潍坊市2021届高三上学期期中考试 数学试题(含答案)
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
山东省潍坊市2021届高三上学期期中考试生物试题(含答案)
试卷类型：A2020. 11注意事项：1答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。
3请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案元效；在草稿纸、试题卷上答题元效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1细胞是绝大多数生物体结构和功能的基本单位。
下列说法错误的是A.除病毒外，所有的生物体都是由细胞构成的B.细胞的生长过程中都能进行遗传信息的表达c.原核细胞无线粒体和叶绿体，其DNA只位于拟核中D通过观察沙眼衣原体的细胞结构可断定其是原核生物2屠哟哟从黄花茜（中医药方中称为“青青”）中提取青苔素，荣膺2015年诺贝尔生理学或医学奖。
青苔素是治疗茫疾的特效药，是脂类性物质，易榕于有机溶剂，几乎不溶于水。
其抗疤疾作用机理主要是通过青苔素活化产生自由基，自由基与在原蛋白结合，从而对症原虫的细胞结构及其功能造成破坏。
下列相关叙述正确的是A.青苔素可以用无水乙醇、丙酬等物质进行提取B.青苔素在核糖体上合成，其合成受青苔素基因直接控制C青菌素可使症原虫生物膜系统的基本支架及染色质遭到破坏D青茜素以胞吞形式进人在原虫细胞，需要消耗A TP3阿胶是一种用驴皮制成的药材，药用及保健价值非常高，补血止血、补气效果都非常好。
李时珍在《本草纲目》中称之为“补血圣药”。
哪道元《水经注》云：东阿有井大如轮，深六七丈，岁常煮胶以贡天府者，故此得名。
另有史书记载：其井官禁，真胶极难得，货者多伪。
下列相关叙述正确的是A制作阿胶需专用东阿井水，可能是因东阿井水含有Zn、Fe、K等微量元素B.阿胶被称之为“补血圣药”，可能含有合成血红蛋白的必需氨基酸c.新鲜驴皮熬制后呈胶质状态，说明蛋白质是驴皮细胞的中含量最多的化合物D驴皮中脂肪含量较低，其储能物质主要是葡萄糖4.线粒体外膜的通透性很高与其含有孔蛋白有关，分子量小于5000Da的分子可以自由通过。
高三试卷数学-山东省日照市2024届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
参照秘密级管理★启用前试卷类型：A2021级高三上学期期中校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}31A x x =-<<，{}24B x x =-<≤，则7A B = （）A.{}32x x -<<-B.{}21x x -<<C.{}14x x << D.{}34x x -<≤2.已知复数z 满足()()2i 2i 5z +-=，则z 的共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.2i-+ D.2i--3.以点(),02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan y x= D.tan y x=4.在ABC △中，点M 是边AC 上靠近点A 的三等分点，点N 是BC 的中点，若MN xAB y AC =+，则x y +=（）A.1B.23C.23-D.-15.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A.-64B.-16C.164D.1167.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 为40米，宽AB 为20米，球门长PQ 为4米且AQ BP =.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得命中率最高，则BM 大约为（）A.8米B.9米C.10米D.11米8.已知正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，平面α截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为S ，周长为l ，则（）A.S 不为定值，l 为定值B.S 为定值，l 不为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试 数学试题(含解析)
试卷类型： A山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试高三数学2022. 11本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240,{|lg(1)|M x x N x y x =-==-…∣,则M N ⋃= A.(,2]-∞ B.(,2]-∞- C.[2,1)- D.(,2][2,)-∞-⋃+∞ 2.若命题“2[1,2],30x x a ∃∈-<”为假命题,则实数a 的取值范围是 A.(,4]-∞ B.[2,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,2)-∞3.设4,0,,sin ,cos()255παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭,则cos β=A. D. 4.为调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,学校决定采用随机数表法从高三800名学生中随机抽取80名进行调查,将800名学生进行编号,编号分别为001,002,,799,800.下面提供的是随机数表的第4行到第6行:32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从随机数表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据作为抽取学生的编号,则抽到的第5名学生的编号是 A.007 B.253 C.328 D.7365.在学习《数学探究活动:得到不可达两点之间的距离》时,小明所在的小组决定测量本校人工湖两侧$C,D$两点间的距离,除了观测点,C D 外,他们又选了两个观测点12,P P ,测得121221,,PPm PP D P PD αβ=∠=∠=,则利用已知观测数据和下面三组新观测角中的一组,就可以求出,C D 间的距离是①1DPC ∠和1DCP ∠;②12PP C ∠和12PCP ∠;③1PDC ∠和1DCP ∠. A.①和② B.①和③ C.②和③ D.①和②和③6.函数(1)y k x =-与ln y x =的图像有且只有一个公共点,则实数k 的取值范围为 A.1k = B.k e … C.1k =或0k … D.0k …或1k =或k e …7.对于函数()()f x x D ∈,若存在常数(0)T T >,使得对任意的x D ∈,都有()()f x T f x +…成立,我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.若函数()cos f x kx x =+是“3π同比不增函数",则实数k 的取值范围是 A.3,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.3,π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()1*132n n n a S n -⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N ,则下列结论正确的是A.23a a <B.68742a a a +=C.数列{}2nn a 是等比数列 D.13n S <…二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效,为加快推进各行各业复工复产,对当地进行连续11天调研,得到复工复产指数折线图(如图所示),下列说法错误．．的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B ．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D ．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量 10.已知0,0a b 厖,且1a b +=,则A.22a b +…B.221a b +…C.23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D.ln(1)a a +…的充要条件是1b = 11.佼波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,芠波那契数列被以下递推的方法定义:数列{}n a 满足:121a a ==,()*21n n n a a a n ++=+∈N.则下列结论正确的是A.813a =B.2023a 是奇数C.2222123202*********a a a a a a ++++= D.2022a 被4除的余数为012.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',对于任意实数x ,都有2()()xf x ef x -=,且满足22()()21x f x f x x e '-+=+-,则A.函数2()()F x e f x =为偶函数 B.(0)0f = C.不等式()x xxe f x e e +<的解集为(1,)+∞ D.若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ,则122x x a +> 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_______.14.设函数sin ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π>⎧=⎨+-⎩…,则53f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15.一个盒子中有4个白球,m 个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为59,则m =________. 16.在ABC 中,点D 是$BC$上的点,$AD$平分,BAC ABD ∠面积是ADC 面积的2倍,且AD AC λ=,则实数λ的取值范围为________；若ABC 的面积为1,当BC 最短时,λ=______.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 17.（10分)定义在(1,1)-上的函数()f x 和()g x ,满足()()0f x g x +-=,且1()log 2a xg x +=,其中1a >. (1)若122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,求()f x 的解析式;(2)若不等式()1f x >的解集为1,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求m a -的值. 18.(12分)在(1)(0)1f =,(2)函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭,(3)函数()f x 图像上相邻两个对称中心的距离为π,这三个条件中任选两个补充在下面问题中,并给出问题的解答.已知函数()2sin()02,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭,满足 (1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;(2)在锐角ABC 中,()2,f B b ==求ABC 周长的取值范围. 19．（12分）2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：参考数据:()()10102211600,768,80i i i i x x y y x==-=-==∑∑.（1）已知观看人次x 与销售量y 线性相关,且计算得相关系数16r =,求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+; (2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播,在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀,小于90(百件)为不优秀,对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主㨨中随机抽取3名,若用X 表示这3名主播赋分的和,求随机变量X 的分布列和数学期望.(附:()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑,相关系数()()niix x y y r --=∑20.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为512,35,8n S S a a =+=,记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . (1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)是否存在实数λ,使得211(1)n n T λ+--…恒成立?若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)为了解新研制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药,然后对每只白鼠的血液进行抽样化验,若检测样本结果呈阳性,则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,则白鼠末感染病毒.现随机抽取()*,2n n n ∈N …只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方案: 方案一:逐只检验,需要检验n 次;方案二:混合检验,将n 只白鼠的血液样本混合在一起检验,若检验结果为阴性,则n 只白鼣末感染病毒;若检验结果为阳性,则对这n 只白鼠的血液样本逐个检验,此时共需要检验1n +次.(1)若10n =,且只有两只白鼠感染病毒,采用方案一,求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿白业的概率; (2)已知每只白鼠咸染病暃的概率为(01)p p <<.①采用方案二,记检验次数为X ,求检验次数X 的数学期望;②若20n =,每次检验的费用相同,判斨哪种方案检验的费用更少?并说明理由. 22.(12分)已知函数1()ln f x x a x x=++,其中a ∈R . (1)求函数()f x 的最小值()h a ,并求()h a 的所有零点之和; (2)当1a =时,设()()g x f x x =-,数列{}()*n x n ∈N 满足1(0,1)x ∈,且()1n n xg x +=,证明:1322n n n x x x ++++>.高三数学试题参考答案及评分标准2022.11一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1—5 ACCAD 6—10 CBD二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．ABD10．AD11．BCD12．ABD三、填空题（每小题5分，共20分） 13．40142- 15．616．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）由题意知，()()2log 1a f x g x x=--=-， 又因为122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以log 42a =，即2a =． 所以函数()f x 的解析式是()22log 111y x x=-<<-． （2）由()1f x >，得21a x >-，由题意知10x ->，所以211x a-<<， 所以21131a m ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，即321a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12m a -=-． 18．解：（1）若选①②，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或()526k k πϕπ=+∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以432362k πππωπ+=+，()k ∈Z ， 所以312k ω=+，()k ∈Z ，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，若选①③，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或526k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π，所以2T π=，所以1ω=， 所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z若选②③，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π．所以2T π=，所以1ω=， 由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以431232k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z ，即26k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，（2）()2sin 26f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为锐角三角形，所以3B π=．因为b =2sin bB==，由正弦定理可得22sin 2sin 3a A C π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2sin c C =， 所以ABC △的周长22sin 2sin 2sin 2sin 36ABC L a b c A C C C C ππ⎛⎫⎫=++=++=-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎭△因为ABC △是锐角三角形，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以2,633C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 62C π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(36ABC L C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△， 所以ABC △周长的取值范围为(3+．19．解：（1）因为()()niix x y y r --=∑，所以()()1016iix x y y --=∑所以()()101660i i i x xy y =--=∑，所以()()()10110216601160010iii i i x x y y b x x==--===-∑∑， ()18087778310y =+++=118380510a y bx =-=-⨯=-，所以回归直线方程为11510y x =-． （2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1， 则随机变量X 的取值范围是{}3,4,5()33351310C P X C ===，()122335345C C P X C ===，()2123353510C C P X C ===， 所以X 的分布列为：所以()345105105E X =⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，首项为1a ，53535S a ==，解得37a =，12128a a a d +=+=，又因为3127a a d ++=，13a =，2d =所以()32121n a n n =+-=+()21122n n n S na d n n -=+=+． （2）证明：由（1）知22n S n n =+，所以()21111112222n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 所以11111111111111131121324112212122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=+--=-- ⎪ ⎪ ⎪-++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为n T 为递增数列，所以当1n =时，n T 取得最小值为131112211123⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，又因为0n >，所以34n T <，所以1334n T ≤<．