向量空间的基和维数

向量空间的基和维数 定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V , 且满足
1) 1,2 ,K ,r 线性无关； 2)V 中的每个向量都可由 1,2 ,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2 ,K ,r 就称为向量空间V 的一个基，基中 所含向量的个数 r 称为向量空间的维数.
等价并且线性无关的向量组所含向量个数相同.
0 0
0 0
0 0 0
1
0 0
1，2，4 线性无关；
k11 k2 2 k33 k44 V， Ｖ中的每个向量都可由1,2,4 线性表示.
1，2，4 为Ｖ的一个基， Ｖ的维数是3.
线 性 代 数 11
总结 定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V , 且满足
1) 1,2 ,K ,r 线性无关； 2)V 中的每个向量都可由 1,2 ,K ,r 线性表示；
线性代数
向量空间的基和维数 定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V , 且满足
1) 1,2 ,K ,r 线性无关； 2) V 中的每个向量都可由 1,2 ,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2 ,K ,r 就称为向量空间V 的一个基，基中 所含向量的个数 r 称为向量空间的维数.
等价并且线性无关的向量组所含向量个数相同.
V {0}维数为0.
线性代数
向量空间的基和维数
例 下述向量组是Rn 的一组基.
1
0
0
0
0
1
0
0
1
=
0
，
2
=
0
，
3
=
1
，L
，
n
=
0
M
M
M
M
0
0
0
1
线性代数
向量空间的基和维数
例如
V Span(1,2 ) k11 k22 ki R, i 1, 2
0
0
0
2
8
4
0
11
求向量空间 V 的一组基，以及V 的维数.
线 性 代 数 10
向量空间的基和维数
解：
0 1 1 3
2 0 1 0
2
3
2
8
0
1
1
0
(1，2，3，4 )= 6
0 8
2 0 4
5 5 行 uuu变uuu换ur 0 0
0 0
2 11
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.2 向量空间的基和维数
向量空间的基和维数
W
a 3a
a R
y
•
•
•
•
•
•
•••••••••
x
0
•
线性代数
向量空间的基和维数
a1
V
{
a2
|
a1
,
a2
R}
0
z
1 0
1
0 0
,
2
10 ;
0
y
1
x
线性代数 3101来自0,2
1
0
0
求向量空间 V 的一组基，以及维数.
线性代数
向量空间的基和维数
例如 V Span(1,2,3 ) k11 k22 k33 ki R, i 1, 2, 3
1
0
1
1
0
,
2
1
,
3
1
0
0
0
求向量空间 V 的一组基，以及维数.
线性代数
向量空间的基和维数
则向量组 1,2 ,K ,r 就称为向量空间V 的一个基，基中 所含向量的个数 r 称为向量空间的维数.
线性代数
定理 设 i1 ,i2 ,L ,ir 是向量组1,2 ,L ,m 的一个极大无关组， 则 i1 ,i2 ,L ,ir 是向量空间 Span(1,2 ,L ,m ) 的一个基.
线性代数
向量空间的基和维数
例 已知 V Span{1，2，3，4 }
0
1
1
3
2
3
2
8
1 = 6 ，2 = 2 ，3 = 5 ，4 = 5 ,