初一升初二数学衔接教材
北师版数学初一升初二暑假衔接教材
第一讲、三角形总复习基础知识1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。
三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。
从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。
因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。
因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。
例题精讲一、三角形内角和定理的应用【例1】如图1，已知∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，E 是AD 上一点。
求证：∠>∠B E D C二、三角形三边关系的应用【例2】已知：如图，在∆A B C中，AB>AC ，AM 是BC 边的中线。
求证：()A M A B A C >-12。
三、角平分线定理的应用【例3】如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。
求证：AM 平分DAB 。
四、全等三角形的应用1、构造全等三角形解决问题【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。
求证：∆A M N的周长等于2。
2、“全等三角形”在综合题中的应用【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。
点B在AE的延长线上，点D在AF上。
若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。
求AC的长。
五、中考点拨【例6】如图，在∆A B C中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】A. 9B. 8C. 7D. 6六、题型展示【例7】已知：如图，∆A B C 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。
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第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +； （15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
2022年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十五讲 等腰直角三角形 新人教版
DACBD A M EC B DA M CB 第十五讲：等腰直角三角形如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 根本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=12BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.第一局部【能力提高】一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.〔1〕求证：MD=ME ；其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④12ABCADME S S四.〔2〕如图，假设D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究〔1〕中的结论.二、如图，点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ．〔1〕求证：DE 平分∠BDC；〔2〕假设点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．DAE C B A NM P E CB D E AC B图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. 〔1〕求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；〔2〕如图2，假设AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB的垂线BE.〔1〕求证：AD=DE ；E B D A C C A D B E图2图3CA DB EEBDA CCADBE 图4图5图6〔2〕拓展变化一：图形的演变〔纵深演变〕如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；〔3〕拓展变化二：条件的演变〔横向演变〕如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.A CPA CPA CP第二局部【综合运用】五、〔1〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°；〔2〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，求证：∠APB=90°；〔3〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，求证：∠APB=90°〔∠APC=∠BPC=45°〕；ACP ACPACHP B〔4〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；〔5〕如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；〔6〕如图，在〔1〕～〔5〕的条件下，过C作CH⊥AP于点H.求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；ACHPDACBEODACBM EN〔7〕如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同〔1〕～〔6〕的条件、结论，进行探究.六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、CD交于点O.〔1〕求证：BE=CD；〔2〕求∠BOC的度数；〔3〕连接AO，求证：AO平分∠DOE；〔4〕M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.。
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第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。
(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)
目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
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第一讲 与三角形有关的线段 【2 】常识点1.三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾按序相接构成的图形叫做三角形.构成三角形的线段叫做三角形的边,相邻双方所构成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻双方的公共端点是三角形的极点. ☑ 三角形的表示办法三角形用符号“△”表示,极点是A,B,C 的三角形,记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的极点C 所对的边AB 可用c 表示,极点B 所对的边AC 可用b 表示,极点A 所对的边BC 可用a表示.常识点2.三角形的三边关系【探讨】随意率性画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点动身,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的双方之和大于第三边,可用字母表示为a+b ＞c,b+c ＞a,a+c ＞b拓展：a+b ＞c,根据不等式的性质得c-b ＜a,即双方之差小于第三边. 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的随意率性一边小于另二边和,大于另二边差）【演习1】一个三角形的双方长分离为3cm 和7cm,则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【演习2】有下列长度的三条线段可否构成三角形？为什么？ (1)3,5,8; (2)5,6,10; (3)5,6,7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a.b.c,a+b ＞c,扎西以为：这三条线段能构成三角形.你赞成扎西的意见吗？为什么？ 【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形. （1）假如腰长是底边的2倍,那么各边的长是若干？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【演习】1.三角形三边为3,5,3-4a,则a 的规模是.2.三角形双方长分离为25cm 和10cm,第三条边与个中一边的长相等,则第三边长为.3.等腰三角形的周长为14,个中一边长为3,则腰长为4.一个三角形周长为27cm,三边长比为2∶3∶4,则最长边比最短边长.5.等腰三角形双方为5cm 和12cm,则周长为.6.已知：等腰三角形的底边长为6cm,那么其腰长的规模是________.abc(1)CBA7.