当n 为奇数时，21n T λ-≤恒成立，即2113λ-≤，解得λ≤≤， 当n 为偶数时，21n T λ-≤-恒成立，即2314λ-≤-，解得1122λ-≤≤， 综上所述，实数λ的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 21．解：（1）根据题意恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率12811109845P =⨯⨯=， 恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率28211109845P =⨯⨯=， 所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=．（2）①设检验次数为X ，可能取得值为1，1n +．则()()11nP X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()()()111111n n nE X p n p n n p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦．②方案二的检验次数期望为()()()11n E X n n p =+--，所以()()20201201E X p -=-⨯-， 设()()201201g p p =-⨯-，因为011p <-<，所以()g p 单调递增， 由()0g p =得1p =01p <<()0g p <，则()20E X <， 当11p <<时，()0g p >，则()20E X >， 故当01p <<时，选择方案二检验费用少，当11p -<<时，选择方案一检验费用少，当1p = 22．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()221x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得210x ax +-=，解得1x =2x =（舍去），所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞单调递增，所以()()111min 11ln f x f x x a x x ==++，即()ln 2ah a a =，由1x 是方程210x ax +-=的根，则111a x x =-，所以()1111111ln h a x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，令()11ln H x x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，可知()1H H x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又因为()211ln H x x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，所以()H x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减． 而222130H e e e⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()120H =>，所以有且仅有唯一()00,1x ∈，使得()00H x =， 所以()011,x ∈+∞，有010H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以方程()0H x =有且仅有两个根0x ，01x ， 即1111111ln 0x x x x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭有且仅有两根0x ，01x ， 又因为()11110a x x x =->单调递减，所以()y h a =有两个零点设为1a ，2a （不妨设12a a <），则12000011101a a x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（2）由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x =-=+，因为()22111x g x x x x-'=-=， 令()0g x '>，得1x >，()0g x '<，得1x <．所以()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，则有()()11g x g ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x g x =>，()321x g x =>，…，()11n n x g x +=>．令()()1ln m x g x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x m x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()m x 在区间[)1,+∞单调递减，所以()()10m x m ≤=． 所以()21110n n n n x x g x x ++++-=-<，即21n n x x ++< 又因为函数()m x 单调递减，所以()()21n n m x m x ++>， 即22112111ln ln n n n n n n x x x x x x +++++++->+-，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．。
山东省潍坊市昌乐第一中学2024届高三上学期模拟预测数学试题(解析版)
高三数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()121,1,0,1z z ，则12z z 的虚部为（ ）A. 1B. i- C. iD. 1-【答案】D 【解析】【分析】求出复平面内12,z z 的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案．【详解】由题意得11i z =+，2i z =，所以()121i i 1i 1i i i·iz z ++===-，故D 正确.故选：D.2. “sin cos αα=”是“4πα=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos αα=求出α的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由sin cos αα=得tan 1α=，()4k k Z παπ∴=+∈，因此，“sin cos αα=”是“4πα=”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．3. 若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A. [6,)+∞ B. [9,)+∞ C. (]0,6 D. ()0,9【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解..【详解】由题意知,a b 为正数，且3ab a b =++，所以232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，化简得()()24120a b a b +-+-≥，解得6a b +≥，当且仅当3a b ==时取等号，所以[)6,a b +∈+∞，故A 正确.故选：A.4. 具有线性相关关系的变量,x y 的一组数据如下：x 0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为y bx a =+$$$，则回归直线经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限【答案】D 【解析】【分析】根据x ，y 呈正相关，得到0b> ，再由样本中心在第四象限判断.【详解】解：由图表中的数据知：x ，y 呈正相关，所以0b > ，又()()110123 1.5,5 4.5 4.2 3.5 4.344x y =+++==----=-，则样本中心为()1.5, 4.3-，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D5. 已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出．【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-．所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=．故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6. 在ABC 中，2AB AC AD += ，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+ ，则（ ）A. 2y x = B. 2y x=- C. 2x y= D. 2x y=-【答案】D 【解析】【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-，21,,233x y x y∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题7. 已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =，则（）A. 233231(log (2)(2)4g g g -->>B. 233231(log (2)(2)4g g g -->>C. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>D. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>【答案】B 【解析】【分析】先利用定义判断出()g x 为偶函数，0x >时单调递增，0x <时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函数值越大，即可比较大小．【详解】解：由奇函数()f x 是R 上增函数可得，当0x >时，()0f x >，又()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数，且当0x >时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0x <时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331(log )(log 4)4g g =，23(2)g g -=，32(2)g g -=，而3log 41>，23322012-->>>，即3log 43222->>，所以233231(log )(2)(2)4g g g -->>故选：B ．.8. 已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m == ,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为A. 12y x =±B. y x =C. y x=± D. y =【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出．【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m == 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =．故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）A. 1R,20x x -∀∈> B. ()2N ,10x x *∀∈->C. 00R,lg 1x x ∃∈< D. 00R,tan 2x x ∃∈=【答案】ACD 【解析】【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为()0,∞+，所以1R,20x x -∀∈>，A 选项正确；当1x =时，()210x -=，所以()2N ,10x x *∀∈->是假命题，B 选项错误；当01x =时，0lg 01x =<，所以00R,lg 1x x ∃∈<，C 选项正确；函数tan y x =值域为R ，所以00R,tan 2x x ∃∈=，D 选项正确.故选：ACD.10. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质（ ）A. 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线3π2x =-对称C. 在3ππ,88⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD 【解析】【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】由题意可得()ππsin 2sin 2cos 242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A 、C ：因为π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π20,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且()()()cos 2cos 2g x x x g x -=--=-=，得()g x 为偶函数，故A 正确，C 错误；对B ：由()cos 2g x x =-得其最大值为1，当3π2x =-时，()3πcos 3π12g ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，为最大值，所以3π2x =-为对称轴，故B 正确；对D ：周期2ππ2T ==，3π3π3πcos 2cos0442g ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：ABD.11. 已知m n 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是A. 若//,//m n αβ且//,αβ则//m n B. 若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC. 若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD. 若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β【答案】BC 【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α 或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误；故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A. 20192020S S <B. 2019202010S S -<C. 2020T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值【答案】A 【解析】【分析】根据11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，可判断数列{}n a 的01q <<，进而可知数列{}n a 是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解.【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，201920201a a >，则有20192020201920191a a a a q ⋅>=，有0q >，又由2019202011a a --＜0，即()()20192020110a a -<- ，必有202020191a a <<，01q << 由此分析选项：对于A ，2020201920200S S a -=> ，故20192020S S < ，A 正确；对于B ，等比数列{}n a 中，11a >，01q <<，则202120191S S >> ，则201920211S S > ，即2019202110S S -> ，B 错误；对于C ，202020191a a << ，则2019T 是数列{}n T 中的最大项，C 错误；对于D ，由C 的结论，D 错误；故选：A.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可.【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故2AB ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离1d ==.1a =⇒=故答案为：【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14. 已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】【分析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a +，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ．【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案3．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位：年)的衰变规律满足．573002(t N N N -=⋅表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)【答案】 ①.12②. 6876【解析】【分析】为把5730t =代入573002t N N -=⋅，即可求出；再令3573072t ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出t 的范围．【详解】∵573002tN N -=⋅，∴当5730t =时，100122N N N -=⋅=，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12，由题意可知：5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2t -->=≈-，6876t ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876．【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lg lg 3lg 775730lg 2lg 2t -->=，属于中档题.16. 已知四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，则四面体ABCD 的体积为_____【解析】【分析】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ，计算出AOC S ∆=B AOC V -，所求四面体的体积为它的2倍.【详解】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ， ∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，AO CO ===，∵AO CO O = ，∴BD ⊥平面AOC ，又OEAC ⊥，∴182AOC S ∆=⨯=，152232A BCD B AOC V V --==⨯⨯⨯=【点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算. 有时还需把复 这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】【分析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a C A c=由正弦定理得4sin 3cos A A =所以3tan 4A =，∴ABC ∆中，4cos 5A =．