电磁场的边界条件
电磁场的边界条件
将⑧代入⑨，得： sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) rs sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 )
2n1 cos 1 ts n1 cos 1 n2 cos 2
对绝大多数物质， 1 2
所以得到方程：
E1 y z E1' y z E2 y z
z 0
⑥
代入边界条件，可得：
k1 cos 1 A1s k1' cos 1' A1' s k2 cos 2 A2 s
k1 k1' 整理得： cos 1 A1s cos 1' A1' s cos 2 A2 s k2 k2' k1 sin 2 将 代入上式，得： k2 sin 1
AB BC CD DA
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
E2t CD ( E2 n DF E1n FA) 0
E1t E2t 同理可得 H1t =H 2t
电磁场边界条件
（1）电场强度E 在分界面上的平行分量连续。
从右图可以看出， 对于s光：
Ex 0 E y ES Ez 0
根据几何关系，可知：
k x k sin 1 , k y 0, k z k cos 1
对于单色平面光波： E0 e E
i[t ( k x x k y y k z z )]
将上面的结论带 i[1t ( k sin 1 x k cos1 z )] E E0 e 入方程可得： 对于s光，可以分解为：
i ( k2 sin 2 x )
电磁场边界条件
假如 μ2=1000μ0, μ1=μ0 ，在这种情况下，当 θ2=87°时， θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应 强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁 磁材料表面垂直。
第五章 时 变 电 磁 场
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的 电磁波，已知其电场强度为
E ey E0 sin(
d
z ) cos(t kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
解：（1）磁场强度
E y E y H ex ez 0 z x t
H E 0 t
第五章 时 变 电 磁 场
B1t
1
B2t
2
注意：磁感应强度在分界面处，其切向 分量是不连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
2、 电场强度的边界条件
E dl E1 et l E2 et l 0
l
上式变为
( E1 E2 ) et 0
图 2 - 10 切向边界条件
故有
en ( E1 E2 ) 0 E1t E2t
电场强度的切向分量 在边界面上是连续的。
第五章 时 变 电 磁 场
3、磁感应强度B边界条件
图 3-17 B的边界条件
第五章 时 变 电 磁 场
设底面和顶面的面积均等于 ΔS。将积分形式的磁通连续性 原理( 即∮S B·dS=0) 应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度 h趋 于零， 得
tan1 1 tan 2 2
折射定理表明，电场线在分界面上通常要改变方向。
电磁场的媒质边界条件
ur ur
ÑS D d S V dV S SdS
r D1
Snr
r D2
Snr
S S
Dn1 S Dn2 S SS
4 电通密度的关系
nr
rr D1 D2
0S
• 两种媒质界面处，电通量密度的法向分量有条件连续。 •当媒质界面上没有自由电荷分布时，电通量密度的法向 分量有条件连续。 • 电场强度法向分量总是不连续的，除非两种介质的介 电常数相等。
Et1 Et2
电场强度的切向连续变化，而法向量不连续变化。
7 静电场位函数的边界条件
1
1
n
2
2
n
1 2
绝缘不导电介质
1
1
n
2
2
n
1 2
导电介质
p1
p2
lim
p1 p2
p2 p1
E
dl
lim
h0
E0
h
0
1.1 磁场的边界条件
uur
Ñl H
d
r l
s
ur (J
ur
ur D t
蜒L Er
r dl
V
B t
dV
,
rr
S J dS 0
nr
rr J2 J1
rr
0, J E
nr
rr E2 E1
0
2 c tg2 1 c tg1
电场强度的切向连续变化，而法向量不连续变化。
rr
ÑrL Er
dl r
0 r
E1 l E2 l 0,
Et1l Et2l 0
H2t H1t J l
在两种媒质界面处，磁场强度的切向分量是
电磁场边界条件
电磁场边界条件
电磁场边界条件是指电磁场的变化情况在物体的表面上的变化情况，它决定了电磁场的变化特性。
它是电磁场的基本规律，在物理学中有着重要的地位。
它的主要内容有：无磁性介质的电磁场边界条件，有磁性介质的电磁场边界条件和电磁辐射的边界条件。