已知：一个三角形双方分离为4和7,则第三边上的中线的规模是_________. 8.下列前提中能构成三角形的是（ ）A.5cm, 7cm, 13cmB.3cm, 5cm, 9cmC.6cm, 9cm, 14cmD.5cm, 6cm, 11cm 9.等腰三角形的周长为16,且边长为整数,则腰与底边分离为（ ） A.5,6 B.6,4 C.7,2 D.以上三种情形都有可能 11.一个三角形双方分离为3和7,第三边为偶数,第三边长为（ ） A.4,6 B.4,6,8 C.6,8 D.6,8,10 11.△ABC 中,a=6x,b=8x,c=28,则x 的取值规模是（ ） A.2＜x ＜14 B.x ＞2 C.x ＜14 D.7＜x ＜14 12.指出下列每组线段可否构成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6 13.已知等腰三角形的双方长分离为11cm 和5cm,求它的周长.14.已知等腰三角形的底边长为8cm,一腰的中线把三角形的周长分为两部分,个中一部分比另一部分长2cm,求这个三角形的腰长.15.已知等腰三角形一边长为24cm,腰长是底边的2倍.求这个三角形的周长.16.如图,求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD常识点3 三角形的三条主要线段三角形的高(1)界说：从三角形的一个极点向它的对边地点的直线画垂线,极点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的论述办法 ①AD 是△ABC 的高 ②AD ⊥BC,垂足为D③点D 在BC 上,且∠BDA=∠CDA=90度 【演习】画出①.②.③三个△ABC 各边的高,并解释是哪条边的高.①②③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AB C A B CB ACABCDAC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有差别吗？_____________________________________________[探讨] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高,看看有什么发明？假如△ABC 是直角三角形.钝角三角形,上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）界说：在三角形中,衔接一个极点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.【探讨2】如图,AD 为三角形ABC 的中线,△ABD 和△ACD 的面积比拟有何干系？【例2】如图,已知△ABC 的周长为16厘米,AD 是BC 边上的中线,AD=45AB,AD=4厘米,△ABD 的周长是12厘米,求△ABC 各边的长. ☑ 三角形的角等分线（1）界说：三角形的一个角的等分线与这个角的对边订交,这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角等分线.[辨析]三角形的角等分线与角的等分线是一样的吗？ 画出△ABC 各角的角等分线,并解释是哪角的角等分线.[探讨]不雅察画出的三条角平线,你有什么发明？_______________________________ [自我检测]如图,AD.AE.CF 分离是△ABC 的中线.角等分线和高,则： (1)BD=______=12________;(2)BC=2_______=2_______;(3)∠BAE=_______=12_______;(4)∠BAC=2_______=2_______;(5)_______=________=90常识点4 三角形的稳固性三角形的三边长一旦肯定,三角形的外形就独一肯定,这共性质叫做三角形的稳固性.四边形则不具有稳固性. 钢架桥.屋顶钢架和起重机都是应用三角形的稳固性,伸缩门则是应用四边形的不稳固性.你还能举出一些例子吗？A B C BA C FEDCBA【试一试】1.如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm,则AB 与AC 的差为_______2.如图,D 为△ABC 中AC 边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E 是AB 上一点,且△ABC 的面积等于△DEC 面积的2倍,则BE 的长为（ ）3.若点P 是△ABC 内一点,试解释AB+AC ＞PB+PC【课后功课】1.AD 是△ABC 的高,可表示为,AE 是△ABC 的角等分线,可表示为,BF 是△ABC的中线,可表示为.2.如图2,AD 是△ABC 的角等分线,则∠=∠=12∠;E 在AC 上,且AE=CE,则BE 是△ABC 的;CF 是△ABC 的高,则∠=∠=900,CFAB.3.如图3,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角等分线,若BD=2cm,则BC=;若∠BAC=600,则∠CAE=. 4.如图4,以AD 为高的三角形共有.5.三角形的一条高是一条……………………………（ ）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线6.下列说法中,精确的是………………………………（ ） A.三角形的角等分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高.中线.角等分线必定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部 7.下列图形具有稳固性的是………………………………（ ）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形 8.如图8,AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,AD.CE 交于点O,OF ⊥CE,则下列说法中精确的是………………………………………………………（ ） A.OE 为△ABD 中AB 边上的高 B.OD 为△BCE 中BC 边上的高 C.AE 为△AOC 中OC 边上的高 D.OF 为△AOC 中AC 边上的高9. 如图,BD 是△ABC 的角等分线,DE ∥BC,交AB 于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,求∠BED 的度数．CA B DEF图2 AB D EC 图3 A B ED C 图410.已知BD 是△ABC 的中线,AC 长为5cm,△ABD 与△BDC 的周长差为3cm.AB 长为3cm,求BC 的长. 11.如图11,在△ABC 中,∠ACB=900,CD 是AB 边上的高,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) △ABC 的面积;(2)CD 的长.12.如图12,D 是△ABC 中BC 边上一点,DE ∥AC 交AB 于点E,若∠EDA=∠EAD,试解释,AD 是△ABC 的角等分线.第二讲 与三角形有关的角 常识点1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800.【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是经由过程试验得到的,这个命题是不是真命题还须要证实,如何证实呢？回想我们小学做过的试验,你是如何操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的极点处,用量角度量出∠BCD 的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.想一想,还可以如何拼？①剪下∠A ,按图（2）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.假如把上面移动的角在图长进行转移,由图1你能想到证实三角形内角和等于1800的办法吗？ 证实：已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=1800..【例1】如图,C 岛在A 岛的北偏东30°偏向,B 岛在A 岛的北偏东100°偏向,C 岛在B岛的北偏西55°偏向,从C 岛看A.B 两岛的视角∠ACB 是若干度？【评论辩论】直角三角形的两锐角之和是若干度?A AA A图11A EB DC图12结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt △”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC. 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形.常识点2.三角形的外角界说：三角形的一边与另一边的延长线构成的角,叫做三角形的外角. [自我探讨] 画出图中三角形ABC 的外角1.断定图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2.如图,(1)∠1.∠2都是△ABC 的外角吗？________________ (2)△ABC 共有若干个外角？___________________请在图中标出△ABC 的其它外角.3.探讨题：如图,这是我们证实三角形内角和定理时画的帮助线,你能就此图解释∠ACD 与∠A.∠B 的关系吗？∵C E ∥AB, ∴∠A=_____,_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个极点处有两个外角,便在盘算三角形外角和时,每个极点处只算一个外角,外角和就是三个外角的和.外角的感化：1.已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个2.可证一个角等于另两个角的和3.