1-2-3-2数学证明导学案

第三章推理与证明
§2数学证明
基础自主预习
1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提------一般性道理；
②小前提------研究对象的特殊情况；
③结论------由大前提和小前提作出的判断
3.“三段论”可以表示为：
①大前提：M是P②小前提：S是M③结论：S是P
用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素都具有性质P.
4.在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来
练习：一切无理数都不能写成分数的形式，2是无理数，所以2不能写成分数的形式，其演绎推理的“三段论”形式为：__________________________________________.
【答案】
大前提：一切无理数都不能写成分数的形式
小前提：2是无理数
结论：所以2不能写成分数的形式
1.下列说法正确的个数有（ ）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②三段论推理的常用规则有假言推理、三段论推理、关系推理、归纳推理；③演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提有关. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C
【解析】由演绎推理的相关概念知①③正确.
2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
【答案】C
【解析】大前提与小前提都是正确的，但整数就是那些不是真分数的有理数，故不能推出结论来.
3. 设,,(,0),a b c ∈-∞则111
,,a b c b c a
+++（
） A.都不大于2- B.都不小于2-
C.至少有一个不大于2-
D.至少有一个不小于2-
【答案】D
【解析】因为61
11-≤+++++
a
c c b b a 所以111
,,a b c b c a
+++中至少有一个不大于2-.
4.已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2
，则y x ,的大小关系是_________
【答案】x y <
【解析】2
2
22()2a b y a b x +==+=
>=
5.已知ABC ∆中，
45,30=∠=∠B A ，求证b a <.
证明：B A B A ∠<∠∴=∠=∠,45,30
b a <∴
此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是. 【答案】b a B A <⇒∠<∠.
【解析】三角形中”大边对大角，小边对小角”的一个结论.
智能提升作业
1.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这
是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 【答案】A
【解析】大前提为“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线”，而此结论是不成立的，应是平行于平面内无数条直线才对. 2．函数]2
,0[)44sin(3)(π
π
在+
=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值
C ．只有最大值或只有最小值
D ．既有最大值又有最小值 【答案】C
【解析】正弦函数在闭区间内有最值，]2
,0[)44sin(3)(π
π
在+
=x x f 内的最小值与最大值分别是0与
2
2
3. 3.在ABC ∆中，F E ,分别为AC AB ,的中点，则有BC EF //，此问题的大前提为（ ） A.三角形中的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半
C.EF 为中位线
D. BC EF // 【答案】A 【解析】此问题的大前提便是三角形中位线的性质结论，即三角形中的中位线平行于第三边. B 选项中的结论在这没用到，C 选项中EF 为中位线即转述F E ,分别为AC AB ,的中点，此为该题的小前提，而D 选项BC EF //是结论，故B 、C 、D 错，A 正确. 4. 函数x
y 1=
在点4=x 处的导数是 ( )
A ．
81 B ．81- C ．161 D ．16
1
- 【答案】D 【解析】函数x
y 1=
的导函数是3121x
y -
='，当4=x 时，161
-='y . 5．设b a b a b a +=+∈则,62,,2
2R 的最小值是（ ）
A ．22-
B ．3
3
5- C ．－3 D ．27-
【答案】C 【解析】令)(sin 3,cos 6R b a ∈==ααα，
则))(sin(3sin 3cos 6R b a ∈++=+=
+ϕαϕααα，于是其最小值为3-.
6. 在ABC ∆中，CD BC AC ,>是AB 边上的高，求证：BCD ACD ∠>∠.
证明：在ABC ∆中，BC AC BC AC >>, ， ①
BD AD >∴ ② 于是BCD ACD ∠>∠ ③ 则在上面证明的过程中错误的序号是（ ）
A.①
B.②
C.③
D. ①③ 【答案】C
【解析】①②都正确，而对于③中的结论BCD ACD ∠>∠，只有在同一三角形中才有大边对大角的结论成立.
7．)1,2(),2,1(-== 012)2(1=⨯+-⨯=⋅∴ ⊥
大前提：________________________; 小前提：________________________; 结论：________________________.
【答案】⊥⇒=⋅0; 012)2(1=⨯+-⨯=⋅; ⊥.
【解析】结合题目已知的证明过程，答案易知.
8.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则直线EF 与平面ABD 的关系是_______________________. 【答案】//EF 面ABD
【解析】连接BD ，因为F E ,分别为CD BC ,的中点，所以 EF ∥BD.又因为⊄EF 面ABD ，
⊂BD 面ABD ，故//EF 面ABD .
9.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 0
90<.
【证明】222cos 2a c b B ac +-=≥222ac b ac -=212b ac -=211()b b
b a
c a c -=-
++ ,,a b c 为△ABC 三边，a c ∴+b >，1b
a c
∴-
+0>cos B ∴0> ∴B 090<. 10. 若数列{}n a 的前n 项和为2
)
(1n n a a n s +=
，求证：数列{}n a 为等差数列。

【证明】由2
1
2))(1(2)(1111111--=
--⇒+--+=
⇒-=---n n a a a a a a n a a n a s s a n n n n n n n n 因此2
1
2312)()(1211113141213121--⋅
⋅⋅-=--⋅⋅--⋅--⋅
-=--n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n
故数列{}n a 为等差数列
教学参考
本节主要学习了推理的另外一种形式，演绎推理.为今后证明问题明确了思路，在学会
了演绎推理的“三段论”证明方法中更清晰的体会严谨的证题思路，所以要使学生准确掌握，以利于能熟练证明问题. 一、教学内容分析
使学生在学习了合情推理的两种方式后，又学到了一种能确定真假的推理方式，因为“三段论”中的大、小前提及推理形式都正确的前提下，得到的结论也一定是正确的，若大、小前提及推理形式有一者出错，则结论就是错误的.掌握好演绎推理的形式能帮助学生提高证题的正确性.
二、教学重点难点
教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理 教学难点：熟练运用“三段论”进行简单的推理 三、教学建议
演绎推理是我们平时证明问题时的常用方法，只是我们常把大前提省略，忽略了“三段论”的基本形式，为此，学生在证明问题时需注重形式与严密的推理相结合.
1.“三段论”的形式化：
演绎推理的“三段论”模式：大前提是指已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论便是根据一般原理，对特殊情况做出的判断，演绎推理虽入口浅，但寓意深.学生对演绎推理并不陌生，数学证明主要通过演绎推理来进行，但要推出正确的结论，还需推理过程的严谨性.
2.推理的严谨性：
为了让学生充分掌握演绎推理的方式，以区别于前面学习的合情推理，必须给学生的 学习活动提供足够大的空间，有利于学生主动参与，充分利用学生已有的生活经验和数学活动经验，提供适当的知识生长点,利用典型案例，唤起学生的经验，为学生的建构活动提供了素材，将一些简单的问题用“三段论”形式来阐述,突出数学本质，适度形式化, 结构上注重整体贯通，突出数学文化价值，提高学生素养.
针对以上两点的教学，一定要严格实施，使学生在推理证明问题上又迈向了一个新的台阶.
1
21121))(1(a a a a a a n a a n n n -=-⇒--+=⇒-。