无磁性介质的电磁场边界条件由电场强度和磁场强度的法向分量构成；有磁性介质的电磁场边界条件由电场强度和磁场强度的法向分量以及介质的磁导率构成；电磁辐射的边界条件由电磁辐射的波功率流密度和波向分量构成。
电磁场边界条件的求解是物理学中最重要的问题之一。
(完整版)电磁场的边界条件
电磁场的边界条件姓名：学号：专业：班级：提交日期：桑薇薇0990*******通信工程电工 1401 2016.5.28成绩：电磁场的边界条件1.引言2.边界条件分类3.边界条件的作用4.结束语5.参考文献1. 引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H 各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中， 总会遇到两种不同媒质的分界面 （例如： 空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等） ，边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。
2. 边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示的两种媒质的分界面， 第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1，1和1，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为2，2和 2 。
在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，图 3.9 电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示，其高h 为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧， 且底面积 S 非常小，可以认为在 S 上的电位vv v移矢量 D和面电荷密度S是均匀的。
n 1 n 2分别为上下底面的外法线单位矢量， ， 在柱形闭合面上应用电场的高斯定律? v vv v S v vSSD gdS n 1 gD 1 n 2 gD 2 SS故v v v vn 1gD 1 n 2 gD 2S(3.48a)vv vvv若规定 n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则 n 1 n ，n2n，式 (3.48a) 可写为v vvng(D 1D 2 )S(3.48b)或D1nD2nS(3.48c)式 (3.48 ) 称为电场法向分量的边界条件。
vvv 因为 DE ，所以式 (3.48) 可以用 E 的法向分量表示v v v v1n 1gE 12 n 2 gE 2S(3.49a)或1E 1n2 E 2nS(3.49b)若两种媒质均为理想介质时， 除非特意放置， 一般在分界面上不存在自由面电荷，即S，所以电场法向分量的边界条件变为D1nD2n(3.50a)或1E1n 2E2 n(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时， 导体内部电场为零，即E2，D2，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48) 变为v vn 1 gD 1 D 1nS(3.51a)或1E1ns(3.51b)2 、电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路 abcd ，如图 3.10 所示，该回路短边 h 为无限小量，其两个长边为l ，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。
电磁场的边界条件
磁感应强度B的边界条件
ÑS BgdS B1nS B2nS 0 1
n
B1
ΔS h
n•(B1-B2)=0
2
B2
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电位移矢量D的边界条件
n•(D1-D2)=ρS
小结
在不同媒质的分界面两侧，电场强度的切向分 量和磁感应强度的法向分量总是连续的；若分 界面上不存在面电流和面电荷，则磁场强度的 切向分量和电位移矢量的法向分量是连续的
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
一、边界条件的一般形式 磁场强度H的边界条件 1 2
ÑC H gdl H1gl H2 gl JS gNl
l (N n)l
n H1 h
H2 Δl
n×(H1-H2)=JS
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
电场强度E的边界条件
n×(E1-E2)=0
2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
二、理想导体表面上的边界条件
理想导体 E、D、B、H=0
n×H1=JS n×E1=0 n•B1=0 n•D1=ρS