证实两个角不相等的关系 [课后演习]1.填空：求出下列各图中∠1的度数.(1)如图,∠1=______;(2)如图,∠1=______;(3)如图,∠1=______;(1)1B AC D (3)1AB C D(4)AB C D 1(5)E AB C D 1(6)E AB CD12ABC1(2)1A B C D A(1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角,等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( ) 2.已知：如图,∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°, 则(1)∠4=______°;(2)∠5=______°.3.已知：如图∠1=40°,∠2=∠3,则 (1)∠4=______°;(2)∠2=______°.4.如图,AB ∥CD,∠B=55°,∠C=40°,则 (1)∠D=______°;(2)∠1=______°.5. 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角,它们的和是若干？ 解：因为∠BAE=∠__+∠____, ∠CBF=∠__+∠___,∠ACD=__________, 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠__+∠___）+（________）+（___________） =2（∠1+_________）=2×180°=360°. 6.已知：如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=________°. 7.已知：如图,BD 是△ABC 的角等分线, ∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=________°. 8.*如图,AD.BE 分离是△ABC 的高和角等分线,∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=________°. 9.如图所示,D,E 分离AC,AB 边上的点,DB,EC 相 交于点F,则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________10.△ABC 中,∠B=∠A+100,∠C=∠B+200,求△ABC 各内角的度数11.如图所示,已知∠1=∠2,∠BAC=70度,求∠DEF 的度数.12.如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分离等分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.第2题图54321第4题图DCBA1第3题图4321123DE FB AC第5题图DABCABDC1E ABDC第6题第7题第9题第8题OCBA13.如图所示,在△AB C 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321D CB A第三讲 多边形及其内角和一、 常识点总结11180223601332n n n n n ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎪︒-⎪︒⎨⎪⎪-⎩由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
初一升初二衔接预科班-第六讲：不定方程的求解
第六讲：不定方程的解法1.某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今有甲乙丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道，他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工，若干天后的零时甲完成任务，几天后的18时乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别是300米，240米，180米，问这段路面的长为3300 米．2.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树8棵，6棵，10棵．若乙在A地植树10小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A 地比B地早9小时完成，则乙应在A地植树18 小时后立即转到B地．3.我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了168 本书．4.某校初三在综合实践活动中举行了“应用数字”智能比赛，按分数高低取前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，则调整后一等奖比二等奖平均分数多 5 分．5.分别将标号为1到25的25个玻璃球放在两个盒子A和B中，其中标号为15的玻璃球被放在B盒子中．把这个玻璃球从B盒子移到A盒子中，此时A盒子中的玻璃球号码数的平均数等于原平均数加，B盒子中的玻璃球号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在A 盒子中放有14 个玻璃球．6.有三位学生利用暑期参加勤工俭学活动，一天他们分别带着西瓜到农贸市场去卖：第一人带了10个，第二人带了16个，第三人带了26个，上午他们按同一价格卖出了若干个西瓜（按西瓜个数出售），过了中午，怕卖不完，他们跌价把所剩的西瓜按同一价格全部卖掉了．回家后，他们清点了卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的款一样多，每人都卖得42元，则他们的西瓜上、下午卖出的价格分别是 4.5 元、 1.5 元．7.随着电影《流浪地球》的热映，科幻大神刘慈欣的著作受到广大书迷的追捧，《流浪地球》、《球状闪电》、《三体》、《超新星纪元》四部小说在某网上书城热销。
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
15
思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
16
学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源
初高中数学衔接教材((一) - 中考高考 - 道客巴巴
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初高中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学教学衔接的思考及教学策略
如何采取有效措施搞好初高中数学衔接
初高中数学衔接知识练习
初高中数学衔接练习材料
搞好初高中数学教学衔接的体会
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初高中数学衔接教材教案（5讲）
关于初高中数学衔接教学研讨会的通知
高中数学教学论文：初高中数学衔接教学
暑假初一升初二数学提高班教材(16讲)之欧阳体创编
汇世纪教育（包含集团旗下高端个性化教育品牌——学远教育）创办于2004年，专业从事中小学生课外文化辅导教育，企业以“促进区域教育公平，共享优质教育资源”为使命，致力于将优质教育资源、先进教学模式、专业教学服务提供到中小县城，帮助三四线城市的中小学生获得更好的教育和发展机会。
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初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。
初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。
那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。
初二时，每门主科都要做到出现问题立刻解决掉，因为到了初三，未解决的知识漏洞不但会影响新知识的学习，更重要的是没时间来补回前面出现的问题（初三的新知识集中在上学期学完，下学期进入复习，学习任务很繁重）。
2024年浙教版八上数学初一升初二预习——1.9尺规作图(含五种基本作图)
什么叫做角平分线？
角平分线定义：把一个角分成两个相等的 角的射线，叫做这个角的平分线。
O
c
B
探索
基本作图3 "平分已知角".
（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA
于C 点，交OB 于D 点；
（2）分别以C、D
为圆心，以大于
1 2
CD
长为半
径画弧，两弧相交于P 点；
A
（3）作射线OP ， 则：射线OP即为所求. C
点的距离相等；反过来，到线段两端点 距离相等的点在线段的垂直平分线上。
练习：A、B是两个村庄，要从灌溉总渠引 两条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。
A
初中数学
B 灌溉总渠
五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角
(3)作一个角的平分线 (4)作已知线段的中垂线
（5）过一点作已知直线的垂线
初中数学
（1）.如图，点C在直线l上，
试过点C画出直线l的垂线．
作法：
1.以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，
交L于A、B两点.
2.分别以A、B为圆心，以大于 的长为
半径画弧，两弧相交于点D.
3.作直线CD.
则直线CD即为所求。
C
•
l
A
B
（2）的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在直线L的两侧；
• 在几何里,把限定用(没有刻度的)直尺和圆规来画图 的,称为尺规作图.