(2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+=解得3b =或5b =∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,N n n a S S n *+=-=∈．（1）证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（2）若n nn b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，12n n a -= （2）1242n n n T -+=-【解析】【分析】（1）根据121n n S S +-=可推出()1121n n S S ++=+，即得1121n n S S ++=+，即可证明{}1n S +为等比数列，由此可求得n S 表达式，继而求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）的结果可得n nn b a =的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.【小问1详解】的∵121n n S S +-= ∴()*1121,N n n S S n ++=+∈，∴1121n n S S ++=+，∴{}1n S +为等比数列；∵11a =，故{}1n S +的首项为112S +=，公比为2，∴12n n S +=，则21n n S =-，当2n ≥时，1121n n S --=-，则112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；【小问2详解】由（1）可得12n n n n n b a -==，则01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+，故121122222n nn T =++⋅⋅⋅+，两式相减得：0111111112221222222212n n n n n n n n n T --+=++⋅⋅⋅+-=-=--，故1242n n n T -+=-.19. 如图所示的多面体中，底面ABCD 为矩形，BE ⊥平面ABCD ，1CC ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，1//AF EC ，且AB =4，BC =2，13CC =，BE =1．（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求直线1CC 与平面1AEC F成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ.【解析】【分析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得F 点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；（Ⅱ）求出平面1AEC F 的一个法向量，由直线1CC 的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值．【详解】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A ，(0,4,0)C ，(2,4,1)E ，1(0,4,3)C ，设(0,0,)F z ．∵1AF EC ，由1AF EC ∥得(2,0,)(2,0,2)z λ-=-，解得2z =，∴(0,0,2)F ．∴(2,4,2)BF =-- ，于是||BF = ，即BF的长为．（Ⅱ）设1n u r 为平面1AEC F 的法向量，设1(,,)n x y z = ，由1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0402020x y z x y z ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩，即40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．又1(0,0,3)CC = ，设1CC 与1n u r 的夹角为α，则1111cos CC n CC n α⋅===⋅ ．所以，直线1CC 与平面1AEC F．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解．这是求空间角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便．20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.（1）设日收费为y （单位：元），每天需要用药的猪的数量为n N ∈，试写出两种方案中y 与n 的函数关系式.（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下22⨯列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.【解析】【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可；（2）根据22⨯列联表，代入公式计算2K ，比较临界值得出结论即可；（3）分别按不同方案计算总费用，比较大小即可求解.【详解】（1）方案一，402,y n n N =+∈，方案二，120,45,8240,45,n n N y n n n N≤∈⎧=⎨->∈⎩（2）22210(40206585)105105140.0210.8282585K ⨯⨯-⨯=⨯≈>⨯⨯，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）若采用方案一，则这100天的总费用为40×100+2×(42×20+44×40+46×20+48×10+50×10)=13000元，若采用方案二，则这100天的总费用为120×100+(46-45)×20×8+(48-45)×10×8+(50-45)×10×8=12800元，所以，从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数问题，独立性检验，频率分布直方图，属于中档题.21. 已知函数()()ln 0a f x x a a x=-+>．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数．【答案】（1）1a =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）由()0f x '=，求得x a =，分类讨论x a =与()1,e 的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数.【小问1详解】由题意得()()ln 0a f x x a a x=-+>定义域为(0,)+∞，()221a x a f x x x x'-=-=，因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =．所以()110f a '=-=，解得1a =．经检验1a =符合题意．【小问2详解】由（1）知()2x a f x x-'=，令()0f x '=，得x a =，当x a <时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，（i ）当01a <≤时，()1,e x ∈，()0f x ¢>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增．所以()()10f x f >=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1e a <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若e a x <<，则()0f x ¢>．函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),e a 上单调递增．且()10f =，则()(1)0f a f <<，而()e 1e a f a =-+．当()e 10ea f a =-+>，即e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()e 10ea f a =-+≤时，印当e e e 1a ≤<-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（iii ）当e a ≥时，()1,e x ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减．所以()()10f x f <=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点．综上：当01a <≤或e e 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；当e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点．【点睛】方法点睛：求解函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数时，利用导数可求得函数的极值点，因此要分类讨论极值点与所给区间的位置关系，再结合函数的单调性，即可求解得结论.22. 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“卫星圆”，若椭圆C ，点(在C 上.（1）求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l 、2l 使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l 、2l 分别交其“卫星圆”于点M 、N ，证明：弦长MN 为定值.【答案】（1）22184x y +=，2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出c e a ==22421a b +=，然后通过计算得出a 、b 的值以及椭圆方程，最后根据r =即可求出卫星圆的方程；（2）本题可先讨论1l 、2l 中有一条无斜率的情况，通过求出1l 与2l 的方程即可求出MN 的值，然后讨论1l 、2l 都有斜率的情况，设点()00,P x y 以及经过点P 且与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线1l 、2l 垂直，判断出此时线段MN 应为“卫星圆”的直径以及MN 的值，最后综合两种情况即可得出结果.【详解】（1）因为椭圆C，点(在C 上，所以22421c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a =2b =，椭圆方程为22184x y +=，因为r ==，圆心为原点O ，所以卫星圆方程为2212x y +=.（2）①当1l 、2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =x =-当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()或()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或=2y -，即2l 为2y =或=2y -，此时12l l ⊥，线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =②当1l 、2l 都有斜率时，设点()00,Px y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y=-+，联立方程()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，则()2220000648163280x t x y t y D=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---×===---，满足条件的两直线1l 、2l 垂直，此时线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =综合①②可知，MN为定值，MN =【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.的。
黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025届高三上学期期中考试数学试题(含答案)
黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025届高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i是虚数单位，复数2−i1+2i=( )A. −1B. 1C. −iD. i2.若数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)，则a6等于( )A. 10B. 11C. 12D. 133.已知函数为f(x)={ax2−a,x<0e x+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,0)B. [−1,0)C. [−1,+∞)D. (0,+∞)4.已知cos(52π−α)=2cos(2π+α)，且tan(α+β)=13，则tanβ的值为( )A. −7B. 7C. 1D. −15.已知数列{a n}为等比数列，a2+a4+a6=8,1a2+1a4+1a6=2，则a4=( )A. 22B. ±22C. 2D. ±26.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8=−22，S11=−110，则S n取最小值时，n的值为( )A. 15或16B. 13或14C. 16或17D. 14或157.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则▵ABC的面积S=14[(ab)2−(a2+b2−c22)2]，根据此公式，若ccos B+(b+3a)cos C=0，且c2−a2−b2=4，则▵ABC的面积为( )A. 2B. 22C. 6D. 238.已知函数f(x)={x ln x,x>0−x2−2x+1,x≤0函数g(x)=[f(x)]2−(a−1)f(x)−a，则下列结论正确的是( )A. 若a<−1e，则g(x)恰有2个零点B. 若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是(−∞,−1e)∪(2,+∞)C. 若g(x)恰有3个零点，则a取值范围是[0,1)D. 若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东新高考质量测评联盟2021届高三上学期10月联考数学试题 Word版含答案
山东新高考质量测评联盟2021届高三10月联考数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}1y y x =-，集合B ＝{}2log (1)0x x ->，则AB ＝A ．∅B ．(0，+∞)C ．(1，2)D ．(2，+∞) 2．已知命题p ：∀x ∈[0，2]，2320x x -+>，则⌝p 是 A ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+< B ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+≤ C ．∃x ∈(-∞，0)(2，+∞)，2320x x -+≤D ．∀x ∈[0，2]，2320x x -+≤ 3．已知复数34i z =+，则23z z -＝A ．5B ．5C ．20D ．254．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有A ．20种B ．30种C ．90种D ．120种 5．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，则ω＝2是()f x 的最小正周期是π的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 A ．2()ln f x x x =- B ．()ln f x x x =- C ．2()2ln f x x x =- D ．()2ln f x x x =-7．已知1＜m ＜43，则23143m m+--的最小值是 第6题A ．329+B ．36+C ．629+D ．128．已知函数221()log (1)f x x x=+-，则不等式(21)0f x ->的解集是 A ．(0，1) B ．(1，+∞) C ．(-∞，0) D ．(-∞，0)(1，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是A ．a bc c > B ．log log a b c c > C ．1313log a a < D ．2233a b <10．已知复数13i 2z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅= B ．2z z = C ．31z =- D ．202013i 22z =-+11．在如图所示的三棱锥V —ABC 中，已知AB ＝BC ，∠V AB＝∠V AC ＝∠ABC ＝90°，P 为线段VC 的中点，则 A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与V A 平行C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等D ．PB 与平面ABC 所成的角大于∠VBA 第11题 12．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且(1)f x -是奇函数，则下列说法正确的是A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．(1)0f =D ．(1)f x +是奇函数三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．262(1)()x x x+-展开式中的常数项为 ．14．已知x ＞0，若关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是 ． 15．函数2()log (412)3a f x x x =+-+(a ＞0且a ≠1)，若(ln(lg e))f ＝2，则(ln(ln10))f＝ ．16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，ACBAC ＝30°，AA 1接球体积是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥M —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ＝1，MD ＝1，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：①二面角A —MD —C 的大小是23π；②∠BAD ＝2π． 若 ，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用．下表给出了我国2015—2019年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据：（（2）求y 关于X 的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．附：参考公式：1122211()()()n niiiii i nniii i x x y y x ynx y b x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19．（本小题满分12分）已知函数()e xf x a x =-． （1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[0，1]上的最大值．20．（本小题满分12分）如图，三棱锥S —ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P —BC —A 的大小为60°，求PASA的值．21．（本小题满分12分）为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；（旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0~9的可能性是相等的．两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．①视频率为概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷爱旅游者”，又有女“酷爱旅游者”的概率；②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X ，求X 的数学期望．附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，c ∈R ． （1）当a ≥0，c ＝1时，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知a ＞0，b ＝﹣2，c ＝2，且函数()f x 有两个零点1x ，2x （1x ＜2x ），求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得2x ﹣1x ＞M 成立．。