n×(H1-H2)=JS n×(E1-E2)=0 n•(B1-B2)=0 n•(D1-D2)=ρS
6.6 时变电磁场的边界条件
9
例1：( z 0)的区域的媒质参数为 1 0, 1 0,1 0
( z 0)区域的媒质参数为 2 50, 2 200, 2 0
若媒质1中的电场强度为
ur r
E1 ex[60 cos(15108t 5z) 20 cos(15108t 5z)](V / m)
在z
uur H2
0处
(uH0ur,的t)切ereryy向33404分001量1007是7ccoo连ss(1(15续511的0088t，)t)AA/因/m3m为在分界面上（
z 0）不存在面电流。
12
例2：如图所示，1区的媒质参数为 1 50, 1 0,1 0
z 0 处，有
ur
r
E1(0,t) ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)]V / m
r
ex 80 cos(15108t)V / m
ur
r
E2 (0,t) ex A cos(15108t)V / m
10
在两种电介质分界面上,有
ur
媒质2中的电场强度为
ur E2
r ex
A cos(15108t
5z)(V
/
m)
uur
uur
（1）试求常数A的值；(2) 磁场强度H 1(z,t)和H 2 (z,t)
(3)
验证
uur
uur
H 1(z, t)和H 2 (z, t) 满足边界条件。
解：(1) 这是两种电介质（ 0）的分界面，在分界面
H1t H2t
rn u(rB1 urB2 ) 0
B1n B2n
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
电磁场问题边界条件及求解
即 en (D1 D2 ) S
同理 ，由 B dS 0 S
或 D1n D2n S en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
3
（2）电磁场量的切向边界条件
在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则由
C
H
dl
S
(
z ) sin(t
kx x)]
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
9
将上式对时间 t 积分，得
z
H (x, z,t)
H (x,z,t)
dt
ex
t πE0
0d
cos( π d
z) s
d
x
ez
kx E0
0
sin( π d
z) cos(t
kx x)
(A/m)
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
en
分界面上的电荷面密度
媒质1
媒质2
分界面上的电流面密度
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
5
1.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界
面上的边界条件
在两种理想介质分 界面上，通常没有电 荷和电流分布，即JS ＝0、ρS＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
D、B的法向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
界面上在的生分电突界解磁变面是场。两不矢为侧确量求介定满解质的足界的，的面本边关两征界系侧参条，电数件是磁发起在场生定不突解变的， 同媒质麦分克界问斯作面题韦用上必方，电须程才磁知组是场道的唯的电微一基磁分的本场形有属量式实性在则际。分失意界去义面意的义解，。
电磁场的边界条件
§8
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
E1 (0, t ) E2 (0, t )
得到
A 80 V/m
（2）由 E1 1 H1 ，有 t
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 ey [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z )] 0
x
E0 π π π [ex cos( z ) cos(t k x x) ez k x sin( z )sin(t k x x)] 0 d d d
§8
将上式对时间 t 积分，得 z H (x, z,t ) H (x, z,t ) dt t y en πE0 π ex cos( z ) sin(t k x x) O 0 d d
H 2 ( z, t ) ey
（3）z = 0 时
H1 (0, t ) ey ey
4 30
2 [2 107 cos(15 108 t ) 107 cos(15 108 t )] 0 3 4 30 107 cos(15 108 t ) A/m
1
H 2 (0, t ) ey
§8
§08
电磁场的边界条件
§8
2.7 电磁场的边界条件 • 什么是电磁场的边界条件?
媒质1
en
• 实际电磁场问题都是在一定的物理空 为什么要研究边界条件?