• 尺：没有刻度的直尺; 规：圆规 •最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
五种基本作图： 1.作一条线段等于已知线段。 2.作一个角等于已知角。 3.作已知角的平分线。 4.经过一已知点作已知直线的垂线。 5.作已知线段的垂直平分线。
初一升初二衔接 第二讲 探索勾股定理
第二讲 探索勾股定理一、勾股定理的内容1、直角三角形的两条直角边的长度分别为a=3㎝，b=4㎝和a=6㎝，b=8㎝ ①请你量出斜边c 的长度。
（1）（2） ②、进行有关的计算。
(1)a 2+b 2= c 2= (2) a 2+b 2= c 2=③、得出结论：2（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？3cm6cm 8cm（3）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？（4）你能发现课本图1－3中三个正方形A，B，C围成的直角三角形三边的关系吗？(5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。
勾股定理：用字母表示：【例题分析】1、求出下列直角三角形中未知边的长度。
2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积【巩固练习】1．在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝（2）若c＝41，a＝9，则b＝2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 ＆ 32 D．37 ＆ 33 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，CB＝5，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC 则MN 的长为（）A ．2B ．26C ．3D ．45．若正方形的面积为2cm 2，则它的对角线长为2cm （）6．已知四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝8，AD ＝4，BC ＝6，则以DC 为边的正方形面积为7．一个抽斗的长为24cm ，宽为7cm ，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？二、勾股定理的证明1、美国总统证明2、毕达哥拉斯证明3、赵爽证明4、青朱出入图【例题分析】1、在右图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期连接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形相关的线段；2.第二讲：与三角形相关的角；3.第三讲：与三角形相关的角度乞降；4.第四讲：专题一：三角形题型训练 ( 一) ；5.第五讲：专题二：三角形题型训练 ( 二) ；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判断（一） SAS；8.第八讲：全等三角形的判断（二） SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判断（三） HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩大训练；12.第十二讲：角均分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二） ;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形相关的线段【知识重点】一、三角形A 1．看法：①三条线段；②不在同向来线上；③首尾相连.2．几何表示：①极点；②内角、外角；③边；④三角形.B C3．三种重要线段及画法：①中线；②角均分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特别的等腰三角形）三、三角形的三边关系( 教具 )引例：已知平面上有 A、 B、 C 三点 . 依据以下线段的长度判断 A、B、C 存在的地点状况：(1)若 AB=9， AC=4， BC=5，则 A、B、C 存在的地点状况是：(2)若 AB=3， AC=10， BC=7，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：(3)若 AB=5， AC=4， BC=8，则 A、B、C 存在的地点状况是：(4)若 AB=3， AC=9， BC=10，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：(5)若 AB=4， AC=6， BC=12，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段可否构成三角形或确立三角形第三边的长度或范围 .1．已知 BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C三点在同一条直线上，则 a，b，c 知足：；（2）若构成△ ABC，则 a，b，c 知足：；2．已知 BC=a，AC=b，AB=c，且 a＜b＜ c.（ 1 ） A 、 B 、 C三点在同一条直线上，则 a ， b ， c满足：；（ 2）若构成△ ABC，则 a，b， c 知足：；【新知讲解】例一、如图，在△ABC中 .①AD为△ ABC的中线，则线段==12②AE为△ ABC的角均分线，则==12③AF为△ ABC的高线，则==90°；④以 AD为边的三角形有⑤∠ AEC是的一个内角；是个外角 .G 例二、已知，如图，BD⊥AC， AE⊥ CG， AF⊥ AC，AG⊥ AB，A；B F ED C；；的一F则△ ABC的 BC边上的高线是线段().EBA D C(A)BD(B) AE(C) AF(D) AG例三、（1）以以下各组长度的线段为边，能．构成三角形的是 ().(A)7cm， 5cm， 12cm(B)6cm ， 8cm， 15cm(C)4cm， 6cm， 5cm(D)8cm， 4cm， 3cm（2）知足以下条件的三条线段不可以构成三角形的是．．.（ a、b、c均为正数）① a=5，b=9， c=7；中 1+a＞ b；④ a，b，c，此中②a∶ b∶ c=2∶3∶5；a+b＞ c；⑤ a+2，a+6， 5；③ 1， a， b，其⑥a＜b＜ c，此中 a+b＞ c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为 2 ， 5 ， 2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2， 5，24x，则x的取值范围3是.③已知三角形三边长分别为个数为 ().2， x， 13，若x 为正整数，则这样的三角形(A)2(B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为 2 ， 5，则三角形周长l的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、 b，且 a＞ b，那么这个三角形的周长 l 的取值范围是.(A)3b＜ l＜ 3a(B)2a＜ l＜ 2a+2b(C)a+2b＜ l＜ 2a+b(D)a+2b＜ l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5， 11-x ， 3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为是.2 ，， x-1，则的取值范围②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则知足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为 2 ，则三角形底边a的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长范围是.个 .a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值若它的周长小于19，则知足条件的三角形共有⑤若a、 b、 c是△ ABC 的三边长，化简| a b c | +|a b c |的结果为( ).(A)2b(B)0(C)2a(D)2a 2c⑥已知在△ ABC 中， AB=7， BC∶ AC=4∶ 3，则△ ABC 的周长l的取值范围为.【题型训练】1．以以下各组线段为边，能构成三角形的是().(A)2cm，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶ 3；③1∶4∶6；④3∶ 4∶5；⑤3∶3∶ 6. 此中能构成三角形的有().(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组3．三角形的以下线段中能将三角形的面积分红相等两部分的是（）(A) 中线(B)角均分线(C)高线(D)角均分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7， x，则 x 的取值范围是 ().(A)2 ＜ x ＜ 12(B)1＜x＜13(C)6＜x＜7 (D)1 ＜ x＜ 75．已知三角形的两边长分别为 3 和 5，则周长l的取值范围是 ().（ A）6＜l＜15（B）6＜l＜16（C）11＜l＜13（D）10＜l＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则周长是 ().（A）21（B）27（C）32（D）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8．等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9．等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l的范围为.11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12．等腰三角形的周长为 14，一边长为3，则另两边长分别为.13．若 a、 b、 c 分别为△ ABC 的三边长，则｜ a+b-c ｜ - ｜ b-c-a｜ +｜ c-b-a ｜=.14．已知在 ABC中， AB=AC，它的周长为 16 厘米， AC 边上的中线 BD把 ABC 分红周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长 . A15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ ABC中， AB=AC，BD为△ ABC的中线）把它的周长分为 15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长.A D综合研究、三角形两条内、外角均分线的夹角与第三个内角之间的关系DB CB C1．