线性规划简介

i
j
i
i
j
j
i
j
ij
课堂练习二
问 题 分 析
变量：从仓库 A 运往 B 的产品数量 设为 x ; i 1,2, j 1,2,3,4
i
j
ij
目标函数：总运费最小 费用函数 c x
2 4 i 1 j 1 ij
ij
约束条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数 量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
第一章 线性规划及单纯形法
Linear Programming
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划问题及数学模型
规划问题：
在既定的资源限制条件下，如 何确定方案，使预期目标达到最优。
x1 + x2 5
x1，x2 0
线性规划问题及数学模型
例2 ：
捷运公司拟在下一年度的 1-4 月的 4 个月 内需租用仓库堆放物资，已知各月所需仓库 面积如表一。仓库租借费用随合同期限而定， 合同期越长，折扣越大，具体见表二。租借 仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体 规定租用面积数和期限。该厂可在任何一月 办理租借合同，每次办理一份或若干份均可。 为使租借费用最小，公司应如何选择签订合 同的最优决策？
线性规划问题的标准形式
用向量表示为：
目标函数： max z CX P x b j 1 j j 约束条件： j 1,2,, n x j 0, C c1 , c2 ,, cn ;
n
a1 j x1 b1 a2 j x2 b2 X ; Pj ; b ; j 1,2, n x b a n m mj
课堂练习二
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓 库 A ; i 1,2 发送到零售点 B ; j 1,2,3,4 ，仓库 A 能 供应的产品数量为 a ; i 1,2 ， 零售点 B 所需的产 品的数量为 b ; j 1,2,3,4 。假设供给总量和需求 总量相等，且已知从仓库 A 运一个单位产品往 B 的运价为 c 。问应如何组织运输才能使总运 费最小？
xi1 xi 2 xi 3 xi 4 ai ; i 1,2 x1 j x2 j bj ; j 1,2,3,4
ij
蕴含约束：数量非负 x 0; i 1,2, j 1,2,3,4
课堂练习二
模 型
min s.t.
c
i 1 j 1
2
4
ij
x ij
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
剩余变量
ຫໍສະໝຸດ Baidu
非标准型转化为标准型
3. 变量的转换
（1）若存在取值无约束的变量xk，可令,
xk x x
' k
' k " k
" k
其中，
x ,x 0 （2）若 x 0 ，可令x x
'
k
k
k
,显然
x 0
' k
非标准型转化为标准型
4. 右端项常数的转换
若约束条件的右端项
b 0
i
时，只需在
变量：每天生产三种产品的数量，分别设为
x1 , x2 , x3
目标函数：每天的生产利润最大， 利润函数 3x 5 x 4 x 约束条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P ： 2 x 3x 1500 原料 P ： 2 x 4 x 800 原料 P ： 3x 2 x 5 x 2000 蕴含约束：产量为非负数
n
线性规划问题的标准形式
目标函数： max z c j x j
j 1 n
a x b , i 1, 2, , m ij j i 约束条件： j 1 x j 0, j 1, 2, , n 标准形式的规定：
n
（1） 目标函数是求最大值 （2） 所有约束条件均用等式表示 （3） 所有决策变量均取非负数 （4） 所有右端项常数均为非负数
i1 1 i2 2 in n i1 1 i2 2 in n i
i
a x a x a x s b , s 0
i i
或
a x a x a x b
i1 1 i2 2 in n
松弛变量
i
a x a x a x s b , s 0
i1 1 i2 2 in n i i i
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4 x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划问题的一般形式
线性规划问题的标准形式
用矩阵表示为：
目标函数： max z CX AX b 约束条件： X 0 a11 系数矩阵：A a m1 a1n ; P ,P , P 1 2 n amn
决策变量向量： X x1 , x2 ,, xn
课堂练习一
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条 件如表所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 产品Q1 料数量（公斤） 产品 Q2 产品 Q3 原料可用量 （公斤/日）
原料P1
原料P2
2
0
3
2
0
4
1500
800
原料P3
单位产品的利润 （千元）
3
3
2
5
5
4
2000
课堂练习一
问 题 分 析
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划模型特点
决策变量：向量(x1… xn)T 考虑和控制的因素非负 约束条件：线性等式或不等式 决策人要
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z 极大或极小
线性规划问题的一般形式
max(min) Z
C
j 1
n
j
X
j
n aij X j bi (i 1,2, , m) j 1 X j 0( j 1,2, , n)
目标函数
价值系数 决策变量
技术系数
右端项常数
线性规划问题的一般形式
“线性”的含义
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决 策变量改变量成正比 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独 立于其它变量 连续性：每个决策变量取连续值 确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
x11 + x12 +x13+x14 15 x12 + x13 +x14+x21 +x22+x23 10 x13 + x14 +x22+x23 +x31+x32 20 x14 + x23 +x32+x41 12 xij 0 (i =1,…,4; j =1,…,4)
第一节 线性规划问题及其数学模型
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
线性规划问题的标准形式
目标函数： max z c x c x c x
1 1 2 2 n 11 1 12 2 1n n 1
1 2 3
1
1
2
2
2
3
3
1
2
3
x1 , x2 , x3 0
课堂练习一
模型
max 3 x 1 5 x 2 4 x 3
s.t.
