x ）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．32.已知32()f x x px qx =--和图象与x 轴切于()1,0，则()f x 的极值情况是（ ）A ．极大值为1()3f ，极小值为(1)f B ．极大值为(1)f ，极小值为1()3fC ．极大值为1()3f ，没有极小值 D ．极小值为(1)f ，没有极大值33.函数f(x)的图象如图所示，则不等式(3)()0x f x '+⋅<的解集为（ ）A. (,3)(1,1)-∞--B. (,3)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,)+∞34.函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值35.函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（ ）A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，83] C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43，3）答案第68页试卷答案1.C2.B3.D4.D5.A6.C7.A8.D9.B 10.B 11.D 12.D 13.D 14.A 15.D 16.C17.C ∵21e xax y -=，2222e e (1)210(e )e x x x xax ax ax ax y ---++'===恒有解，∴0a ≠，2440a a ∆=+≥， 4(1)0a a +≥，∴1a -≤或0a >，当1a =-时，2(1)0exx y -'=≥（舍去），∴1a <-或0a >， 18.B 19.C 20.D 21.C 22.A22【解答】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g′（x ）=，∵当x ＞0时总有xf′（x ）＜f （x ）成立， 即当x ＞0时，g′（x ）恒小于0， ∴当x ＞0时，函数g （x ）=为减函数， 又∵g （﹣x ）====g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数 又∵g （﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g（x ）＞0 ⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：A ．23.C 24.A【解答】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g′（x ）=，===0，=．．第7页，总8页∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．29.C30.C31.A32.A33.A34.C35.A36.A37.C38.C39.40.(1,0)(1,)-+∞41.342.1(0,)243.（-1,0）44.45.89答案第8页，总8页。
导数的应用题
x (0,15)时, S x 0; x (15,30)时, S x 0.
故x=15时，S(x)取得最大值S(15)=225.
答：
习题2：把长100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，
怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？ 解：设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方 形的边长为(25-x)cm.这两个正方形面积之和为： S(x)=x2+(25-x)2=2x2-50x+625(0<X<25)
作业：P34 9(2)
例2:某种圆柱形饮料罐的容积一定,如何确定
它的高与底半径,才能使它的用料最省? 解：如图，设圆柱的高为h，底
半径为R，则表面积
h V R 2 h定值 ， 则h V , 故 2
R
R
S R 2Rh 2R
2
又
V 2V 2 S R 2R 2 2R 2R 2 R R
A
P
B
x 3-x 解:如图,设点p在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B 为3-x(0<x<3).
kb k P点受B光源的照度为 ,即 , 2 2 （其中，k为比例常数） 3 x 3 x
ka 8k , 即 ; P点受A光源的照度为 2 2 x x
8k k 0 x 3. 从而，P 点的总照度为 I x 2 2 x 3 x
2
Байду номын сангаас
由p 0, 解得R r.
答:(略)
可以检验,当R=r时,P取得极大值,且是最大值,最大值为
E2 P 4r
例4:强度分别为a,b的两个光源A,B的距离为d,试问:在连接两 光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上 述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)
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导数在生活中的应用【例1】一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为错误！未找到引用源。
，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末【例2】已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为错误！未找到引用源。
．求产量q 为何值时，利润L 最大？【例3】如图，一矩形铁皮的长为cm 8，宽为cm 5，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为cm x ，则盒子底面长为82x -，宽为52x -32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2125240V x x =-+，令0V '=得1x =或103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值练习：1、甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，（1）求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．2、在长为100千米的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA 为20千米.由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k 和3k （k ＞0，k ∈R ），为节约运费，在铁路的D 处修一货物转运站，设AD 距离为x 千米，沿CD 直线修一条公路(如图).(1)将每吨货物运费y (元)表示成x 的函数. (2)当x 为何值时运费最省？3、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为了处20100xA BC D理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（I ）按下列要求写出函数关系式：① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。
（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
4、 两县城A 和B 相距20Km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB上选择一点C 建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和。
记C 点到城A 的距离xKm ，建在C 处的垃圾处理厂对城B 的影响度为Y ，统计调查表明；垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城B 的平方成反比，比例系数为4；城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B ）总影响度为0.065（Ⅰ）将Y 表示成X 的函数；（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点城A 的距离；若不存在，说明理由。
5、如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，3(km)OA =． （I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．6、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．7、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=35kx +（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。
设f （x ）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。
ＯAEDBHP（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f （x ）达到最小，并求最小值。
8、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。
（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？9、第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-； 当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=. 10、某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x ≥0. 所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x ，由g ´(x )>0得x <4， ∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分11、某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．ABCD（第17题）B 'P因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x =-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分12、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （2）求面积S 的最大值．2r CDAB 2r。