百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考(三)-全国卷Ⅰ理科数学试卷及参考答案
百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
山东省实验中学2022届高三上学期第三次诊断考试数学(文)试题 Word版含答案
山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12说明：本试卷满分150分。
分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{}{}260,2A x x xB x x=--≤=≥，则集合A B⋂=A．[]2,3-B．[]2,2-C．(]0,3D．[]2,32．设向量()(),1,4,,//a xb x a b==且，则实数x的值是A．0 B．2-C．2 D．±23.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，534．设,αβ是两个不同的平面，直线mα⊂．则“//mβ”是“//αβ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知,x y满足约束条件2212y xx y z x yx⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为A．32B．52C．3 D．46．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若45624,48a a S+==，则公差d的值为：A．1 B．2 C．4 D．87．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b-=⊥-=满足且，则A．2B．2 C. 22D．48．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗仆人要求赔偿5斗粟．羊仆人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马仆人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的仆人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升；则下列推断正确的是A．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507a=B．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507c=C．,,a b c依次成公比为12的等比数列，且507a=D．,,a b c够次成公比为12的等比数列，且507c=9．如图是函数()sin,0,0,02y x x R Aπωϕωϕ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x的图象A．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B．向左平移至3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D．向左平移6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．函数()()sin ln 2x f x x =+的图象可能是11．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，为A ．5πB 2πC ．20πD ．72π12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,6423⎛-+ ⎝C ．1,623⎛-- ⎝D ．162,3⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．若点()4,tan θ在函数2log y x =的图象上，则sin cos θθ⋅=__________．14．一简洁组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．15．已知函数()()sin 01f x x x a bπ=<<≠，若，且()()f a f b =，则41a b +的最小值为_____________.16．己知数列{}111212312391:,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，则2018S =_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.) (一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知函数()23sin 22cos 1,f x x x x R=+-∈．(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(II)在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为(),,3,1,sin 2sin a b c c f C B A===，已知，求,a b 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()211,5,1n n nS a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(II)令2n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视状况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语学问的的时间y (单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对比表(如下表所示)：由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程y bx a=+，并猜测年龄为60岁观众周均学习成语学问的时间．参考数据：线性回归方程中,b a的最小二乘估量分别是()1221,ni iiniix y nxyb a y bxx n x==-==--∑∑．20．(本小题满分12分)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面相互垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD⊥===，点M是EC中点. （I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求三棱锥M－BDE的体积.21．(本小题满分12分)已知函数()()0.xf x e ax a a R a=+-∈≠且(I)若函数()0f x x=在处取得极值，求实数a的值；并求此时()[]21f x-在，上的最大值；(Ⅱ)若函数()f x不存在零点，求实数a的取值范围；(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中，点M的坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的方程为22sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l经过点M．(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数(),f x x a a R=-∈(I)当1a=时，求()11f x x≥++的解集；(II)若不等式()30f x x+≤的解集包含{}1x x≤-，求a的取值范围．山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12一、选择题 DDABC CBDAA AC二、填空题 13. 52 14. π312- 15. 9 16. 20198072三、解答题 17. 解：)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ……………2分 (1)周期为π=T …………………………3分由于)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ …………………………4分 所以ππππk x k +≤≤+326所以函数的单减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ…………………………6分 （2）由于1)62sin(2)(=+=πC C f ，所以3π=C …………………………7分 所以3cos2)3(222πab b a -+=，322=-+ab b a (1)………………………9分又由于A B sin 2sin =，所以a b 2= (2) …………………………10分 由（1），（2）可得2,1==b a …………………………12分18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+211得111=-++nS n S nn ……………………………………3分 又511=S ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为5，公差为1的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知()415+=-+=n n nS n所以n n S n 42+=…………………………………5分 当2≥n 时，()()321414221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n又1a 也符合上式，所以()*32N n n a n ∈+=……………………………………………6分所以()nn n b 232+= ……………………………………………………7分 所以()nn n T 23229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T所以()()()22122221023211431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T…………………………12分19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种状况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种状况，其概率为54108=； ……………………4分 （2）由题意可知=35， =3.5，52541=∑=ii i yx 5400412=∑=i i x ……………6分所以2021,1007==∧∧a b ……………8分 所以20211007+=∧x y ． ……………10分 当60=x 时， 201032021601007=+⋅=∧y =5.25小时． 猜测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。
数学新高考-潍坊市2023届高三上学期期中考试模拟数学答案
高三上学期期中考试模拟试题数学参考答案2022.10.271~5：DBBDA 6~8：CDD 9.BCD 10.AD 11.ACD 12.ABD12题解析：不妨设切点为(0，(0−1)0)，因为f ′（x ）＝xe x ，所以切线方程为−=00(−1)，所以(0−1)0−=00(0−1)，整理得=−0(02−20+1)，所以令g （x ）＝﹣e x （x 2﹣2x +1），则g ′（x ）＝﹣e x （x 2﹣1），令g ′（x ）＝0得x ＝±1，当x ＜﹣1或x ＞1时，g ′（x ）＜0，g （x ）＜0，当﹣1＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，当x 趋近于﹣∞时，g （x ）趋近于0，o −1)=−4，o0)=−1，o1)=0，当x 趋近于+∞时，g （x ）趋近于﹣∞，所以，函数g （x ）的图像大致如图，所以，当n ＝2时，=o −1)=−4，故D 正确，此时λ+n ＜3成立；当n ＝3时，∈(−4，0)，所以+＜3，A 正确；当n ＝1时，∈(−∞，−4)∪{0}故C 错误；综上，λ+n ＜3，B 正确；故选：ABD ．三、填空题14.[−52,−2)15.a+c=ac ，916．1632.四、解答题17.（1）函数2()2cos cos 2cos232cos(2)33f x x x x x x x π=-+=+=++…2分2222,,,336k x k k Z k x k k Z ππππππππ-+≤+≤∈-+≤≤-+∈…………………………4分()f x ∴的单调增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦…………………………………………5分（2）令42,,333t x t πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦……………………………………………………7分1cos 1,2t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………………9分[]()1,4f x ∴∈………………………………………………………………………………10分18.（1）方法一：由题得2312312325461111313(1)1333()3S a a a a q q a a a q a q a q =++=⎧⎧⎧++=⎪⇒⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩231030q q -+=1,3q q >∴= ……………………2分11a =………………………………………………………3分13n n a -=……………………………………………………5分方法二：3123132266246131310333S a a a a a a a a a a a =++=+=⎧⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩131311231321010133999n n a a a a a q a a a a a -+=+==⎧⎧⎧⇒⇒⇒=∴=⎨⎨⎨===⎩⎩⎩（2）n 为奇数时，13n n n b a -==……………………………………………………………6分n 为偶数时，213n n n b b n n --=+=+……………………………………………………………7分所以21234212n n nS b b b b b b -=++++++ ()()()()()()135212420242202422024222333333332462233332462913912(1)(1)10194n n n n n n n b b b b b b b n n n n n n ----=++++++++=++++++++++++++=+++++++++--=⨯++=++- 分分19.（1）选①，sin2a B b =，由正弦定理得sin sin sin 2A B B =，又B是三角形内角，sin 0B ≠，所以sin 2A =，而A 为锐角，所以3A π=，……………………………………2分222222cos ()236336392b c a b c bc A b c bc bc bc +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以min 3a =．………………………………………5分选②，1sin 42ABCSbc bc A ==△，所以sin 2A =，A 是锐角，所以3A π=，………2分222222cos ()236336392b c a b c bc A b c bc bc bc +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以m in 3a =．………………………………………5分选③，222bc b c a =+-，由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，A 是锐角，所以3A π=．………………………2分222222cos ()236336392b c a b c bc A b c bc bc bc +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以m in 3a =．………………………………5分（2）设BD x =，则2CD AD x ==，2ADB C ∠=，3BAD C π∠=-，在ABC 中，sin sin AB BC C BAC =∠，3sinsin 3ABx C π=，sin AB C =，……………………7分在ABD △中，sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，sin()3x C π-9分33cos 3sin()cos cos sin )cos sin 33322C C C C C C πππ-=-=-，1cos sin 022C C -=，cos()03C π+=，03C π<<，……………………11分所以6C π=，从而2B π=，ABC 是直角三角形．………………………12分20.（1）57810111396x +++++==…………………………………………1分111516222531206y +++++==…………………………………………2分6162216118610802.525284866i ii i i x yx ybx x==--==≈--∑∑ ……………………………………5分2.68, 2.52 2.68ay =-=-则………………………………………………6分当x=15时，y=35.12∴当投入15千万元，收益大约为35.12亿元………………………………7分（2）①设“某位代表去A 城市参加活动”为事件A ，则2()3P A =…………………………9分②设“6位代表中去城市参加活动的人数少于去B 城市参加活动的人数”为事件B ，则615241266621212173()333333729P B C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………12分21.（1）由已知'()1cos f x x=-所以切线的斜率'(1cos 122k f ππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭………………………3分又sin 12222f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线过点,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以切线方程为y =x -1………………………5分（2）令()()1,xh x f x e bx =--+则()(1)sin 1,[0,)xh x e b x x x =-+--+∈+∞'()cos 1x h x e x b=--+-………………………6分'()h x 的导函数''()sin .x h x e x =-+因为[0,),x ∈+∞所以'''()1sin 0,()h x x h x ≤-+≤∞在[0,+)单调递减，…………………7分当b ≥-1时，对'0,()(0)10,x h x h b ∀≥≤=--≤所以h (x )在[0,)+∞上单调递减，所以对0,()(0)0.x h x h ∀≥≤=…………9分当b<-1，因为h’(x )在[0,)+∞上单调递减，'(0)10,h b =-->当',().x h x →+∞→-∞时故()00,,x ∃∈+∞使'0()0,h x =所以0()(0)0h x h >=与0,()0x h x ∀≥≤矛盾.