2 x 2 4 x 3 800
2 x1 3 x 2 1500
3 x 1 2 x 2 5 x 3 2000 x1 , x 2 , x 3 0
非标准型转化为标准型
0 b1 零向量： 0 ；资源向量： b 0 b m
T
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题及数学模型 二、线性规划模型特点 三、线性规划问题的一般形式 四、线性规划问题的标准形式 五、非标准型转化为标准型
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
非标准型转化为标准型
例1
max z x 2 x 3x 3 x 0 x 0 x
1 2 3 4 5
6
2 x x x x x 9 3 x x 2 x 2 x x 4 s.t. 4 x 2 x 3 x 3 x 6 x 0, j 1,,6
1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 j
非标准型转化为标准型
例2
min z x1 x2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 5 x1 0 max z x 1 x 2 x 3 -2 x1+x2-x3+x4=2 x1-2x2+2x3+x5=2 s .t . x1+x2-x3+x6=5 x 0; j 1, … ,6 j
线性规划问题及数学模型
例1
生产计划问题
Ⅰ 设备A (h) 设备B (h) 调试工序 (h) 0 6 1 Ⅱ 5 2 1 每天可用能力 15 24 5
利润 (元)
2
1
两种家电各生产多少, 可获最大利润?
线性规划问题及数学模型
解:设两种家电产量分别为变量x1 ， x2
max Z= 2x1 +x2
5x2 15 6x1 + 2x2 24
非标准型转化为标准型
1. 目标函数的转换 2.约束条件的转换
3. 变量的转换
4. 右端项常数的转换
非标准型转化为标准型
1. 目标函数的转换
求最小可以等价成求负的最大
min c x max c x

Z
o
-Z
x
非标准型转化为标准型
2. 约束条件的转换（不等式转化为等式）
a x a x a x b
非标准型转化为标准型
练习一： 将minZ= 0.15x1 + 0.25x2 + 0.1x3 50x1 + 150x2 + 90 x3 175 100x2 - 50x3 -30 70x1+ 10 x2 200 30x1 + 80x2 + 200 x3 100 xi 0 (i =1,2) 化为标准型
线性规划问题及数学模型
表1
月份
所需仓库面积
单位：100m2
1
15
2
10
3
20
4
12
表2
合同租借期限 1个月 合同期内 的租费 2800
单位：元/100m2
2个月 3个月 4个月 4500 6000 7300
线性规划问题及数学模型
minZ= 2800（ x11 + x21 +x31+x41 ） +4500（ x12 + x22+x32）+6000（ x13 + x23 ）+7300x14
等式或不等式的两端同乘（ -1 ），则右端 项必大于零
非标准型转化为标准型
例1
min
z x 2 x 3x 2 x x x 9 3x x 2 x 4 s .t . 4 x 2 x 3 x 6 x 0 , x 0 , x 取值无约束
目标函数 max(min) z c1 x1 c2 x2 约束条件 a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 am1 x1 am 2 x2 x1 , x2 , a1n xn (, ) b1 a2 n xn (, ) b2 (1.2) am xn (, ) bm , xn 0 (1.3) cn xn (1.1)
n
a x a x a x b a x a x a x b 约束条件： a x a x a x b x , x , , x 0
21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n 1 2 n