高中数学《师说》系列一轮复习 第二讲 常用逻辑用语 理 新人教B版
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答案 充分条件 必要条件 充分且必要条件 充要条件 B 是 A 的必要条件 A 的必要条件是 B B 的充分条件是 A
考点串串讲
1．命题与逻辑联结词 (1)命题 初中课本中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命 题．而高中课本中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题．说法 不同，实质一样．语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不 能判断真假的语句就不是命题．如： ①3 是 12 的约数吗？ ②他是一个大胖子． ③x＞5. 它们都不是命题．语句①不涉及真假，语句②中“大胖子”没 有界定，所以不能判断，语句③，由于 x 是未知数也不能判断“x ＞5”是否成立．
(ⅴ)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理 是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题；命题一定有逆 命题，而定理未必有逆定理．
答案：真假 简单 复合 或 且 非 真假 假 真 真假真假真真假真假假
2．四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈
q 分别表示 p 和 q 的否定．于是四种命题的形式为： 原命题：________；逆命题：________； 否命题：________；逆否命题：________.
(ⅲ)“非 p”与否命题两者不可混淆． “非”就是否定，所以“非 p”也称为命题 p 的否定，但“非 p” 只否定命题包括简单命题和(含有或、且、非的)复合命题的结论，不 否定条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条 件与结论全部否定，这就是“非 p”与否命题的根本区别．
(ⅳ)“非 p”常用的否定词语
③对“或”、“且”、“非”的理解需注意： (ⅰ)“非”与求“补”的意义一样． (ⅱ)“非 p”必须包括 p 的所有对立面． 根据“非 p”与求“补”的意义相同，假定“非 p”与 p 的结论 所确定的集合分别为 A、B，全集为 U，则由 A∪B＝U，A∩B＝∅. 所以“非 p”的结论必须包括 p 的所有对立面． 如：在△ABC 中，设命题 p：∠A 一定是锐角，则“非 p”为： ∠A 一定不是锐角，而不能表述为：∠A 不一定是锐角． 因为“一定是”的对立面为“一定不是”，而不是“不一定 是”．正因为“非 p”包括 p 的所有对立面，所以“非 p”与 p 的真 假相反．
教材面面观
1．逻辑联结词 (1)可以判断________的语句叫命题，不含逻辑联结词的命题叫 做 ________ 命 题 ； 由 简 单 命 题 与 逻 辑 联 结 词 构 成 的 命 题 ， 叫 做 ________命题． (2)逻辑联结词 ________：两个简单命题至少一个成立． ________：两个简单命题均成立． ________：对一个命题的否定．
(3)真值表：表示命题________的表叫真值表． 复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：
p q 綈p
p∨q
p∧q
Байду номын сангаас
真 真 ________ ________ ________ 真 假 ________ ________ ________ 假 真 ________ ________ ________ 假 假 ________ ________ ________
(3)逻辑联结词 ①“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．这三个逻 辑联结词的使用，构成了三种基本逻辑运算，对于两个集合 A、B， 其内涵与集合运算中的“并”、“交”、“补”如出一辙：“或” 就是“或 A”、“或 B”、“或 A 与 B”三者的总和，与集合中求 “并”一致；“且”就是“既 A 且 B”等同于集合的“交”；而 “非”与集合中求“补”意义相同．因此，“或”、“且”、“非” 是三种逻辑运算，可用集合中的“并”、“交”、“补”来描述． ②除“或”、“且”、“非”这三个逻辑联结词外，还有其他 的逻辑联结词，如“若……则……”，“因为……所以……”等．这 些逻辑联结词也构成了命题之间的逻辑运算，但我们目前高中阶段 只研究三种最基本的逻辑运算．
(2)简单命题与复合命题 不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题．由简单命题与逻辑联 结词构成的命题，叫做复合命题． ①简单命题虽不含逻辑联结词，但它必须是命题，如果连命题 都不是更谈不上是简单命题了． ②含逻辑联结词的未必是复合命题． 如：语句：x＞2 或 x＜－2 就不是复合命题，因为它根本就不 是命题．而语句：可以被 5 整除的整数，末位是 0.此句没有逻辑联 结词，但它却是一个复合命题，因为它可以化为复合命题的另一种 形式——蕴含式，即“p q”形式．
①对于全称命题 p：∀x∈M，p(x)，其否定为綈 p：________；
②对于存在性命题 q：∃x∈M，q(x)，其否定为綈 q：________.
答案 全称量词 全称命题 存在量词 存在性命题 ∃ x∈M，綈 p(x) ∀x∈M，綈 q(x)
4．充要条件的概念 (1)充要条件：命题 A⇒B 成立，则 A 是 B 的________，B 是 A 的________．若 A⇒B 且 B⇒A，则 A 是 B 的________，简称________． (2)“A 是 B 的充分条件”与“________”是等价的，它们是同 一个逻辑关系“A⇒B”的不同表达． (3)“A 是 B 的充分条件”亦可说成“________”；“B 是 A 的 必要条件”亦可说成“________”；“A 是 B 的充要条件”，同时 “B 也是 A 的充要条件”．
答案 若 p 则 q 若 q 则 p 若綈 p 则綈 q 若綈 q 则綈 p
3．全称量词与存在量词 (1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做 ________ ， 并 用 符 号 “ ∀ ” 表 示 ， 含 有 全 称 量 词 的 命 题 叫 做 ________． (2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表 示事件的个体或部分，逻辑中通常叫做________，并用符号“∃” 表示，含有存在量词的命题叫做________． (3)全称命题与存在性命题的否定
考点串串讲
1．命题与逻辑联结词 (1)命题 初中课本中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命 题．而高中课本中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题．说法 不同，实质一样．语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不 能判断真假的语句就不是命题．如： ①3 是 12 的约数吗？ ②他是一个大胖子． ③x＞5. 它们都不是命题．语句①不涉及真假，语句②中“大胖子”没 有界定，所以不能判断，语句③，由于 x 是未知数也不能判断“x ＞5”是否成立．
(ⅴ)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理 是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题；命题一定有逆 命题，而定理未必有逆定理．
答案：真假 简单 复合 或 且 非 真假 假 真 真假真假真真假真假假
2．四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈
q 分别表示 p 和 q 的否定．于是四种命题的形式为： 原命题：________；逆命题：________； 否命题：________；逆否命题：________.