………………………11分所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞.……………………12分22.解：函数()()ln 20f x a x x a =-≠的定义域为()0,∞+，()22a a x f x x x-'=-=.…………1分当0a <时，因为0x >，则()0f x '<，此时函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；……………2分当0a >时，由()0f x '<可得2a x >，由()0f x '>可得02a x <<.此时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.……………………4分综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.…………………5分（2）解：()()()()()()()ln 222cos e 2cos 0e 2cos 0e a f x a x xxx f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-≥⇔--≥⇔--≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…7分设()e 2cos t gt t t =--，其中()t f x =，则()e 2sin t g t t '=-+，设()e sin 2t h t t =+-，则()e cos th t t '=+，当0t ≤时，e 1t≤，sin 1t ≤，且等号不同时成立，则()0g t '<恒成立，当0t >时，e 1t>，cos 1t ≥-，则()0h t '>恒成立，则()g t '在()0,∞+上单调递增，又因为()01g '=-，()1e 2sin10g '=-+>，所以，存在()00,1t ∈使得()00g t '=，当00t t <<时，()0g t '<；当0t t >时，()0g t '>.所以，函数()g t 在()0,t -∞上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，且()00g =，………9分作出函数()g t 的图象如下图所示：由（1）中函数()f x 的单调性可知，①当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x +→时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →-∞，所以，()t f x =∈R ，此时()00g t <，不合乎题意；…………10分②当0a >时，()max ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()f x →-∞，此时函数()f x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，即,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦.（i ）当ln02aa a -≤时，即当02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，合乎题意；（ii ）当ln 02aa a ->时，即当2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合图象可知()10gt <，不合乎题意.……………………11分综上所述，实数a 的取值范围是(]0,2e .………………………12分。
湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)
衡阳县一中2025届高三上学期期中考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合M={x|x―1x+2≤0},Q={x∈N||x|≤2}，则M∩Q=（）A．{―1,0,1}B．[0,1]C．(―2,1]D．{0,1}2．已知复数z=1―i2+i，则z表示的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，ax2―ax+1>0；q：∃x∈R，x2―x+a=0.均为真命题，则a的取值范围是（）A．(―∞,4)B．[0,4)C．(0,14]D．[0,14]4．已知|a|=1,|b|=2，且a―b与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°5．椭圆x29+y25=1，若椭圆上存在不同的两点M,N关于直线y=3x+m对称，则实数m的取值范围（）A．(―263,223)B．(―263,263)C．(―63,263)D．(―233,233) 6．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）A．625B．47C．27D．257．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的716，则沙子堆积成的圆台的高（）A ．1B ．32C ．3D ．438．已知函数f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58在(0,π4]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(43,83]B ．[43,83)C ．(83,163]D ．[83,163)二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于―1，到点F (1,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为1，则（ ）A ．a =―1B ．点(2,0)在C 上C ．C 在第一象限点的纵坐标的可以为12D ．当点(x 0,y 0)在C上时，y 20>1(x 0+1)210．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM =BN =a (0<a <2)，则下列结论中正确的有（ ）A．∃a∈(0,2)，使MN=12CEB．线段MN存在最小值，最小值为23C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．∀a∈(0,2)，都存在过MN且与平面BEC平行的平面11．设正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项正确的是（）A．S9=S4+q4S5B．若T2025=T2020，则a2023=1C．若a1a9=4，则当a24+a26取得最小值时，a1=2D．若(a n+1)n>T2n，则a1<1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+1b+1的最小值为．13．已知某三棱台的高为25，上、下底面分别为边长为43和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．14．已知f(x)={|ln x|,0<x≤e2―ln x,x>e，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+e2c的范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列{a n}和等比数列{b n}，a n=1+1，若{a n}的最大项和2n―9最小项分别是{b n}中的b2―1和b3―9的值．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=1⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．a n―116．（15分）如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB ⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AM的值；若不存在，AP请说明理由.17．（15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为45；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为13，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.参考公式：χ2=n (ad ―bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为42，斜率为―13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)若MN=10，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明:k1k2为定值.19．（17分）已知函数f(x)=x3―3mx+m2.(1)当m=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，且f(x)在点(x i,f(x i))处切线的斜率为k i(i=1,2,3)，求m的取值范围及1k1+1k2+1k3的值.数 学（答案）1．【答案】D【解析】由x ―1x +2≤0，可得{(x ―1)(x +2)≤0x +2≠0，解得―2<x ≤1，∴M ={x|―2<x ≤1}，又Q ={0,1,2}，所以M ∩Q ={0,1}，故选：D ．2．【答案】A【解析】z =1―i2+i=(1―i )(2―i )(2+i )(2―i )=2―i ―2i ―15=15―35i ，所以z =15+35i ，所以z 表示的点所在象限是第一象限，故选：A 3．【答案】D【解析】ax 2―ax +1>0恒成立，当a =0时，1>0，满足要求，当a ≠0时，需满足{a >0Δ=a 2―4a <0，解得0<a <4，故p 为真命题，需满足0≤a <4，∃x ∈R ，x 2―x +a =0，则Δ=1―4a ≥0，解得a ≤14，故q 为真命题，需满足a ≤14，综上，a 的取值范围为[0,4)∩(―∞,14]=[0,14]故选：D 4．【答案】D【解析】由题设(a ―b )⋅a =a 2―a ⋅b =0⇒a ⋅b =a 2=1，所以cos ⟨a ,b ⟩=a b=22，而0°≤⟨a ,b ⟩≤180°，所以⟨a ,b ⟩=45°.故选：D 5．【答案】B【解析】椭圆x 29+y 25=1，即：5x 2+9y 2―45=0，设椭圆上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =3x +m 对称，AB 中点为M (x 0,y 0)，则5x 21+9y 21―45=0，5x 22+9y 22―45=0，所以5(x 1+x 2)(x 1―x 2)+9(y 1+y 2)(y 1―y 2)=0，所以y 1―y 2x 1―x 2=―59⋅x 0y 0=―13，所以y 0=53x 0，代入直线方程y =3x +m 得x 0=―3m 4，y 0=―5m 4，即M (―3m 4,―5m 4)，因为(x 0,y 0)在椭圆内部，所以5×9m 216+9×25m 216<45，解得―263＜m ＜263，即m 的取值范围是(―263,263)．故选：B ．6．【答案】B【解析】设样本空间为Ω，则n (Ω)=C 49=126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A ，则n (A )=C 24C 13C 12+C 14C 23C 12+C 14C 13C 22=72，所以P (A )=n (A )n (Ω)=72126=47.故选：B.7．【答案】B【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为V ，沙子堆成的圆台体积为V 1，该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为V 2=V ―V 1．由题意可知V 12V =716，即V 1V =78，则V 2V =18，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为32．故选：B 8．【答案】B【解析】因为f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58=(sin 2ωx +cos 2ωx)2―2sin 2ωx cos 2ωx ―58=―12sin 22ωx +38=―12×1―cos 4ωx2+38=14cos4ωx +18，令4ωx =t ,t ∈(0,ωπ]，则y =14cos t +18，令14cos t +18=0，得到cos t =―12，所以t =2π3+2k π,k ∈Z 或t =4π3+2k π,k ∈Z ，令k =0，得到t =2π3或t =4π3，令k =1，得到t =8π3或t =10π3，又f (x )在(0,π4]上有且仅有两个零点，所以y =14cos t +18在(0,ωπ]上有且仅有两个零点，所以4π3≤ωπ<8π3，得到ω∈[43,83)，故选：B.9．【答案】ABC【解析】对于A ，因为O 在曲线上，所以O 到x =a 的距离为―a ，而|OF |=1，所以有―a ⋅1=1，故a =―1，故A 正确，对于B ，因为曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，代入(2,0)知满足方程；故B 正确，对于C ，由(x +1)(x ―1)2+y 2=1，将(1,12)代入方程满足，故(1,12)在曲线上，故C 正确，对于D ，曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，可化为(x ―1)2+y 2=(1x +1)2，即y 2=(1x +1)2―(x ―1)2，因为y 20=(1x 0+1)2―(x 0―1)2≤(1x 0+1)2，故D 错误，故选：ABC ．10．【答案】AD【解析】因为四边形ABCD 正方形，故CB ⊥AB ，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB ⊥BE .设MC =λAC ，则BN =λBF ，其中λ=a 2∈(0,1)，由题设可得MN =MC +CB +BN =λAC +CB +λBF ，=λ(BC ―BA )+CB +λ(BA +BE )=(λ―1)BC +λBE ，对于A ，当λ=12即a =22时，→MN =―12⃗BC +12⃗BE =12⃗CE ，故A 正确；对于B ， MN 2=(λ―1)2+λ2=2λ2―2λ+1=2(λ―12)2+12，故|MN |≥22，当且仅当λ=12即a =22时等号成立，故|MN |min=22，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，而平面ABEF 的法向量为BC 且MN ⋅BC =(λ―1)BC 2=λ―1，故cos ⟨MN ,BC ⟩=λ―12λ2―2λ+1，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，故MN ,BC ,BE 为共面向量，而MN⊄平面BCE ，故MN //平面BCE ，故D 正确；故选：AD 11．【答案】AB【解析】因为数列{a n }为正项等比数列，则a 1>0,q >0,T n >0，对于选项A ：因为S 9=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=S 4+q 4S 5，所以S 9=S 4+q 4S 5，故A 正确；对于选项B ：若T 2025=T 2020，则T 2025T 2020=a 2021⋅a 2022⋅a 2023⋅a 2024⋅a 2025=a 52023=1，所以a 2023=1，故B 正确；对于选项C ：因为a 1a 9=a 4a 6=4，则a 24+a 26≥2a 4a 6=8，当且仅当a 4=a 6=2时，等号成立，若a 24+a 26取得最小值，则a 4=a 6=2，即{a 4=a 1q 3=2a 6=a 1q 5=2，解得{a 1=2q =1，故C 错误；对于选项D ：例如a 1=1,q =2，则a n =2n―1，Tn=a 1a 2⋅⋅⋅a n =20×21×⋅⋅⋅×2n―1=21+2+⋅⋅⋅+n―1=2n (n―1)2，可得(a n +1)n=(2n )n=2n 2,T 2n=(2n (n―1)2)2=2n 2―n ，因为n ∈N *，则n 2>n 2―n ，可得2n 2>2n2―n，即(a n +1)n >T 2n ，符合题意，但a 1=1，故D 错误；故选：AB.12．【答案】7+264【解析】3a +1+1b +1=14(62a +2+1b +1)(2a +2+b +1)=14[7+6(b +1)2a +2+2a +2b +1]≥7+264，当且仅当6(b +1)2a +2=2a +2b +1，即6(b +1)2=(2a +2)2，即当a =7―265,b =46―95时等号成立.故答案为：7+26413．【答案】144π【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台ABC ―A 1B 1C 1，如图，上底面正△A 1B 1C 1外接圆的半径是O 1A 1=23×32×43=4，O 1为正△A 1B 1C 1外接圆圆心，下底面正△ABC 外接圆的半径是O 2A =23×32×63=6，O 2为正△ABC 外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上，令该球半径为R ，R 2―42+R 2―62=25，或R 2―42―R 2―62=25，解得R 2=36，所以球O 的表面积是S =4πR 2=4π×36=144π．故答案为：144π14．【答案】(3,2e +1e)【解析】函数f (x )={―ln x,0<x ≤1ln x,1<x ≤e 2―ln x,x >e在(0,1]，(e,+∞)上单调递减，在(1,e ]上单调递增，f (e 2)=0，f (1)=0，画出f (x )={|ln x |,0<x ≤e2―ln x,x >e的图象，如图，令a <b <c ，由f (a )=f (b )=f (c )，得1e <a <1，1<b <e ，e <c <e 2，由|ln a |=|ln b |，得ln a +ln b =0，即ab =1，由ln b =2―ln c ，得bc =e 2，于是a +b +e 2c =1b +b +bc c =1b +2b ，由对勾函数性质知，y =1b +2b 在(1,e )上递增，则3<1b +2b <2e +1e，所以a +b +e 2c的范围是(3,2e +1e )．故答案为：(3,2e +1e)15．【解析】（1）由题意，a n =1+12n ―9(n ∈N ∗)，结合函数f (x )=1+12x ―9的单调性，可知a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1>a 1>a 2>a 3>a 4(n ∈N ∗)，所以数列{a n }中的最大项为a 5=2，最小项为a 4=0，所以b 2―1=2,b 3―9=0，即b 2=3,b 3=9，所以等比数列{b n }的公比q =b 3b 2=3，所以b n =b 2⋅q n―2=3n―1（2）c n =1a n ―1⋅b n =(2n ―9)⋅3n―1，S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =(―7)×30+(―5)×31+⋯+(2n ―11)×3n―2+(2n ―9)×3n―1，3S n =(―7)×31+(―5)×32+⋯+(2n ―11)×3n―1+(2n ―9)×3n ，两式相减得：―2S n =―7+2×(31+32+33+⋯+3n―1)―(2n ―9)×3n =―7+2×3(1―3n―1)1―3―(2n ―9)×3n =―10+3n (10―2n )，故S n =5+3n (n ―5).16．【解析】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，且AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，且PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点为O ，连接CO ,PO ，又∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ．则AO =PO =1，∵CD =AC =5，∴CO ⊥AD ，则CO =AC 2―OA 2=5―1=2，以O 为坐标原点，分别以OC ,OA ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O ―xyz ，则P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0,―1,0)，C (2,0,0)，则PB =(1,1,―1)，PD =(0,―1,―1)，PC =(2,0,―1)，CD =(―2,―1,0)，设n =(x,y,z )为平面PCD 的一个法向量，则由{n ⋅PD =0n ⋅PC =0，得{―y ―z =02x ―z =0，令z =1，则n =(12,―1,1)．