关于切线的分析

对于曲线切线的分析
湖北李捷
曲线的切线是反映切点处曲线局部特征的重要直线，在教学中我们常常发现，由于学生受圆的切线的概念的影响。

对曲线的切线概念理解往往存在偏差，另一方面，一般教材对曲线的可导处的切线都有介绍，但是对于不可导点处的切线，一般都较少涉及，因此对曲线切线的理解往往发生遗漏。

本文就切线的定义以及切线的理解进行了简单的介绍，以便帮助学生更好的理解和把握切线的概念，准确分析曲线的切线。

一。

切线的定义
切线第一次出现平面几何有关圆的知识的部分，初中把切线定义
为“与曲线只有一个交点的直线”。

这个定义在初中阶段是恰当的，但是也给高中阶段进一步学习曲线的切线带来了一定的错误影响。

下面给出曲线的切线的定义：
给定曲线，点M,N为曲线上的两点，MN为曲线的割线，当N沿曲线趋于M时，割线MN的极限位置MT称为曲线在点M处的切线。

由切线的定义我们看出，曲线在点处的切线只与曲线在该点的小领域内的形态有关。

曲线的切线定义是圆的切线的定义的推广，圆的切线只是曲线的切线的一个特例。

一般曲线切线的所有结论包括性质、求法等，对圆的切线都适用，但圆的切线结论对一般曲线的切线并不成立。

二。

关于切线的理解
高中阶段，课本中已经明确了这个概念，但现阶段要同学们掌握切线的内涵是有一定难度的。

下面我们通过几个简单的例子来说明在理解曲线的切线时，同学们容易出现的几个问题。

首先，同学们容易通过直线与曲线的交点的个数来判断切线，对这种错误认识，我们可以通过下面的例子来说明。

例1 在点处的切线。

我们知道此时曲线在处的切线不存在。

但是我们可以找到很多条过（0，0）点且与曲线只有一个交点的直线。

例2 在点处的切线。

此时曲线的切线存在。

通过上面的例子，我们容易知道直线是曲线在处的切线；同时（y轴）也是与曲线有一个交点，但它显然不是切线。

通过这个例子可以说明初中关于圆的切线的定义是不能向一般曲线上推广。

例3 在（，1）点处的切线。

此时曲线的切线是存在的。

但是，从函数图象上，我们可以知道此
时切线和曲线有无数个交点。

综合上述，我们知道只看曲线和切线的交点个数是无法判断直线和曲线相切的。

但我们可以说：曲线的切线存在时，存在该点的某个邻域内，曲线的切线只于曲线有一个交点。

其次，我们来分析曲线的切线和可导性之间的关系。

一般的，函数在某点的导数存在，则过该点的切线存在，切线斜率也存在。

反之，在某点的导数不存在，则过该点的切线可能存在，也可能不存在。

例4 在点处的切线。

此时（y轴）是曲线的切线。

同时我们还看出曲线并不是在切线的一侧。

导数不存在，但是曲线却存在切线，这是不是和我们定义切线是割线的极限位置矛盾了呢？事实上，导数是切线存在时的斜率，此时斜率是正无穷。

在高等数学中，有时极限是正无穷也看成极限是存在（不正常的），把无穷大看作一个点就可以了。

例5 在点处的切线。

此时，曲线的切线是不存在的。

因为曲线的切线的定义是割线的极限位置的直线。

对在处定义域并不是对称的，在小于0的部分函数没有定义。

在高等数学中，有单侧极限和导数的定义，但对于切线总是讲双侧极限。

综上所叙，曲线在点（）可导则曲线在（）处一定有切线，但反之不真。

即可导是曲线切线存在的充分但不必要条件。

我们可以通过直线与圆的相切关系。

然后随着研究曲线的形状的变化，我们引进割线的极限状态来定义曲线的切线。

在新的定义下，“切线与曲线的交点个数为1”的性质不再保持。

但是这一定义并不与圆的切线的定义相矛盾。