(ⅲ)“非 p”与否命题两者不可混淆． “非”就是否定，所以“非 p”也称为命题 p 的否定，但“非 p” 只否定命题包括简单命题和(含有或、且、非的)复合命题的结论，不 否定条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条 件与结论全部否定，这就是“非 p”与否命题的根本区别．
(ⅳ)“非 p”常用的否定词语
③对“或”、“且”、“非”的理解需注意： (ⅰ)“非”与求“补”的意义一样． (ⅱ)“非 p”必须包括 p 的所有对立面． 根据“非 p”与求“补”的意义相同，假定“非 p”与 p 的结论 所确定的集合分别为 A、B，全集为 U，则由 A∪B＝U，A∩B＝∅. 所以“非 p”的结论必须包括 p 的所有对立面． 如：在△ABC 中，设命题 p：∠A 一定是锐角，则“非 p”为： ∠A 一定不是锐角，而不能表述为：∠A 不一定是锐角． 因为“一定是”的对立面为“一定不是”，而不是“不一定 是”．正因为“非 p”包括 p 的所有对立面，所以“非 p”与 p 的真 假相反．
教材面面观
1．逻辑联结词 (1)可以判断________的语句叫命题，不含逻辑联结词的命题叫 做 ________ 命 题 ； 由 简 单 命 题 与 逻 辑 联 结 词 构 成 的 命 题 ， 叫 做 ________命题． (2)逻辑联结词 ________：两个简单命题至少一个成立． ________：两个简单命题均成立． ________：对一个命题的否定．
(3)真值表：表示命题________的表叫真值表． 复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：
p q 綈p
p∨q
p∧q
Байду номын сангаас
真 真 ________ ________ ________ 真 假 ________ ________ ________ 假 真 ________ ________ ________ 假 假 ________ ________ ________
(3)逻辑联结词 ①“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．这三个逻 辑联结词的使用，构成了三种基本逻辑运算，对于两个集合 A、B， 其内涵与集合运算中的“并”、“交”、“补”如出一辙：“或” 就是“或 A”、“或 B”、“或 A 与 B”三者的总和，与集合中求 “并”一致；“且”就是“既 A 且 B”等同于集合的“交”；而 “非”与集合中求“补”意义相同．因此，“或”、“且”、“非” 是三种逻辑运算，可用集合中的“并”、“交”、“补”来描述． ②除“或”、“且”、“非”这三个逻辑联结词外，还有其他 的逻辑联结词，如“若……则……”，“因为……所以……”等．这 些逻辑联结词也构成了命题之间的逻辑运算，但我们目前高中阶段 只研究三种最基本的逻辑运算．
(2)简单命题与复合命题 不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题．由简单命题与逻辑联 结词构成的命题，叫做复合命题． ①简单命题虽不含逻辑联结词，但它必须是命题，如果连命题 都不是更谈不上是简单命题了． ②含逻辑联结词的未必是复合命题． 如：语句：x＞2 或 x＜－2 就不是复合命题，因为它根本就不 是命题．而语句：可以被 5 整除的整数，末位是 0.此句没有逻辑联 结词，但它却是一个复合命题，因为它可以化为复合命题的另一种 形式——蕴含式，即“p q”形式．
①对于全称命题 p：∀x∈M，p(x)，其否定为綈 p：________；
②对于存在性命题 q：∃x∈M，q(x)，其否定为綈 q：________.
答案 全称量词 全称命题 存在量词 存在性命题 ∃ x∈M，綈 p(x) ∀x∈M，綈 q(x)
4．充要条件的概念 (1)充要条件：命题 A⇒B 成立，则 A 是 B 的________，B 是 A 的________．若 A⇒B 且 B⇒A，则 A 是 B 的________，简称________． (2)“A 是 B 的充分条件”与“________”是等价的，它们是同 一个逻辑关系“A⇒B”的不同表达． (3)“A 是 B 的充分条件”亦可说成“________”；“B 是 A 的 必要条件”亦可说成“________”；“A 是 B 的充要条件”，同时 “B 也是 A 的充要条件”．
答案 若 p 则 q 若 q 则 p 若綈 p 则綈 q 若綈 q 则綈 p
3．全称量词与存在量词 (1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做 ________ ， 并 用 符 号 “ ∀ ” 表 示 ， 含 有 全 称 量 词 的 命 题 叫 做 ________． (2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表 示事件的个体或部分，逻辑中通常叫做________，并用符号“∃” 表示，含有存在量词的命题叫做________． (3)全称命题与存在性命题的否定