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ=|cos ⟨n ,PB ⟩|=n PB =|12―1―114+1+1×3|=33；（3）假设在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD . 设AM =λAP ，λ∈[0,1]，由（2）知，A (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则AP =(0,―1,1)，BA =(―1,0,0)，BM =BA +AM =BA +λAP =(―1,0,0)+(0,―λ,λ)=(―1,―λ,λ)，由（2）知平面PCD 的一个法向量n =(12,―1,1)．若BM //平面PCD ，则BM ⋅n =―12+λ+λ=2λ―12=0，解得λ=14，又BM⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD ，此时AMAP =14.17．【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为100+202=60，则不喜欢的人数为60―20=40人，则不喜欢食堂就餐的女生为40―10=30人，因为男女生人数比为1∶1，则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为50―30=20人，喜欢堂食就餐的男生为50―10=40人，则列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设H 0:假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得H 0:χ2=100(40×30―10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828，根据小概率α=0.001的独立性检验推断H 0不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.（2）记事件A ：小林同学星期二选择了①号套餐，事件B ：小林同学星期四选择了②号套餐,P (A )=P (A )=12,P (B∣A )=1―45=15,P (B ∣A )=1―13=23,由全概率公式可得P (B )=P (A )⋅P (B |A )+P (A )⋅P (B |A )=12×15+12×23=133018．【解析】（1）由题意得{9a 2+1b2=12c =42a 2=b 2+c 2解得{a =23b =2c =22，故椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.（2）设直线l 的方程为y =―13x +m ，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)由{y =―13x +mx 212+y 24=1得4x 2―6mx +9m 2―36=0，由Δ=(6m)2―144(m 2―4)>0，得―433<m <433，则x 1+x 2=3m 2,x 1x 2=9m 2―364.|MN |=1+19⋅(x 1+x 2)2―4x 1x 2=102⋅16―3m 2=10，解得m =2或m =―2当m =2时，直线l :y =―13x +2经过点P (3,1)，不符合题意，舍去；当m =―2时，直线l 的方程为y =―13x ―2.（3）直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以x 1≠3,x 2≠3，则m ≠0且m ≠2，所以k 1k 2=y 1―1x 1―3⋅y 2―1x 2―3=(―13x 1+m ―1)(―13x 2+m ―1)(x 1―3)(x 2―3)=19x 1x 2―13(m ―1)(x 1+x 2)+(m ―1)2x 1x 2―3(x 1+x 2)+9=19⋅9m2―364―13(m ―1)⋅3m2+(m ―1)29m 2―364―3⋅3m2+9=3m 2―6m 9m 2―18m=13为定值.19．【解析】（1）当m =1时，f (x )=x 3―3x +1，f ′(x )=3x 2―3，切点为(0,1)，切线斜率f ′(0)=―3，故切线方程为y ―1=―3(x ―0)，即切线方程为y=―3x+1.（2）f′(x)=3x2―3m,x∈R，当m≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(―∞,+∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)=0，得x=±m，令f′(x)<0，得―m<x<m，令f′(x)>0，得x<―m或x>m，所以f(x)在(―m,m)上单调递减，在(―∞,―m)，(m,+∞)上单调递增.（3）由（2）知，f(x)有三个零点，则m>0，且{f(―m)>0f(m)<0，即{m2+2m m>0m2―2m m<0，解得0<m<4，当0<m<4时，3m>m，且f(3m)=m2>0，所以f(x)在(m,3m)上有唯一一个零点，同理―2m―1<―m，f(―2m―1)=―8m3―5m2―3m―1<0，所以f(x)在(―2m―1,―m)上有唯一一个零点，又f(x)在(―m,m)上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，综上可知m的取值范围为(0,4)，由f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，不妨设f(x)=a(x―x1)(x―x2)(x―x3)，其中a≠0，则f′(x)=a[(x―x2)(x―x3)+(x―x1)(x―x3)+(x―x1)(x―x2)]，则1k1+1k2+1k3=1a[1(x1―x2)(x1―x3)+1(x2―x1)(x2―x3)+1(x3―x1)(x3―x2)]∴1k1+1k2+1k3=x2―x3+x3―x1+x1―x2a(x1―x2)(x1―x3)(x2―x3)=0.。
江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试数学试题及答案
。图己心 沁。 又为△ＡＢＣ内角，所以，Ａ＝年，
”儿下心
又ｃ＝（√５－１，由正弦定理得∶ｓｉｎＣ＝（√－１）ｓｉｎＢ
变当己了石子量沁己。３－√２３ｃ，ｏｓＣ＇５＋－１２。－ｓｉｎＣ
得∶ｓｉｎＣ－ｃｏｓＣ＇＝０．即２ｓｉｎＣ－Ｚ）＝０
ｃｌ０．３－寸）
二、多项选题∶本题共４小题， 每小题５分，共 ２０分．在每小题给出的选项中， 有多项符
合题．目要求，，全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得３分．
９．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓｘ－√３ｓｉｎｘ．ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ），则（ （ ）
ｋＩ９ Ａ．ｇ（ｘ）的图象关于点（；０）对称
。 。之逆 ５６π π上递减
（２）设该区间为【ａ，ｂ】三【２．４ 则ｇ（ｘ）＝－ｘ２＋４ｘ＝－（ｘ－２）＋４
余额作为资金全部用于再进货，如此继续，预计 ２０２０年小王的农产品加工厂的年利润为＿＿＿＿
元（取１．２＂＝７．５，１．２＝９）
１６．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）关于ｙ轴对称，其导函数为 ｆ（ｘ）．当ｘ≥０时，
ｘ（ｘ）＞１－ｆ（ｘ）．若对任意ｘ∈Ｒ，不等式ｅ＇ｆ（ｅ）－ｅ＋ａｘ－ａｆ／（ａｘ）＞０恒成立，则正
即Ｖｘ≥１３２＞ａ（ｘ－２）恒成立 ①ｘ＝２时，８＞０， ａＥＲ；
②ｘ ｅ【１，２）时，ａ＞Ｘ－ ，令ｇ（３）＝ —，．ｘｅ【１２）则ａ＞ｇ６０ｍ
ｅ（ｘ）＝Ｇ３（－ｘ２－４））＜０．故ｇ（（３）在Ｌ１２）递减，所以，ｇ（ｘ）ｍｍ＝ｇ４）＝－１＜ａ；
③ｘ ｅ（２，＋ｔ？）时０，ａＹ ＜松－式２ 窗它”“不”可言：毫人空己引
在△ＡＢＣ中，已知内角Ａ，Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ，ｂｃ若ｃｌｖ３－１ｂ，
2021新高考数学精选考点专项突破：三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-【答案】B 【解析】因为2sin 225sin(18045)sin 452=+=-=-. 故选：B.2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】D【解析】sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒12=. 故选：D.3、（2020年全国1卷）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）函数()sin 2sin3f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π【答案】B 【解析】2y sin x =的最小正周期为：π；函数3y sin x =的最小正周期为：23π， π与23π的最小公倍数为：2π， 所以函数()23f x sin x sin x =+的最小正周期为：2π． 故选：B ．5、（2020年天津卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B.6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=故选：A7、（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1yx x ，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵22()2cos ()cos()12cos cos 1()f x x x x x f x -=--+-+=-++=， ∴函数()f x 为偶函数.故排除选项A ，D.2219()2cos cos 12(cos ),,4822f x x x x x ππ⎡⎤=-++=--+∈-⎢⎥⎣⎦，∵0cos 1x ≤≤， ∴当1cos 4x =时，()f x 取得最大值98；当cos 1x =时，()f x 取得最小值0.故排除C. 故选：B.8、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ．9、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T，T π=， 12||x x ∴-的最小值为2π，即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．10、（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7 B ．7C ．1D ．-1【答案】B 【解析】因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B.11、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 【答案】B【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．12、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．78【答案】A 【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1721168=⨯-=-． 故选A ．13、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．16C ．43D ．56【答案】A 【解析】2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称，所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.14、（2020年全国3卷）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.15、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错；C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.二、多选题16、（2020年山东卷）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x -C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.17、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确； ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD18、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.19、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD 【解析】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确； 故选：ABD20、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC21、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+）， 故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同， 且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象， 存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD ．三、填空题22、（2020年江苏卷）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=- 23、（2020年全国1卷）.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=______．【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴==24、（2020年浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-25、（2020年江苏卷）】已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：1326、（2019年高考江苏卷）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、解答题27、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.【解析】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小值是-2，∴2A =， ∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， ∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ，又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ. 可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x π ∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.28、（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值； （2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值.【解析】（1）由题设知()sin 21cos 21224f x x x x π⎛⎫=-+++=++ ⎪⎝⎭，()10,221,cos 2442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=++=∴+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32244x k πππ+=+或522,44x k k Z πππ+=+∈ 得4x k ππ=+或2x k ππ=+，12123(0,),,,424x x x x x ππππ∈∴==∴+=（2）=()y f x 图像向左平移6π个单位，得222222643412y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向下平移2个单位得()212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈- ()f x ∴在[,]33ππ-，最小值为.29、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()2sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫=⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.【解析】 (1)()211cos cos 2cos 222f x x x x x x =-=--1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为11sin 26210f απα⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以2223cos 2cos 22sin 1213365πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭725=- (2)因为()2cos cos a c B b C -=,由正弦定理得:()2sin sin cos sin cos ,A C B B C -=所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=, 即()2sin cos sin sin A B B C A =+=,因为sin 0A >,1cos 23B B π=∴=，，所以22=033A C A ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,所以()f A 的取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦30、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【解析】（1）()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 22sin 22f x x x a x x a π⎛⎫∴=+++=++ ⎪⎝⎭2sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21a ∴+=，1a ∴=- （2）将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， ()22sin 212sin 216633g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2252,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦∴当22233x ππ+=时，2sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()g x 1， 当23232x ππ+=时，2sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()g x 取最小值3-.31、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
