静力学

4静力学简括

4.1静力学起源与发展

静力学一词是法国数学、力学家皮埃尔·伐里农于1725年引入的,从公元前三世纪开始，到公元16世纪伽利略奠定动力学基础为止。

阿基米德是使静力学成为一门真正科学的奠基者。在他的关于平面图形的平衡和重心的著作中，创立了杠杆理论，并且奠定了静力学的主要原理。

图解静力学（Graphic statics），静力学中用作图方式求解问题的一种方法。所得结果的精确度虽不如数解法，但能迅速得出一目了然的答案，在一般工程结构的设计中也常采用。分析静力学是意大利数学家、力学家J．L．拉格朗日提出来的，他在大型著作《分析力学》中，根据虚位移原理①，用严格的分析方法叙述了整个力学理论。

注： 虚位移原理是假设极小段位移方法，以动力学方法研究静力学问题的一种有效方法。

4.2静力学的公理及相关推论

在欧几里得以《几何原理》一书近乎完美的勾勒出几何的辉煌蓝图同时，公理化的研究方法也随之流传并成为众多学科的基础方法。而静力学也有着它至关重要的五个公理，你可能见过其中的几个，但也许并没有意识它们的关联以及重要地位，现在我们如果想要攀登静力学这座金字塔，我们不妨先考察一下支撑这座宏伟建筑的基石。

公理一:力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可合成一个合力，合力的作用点仍在该点，其大小和方向由以此两力为边构成的平行四边形的对角线确定，即合力等于分力的矢量和。合力的大小和方向也可通过力三角形法得到。即自任一点O以和为两边作力三角形，第三边即所求。

此公理给出了力系简化的基本方法。

平行四边形法则是力的合成法则，也是力的分解法则。

公理二:二力平衡公理

作用在物体上的两个力，使物体平衡的必要和充分条件是：两个力的大小相等，方向相反，作用线沿同一直线。

此公理揭示了最简单的力系平衡条件。

只在两力作用下平衡的刚体称为二力体或二力构件。当构件为直杆时称为二力杆。

公理三:加减平衡力系公理

在已知力系上加或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

此公理是研究力系等效的重要依据。

由此公理可导出下列推理：

推理1力的可传性作用在刚体上某点的力，可沿其作用线移动，而不改变它对刚体的作用。由此可知，力对刚体的作用决定于：力的大小、方向和作用线。在此，力是有固定作用线的滑动矢量。

证明：在刚体上的的点A的作用力F，如图（a）所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，并加上两个相互平衡的力F1和F2，使F2=F=-F1,如图（b）所示。而F与F1也是一个平衡力系，可以除去。这样只剩下一个力F2,如图（c）。即原来的力F 沿其作用线平移到了点B.

推理2三力平衡汇交定理当刚体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力的作用线必汇交于一点。(此结论大家可自行证明)

公理四:牛顿第三定律

两物体间的相互作用力，大小相等，方向相反，作用线沿同一直线。

此公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力与反作用力成对出现，并分别作用在不同的物体上。

公理五:刚化公理

变形体在某一力系作用下处于平衡时，如将其刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

此公理提供了将变形体看作刚体的条件。将平衡的绳索刚化为刚性杆，其平衡状态不变。

这个公理提供了把变形体看成刚体模型的条件。如图所示，，绳索在一对平衡的拉力作用下处于平衡，如果将绳索化为刚体，其平衡状态保持不变。反之就不一定成立。如刚体在一对平衡压力下平衡。若将它变为绳索就不能保持平衡。

由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件而非充要条件。在刚体静力学的基础上，可进一步研究变形体的平衡问题。

静力学全部理论都可以由上述五个公理推正而得到，这既能保证理论体系的完整和严密性，又可以培养读者的逻辑思维能力。

4.3平面力系平衡

通过高中学习我们知道，运动的形式有两种：平动与转动。而且，由牛顿第二定律可知，作用于物体上的合外力使物体产生平动的加速度，同时物体合外力为零时，物体将不会发生平动的运动形式的改变。那么，是什么作用的影响，使物体产生转动的加速度？而物体若要真正保持静止，又要满足什么的条件？

想要解答以上问题，我们需要先了解一下相关概念。

4.3.i力矩与力偶

力矩(torque)：位矢(L)和力（F）的叉乘(M)。物理学上指使物体转动的力乘以到转轴的距离。

即：M=LxF。其中L是从着力点到转动轴的距离矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。

力矩的量纲是力×距离；与能量的量纲相同。但是力矩通常用牛顿-米，而不是用焦耳作为单位。力矩的单位由力和力臂的单位决定。

力对刚体的转动效应是用力对点的力矩来衡量，其绝对值大小等于力与力臂的乘积，力使物体绕矩心逆时针转动为正，顺时针为负，是一个代数量，其计算按照代数运算法则。

力矩性质：1.力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之不同；

2.当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；

3.力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。

4.相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

力偶：一般，将作用于同一刚体上的大小相等，方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶，力偶为矢量，力偶是一种只有合转矩（所有转矩的总合），没有合力的力系统。力偶的国际单位制是牛顿*米。

力偶性质：性质1：力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。

性质2:力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。

性质3 :在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。称为力偶的等效条件。

一些力作用于同一事物,这些力就称为一个力系了，当然一个力也可以称为力系。刚体所受力的作用线分布在同一平面内，且各力作用线汇交与一点的力系称为平面力系。下面我们来一同研究一下平面力系总的平衡问题。

4.3.1平面汇交力系（共点力平衡）

各力作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系.平面汇交力系是最简单、最基本的力系.理论力学中平面汇交力系的解题方法有两种:一种是几何法,另一种是解析法

几何法：力系合成多边形法则

作首尾相接的力多边形;从第一个力的起点到最后一个力的终点作力多边形的封闭边。力系按力多边形法则合成的方法称为力系合成的几何法。平面汇交力系的合成结果是一个合力,合力的作用线通过汇交点,合力的大小和方向由力多边形的封闭边表示,即等于各分力的矢量和。

力系平衡的充要条件：力系的力多边形自行封闭（自行封闭力多边形所得各力的指向是实际指向）。

解析法

力在坐标轴上的投影是代数量.已知力的投影,可求得力的大小和方向.力在两个直角坐标轴上的投影与沿两个坐标轴的分力的关系。分别令∑Fx=0；∑Fy=0；∑M=0.一个力在相互平行且同向的轴上的投影相等.将一个力矢平行移动,此力在同一轴上的投影值不变.计算力的投影时,常用锐角进行计算,再冠以正负号.

4.3.2平面力偶系

作用在刚体上的两个或两个以上的力偶组成力偶系。若力偶系中各力偶都位于同一平面内，则为平面力偶系。