如图，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；2．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的外角∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；3．如图，在△ ABC中，∠ ABC的外角∠ CBD、∠ ACB的外角∠ BCE的均分线A 交于点 I ，研究∠ I 与∠ A 的关系 .B C例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角均分线的夹角与另两个内角之D E间的关系I发散研究一：如图，∠ ABD、∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I与∠A、∠D之A A I A间的数目关系 .DII发散研究二：如图，∠ ABD的均分线与∠ ACD的邻补角∠ ACE的均分线所在的直D B A CB B ACD IA C DIEB发散研究三：如图，∠ ABD的邻补角∠ DBE均分线与∠ ACD的邻补角∠ DCF的平B DC A C B CA E AI E D分线交于点 I ，研究∠ I 与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .DD BC 第二讲与三角形相关的角B C B DE【知识重点】E C FE FI F AI一、三角形按角分类 : ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；I二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；12三、三角形的内角和定理的推论：B C①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠ 2=∠ A+∠ B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、 n 边形的内角和定理： （ n-2 ）× 180°；五、 n 边形的外角和为 360° .【新知讲解 】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5 倍，则它的边数是.③ 若一个正多边形的每一个内角都等于 144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ ABC 中，∠ A=50°，两条高线 BD 、CE 所在直线交于点 H ，求∠ BHC 的度数 . A AE例三、如图，△ ABC 中，∠ A=50°，两条角均分线 BD 、CE 交于点 I ，求∠ BIC 的 度数 .EADBCH例四、如图，四边形EDABCD 中，∠ A=∠ C ，∠ B=∠D ，求证： AB ∥ CD ，AD ∥BC.AI D DBCHC例五、如图， AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，AE ⊥ BC ， AF ⊥CD ，求证：∠ B AD+∠ EAF=180°.BC例六、如图，六边形ABCDEF 中， AF ∥ CD ，∠ A=∠D ，∠ B=∠E ，求证： BC ∥ EF.例七、如图，在凸六边形 ABCDEF 中，∠ A+∠ B+∠ F=∠ C+∠D+∠E ，求证： BC ∥DEF.ECFA B【题型训练】1．如图，△ ABC 中， BD、 CE 为两条角均分线，若∠BDC=90°，∠ BEC=105°，求∠ A.2．如图，△ ABC中， BD、CE为两条角均分线，若∠BDC=∠ AEC，求∠ A 的度数 .3．如图，在△ ABC中， BD为内角均分线， CE为外角均分线，若∠BDC=125°，E ∠E=40°，求∠ BAC的度数 .AD4．如图，在△ ABC中， BD为内角均分线， CE为外角均分线，若∠BDC与∠ E 互补，求∠ BAC的度数 .B EC MAD第二讲作业B C M1．假如一个三角形三个内角的度数之比为2∶ 3∶ 7，这个三角形必定是 ().(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.以下图，∠ A、∠ 1、∠2 的大小关系是 ().(A) ∠A＞∠ 1＞∠ 2(B) ∠2＞∠ 1＞∠A(C) ∠A＞∠ 2＞∠ 1(D) ∠2＞∠ A＞∠13．下边四个图形中，能判断∠1＞∠ 2 的是 ().(A)(B)(C)(D)4．将一副三角板按以下图摆放，图中∠α的度数是().A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=().(A) 30°(B) 45°(C)60°(D) 75°6．以下图，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，获得一个四边形，则∠1+∠ 2 的度数为 ( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ ABC中，∠ C＝ 70o，沿图中虚线截去∠C，则∠ 1＋∠ 2=( ).(A)360 o(B)250o(C)180o(D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、 E 分别是边 AB、 AC上，将△ ABC沿着DE折叠， A 与 A′重合，若∠ A=75°，则∠ 1+∠2= ().(A) 150°(B)210°(C)105°(D)75°9．如图，在△ ABC 中，∠ B=67°，∠ C=33°， AD是△ ABC的角均分线，则∠ CAD 的度数为（）(A)40°(B)45°(C)50°(D)55°10．已知 ABC的三个内角∠ A、∠ B、∠ C知足关系式∠B +∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 必定有一个内角为45(B)必定有一个内角为60(C) 必定是直角三角形(D)必定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式搁置，则图中∠AOB的度数为 ().O B A(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是 ().(A) 正十六形(B)正十七形(C)正十八边形(D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大 180°，这个多边形的边数为 ( ).(A)7(B)8(C)9(D)1014.已知：在△ ABC中，∠B 是∠A的2倍，∠C 比∠A大20°，则∠A 等于().(A)40 °(B)60°(C)80°(D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16．如图，在△ ABC中， D、 E 分别是边 AB、 AC上的两点， BE、 CD订交于点 F，A ∠ A=62°，∠ ACD=40°，∠ ABE=20°，求∠ BFC的度数 .D E17．如图，已知直线DE分别交△ ABC的边 AB、AC于 D、E 两点，交F边 BC的延伸B C线于点 F，若∠B=67°，∠ ACB=74°，∠ AED=48°，求∠ BDF 的度数．第三讲：与三角形相关的角度乞降【知识重点】1．与三角形相关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度乞降.【新知讲解】例一、如图，直接写出∠ D 与∠ A、∠ B、∠ C之间的数目关系 .箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不一样的方法）：例二、三角形两条内、外角均分线的夹角与第三个内角之间的关系A 1．如图，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线交于点 I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；I 2．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的外角∠ ACD的均分线交于点A I ，研究∠ IB CI与∠ A 的关系；3．如图，在△ ABC中，∠ ABC的外角∠ CBD、∠ ACB的外角B∠ BCE的平C分线交D于A点 I ，研究∠ I 与∠ A的关系 .B C例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角均分线的夹角与D另两个内角之EI间的关系发散研究一：如图，∠ ABD、∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠A、∠D之A A I A间的数目关系 .DII发散研究二：如图，∠ ABD的均分线与∠ ACD的邻补角∠ ACE的均分线所在的直D B A CB B ACD I线交于点 I ，研究∠ IC与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .A I DEB发散研究三：如图，∠ ABD的邻补角∠ DBE均分线与∠ ACD的邻补角∠ DCF的平B DC B CC E A AA I E分线交于点 I ，研究∠ I D与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .DD B例四、如图，在△ ABC中， BP、 BQ三均分∠ ABC， CP、 CQ三均分∠ ACB.CB BPC 的度数为DB（1）若∠A=60°，直接写出：∠E，∠ BQC的度数CC F为；EE FI FI I（2）连结 PQ并延伸交 BC于点 D，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC三个内角的度数 .A例五、如图， BD、 CE交于点 M， OB均分∠ ABD，OC均分∠ ACE， OD均分∠ADB，OE均分∠ AEC，PQB D C求证：∠ BOE=∠ COD；A【题型训练】A O1．如图，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E 的度数和 .E 2．如图，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F 的度数和 .D MB3．如图，已知∠ 1=60°，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠ F 的度数和 .发散研究：①如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠E= B ；E②如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F+∠ G=；③如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F=.④如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F=.