山东省东营一中2022届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象( )A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位3．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣154．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为( )A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．96．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A ．B．2 C．0 D．1 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=( )A．90°B．60°C．45°D．30°9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与微小值分别是( )A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，[a，b]称为“亲密区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“亲密函数”，则它的“亲密区间”可以是( )A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=__________．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=__________．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是__________．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=__________．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是__________（填序号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A 、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a 7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．已知数列{a n }各项均为正数，其前n项和S n满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f （x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．2021-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象( )A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y=sin2x+cos2x变形为y=Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y=sin2x 的解析式进行对比即可得平移方向和平移量【解答】解：y=sin2x+cos2x=（sin2xcos +cos2xsin）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴只需将y=sin2x 的图象向左平移个单位，即可得函数y=sin[2（x+）]，即y=sin2x+cos2x的图象故选B【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，三角变换公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象性质，精确将目标函数变形是解决本题的关键3．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15 【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观看数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．4．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为( )A ．B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面对量及应用．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；娴熟运用公式是关键．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已供应了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算力量．6．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα=，②∴①×②可解得：cos2α=．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题．7．如图，在矩形ABCD 中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A ．B．2 C．0 D．1【考点】平面对量数量积的运算．【专题】平面对量及应用．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F 的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B （，0），E （，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A 【点评】本题考查平面对量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=( )A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC ∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应娴熟记忆和把握正弦定理公式及其变形公式．9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与微小值分别是( )A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相同，由y=x•f′（x）的图象得f′（x）的符号；推断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有微小值f（2）故选项为C【点评】本题考查识图的力量；利用导数求函数的单调性和极值；．是高考常考内容，需重视．10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，[a，b]称为“亲密区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“亲密函数”，则它的“亲密区间”可以是( )A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】依据“亲密函数”的定义列出确定值不等式|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到它的“亲密区间”．【解答】解：由于f（x）与g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，由于x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“亲密区间”是[2，3]故选B【点评】考查同学会依据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求同学会解确定值不等式．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】依据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵，=1，=1∴==1﹣2+4=3，∴=，故答案为：．【点评】本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模，属于基础题．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=﹣4．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．【解答】解：由f（x ）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f ′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出访得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=16．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】各项不为0的等差数列{a n}满足，可得2×2a7﹣=0，解得a7．利用等比数列的性质可得b6b8=．【解答】解：∵各项不为0的等差数列{a n}满足，∴2×2a7﹣=0，解得a7=4．数列{b n}是等比数列，且b7=a7=4．则b6b8==16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是①④（填序号）．【考点】余弦函数的奇偶性；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性；正切函数的单调性．【专题】综合题．【分析】①利用诱导公式化简函数y=cos，即可推断是奇函数；②通过函数的最值，推断是否存在实数α，使得sinα+cosα=即可得到正误；③利用正切函数的性质频道若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tanβ的正误；④把x=代入函数y=sin是否取得最值，即可推断它是否是一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．利用x=，函数是否为0即可推断正误；【解答】解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数，正确；②存在实数α，使得sinα+cosα≤＜；所以不正确；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；明显不正确，如α=60°，β=390°时不等式不正确；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；把x=代入函数y=sin取得最小值，所以正确；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．x=，函数y≠0，所以不正确；故答案为：①④【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本学问的综合应用，函数的奇偶性、最值、单调性、对称性的应用，考查基本学问的机敏运应力量．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）依据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=﹣，即可得出角B的大小．（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac 的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴依据正弦定理，得=﹣，去分母，得cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，∵△ABC中，sinA=sin（B+C），∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．又∵△ABC中，sinA＞0，∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．∵B∈（0，π），∴B=π．（2）∵b=3，cosB=cosπ=﹣，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2+ac≥3ac，即ac ≤3，∴S△ABC=acsinB ≤×3×=（当且仅当ac时取等号），则△ABC面积最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x ﹣cos2x﹣1=sin（2x ﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为T=π（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C ﹣）﹣1=0，∴sin（2C ﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C ﹣＜，∴2C ﹣=，∴C=，∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得==，即b=2a，①∵c=3，∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos，②联立①②解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n ，求证：≤T n ＜．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n ，==，从而T n ==﹣＜，由此能证明≤T n ＜．【解答】解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n =6n+=2n2+4n，==，∴T n ===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n ＜．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，留意裂项求和法的合理运用．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n 满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得a n；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（n∈N+）．∴当n=1时，4a1=，解得a1=1．当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=2n﹣1．（2）=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，∴2T n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣T n=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n =﹣1﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）•2n﹣3，∴T n=（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B 的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．【考点】椭圆的简洁性质．【专题】转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得：，解得即可得出；（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，利用根与系数的关系可得：|PQ|=．原点O到直线l的距离d=．利用S△OPQ =即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=，c=1，b2=2．∴椭圆C 的标准方程为．（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，∴x1+x2=，x1x2=．|PQ|===．原点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ ==×=．令3k2﹣2=t2（t＞0），∴S△OPQ ===，当且仅当t=2，即时取等号．∴，．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次根与系数的关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a ﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类争辩；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（2）令，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a争辩，①若，②若，推断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；（3）由题意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的导数为f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，﹣），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．（3）当时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．由于，所以，解得，所以实数b的取值范围是．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，留意转化为求最值问题，考查运算力量，属于中档题．。
潍坊市2023届高三上学期期中考试模拟数学试题试题(含答案)
