二阶电路的时域分析

§10-2 二阶电路的零状态响应和全响应
10.2.1 二阶电路的零状态响应
§10-2 二阶电路的零状态响应和全响应
10.2.2 二阶电路的全响应
在二阶动态电路中，既有激励电源储能元件又有初始储能，则此时电
路的响应就是全响应。 对 R 2 L 于的过阻尼情况：
C
uC (0 ) U S A1 A2 U 0 i(0 ) C[ A1 p1 A2 p2 ] 0
令 di 0，得 dt
p1e p1t p2e p2t 0
ln p2
t1
p1 p1 p2
t
=
t1是
i
的极值点，也是uC波形的转折点，因为
d 2uC dt 2
tt1 0 。
可求得 uL达到最大值的时刻 t2 为
2 ln p2
t2
p1 p1 p2
2t1
§10-1 二阶电路的零输入响应
当 ( R )2 1 ，即 R 2 L 时，此时的过度过程为临界阻尼情况，
,A
U0
0 d
uC
(t )
U0
0 d
e t
sin(d t
)
i(t) =
U0 Lωd
e
δt sin(ωdt + π)
uL (t) = U0
ω0 ωd
e
δt
s in(ωd t
θ)
§10-2 二阶电路的零状态响应和全响应
10.2.1 二阶电路的零状态响应
如图10-5所示 RLC 串联电路，当 t=0 时，开关 S 闭合，求零状态响应。 当t > 0时，列写回路的KVL方程图
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
Us
初值
uC (0 ) uC (0 ) 0
i(0 ) i(0 ) 0
方程的特解即为稳态解
uCp (t) U S
§10-2 二阶电路的零状态响应和全响应
10.2.1 二阶电路的零状态响应 按照特征方程的根的不同情况，方程的通解即暂态解也分为三种情况：
uC
0
即
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
0
§10-1 二阶电路的零输入响应
线性常系数二阶齐次微分方程。 根据换路定则
uC (0 ) uC (0 ) U 0 ,i(0 ) i(0 ) 0
特征方程为
特征根为
p2 R p 1 0 L LC
p1
R 2L
( R )2 1 2L LC
uL (t)
L
di dt
LCU 0 p1 p2 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
i(t)
U0
(e p1t e p2t )
L( p2 p1 )
uL (t)
U0 p2
p1
(
p1e
p1t
p2e p2t )
§10-1 二阶电路的零输入响应
在放电过程中，| i |必然经历由小到大然后趋于零的过程，其中在时t = t1， | i |达到最大值。
解得 因此
i(0 ) C( A3 p A4 ) 0
A3 U 0
A4 U 0 p
uC (t) U 0 (1 pt)e pt
i(t) U 0 te pt L
uL
(t)
L
di dt
U 0 (1
pt)e pt
§10-1 二阶电路的零输入响应
当 ( R )2 1 ，即 R 2 L 时，过度过程为周期性振荡情况，也称为
目录
§ 10-1 二阶电路的零输入相应 § 10-2 二阶电路的零状态相应和全响应 § 10-3 二阶电路的冲击相应
§10-1 二阶电路的零输入响应
选取各电压、电流的参考方向。开关S闭合后，根据基尔霍夫电压定律 列写描述电路的微分方程
Ri L di dt
uC
0
RC
duC dt
LC
d 2uC dt 2
电流
i(t) C duC dt
CAet [ sin(d t ) d cos(d t )]
§10-1 二阶电路的零输入响应
由初值确定积分常数 A、θ ，t =0+时刻的值得
uC (0 ) Asin U 0
联立求解得 于是
i(0 ) CA[ sin d cos ] 0
arctan d
2L LC
C
欠阻尼情况。此时特征方程有两个实部为负的共轭复根。令 R 为衰减
2L
系数，0
1 LC
为谐振角频率，d 02 2 为振荡角频率，则特征根为
p1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
j
02 2
jd
电容电压uC(t)的一般形式为
uC (t) Ae t sin(d t )
联立求解以上两个方程得
A1
p2U 0 p2 p1
或
A2
p2U0 p2 p1
§10-1 二阶电路的零输入响应
电容的电压： 电容的电流： 电感的电压： 于是
uC (t)
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i(t) CU 0 p1 p2 (e p1t e p2t ) p2 p1
A1
p2 (U 0 p1
US p2
)
A2
p1 (U 0 U S ) p1 p2
uC (t)
US
p2 (U 0 U S ) e p1t p1 p2
p1 (U 0 U S ) e p2t p1 p2
§10-3 二阶电路的冲激响应
冲激响应 (impulse response) 的概念在一阶电路中已介绍过，现在研 究二阶电路的冲激响应。冲激激励δ( t )的作用是使储能元件在0-到0+无限 短的时间里建立起初始状态，然后电路依靠储能元件的初始储能产生零 输入响应。与一阶电路一样，求二阶电路冲激响应的关键是求储能元件 换路后瞬间的初始值。
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC
§10-1 二阶电路的零输入响应
当 ( R )2 1 ，即 R 2 L 时，称为阻尼情况。
2L LC
C
uC (t) A1e p1t A2e p2t
流过Βιβλιοθήκη Baidu容的电流
i(t) C duC dt
CA1 p1e p1t
CA2 p2e p2t
uC (0 ) A1 A2 , i(0 ) CA1 p1 CA2 p2
2L LC
C
在这种情况下特征方程有两个相等的负实根。
p1
p2
R 2L
p
电容电压uC( t )的一般形式为
uC (t) A3 A4t)e pt
电流
i(t) C duC dt
C[(A3 A4t) p A4 ]e pt
§10-1 二阶电路的零输入响应
根据初始条件来确定积分常数A3 、 A4
uC (0 ) A3 U 0