⑤如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F+∠ G=；⑥如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F+∠ G=；⑦如图， BC⊥EF，求∠ A+∠ B+∠ C+∠D+∠ E+∠ F 的度数 .第三讲作业DC C1．如图， B 岛在 A 岛的南偏西30°， A 岛在 C 岛的北偏西35°， B 岛在 C 岛的北偏西 78°，则从 B 岛看 A、 C两岛的视角∠ ABC的度数为 ().(A)65 °(B)72°(C)75°(D)78°2．如图， D、 E 分别是AB、AC上一点， BE、 CD订交于点F，∠ ACD=30°，∠ABE=20°，∠ BDC+∠ BEC=170°则∠ A 等于 ().(A)50 °(B)85°(C)70°(D)60°3．一副三角板，以下图叠放在一同，则图中∠的度数是().(A)75 °(B)60 °(C)65 °A(D)55 °DE4．如图，在△ ABC中，∠ BAC=36°，∠FC=72°， BD均分∠ ABC交 AC于点 D，AFB C∥BC，交 BD的延伸线于点 F，AE均分∠ CAF交 DF于 E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是 36°，其余两个角均为 72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有 ().(A)8 个(B)7个(C)6个(D)5个5．如图，∠ A=35°，∠ B=∠ C=90°，则∠ D的度数是 ().(A)35 °(B)45°(C)55°(D)65°6．如图，已知∠ A+∠ BCD=140°，BO均分∠ ABC，DO均分∠ ADC，则∠ BOD=().(A)40 °(B)60°(C)70°(D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，获得了一个四边形，则∠1+∠2=．8.如图，在△ ABC中，∠ A=80°，点 D 为边 BC延伸线上的一点，∠ ACD=150°，则∠B=.9．将一副直角三角板如上图搁置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10．一副三角板叠在一同如图搁置，最小锐角的极点 D 恰巧放在等腰直角三角板的斜 AB 上，BC 与 DE 交于点 M ．若∠ ADF=100°， ∠ BMD．11．如 ，在△ ABC 中，∠ B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ ACF 的均分 交于点 E ， ∠ AEC=______.12．如 ，∠ ACD 是△ ABC 的外角，∠ ABC 的均分 与∠ ACD 的均分 交于点A 1，∠A 1BC 的均分 与∠A CD 的均分 交于点 A ，⋯，这样下去， ∠A BC 的均分 与∠An ﹣ 1CD 的均分 交于点 A n ．12n ﹣1∠A=θ． ∠A =； A n =．113．已知：如1 ，在△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的角均分 交于点O ，BOC901 A21 1 A ；如 2，在△中，∠、∠的两条三均分角 分1802ABCABCACB2交于点、 ，2 1，1 2；⋯⋯；O 1 BO 1 C180A BO 2 C180AO 23 333根 据以 上理解 ，当 n 等 分角，内 部有 n1 个交 点 ，你 以猜 想BO n 1 C =().AAAO 2On-121O(A)180AO 1O 2n nO 1(B)12BC BCBC180A 图1图2图3n n(C)n1 An 180n11(D)1180n 1 Ann14．在△ ABC 中，∠ C=∠ABC=2∠ A ， BD 是 AC 上的高， BE 均分∠ ABC ，求∠ DBE 度数 .第 四 讲专题一：三角形题型训练（一）【知识重点 】平行 、三角形内角和的 合运用【新知讲解】例一、如图，在四边形 ABCD中，∠A=∠ C=90°，BE、DF分别均分∠ ABC、∠ ADC，D 请你判断 BE、 DF的地点关系并证明你的结论.EF例二、如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC 的外角均分线与∠ADCAB C的均分线交于点E，请你判断 BE、 DE的地点关系并证明你的结论D.例三、如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠ C=90°， BE、DF E分别均分∠ ABC、∠ADCAD 的外角，请你判断BE、 DF的地点关系并证明你的M结论B .CN例四、如图，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC的均分线与∠ ADC的均分线交于点E，请你BCD F判断 BE、 DE的地点关系并证明你的结论.ME例五、如图，∠ A=∠C=90°， BE均分∠ ABC，DF均分∠ ADC的的外角，请M你判断BC BE、 DE的地点关系并证明你的结论.DEFA例六、如图，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC的外角均分线与B∠ADC的外角均分线交于点CNE EE，请你判断BE、 DE的地点关系并证明你的结论.AD例七、如图，△ ABC中， P 为 BC边上任一点， PD∥ AB， PE∥AC.MC （1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；BA（2）若 EM均分∠ BEP， DN均分∠ CDP，试判断 EM与 DN之间的地点关系，A写出你的结论并证明.DE例八、如图，△ ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠ BDE＝∠ BED，∠ CDF＝∠ CFD.B P CNM（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；A （2） EM均分∠ BED，FN均分∠ CFD，若 EM∥FN，求∠ A 的度数 .EFA例九、如图，△ ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠ DBE＝∠ DEB，∠ DCF＝∠ DFC.B M D N E C（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；F （2） EM均分∠ BED，FN均分∠ CFD，若 EM∥FN，求∠ A 的度数 .B MD N C【题型训练】1．如图 1、图 2 是由 10 把相同的折扇构成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完整翻开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36°(B) 42°(C) 45°(D)48°2．如图，在△ ABC中，∠ B=∠C，D 是 BC上一点， DE⊥BC交 AC于点 E，DF⊥ AB，垂足为 F，若∠ AED=160°，则∠ EDF等于 ().(A)50 °(B)60°(C)70°(D)80°3．如图，△ ABC中，∠B=∠C，∠ BAD=32°，∠ ADE=∠ AED，则∠ CDE=.4．已知△ ABC中，∠ ACB—∠ B=90°，∠ BAC 的均分线交BC于 E，∠ BAC的外角的均分线交BC的延伸线于 F，则△ AEF 的形状是.5．如图， AB∥ CD，∠ A=∠ C， AE⊥ DE，∠ D=130°，则∠ B 的度数为.6．如图：点D、 E、 F 为△ ABC三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 =．7．若一束光芒经过三块平面镜反射，反射的路线以下图，图中的字母表示相应的度数，若 c 60，∠ P=110°，则 d e 的值为，x的值.8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ BAD的均分线交边BC于点 M，连结 MD，且MD恰巧均分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD=，∠ABC=.第四讲作业1. 如图，已知△ ABC的三个极点分别在直线a、b 上，且 a∥ b，若∠ 1=120°，∠ 2=80°，则∠ 3 的度数是 ().(A)40 °(B)60°(C)80°(D)120 °2．如图， BD∥ EF，AE与 BD交于点 C，若∠ ABC=30°，∠ BAC=75°，则∠ CEF的大小为 ().(A)60°(B)75°(C)90 °(D)105 °3．如图，已知 D、E 在△ ABC的边上， DE∥BC，∠B=60°，∠ AED=40°，则∠ A 的度数为 ().(A)100 °(B)90°(C)80 °(D)70 °4．已知，直线 l 1∥l2，将一块含 30°角的直角三角板以下图搁置，∠1=25°，则∠2等于 ( ).(A) 30°(B)35°(C)40°(D)45°5．如图，将三角尺的直角极点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为 ().(A) 50°(B)60°(C)70°(D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在以下图的两条平行线m， n 上，测得=120°，则的度数是().(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7.如图，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°． D 为边 CA 延伸线上的一点， DE‖ AB,∠ADE=42°，则∠ B 的大小为 ( ).(A) 42 °(B) 45°(C) 48°(D)58°8．如图， B 处在 A 处的南偏西45°方向， C处在 A 处的南偏东15°方向， C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ ACB 等于（）(A)65 °(B)72°(C)75°(D)78°9．如图，已知AC∥ ED，∠ C=26°，∠ CBE=37°，则∠ BED的度数是 ().(A)63 °(B)83°(C)73°(D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角极点放在直线 b 上．若∠ 1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥ BC，CD是∠ ACB的均分线，∠ B=70°，∠ A=60° .（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数 .12．如图，∠ DAB+∠ D=180°， AC均分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95° .(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数 .13．如图， B 处在 A 处的南偏西 57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向， CA 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数 . 北第五讲专题一：三角形题型训练（二）南C知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边B三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ABC的周长为 10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑假衔接学习讲义
