1-2-3-2数学证明导学案

第三章推理与证明

§2数学证明

基础自主预习

1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提------一般性道理；

②小前提------研究对象的特殊情况；

③结论------由大前提和小前提作出的判断

3.“三段论”可以表示为：

①大前提：M是P②小前提：S是M③结论：S是P

用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素都具有性质P.

4.在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来

练习：一切无理数都不能写成分数的形式，2是无理数，所以2不能写成分数的形式，其演绎推理的“三段论”形式为：__________________________________________.

【答案】

大前提：一切无理数都不能写成分数的形式

小前提：2是无理数

结论：所以2不能写成分数的形式

1.下列说法正确的个数有（ ）

①演绎推理是由一般到特殊的推理；②三段论推理的常用规则有假言推理、三段论推理、关系推理、归纳推理；③演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提有关. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C

【解析】由演绎推理的相关概念知①③正确.

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【答案】C

【解析】大前提与小前提都是正确的，但整数就是那些不是真分数的有理数，故不能推出结论来.

3. 设,,(,0),a b c ∈-∞则111

,,a b c b c a

+++（

） A.都不大于2- B.都不小于2-

C.至少有一个不大于2-

D.至少有一个不小于2-

【答案】D

【解析】因为61

11-≤+++++

a

c c b b a 所以111

,,a b c b c a

+++中至少有一个不大于2-.

4.已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2

，则y x ,的大小关系是_________

【答案】x y <

【解析】2

2

22()2a b y a b x +==+=

>=

5.已知ABC ∆中，

45,30=∠=∠B A ，求证b a <.

证明：B A B A ∠<∠∴=∠=∠,45,30

b a <∴

此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是. 【答案】b a B A <⇒∠<∠.

【解析】三角形中”大边对大角，小边对小角”的一个结论.

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1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠

⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这

是因为

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 【答案】A

【解析】大前提为“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线”，而此结论是不成立的，应是平行于平面内无数条直线才对. 2．函数]2

,0[)44sin(3)(π

π

在+

=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值

C ．只有最大值或只有最小值

D ．既有最大值又有最小值 【答案】C

【解析】正弦函数在闭区间内有最值，]2

,0[)44sin(3)(π

π

在+

=x x f 内的最小值与最大值分别是0与

2

2

3. 3.在ABC ∆中，F E ,分别为AC AB ,的中点，则有BC EF //，此问题的大前提为（ ） A.三角形中的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半

C.EF 为中位线

D. BC EF // 【答案】A 【解析】此问题的大前提便是三角形中位线的性质结论，即三角形中的中位线平行于第三边. B 选项中的结论在这没用到，C 选项中EF 为中位线即转述F E ,分别为AC AB ,的中点，此为该题的小前提，而D 选项BC EF //是结论，故B 、C 、D 错，A 正确. 4. 函数x

y 1=

在点4=x 处的导数是 ( )

A ．

81 B ．81- C ．161 D ．16

1

- 【答案】D 【解析】函数x

y 1=

的导函数是3121x

y -

='，当4=x 时，161

-='y . 5．设b a b a b a +=+∈则,62,,2

2R 的最小值是（ ）

A ．22-

B ．3

3

5- C ．－3 D ．27-

【答案】C 【解析】令)(sin 3,cos 6R b a ∈==ααα，

则))(sin(3sin 3cos 6R b a ∈++=+=

+ϕαϕααα，于是其最小值为3-.

6. 在ABC ∆中，CD BC AC ,>是AB 边上的高，求证：BCD ACD ∠>∠.

证明：在ABC ∆中，BC AC BC AC >>, ， ①

BD AD >∴ ② 于是BCD ACD ∠>∠ ③ 则在上面证明的过程中错误的序号是（ ）

A.①

B.②

C.③

D. ①③ 【答案】C

【解析】①②都正确，而对于③中的结论BCD ACD ∠>∠，只有在同一三角形中才有大边对大角的结论成立.

7．)1,2(),2,1(-== 012)2(1=⨯+-⨯=⋅∴ ⊥

大前提：________________________; 小前提：________________________; 结论：________________________.

【答案】⊥⇒=⋅0; 012)2(1=⨯+-⨯=⋅; ⊥.

【解析】结合题目已知的证明过程，答案易知.

8.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则直线EF 与平面ABD 的关系是_______________________. 【答案】//EF 面ABD

【解析】连接BD ，因为F E ,分别为CD BC ,的中点，所以 EF ∥BD.又因为⊄EF 面ABD ，

⊂BD 面ABD ，故//EF 面ABD .

9.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 0

90<.

【证明】222cos 2a c b B ac +-=≥222ac b ac -=212b ac -=211()b b

b a

c a c -=-

++ ,,a b c 为△ABC 三边，a c ∴+b >，1b

a c

∴-

+0>cos B ∴0> ∴B 090<. 10. 若数列{}n a 的前n 项和为2

)

(1n n a a n s +=

，求证：数列{}n a 为等差数列。