间内发生的，该空间中可能是由多种不同 物理：由于在分界面两侧介质的特性参 媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 • 如何讨论边界条件 ? 数发生突变，场在界面两侧也发 数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不 生突变。麦克斯韦方程组的微分 解是不确定的，边界条件起定解的 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒 同媒质分界面上电磁场的基本属性。 形式在分界面两侧失去意义，必 作用。 质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁 须采用边界条件。 场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
电磁场的边界条件
也可以表示为标量形式：
可见， 的切向分量在不同的媒质分界面上不连续， H 与分界面上的传导电流面密度有关。
②、E 的边界条件
en
(E1 E2 ) 0 E E 1t 2t
结论： E 切向连续。
③ D 的边界条件
1
dv
n
D2
D1 h 0
D dS
s
2
电磁场的边界条件
1 什么是边界条件？
2 为什么要研究边界条件？ 3 如何讨论边界条件？
在两种不同媒质的分界面上，场矢量E, D, B, H
各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。
在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不
同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、 导体与空气的分界面等），边界条件在处理电 磁场问题中占据着十分重要的地位。
或
B 1n B 2n D 1n D 2n
2.理想导体与介质的分界面，电导率 ， 假设I为介质，II为理想导体。 此时
E 2 0 , B 2 0, D 2 0, H 2 0
en en en en
H1 Js E1 0 B1 0 D 1 ρ s
dS )
由于
D t
有限，故 lim S
h 0
D t
dS 0
而 lim
h 0
J dS
s
h 0
lim
(J S )
h 0
lim
( J e p l h ) J s e p l
en ( H 1
H2) Js
H 1t H 2t J s
数
, ,
电磁场的边界条件一
2. 全电流定理
•电流概念的推广
凡是能产生磁场的物理量均称电流
1）传导电流 载流子定向运动
I0 Id
2）位移电流 变化的电场
•全电流 •全电流定理
I I0 Id
H dl I全
L i
12
•全电流 •全电流定理
I 0 J 0 dS
S
I I0 Id
四电磁场的边界条件物质分界面上电场磁场电流电场在分界面上的边界条件介质1介质2介质1一侧紧邻界面p点的p1点的场量介质2一侧紧邻界面p点的p2点的场量分界面上一点p的情况?法线分量的关系在界面两侧p2作底面平行界面的扁圆柱面介质2处底面积记作s介质1处记作s介质1介质2因为所以由介质方程有介质1介质2在界面两侧过p1介质介质介质1介质2因为所以由介质方程有介质1介质2磁场在物质分界面上的边界条件界面某点p两侧的磁场场量的关系由介质方程有介质1介质2有了场量边界关系可为解题带来方便过场点作狭长矩形回路由于由介质方程有介质1介质2例如
H dl Ii内
L i
S2
S1
L
i
i
H dl i
L
•若取以L为边界的曲面S1
I
i
i内
i得•若取以L为边界的源自面S2Iii内
0
得
H dl 0
L
6
•若取以L为边界的曲面S1 得 I i内 i
i
H dl i
J0 0
0 0
情况下
E
H
满足的微分 方程形式是 波动方程
对沿 x 方向传播的电磁场(波) 有
Ey
2
x
2
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
电磁场三类边界条件
电磁场三类边界条件电磁场三类边界条件电磁场的边界条件是指在介质边界处，电场和磁场的变化情况。
根据边界条件的不同，可以将其分为三类：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
下面将详细介绍这三类边界条件。
一、第一类边界条件第一类边界条件也称为零法向电场和零切向磁场边界条件。
它是指在介质表面上，法向于表面的电场强度和切向于表面的磁感应强度均为零。
1. 零法向电场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的电荷分布情况，因此会产生一个法向于表面方向的电场。
而当这个电场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——法向于表面方向上的电通量密度。
根据高斯定理可知，在任意一个闭合曲面内部，通过该曲面的总电通量等于该曲面所包围空间内部所有自由电荷之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合曲面。
则在该曲面上的电通量密度可以表示为：$$\vec{D_1}\cdot\vec{n}=\rho_s$$其中，$\vec{D_1}$表示介质1内部的电位移矢量，$\vec{n}$表示介质表面法向矢量，$\rho_s$表示表面自由电荷密度。
当我们将这个式子应用于介质表面时，可以得到：$$D_{1n}=\rho_s$$其中，$D_{1n}$表示介质1内部法向于表面方向上的电场强度。
由于介质表面上不存在自由电荷，因此$\rho_s=0$。
因此，在第一类边界条件下，法向于介质表面方向上的电场强度为零。
2. 零切向磁场在介质表面上，由于介质内部和外部存在不同的磁场分布情况，因此会产生一个切向于表面方向的磁感应强度。
而当这个磁场穿过介质表面时，就会发生反射和折射现象。