七升八暑假衔接学习讲义TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、图形的1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠与D∠重合，它们是对应角.△ ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：∠A= ,∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ） ○2全等三角形的周长相等.（ ）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ）4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E ,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗?例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABACDBOAD E∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等（1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ， 求证：△ACB ≌△ADB2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CFADCB EADC B FE ADCBE12求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ， 求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， 求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2 求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA" 例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说ABoABCDEF明△AOB ≌△D OC2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。
七升八暑假衔接资料
暑期七升八衔接班DCBAFEDCBA讲 义第一讲：相交线与平行线一、知识框架 二、典型例题1.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. 个 个 个 个 2.如图所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.个 个 个 个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，l 3l 2l 1 O321O DC BAO DC BA这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_________.6．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )•个 个 个 个7．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？ 8. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠AOE ＝2∠AOC ，∠COF ＝3∠AOE ， 求∠BOE 的度数9． 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你证明所得的四个关系.(1) (2) (3) (4)10．如图，若AB11．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012ο，求证：∠=∠E F12.已知：如图,CD x yCBA4题图DC BAO 5题图EOD CBA3题图 1题图2题图 21F EDCBA AB CDE F),(111y x P ),(222y x P 12p p 12p p ),(y x x y )0,(A x )0,(B x ),0(A y ),0(B y x点)4,3(-A 在第象限，点)3,2(--B 在第 象限点.)4,3(-C 在第 象限，点)3,2(D 在第 象限.点)0,2(-E 在 ，点)3,0(F 在2.按照下列条件确定点),(y x P 位置：⑴ 若x=0,y≥0，则点P 在 ⑵ 若xy=0，则点P 在 ⑶ 若022=+y x，则点P 在 ⑷ 若3-=x ，则点P 在⑸ 若y x =，则P 在3.到x 轴距离为2，到y 轴距离为3的坐标为 ，M (1,4)m m +-在坐标轴上，则点M 坐标为4. 如图，在方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数有 个5．如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？6. 已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），其两点间的距离公式P 1P 2=212212)()(y y x x -+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x 2-x 1|或|y 2-y 1|． （1）已知A （2，4）、B （-3，-8），试求A 、B 两点间的距离；（2）已知直线AB 平行于y 轴，点A 的纵坐标为5，点B 的纵坐标为-1，试求A 、B 两点间的距离． （3）已知A （0，6）、B （-3，2）、C （3，2），你能判断线段AB 、BC 、AC 中哪两条是相等的？并说明理由．7.如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD ，AB ∥y 轴，点A （1，1），点C （a ，b ），满足+|b ﹣3|=0．（1）求长方形ABCD 的面积．BA（2）如图2，长方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点E 从原点O 出发沿x 轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒． ①当t=4时，直接写出三角形OAC 的面积为 ； ②若AC ∥ED ，求t 的值；（3）在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P 的伴随点，已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ． ①若点A 1的坐标为（3，1），则点A 3的坐标为 ，点A 2014的坐标为 ；②若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 ．8.射线AD 、BE 和线段BC 、AC 交于点A 、B 、C 。
新目标初一升初二衔接资料
学大教育培训学校暑假专用教材New term, New start, New life!联系电话：____________姓名：____________目录第一部分七年级英语复习重要知识点回顾及练习…………………………………………………1--9词汇知识训练…………………………………………..….…….…..10--11语法知识训练……………………………………………………….12--13第二部分重点语法专题专题一：重要时态复习………………………………………………14--19专题二：形容词副词比较级……………………….………………..20--22 专题三：形容词副词最高级………………………………………..…20--22第三部分八年级新课………………………………………………23--24 Unit 1 Where did you go on vacation?Unit 2 How often do you exercuise?Unit 3 I’m more outgoing than my sister.Unit 4 What’s the best movie theater?第四部分家庭作业练习集Exercise 1 ---- Exercise 16……………………………….……25--56第一部分：七年级英语复习重要知识点回顾及练习一、其后动词接原型的常见动词有：had better do sth why not dowhy don’t you do let’s do sthhelp sb do sth can /may /must do have tolet/make sb. do will dobe going to【及时训练】1.The book store is far away from here. You’d better____________.A.by bus B．on a bus C．take a bus D. in a bus2. It is sunny,why not .A. going shopping B．go shoppingC．go to shop D．goes to shopping3.----What are you going to do this weekend?----I am going to____ my grandmother and grandfather.A. visitB. to visitC. visiting二、Would的有关用法。
北师版七升八数学暑假衔接班补课讲义
整数(正整数、零、负整数)
有理数
有限小数或无限循环小数
分数(正分数、负分数)
实数(小数)
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
5．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
6．实数和数轴上点的对应关系: 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都
表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的关系.
