中学课程案例分析

第四节 一些案例（课堂教学片段）的评析

上一节， 我们看了许多完整的一堂课的课例。 这一节， 我们将考察一些“教学小品”， 摘录课堂教学中的一些片段， 叙述一些发人深思的情节，供大家思考。

一．同一例题的不同“命运”

这是在高三两个班级讲解同一道例题时意外发生的故事。例题如下：

“已知函数f(x)=(m-2)x 2-4mx+2m-6的图象与x 轴的负半轴有公共点，求实数m 的取值

范围。”

以下是发生在甲班的教学过程。

教师：大家在解此类问题时，是否通常考虑作出f(x)的草图？（得到肯定回答后）而f(x)的图象位置依赖于m 的取值，那么分类讨论的着眼点该如何确定？

学生甲：讨论图象的“开口”。

学生乙：讨论图象与x 轴的交点。

师：好，下面我们选一种思路试试看如何？（“试学生甲的”，有学生建议）那就讨论“开口”吧。（教师开始板演）

解：（讨论“开口”，解题结构为⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧><≠=22,22

m m m m ） (1) m=2时， f(x)=-8x-2, 符合题意。

(2) m ＜2时，符合题意的草图如下：

⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆.,0,02

121o x x x x 或 ⎩⎨⎧<+=.0,0)0(21x x f 或 f (0)＞0. ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<-≥-≤.0262,024,16m m m m m m 或 或⎪⎩⎪⎨⎧<-=024,3m m m 或2m-6＞0.

所以1≤m ＜2.

(上述第一步主要由教师给出，后两步则主要由学生完成。)

（3）m ＞2时，符合题意的草图如下：

⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆.,0,02

121o x x x x 或 ⎩⎨⎧<+=.0,0)0(21x x f 或 f (0) ＜0. 所以2＜m ＜3.

综合（1）（2）（3）得，所求m 的范围是1≤m ＜3。

教师：本题就解到此。留两个问题课后自己研究①本题可否简化？②试一试同学乙“讨论交点”的思路。

至此，仅用13分钟便完成了这一例题的讲解。教师认为目的已经达到，按预先教案，依次讲完其余四个例题。

以下是乙班的授课记录（教案同甲班）。

与甲班一样，出示例题后教师提问“分类讨论的着眼点该如何确定？”

生A ：讨论“∆”。

生B ：讨论f(x)=0的根。

师（突然想换一种授课方法）：请两位同学上黑板尝试一下。

生A 的板演：（解不等式过程略）

（1） Δ=0时，m=1 或m=-6，经检验，m=-6时函数图象与x 轴的负半轴无公共

点，舍去。

（2） Δ＞0时，⎩⎨⎧<<+.0,02121x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-=.0)

2(24,0)0(m m f 或.021

综合（1）、（2）得，m 的范围是1≤m ＜2 或2＜m ＜3

生B 的板演： （1） m =2时，f(x) =0. 即得x=4

1-

，符合题意。 （2） m ≠2时，f(x) =0的根有三种情形。 ⎩⎨⎧<<.0,021x x 或 ⎩⎨⎧=<.

0,021x x 或 ⎩⎨⎧><.0,021x x ⇔1≤m ＜2 或m φ∈ 或2＜m ＜3. .

综合（1）、（2）得，m 的范围是1≤m ＜3。

师（讲评）：

①A 同学为何会遗漏m=2？（稍许由其自我纠正）

②B 同学的解题过程有两处细节请大家注意。其一⎩⎨⎧><.0,021

x x ⇔（m-2）f(0) ＜0是怎

么回事？（B 同学解释其几何意义）；其二⎩⎨⎧<<.

0,021x x 与⎩⎨⎧><+.0,02121x x x x 是否等价？（这一问，引起一点“波动”，但很快也达成了共识。）

至此，该例的教学本应结束，并且课已进行了25 分钟。可不知是受到学生的感染，还是教师希望出现在甲班上演过的讨论“开口”方法，教师不经意地问了一声：“有不同解法吗？”不问则罢，一问果真还有下文：

生C ：我的列式与A 、B 都不同，但结果一样。

生D ：我不知道自己列的式对不对，好象答案没错。（学生一片笑声。）

师（教师既受到鼓舞又担心时间，但还是决定让学生继续展示不同的想法）：请两位同学到黑板上展示一下自己的过程。

此时，教室内一片寂静，大家都在期待看到新的解法。

生C 的板演：

m =2时，符合题意。

m ≠2时，⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆.,0,02121o x x x x 或 ⎩⎨⎧<>∆.0,021x x

（教师插话：只要写到这里）

生D 的板演：

m=2时，符合题意；

m ≠2时，021∆.0,021x x 还是⎩⎨⎧<≥∆.

0,021x x 呢？凑巧的是021∆（或0≥∆）又不影响结论。进一步分析“021

⎪⎨⎧≤-≥∆.0)2(24,0m m ”的含义，改用“图形”语言，直观地看一看如何？ （a ） （b ） （c ） （d ） （e ） 从中可见，（a ）（b ）（c ）（d ）（e ）五种情形中有的被重复考虑了，如(a)和（d ）。但重要的是所有可能的情形没有漏掉。所以，结论一定是正确的！