为了描述这种现象，我们需要引入一个重要的物理量——切向于表面方向上的磁通量密度。
根据安培环路定理可知，在任意一个闭合回路上，通过该回路的总磁通量等于该回路所包围空间内部所有电流之代数和。
因此，在介质表面附近，我们可以将其看作一个微小的闭合回路。
2.9 电磁场的边界条件
2.9 电磁场的边界条件自强●弘毅●求是●拓新实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发 生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状 态。
即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可 能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
边界条件： 即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可 以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的 约束条件。
边界条件是完整的表示需要导出界面两 侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。
由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界 面两侧也发生突变。
所以Maxwell方程组的微分形式 在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续 可微）。
而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分 形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界 面的扁平圆盘。
根据Gauss定理，让h→0，场在扁平 圆盘壁上的通量为零，得到： n ˆ ˆ D ds D ( n ) S D ( n S ) D 1 2 S 2 ( D2 n D1n )S s Sˆ s (D2 D1 ) n ˆ 0 (B 2 B1 ) nhr2D1 r1在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积 分公式： D H dl H l H ( l ) ( H H ) t l ( J ) ds 1 2 1 2 l S t t N n ( H 2 H1 ) t ( H 2 H1 ) ( N n ) ˆ J N ˆ ˆ (H H ) N n2 1 sˆ ( H 2 H1 ) J s nˆ ( E 2 E1 ) 0 nD 0 E P, B 0 H Mn ( P 2 P1 ) f n (M 2 M 1 ) J mˆ s (D 2 D1 ) nn ( H 2 H1 ) J s n (B 2 B1 ) 0 ( J f J m )n ( E2 E1 ) ( f p ) / 0①任何分界面上E的切向分量是连续的 ②在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时，D的法向分量不 连续，其差等于面电荷密度；否则，D的法向分量是连续的 ③在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在)，H的切 向分量 不连续 ，其差等于面电流密度；否则，H的切向分量是 连续的 ④任何分界面上B的法向分量是连续的理想介质理想介质是指 0，即无欧姆损耗的简单媒质。
3.6 电磁场的边界条件(二)
根据边界条件：B1n B2n
B1x B2x
B2 x 30
nˆ(H1
0 H
2x
BH22x
2
) JS 10
(aˆx)[6aˆx 8aˆy (H2xaˆx H2yaˆy H2zaˆz)] 4aˆz
在理想介质和理想介质边界： D1n D2n E1t E2t
B1n B2n H1t H2t
例7: 在两种媒质分界面处，1 50 ，2 30，面电流密度为
J S 4aˆz A/m 且 H1 6aˆx 8aˆy A/m。
求: B1, B2 与 H2 的分布。
B1n B2n
H1t H2t JS
J 1n
J 2n
S
t
J1t J2t
1 2
1 S 2 S
矢量形式
nˆ(D1 D2 ) S
nˆ(E1 E2) 0 nˆ(B1 B2) 0
nˆ(H1 H2 ) JS
nˆ
(
J
当： 2
tan1 1 =0 tan2 2
1 0
结论：在铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。
3. 矢量磁位的边界条件
矢量磁位在分界面处也应是连续的，即
A1 A2
S
S
H1t H2t JS
1
1
( A1 ) t
1
2
(A2 ) t
J S
1. 磁场法向分量的边界条件
在两种媒质分界面处做一小柱形闭合
面，如图 h 0
在该闭合面上应用磁场的高斯定律
S B dS n B1S n B2S 0
则： B1n B2n
该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。
第一章电磁场的媒质边界条件
D
LHdl
S
J
t
dS
S BdS 0
2 积分环路和通量曲面的选择
• 在两种媒质界面上，作一跨越界面的矩形闭合路径，
• 令此矩形路径长边与界面平行，其短边h→0,
n
2 , 2
Jl
h
1,1
l
l 0,h 0
LHdl SJD tdS
3 磁场强度的关系
H2lH1l Jl,l asn nH2asnH1asJlas
5 电力线折射定律
tan 1
E t1 E n1
1
E t1 D n1
n 2
E2
tan 2
E t2 E n2
2
E t2 D n2
S0
tan 1 1 tan 2 2
1
E1
n D 1D 2 0 1En12En2 1E1cos12E2cos2
nE1nE20 E1t E2t E1sin1E2sin2