二．解答题
1．已知 9 y2 16 0 ，且 y 是负数，求 3y+5 的算术平方根。
2.若实数 a、b、c 满足 a 3 (5 b)2 c 7 0 ，求代数式 a 的值。 bc
优生堂培训机构家庭作业（一）
4
.. 1
31 1、在实数 -2，0. ， ， ，0.80108 中，无理数的个数为（
7. 开平方: ①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数。 ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。 ③平方与开平方互为逆运算.
8. (1) ( a )2＝a，(a≥0) (2)
a.........(a 0) a2 a 0.........(a 0)
7．实数的几个概念： （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.
二、【例题精讲】
例 1：将下列各数填在相应括号内：
，
2
， 3.14，
0.21 ， 3 27， 1 2 ，
3 33 3，
3
有理数集合{
}；
整数集合 {
}；
正数集合 {
}；
例 2：判断正误 （1）有理数包括整数、分数和零 （2）无理数都是开方开不尽的数 （3）不带根号的数都是有理数
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初一升初二衔接课程数学目录第一讲与三角形有关的线段 (3)第二讲与三角形有关的角 (8)第三讲全等三角形及其判定（SSS） (11)第四讲全等三角形的判定（SAS, AAS, ASA） (17)第五讲直角三角形全等的判定（HL）及三角形全等的判定的综合练习 (23)第六讲角平分线的性质 (27)第七讲单元测试第八讲轴对称 (33)第九讲画轴对称图形 (39)第十讲等腰三角形 (44)第十一讲等边三角形 (48)第十二讲本章复习 (52)第十三讲同底数幂的乘法和幂的乘方 (54)第十四讲积的乘方和整式的乘法 (58)第十五讲结业考试第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ”三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a表示. 知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和 【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？【练习】1.指出下列每组线段能否组成三角形图形 （1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4 （3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
4、三角形三边为3，5，3-4a ，则a 的范围是 。
5、三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。
6、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为7、一个三角形周长为27cm ，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 。
8、等腰三角形两边为5cm 和12cm ，则周长为 。
a bc (1)CBA9、已知：等腰三角形的底边长为6cm ，那么其腰长的范围是________。
10、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_________。
11、下列条件中能组成三角形的是（ ）A 、5cm, 7cm, 13cmB 、3cm, 5cm, 9cmC 、6cm, 9cm, 14cmD 、5cm, 6cm, 11cm12、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（ ）A 、5，6B 、6，4C 、7，2D 、以上三种情况都有可能 13、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（ ） A 、4，6 B 、4，6，8 C 、6，8 D 、6，8，10 14、△ABC 中，a=6x ，b=8x ，c=28，则x 的取值范围是（ ） A 、2＜x ＜14 B 、x ＞2 C 、x ＜14 D 、7＜x ＜14 15、已知等腰三角形一边长为24cm ，腰长是底边的2倍。
求这个三角形的周长。
16、如图，求证：AB+BC+CD+DA>AC+BDABCD知识点3 三角形的三条重要线段三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度【练习】画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② ③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________A B C A B C B A[探究] 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________☑三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
【探究2】如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=45AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。
☑三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________[自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：(1)BD=______=12________； (2)BC=2_______=2_______；(3)∠BAE=_______=12_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形则不具有稳定性。
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？【试一试】1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______AB C BACFEDCBA2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（）3、若点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC【课后作业】1.AD是△ABC的高，可表示为，AE是△ABC的角平分线，可表示为，BF是△ABC的中线，可表示为 .2.如图2，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ =12∠；E在AC上，且AE=CE,则BE是△ABC的；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =900，CF AB.3.如图3,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE= .4.如图4,以AD为高的三角形共有 .5.三角形的一条高是一条……………………………（）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线6.下列说法中，正确的是………………………………（）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部7.下列图形具有稳定性的是………………………………（）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形8.如图8，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是………………………………………………………（）A.OE为△ABD中AB边上的高B.OD为△BCE中BC边上的高CAB DEF图2ABD E C图3AB ED C图4C.AE为△AOC中OC边上的高D.OF为△AOC中AC边上的高9.某同学把一块三角形玻璃打碎成如图7-1-7所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是……………………（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去10.已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD与△BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.11.如图11,在△ABC中，∠ACB=900,CD是AB边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) △ABC的面积；(2)CD的长.12.如图12，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD是△ABC的角平分线.A AA图11AEB C图12第二讲 与三角形有关的角知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。
【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？证明：已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
【例1】如图，C 岛在A 岛的北偏东30°方向，B 岛在A 岛的北偏东100°方向，C 岛在B 岛的北偏西55°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度? 结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成 Rt △ABC 。