一次函数图形与二元一次方程组的结合

一次函数与二元一次程组、不等式结合专题

第一节基础篇

一、知识点回顾

1、求两直线的交点坐标方法是：联立两直线的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的纵横坐标。当两直线平行时，K相等，且方程组无解。

2、解关于x的不等式kx+b>mx+n从图象上看：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）

二、典型例题

例1：如图，观察图象，判断下列说法错误的是（）

分析：根据函数图象，利用函数与方程，不等式的关系即可求解．

解答：A、两个函数图像的交点坐标是（1，1），所以他们解析式组成的方程组的解释x=1，y=1，正确。

B、-3/5 x+8/5 ≤ 2x-1说明前面一个函数的图像在后面一个函数的图像下方，观察

图像可以得知，当x≥1时才能满足，正确；

C、不等式-3/5 x+8/5 ＞2x-1的解集是：x＜1．

∴不等式-3/5 x+8/5 ＞2x-1的解集是x＞1的说法错误

D、方程-3/5 x+8/5 = 2x-1表示的是两个函数的函数值相等，我们知道，当两个函

数图像交点时函数值相等，正确。

故选C

例2：下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是（）

分析：根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．

解答：∵x-2y=2，

∴y=1/2 x-1，

∴当x=0，y=-1，当y=0，x=2，

∴一次函数y=1/2 x-1，与y轴交于点（0，-1），与x轴交于点（2，0），

即可得出C符合要求，

故选：C．

例3：如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）

A．3x-2y+3.5=0 B．3x-2y-3.5=0 C．3x-2y+7=0 D．3x+2y-7=0

分析：如果设这个一次函数的解析式为y=kx+b，那么根据这条直线经过点P（1，2）和点Q （0，3.5），用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．

解答：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．

∵这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3.5），

∴{ k+b=2 ①

{ b=3.5 ②

解得{ k=-1.5

{ b=3.5

故这个一次函数的解析式为y=-1.5x+3.5，

即：3x+2y-7=0．

故选D．

例4：如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（）

分析：两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．

解答：直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；

直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；

因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是： x-y=-1 2x-y=1 ．

故选C．

例5：已知函数y=-2x+6与函数y=3x-4．

（1）在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象；

（2）求这两个函数图象的交点坐标；

（3）根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象的上方？

分析：（1）可用两点法来画函数y=-2x+6与函数y=3x-4的图象；

（2）两函数相交，那么交点的坐标就是方程组{ y=-2x+6，{ y=3x-4 的解；

（3）函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象的上方，即-2x+6＞3x-4，解得x＜2．解答：（1）函数y=-2x+6与坐标轴的交点为（0，6），（3，0）

函数y=3x-4与坐标轴的交点为（0，-4），

（4 3 ，0）作图为：

（2）解：根据题意得

方程组{ y=-2x+6 ①

{ y=3x-4 ②

解得 x=2 y=2

即交点的坐标是（2，2）

∴两个函数图象的交点坐标为（2，2）

（3）由图象知，当x ＜2时，函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象上方． 例6、若一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图像没有交点,则方程组⎩⎨⎧=+=0b y -x K -b y -x k 22

1

1的解的

情况是 ( ) .

A. 有无数组解

B. 有两组解

C. 只有一组解

D. 没有解 例7、若方程组⎩⎨

⎧=+=+3

2y 2x 2y x 没有解,由此一次函数y=2-x 与y=23

-x 的图像必定 ( ).

A. 重合

B. 平行

C. 相交

D. 无法判断

三、解题经验

理解两个函数图像交点处的各种意义，一般情况下，交点处表示两个函数的函数值相等。也表示这个两个同二元一次等方程组的解。交点往往是判断函数值大小的分界线。

第二节 提高篇

1、如图，直线L ：22

1

+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一

点C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。 （1）求A 、B 两点的坐标；

（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM≌△AOB，并求此时M 点的坐标。

2、在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 的图象过点B （﹣1，），与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，与直线y=kx 交于点P ，且PO=PA ，

B