Dt 2
Dn1 Dt1
S0,h~0
l 0,h 0 S 0 ,h0
S D d S V d V SS d S D 1 S n D 2 S n S S
D n 1 S D n 2 SS S
4 电通密度的关系
n D1 D2 0S
• 两种媒质界面处，电通量密度的法向分量有条件连续。 •当媒质界面上没有自由电荷分布时，电通量密度的法向 分量有条件连续。 • 电场强度法向分量总是不连续的，除非两种介质的介 电常数相等。
s ( J
D t
)d S
L
E
d
l
S
B t
d
S
D d S S
V ef d V
S B d S 0
第3讲 电磁场的边界条件
质相对介电常数应为多少？
【解】由边界条件，若 E3平行于x轴，则 E2也必平行于x轴。 在左侧圆柱面分界面上，由电场边界条件：
E1t E2t E1 E2 E2 3
D1n D2n 1E1 2E2 E2
要使合成波E2 平行于x轴，则必有
E1z
z0
D1z
1
z0
3 0 5 0
3 5
最后得到
3
E1 ( x,
y,0)
ex 2 y
ey
5x
ez
5
D1(x, y,0) ex100 y ey x ez 30
第三讲 电磁场的边界条件
【例4】在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电
场强度
E
ey E0
sin( π
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
en (E1 E2 ) 0
• 导体与电介质分界面
en (D1 D2 ) 0
• 场矢量的折射关系
tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
en E1 0
en D1 S
第三讲 电磁场的边界条件
理想导体表面上的电荷密度等于D的法向分量 磁感应强度平行于导体表面 电场强度垂直于理想导体表面 理想导体表面上的电流密度等于H的切向分量
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
1、静电场的边界条件
• 一般形式
en (E1 E2 ) 0
en (D1 D2 ) S
• 两种电介质分界面
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自强●弘毅●求是●拓新
实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发 生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状 态。
即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可 能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
边界条件：
即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可 以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的 约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两 侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。
由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界 面两侧也发生突变。所以Maxwell方程组的微分形式 在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续 可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分 形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件
把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界
面的扁平圆盘。根据Gauss定理，让h→0，场在扁平
圆盘壁上的通量为零，得到：
D ds D (nˆ)S D (nˆS)
S
1
2
(D2n D1n)S s S
(D2D1) nˆs
(B2 nˆ0
D2
h
n
r2
r1
D1
在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积
分公式：
l H dl
H
1
l
H
2
(l )
(Ht(H1NHH2n))ttl(HS(HJ )(NDt) nd)s
21
21
nˆ(H2H1) NˆJs Nˆ
nˆ(H2H1) Js
nˆ(E2 E1) 0
D 0 E P, B 0H M
n ( P2 P1 ) f
n (M 2 M 1) J m
(D2 D1) nˆ s
④任何分界面上B的法向分量是连续的
理想介质
理想介质是指 0，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质
的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0， s 0 。
理想导体①和理想介质②间的边界条件
理想导体内部电场和磁场都为零
n (H2 H1) J s
n( E2 E1 ) ( f p )/ 0
n
(B2
B1)
0 (J
f
J) m
①任何分界面上E的切向分量是连续的
②在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时，D的法向分量不 连续，其差等于面电荷密度；否则，D的法向分量是连续的
③在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在)，H的切 向分量不连续，其差等于面电流密度；否则，H的切向分量是 连续的