解斜三角形-教师

解斜三角形

【知识精要】

1. 正弦定理：正弦定理：R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，其中R 是三角形外接圆半径。

2. 余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=,bc

a c

b A 2cos 2

22-+=.

3.B ac A bc C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===

∆,Sr c S b S a S S S =---=∆))()(((2

c

b a S ++=

,r 为内切圆半径）=R abc 4 （R 为外接圆半径）。

4. 在三角形中大边对大角，反之亦然.。

5. 三角形内角的诱导公式：

(1)C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,)tan(tan B A C +-=, 2sin

2cos

B A

C +=,2

cos 2sin B

A C += 在ABC ∆中，熟记并会证明A C

B A tan tan tan tan =++

C B tan tan ⋅⋅； (2) A 、B 、C 成等差数列的充要条件是 60=B ；

(3)ABC ∆是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列

6.解三角形常见的四种类型

(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及

C

c

B b A a sin sin sin =

=，可求出角C ，再求出b 、c .

(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由A bc c b a cos 2222-+=，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .

(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .

(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理

B b

A a sin sin =

，求出另一边b 的对角B ，由)(B A C +-=π，求出c ，再由C

c

A a sin sin =

求出C ，而通过B

b

A a sin sin =

求B 时，可能出一解，两解或无解的情况。

【例题讲解】

例1在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若三角形的面积

)(41

222c b a S -+=,则C ∠的度数是________.

解析：45°

2

)2sin()sin(cos sin π

π=⇒+=+⇒=A B C A B C

例2已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=5

3

，sin （A －B ）=5

1 （1）求证：B A tan 2tan =；

（2）设AB =3，求AB 边上的高。 解析：（1）拆开即证

（2）锐角三角形，得出62tan 2tan )tan(+==⇒+B A B A 设高为CD ，则AB=AD+DB 62tan tan +=⇒+=CD B

CD

A CD

例3（2015河北）已知a ，b ，c 分别是∆ABC 内角A ，B ，C 的对边，

C A B sin sin 2sin 2=

（1）若a=b ，求B cos ;

（2）设B=90°，且a=2求∆ABC 的面积。

解析：（1）余弦定理：8

1

cos =B （2）a=c ，S=1

例4 （2015安徽）在∆ABC 中，4

3π

=∠A ，6=AB ,23=AC ，点D 在边BC 上，AD=BD ，求AD 的长。 解析：

10

cos 10103cos 1010sin 10

3==⇒==⇒=⇒B AE

AD B B BC ，正弦定理余弦定理

例5在ABC ∆中，22=c ,b a >,4

π

=∠C ,且有6tan tan =⋅B A ,试求a 、b 以及此

三角形的面积.

解析：524

5

8,101252sin ,103sin 2

tan ,3tan 5tan tan 1tan )tan(=

⇒==⇒====⇒=+⇒-=-=+S b a B A B A B A C B A

例6（2015黑龙江）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍， （1）求

C

B

sin sin （2）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长。

解析：（1）

2

1

（2）BD=2，AC=1 角平分线得：AB=2AC ，根据角相等用余弦定理，得出AC=1

例7 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米） 解析： 法一：连接OC

法二：连接AC,从O 点作垂线，得出AC ，CAD ∠cos ， 利用直角三角形HAO ，得出OA=445m 。

A O

D

B

C