公开课空间向量的数量积运算

求证：l PA
证明：在直线l上取向量 a ,只要证 aPA0
a P O 0 , a O A 0
aPAa(POOA) aPOaOA
a P 0A ,即 l P A .
P O A a
l
例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
1)(a)b(ab)(结 合 律 )
2)abba(交 换 律 ） 3） a(bc)abac(分 配 律 ）
思考:下列命题成立吗?
①若abac ,则b c
②若 abk ,则 a
k b
③ (a b )c a (b c )
1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，
| b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝ __________， (a＋2b)·(a－b)＝__________.
可利用数量积解决立体几何中的以下问题： 1、求两直线所成角. 2、证明两直线垂直; 3、求两点之间的距离或线段长度;
作业
P98 A组 3 4 5 B组 1 2
课后练习：
A1
C1
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
若AB= 2 BB1,则AB1与C1B所成角
的大小为( B )
A
B1 C
A.6 0 B. 9 0 C. 1 0 5 D. 7 5
2）两个向量的数量积
已 知 空 间 两 个 向 量 a ,b ， 则 ab c o s a ,b 叫 做 向 量 a ,b 的 数 量 积 ， 记 作 ： a b ,即
a b ab c o s a ,b
注：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
③数量积的几何意义：
规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向 量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将 此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量 的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ a·a求解即可．
课堂小 结：
空间向量数量积：a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉
3.1.3空间向量的数量积运算
禄劝一中 林丽
问题探究
探究： 如图, m、n是平面内的两
条相交直线, 如果l m,l n
求证：l
l
m
n
复习：
1.空间向量的加减法运算
（1）向量的加法：
ab
b
a
平行四边形法则
ab
a
三角形法则
复习：
ab
（2）向量的减法:三角形法则 b
a
2. 相等向量：
方向 相同 且模相等 的向量称为相等向量
【例1】
如图，在空间四边形OABC中，OA＝ 8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的 余弦值．
[思路探索] 可先求向量O→A与B→C的夹角，再根据异面直线的
夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
解 因B→C＝A→C－A→B，
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
l
gl
m
m nng
例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l,m,n,g
上取非零向量 l,m,n,g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数( x , y ) ,使
gx m y n,lg x lm y ln ,l
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
即 OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
l m 0 ,l m 0 ,
gl
m
lg 0 ,即 l g .
m nng
l g , 即 l 垂 直 于 平 面 内 任 一 直 线 . l .
题型三 利用数量积求两点间的距离
【例4】如图所示，平行六面体ABCD－
A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝ 3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1 ＝60°，求AC1的长． [思路探索] 利用|A→C1|2＝A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 求解． 解 因为A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1，
所以A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 ＝A→B2＋A→D2＋A→A12＋2(A→B·A→D＋A→B·A→A1＋A→D·A→A1)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以〈A→B，A→D〉＝90°，〈A→B，A→A1〉＝〈A→D，A→A1〉＝60° 所以A→C12＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为A→C12＝|A→C1|2， 所以|A→C1|2＝23，|A→C1|＝ 23，即 AC1＝ 23.
3.共面向量的基本定理： 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量
a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，
使 p=xa+yb 。
复习：
4．平面向量的夹角：
如图，已知两量 个 a,b.在 非空 零间 向任O 取 ，一点
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向 a与b量 的夹角，
记作 a,b：
b
B
a
O
A
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
如图，已知两量 个 a,b.在 非空 零间 向任O 取 ，一 作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向 a与b量 的夹角 记作 a,b：
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？ 注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉
[解析] a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝6 3；
a2＝|a|2＝9
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2
＝9＋6 3－32
＝6 3－23.
2.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
题型一 利用数量积求夹角
a的模|a|与b在a上投影 | b | cos a,b 的乘积
3)空间向量的数量积性质:
对于非零向量 a , b，有：
(1) cos a, b a b （求角的依据） ab
(2) a b a b 0 （证明垂直的依据）
2
(3) a awenku.baidu.com a
（求向量的长度的依据)
4)空间向量的数量积满足的运算律
2 .
题型二 利用数量积证明垂直关系
【例2】 已知: 如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，AO 是 PA在
平面 内的射影， l ，且 l OA，
求证： l PA
分析：用向量来证明
P
两直线垂直，只需证
明两直线的方向向量
O A a
的数量积为零即可！
l
例2 已知: P O ,A O 为 射 影 ,l ,且 l O A
B
3.已知在平行六面体 A B C D A B C D 中，AB4,
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0 ,
求对角线 A C 的长。
D'
C'
|A C |85
A'
B'
D C
A
B