数 学 试 题 2022.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{|24}A x x ,集合2|320B x x x ,则R A C B A.{|14}x xB.{|12}x xC.{|24}x xD.2.设x R ,则“sin 0x ”是“cos 1x ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量 服从正态分布22,N ,且(4)0.7P ,则(02)P A.0.1B.0.2C.0.3D.0.44．函数321)(xxe x x f x的图像大致为( )5.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A.540种B.180种C.360种D.630种6.若关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x 的解集不为空集，则实数a 的取值范围为（ ）7．设函数)('x f 是奇函数)()(R x x f 的导函数，0)1( f ，当0 x 时，0)()(' x f x xf ，则使得0)( x f 成立的x 的取值范围是( )A ．),1()1,(B ．)1,0()0,1(C ．)1,0()1,(D ．),1()0,1(高三上学期期中考试模拟考试8.已知数列{}n a 和{}n b 首项均为1，且11(2),n n n n a a n a a ，数列{}n b 的前n 项和为S n ，且满足1120n n n n S S a b ，则S 2019=（ ）二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.若121()(),()933P AB P A P B ，，则事件A 与B 的关系错误是（ ） A.事件A 与B 相互独立 B.事件A 与B 对立C.事件A 与B 互斥D.事件A 与B 既互斥又独立10.已知2112n x x的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8,则A.4nB.展开式中所有项的系数和为1C.展开式中二项式系数和为42 D.展开式中不含常数项 11.函数())0,||2f x x的部分图像如图所示,则下列说法中正确的有 A.()f x 的最小正周期T 为B.()f x 向右平移38个单位后得到的新函数是偶函数 C.若方程()1f x 在(0,)m 上共有4个根,则这4个根的和为72D.5()0,4f x x图像上的动点M 到直线240x y 的距离最小时,M 的横坐标为4.12.若过点(1,)P 最多可作出*n n N 条直线与函数()(1)e xf x x 的图象相切,则 A.n 可以取到3B.4nC.当1n 时， 的取值范围是4,eD.当2n 时,存在唯一的 值三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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潍坊市2021届高三上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1. 已知集合A ＝{x|－2≤x<4}，B ＝{x|－5<x ≤3}，则A ∩B ＝( ) A. {x|－5<x<4} B. {x|－5<x ≤－2} C. {x|－2≤x ≤3} D. {x|3≤x<4}2. “a>1”是“(a －1)(a －2)<0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知变量x ，y 之间的一组数据如下表．若y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋a ，则a ＝( )x 3 4 5 6 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.454. 已知a ，b 为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是( ) A. 若a ⊥α，b ⊥a ，则b ∥α B. 若a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βC. 若a ∥α，b ⊥β，a ∥b ，则α⊥βD. 若α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有( )A. 15种B. 90种C. 120种D. 180种6. 已知α∈(π2，π)，tan α＝－3，则sin(α－π4)等于( )A.55 B. 255 C. 35 D. 357. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P 02－t30，其中P 0为t ＝0时该放射性同位素的含量．已知t ＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－32ln 210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( ) A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天 8. 定义运算：① 对∀m ∈R ，m0＝0m ＝m ；②对∀m ，n ，p ∈R ，(m n)p ＝p(mn)＋mp ＋np.若f(x)＝e x－1e 1－x ，则有( )A. 函数y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称B. 函数f(x)在R 上单调递增C. 函数f(x)的最小值为2D. f(223)＞f(232)二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G 智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G 智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是( )A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31，32]内B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少 10. 若非零实数x ，y 满足x>y ，则下列判断正确的是( ) A. 1x ＜1y B. x 3＞y 3 C. (12)x ＞(12)y D. ln(x －y ＋1)＞0 11. 已知函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x ＝5π12，则( )A. φ＝π3B. 函数y ＝f(x)的图象可由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到 C. 函数f(x)在[0，π2]上的值域为[－1，32]D. 函数f(x)在区间[－π，－π2]上单调递减12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4⎪⎪⎪⎪x －12，0≤x ≤1，af （x －1），x ＞1，其中a ∈R .下列关于函数f(x)的判断正确的是( )A. 当a ＝2时，f(32)＝4B. 当|a|<1时，函数f(x)的值域为[－2，2]C. 当a ＝2且x ∈[n －1，n](n ∈N *)时，f(x)＝2n －1(2－4⎪⎪⎪⎪x －2n －12)D. 当a>0时，不等式f(x)≤2ax －12在[0，＋∞)上恒成立第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. (x 2＋2x)5的展开式中x 4的系数为________．14. 若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为________． 15. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝________．16. 已知菱形ABCD 边长为3，∠BAD ＝60°，点E 为对角线AC 上一点，AC ＝6AE.将△ABD 沿BD 翻折到△A′BD 的位置，E 记为E′，且二面角A ′BDC 的大小为120°，则三棱锥A′BCD 的外接球的半径为________；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分)已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2，点E ，F 分别为棱CC 1与A 1B 1的中点． (1) 求证：直线EF ∥平面A 1BC ；(2) 若该正三棱柱的体积为26，求直线EF 与平面ABC 所成角的余弦值．18. (本小题满分12分) 在① csin B ＝bsinA ＋B 2，② cos B ＝217；③ bcos C ＋csin B ＝a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，点D 是边AB 上一点，AD ＝5，CD ＝7，且________，试判断AD 和DB 的大小关系．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋3bx ＋c 在x ＝0处取得极大值1. (1) 求函数y ＝f(x)的图象在x ＝1处的切线的方程；(2) 若函数f(x)在[t ，t ＋2]上不单调，求实数t 的取值范围．20.(本小题满分12分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，CD ∥AB ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2.(1) 求证：BD ⊥PA ；(2) 已知平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角PDCN 的余弦值为13若存在，请确定点N 位置；若不存在，请说明理由．2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：(1) 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；(2) 若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；(3) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1＜t＜4)：试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)．已知函数f(x)＝xe x－a(ln x＋x)．(1) 当a＞0时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x＞0恒有不等式f(x)≥1成立．①求实数a的值；②求证：x2e x＞(x＋2)ln x＋2sin x.参考答案1. C2. B3. C4. C5. B6. B7. D8. A9. ABD 10. BD 11. BC 12. ACD 13. 40 14. 102 15. 1 16.212 94π(第一空2分，第二空3分)17. (1) 证明：取BB 1中点D ，连接ED ，FD ，(1分)在平行四边形BCC 1B 1中，点E 为CC 1的中点，点D 为BB 1的中点， 所以ED ∥CB.在△B 1BA 1中，点F 为A 1B 1的中点，点D 为BB 1的中点， 所以FD ∥A 1B.(3分)又ED ，FD ⊂平面EFD ，ED ∩FD ＝D ，所以平面EFD ∥平面A 1BC. 又EF ⊂平面EFD ，所以EF ∥平面A 1BC.(5分) (2) 解：设AA 1＝h ，V ABCA 1B 1C 1＝S △ABC ·h ＝34×4h ， 所以3h ＝26，即h ＝2 2.(6分) 因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，所以EF 与平面ABC 所成的角即为EF 与平面A 1B 1C 1所成的角． 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，所以EF 在平面A 1B 1C 1上的射影为C 1F ，所以∠EFC 1为EF 与平面A 1B 1C 1所成的角．(8分) 因为EC 1＝2，FC 1＝3，所以EF ＝5， 所以cos ∠EFC 1＝35＝155，即EF 与平面ABC 所成角的余弦值为155.(10分)18. 解：设AC ＝x ，在△ACD 中，由余弦定理可得49＝x 2＋25－2·x·5·cos π3，(2分) 即x 2－5x －24＝0，解得x ＝8或x ＝－3(舍去)，所以AC ＝8.(3分) 选择条件①：由正弦定理得sin Csin B ＝sin BsinA ＋B2.(4分) 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以sin C ＝sinA ＋B2.(5分) 因为A ＋B ＝π－C ，所以sin C ＝2sin C 2cos C 2＝cos C2.(6分)因为C ∈(0，π)，所以C 2∈(0，π2)，所以cos C2≠0，所以sin C 2＝12，即C 2＝π6，C ＝π3.(10分)又A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形，所以AB ＝8，(11分)所以DB ＝3，故AD ＞DB.(12分) 选择条件②： 由cos B ＝217，得sin B ＝277.(5分) 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝32×217＋12×277＝5714.(8分) 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即AB 5714＝8277，(10分) 解得AB ＝10.(11分)又AD ＝5，故AD ＝DB.(12分) 选择条件③：因为bcos C ＋csin B ＝a ，由正弦定理得sin Bcos C ＋sin Csin B ＝sin A ．(4分)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin Bcos C ＋sin Csin B ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ， 所以sin Csin B ＝sin Ccos B.因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．(7分) 因为B ∈(0，π)，故B ＝π4，所以∠ACB ＝5π12.(8分)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即AB 6＋24＝822，(10分) 解得AB ＝4(3＋1)＞10.(11分)因为AD ＝5，所以AD ＜DB.(12分)19. 解：(1) 因为f′(x)＝3x 2－6x ＋3b ，(1分)由题意可得{f′（0）＝0，f （0）＝1，解得b ＝0，c ＝1，(3分) 所以f(x)＝x 3－3x 2＋1； 经检验，适合题意．又f(1)＝－1，f ′(1)＝－3，(5分)所以函数y ＝f(x)图象在x ＝1处的切线的方程为y －(－1)＝－3(x －1)， 即3x ＋y －2＝0.(6分) (2) 因为f′(x)＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.(8分)当x ＜0时，f ′(x)＞0，函数f(x)为增函数； 当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0，函数f(x)为减函数； 当x ＞2时，f ′(x)＞0，函数f(x)为增函数．(9分) 因为函数f(x)在[t ，t ＋2]上不单调， 所以t ＜0＜t ＋2或t ＜2＜t ＋2，(11分) 所以－2＜t ＜0或0＜t ＜2.(12分)20. (1) 证明：连接BD ，BD ＝CD 2＋CB 2＝22，AD ＝22， 所以BD 2＋AD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD.(2分)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD.因为PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥PA.(4分)(2) 解：延长AD ，BC 相交于点M ，连接PM ， 因为M ∈平面PAD ，M ∈平面PBC ，所以M ∈l. 又P ∈l ，所以PM 即为交线l.(5分) 取AB 中点Q ，连DQ ，则DQ ⊥DC ，过D 在平面PAD 内作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD.分别以DQ ，DC ，DH 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(6分) 则P(1，－1，2)，C(0，2，0)，M(－2，2，0)，D(0，0，0)， 所以DP →＝(1，－1，2)，DC →＝(0，2，0)．设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则m·DC →＝0，m ·DP →＝0， 所以{y ＝0，x ＋2z ＝0，取m ＝(－2，0，1)．(8分) 设N(x 1，y 1，z 1)，PN →＝λPM →，则(x 1－1，y 1＋1，z 1－2)＝λ(－3，3，－22)， 所以x 1＝1－3λ，y 1＝－1＋3λ，z 1＝2－2λ， PN →＝(1－3λ，－1＋3λ，2－2λ)，DC →＝(0，－2，0)．设平面NDC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ·DC →＝0，n ·PN →＝0，所以{y 2＝0，（1－3λ）x 2＋（2－2λ）z 2＝0，取n ＝(2－2λ，0，3λ－1)，(10分)所以|cos 〈m ，n 〉|＝|（－2）×2×（1－λ）＋3λ－1|3·2（1－λ）2＋（3λ－1）2＝13， 所以8λ2－10λ＋3＝0，所以λ＝12或λ＝34，经检验λ＝34时，不合题意，舍去．所以存在点N ，点N 为PM 的中点．(12分)21. 解：(1) 设事件A 的概率为P(A)，则由频率分布直方图，可得1件产品为废品的概率为P ＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C 33(0.3)3＝1－0.027＝0.973.(2分)(2) 由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中， m ∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4； m ∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；m ∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1.故利用分层抽样抽取的7件产品中，m ∈[85，90)的有4件，m ∈[90，95)的有2件，m ∈[95，100]的有1件．(4分)从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m ∈[90，95)的件数X 的所有可能取值为0，1，2，P(X ＝0)＝C 33C 37＝27，P(X ＝1)＝C 12C 25C 37＝47，P(X ＝2)＝C 22C 15C 37＝17，所以X 的分布列为(7分)所以E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.(8分)(3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m 与利润y(元)的关系如下表所示(1＜t ＜4)：故每件产品的利润y ＝0.3t ＋0.8t ＋0.6t ＋0.8t －0.5e ＝2.5t －0.5e (1＜t ＜4)．(10分) 则y′＝2.5－0.5e t ，令y′＝2.5－0.5e t ＝0，得t ＝ln 5，故当t ∈(1，ln 5)时，y′＞0，函数y ＝2.5t －0.5e t 单调递增； 当t ∈(ln 5，4)时，y ′＜0，函数y ＝2.5t －0.5e t 单调递减． 所以当t ＝ln 5时，y 取得最大值，为2.5×ln 5－0.5e ln 5＝1.5.所以生产该产品能够盈利，当t ＝ln 5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．(12分) 22. (1) 解：(解法1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．(1分) 由题意f′(x)＝(x ＋1)(e x －ax )＝(x ＋1)xe x －a x， 令xe x －a ＝0，得a ＝xe x ，令g(x)＝xe x ，g ′(x)＝e x ＋xe x ＝(x ＋1)e x ＞0，所以g(x)在x ∈(0，＋∞)上为增函数，且g(0)＝0，所以a ＝xe x 有唯一实根，即f′(x)＝0有唯一实根，设为x 0，即a ＝x 0ex 0，(3分) 所以f(x)在(0，x 0)上为减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)min ＝f(x 0)＝x 0ex 0－a(ln x 0＋x 0)＝a －aln a ．(5分)(解法2)f(x)＝xe x －a(ln x ＋x)＝e ln x ＋x －a(ln x ＋x)(x ＞0)． 设t ＝ln x ＋x ，则t ∈R .记φ(t)＝e t －at(t ∈R )，故f(x)最小值即为φ(t)最小值．(3分) φ′(t)＝e t －a(a ＞0)，当t ∈(－∞，ln a)时，φ′(t)＜0，φ(t)单调递减， 当t ∈(ln a ，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增， 所以f(x)min ＝φ(ln a)＝e ln a －aln a ＝a －aln a ， 所以f(x)的最小值为a －aln a ．(5分)(2) ①解：当a≤0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；(6分)当a＞0时，由(1)可知f(x)min＝a－aln a.设φ(a)＝a－aln a(a＞0)，所以φ′(a)＝－ln a，当a∈(0，1)时，φ′(a)＞0，φ(a)单调递增，当a∈(1，＋∞)时，φ′(a)＜0，φ(a)单调递减，所以φ(a)max＝φ(1)＝1，即a－aln a≤1.(7分)由已知f(x)≥1恒成立，所以a－aln a≥1，所以a－aln a＝1，所以a＝1.(8分)②证明：由①可知xe x－ln x－x≥1，因此只需证x2＋x＞2ln x＋2sin x.因为ln x≤x－1，只需证x2＋x＞2x－2＋2sin x，即x2－x＋2＞2sin x．(10分)当x＞1时，x2－x＋2＞2≥2sin x，结论成立；当x∈(0，1]时，设g(x)＝x2－x＋2－2sin x，g′(x)＝2x－1－2cos x，当x∈(0，1]时，g′(x)显然单调递增．g′(x)≤g′(1)＝1－2cos 1＜0，故g(x)单调递减，g(x)≥g(1)＝2－2sin 1＞0，即x2－x＋2＞2sin x.综上，结论成立．(12分)11。