广东省深圳市南头中学2018-2019学年第一学期高三期末考试理科数学试题

数学(理科)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．B．C．D．
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|y}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
3．下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）内单调递增的为（）
A．y＝x﹣2B．y＝﹣x﹣2C．y＝x﹣3D．y＝﹣x﹣3
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝25，则{a n}的通项公式为（）A．2n+1 B．2n C．2n﹣1 D．n+1
5．某地在国庆节7天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为16；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有2天，则上述判断中正确的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知曲线C的方程为y＝ln（x+1）+e2x，则曲线C在点A（0，1）处的切线方程为（）A．y＝3x+1 B．y＝2x+1 C．y＝﹣3x+1 D．y＝﹣2x+1
7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则该几何体的体积是（）
A．3πB．4πC．πD．
8．下列说法错误的是（）
A．“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件
B．若p∧q为假命题，则￢p，￢q均为真命题
C．命题“若|x|＝1，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则|x|≠1”
D．若命题p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，恒有x2﹣x+1≥0
9．设数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n﹣2＝0，则数列{a n}的通项公式a n＝（）
A．B．
C．D．
10．过双曲线：的焦点F作其渐近线的垂线，垂足为A，直线F A交双曲线的另一条渐近线于B点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．3
11．设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[，）B．[，）C．[，）D．[，）
12．在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，若BD⊥CE，则cos A的最小值为（）A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在（x）6的展开式中的常数项为．
14．已知等差数列{a n}前项和为S n，若S11＝66，则a3+a5+a10＝．
15．已知椭圆＞＞的离心率，F1，F2是其左，右焦点．点P是椭圆上的一个动点，延长线段F1P至点Q，使得，若|QF2|的最小值为6，则椭圆的方程为．
16．在三棱椎P﹣ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面P AB是直角三角形，且P A＝PB＝1，P A⊥AC，则该三棱椎外接球的表面积为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a＝b cos C c sin B．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设边AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，若b ，且BD ＝2CD ，求边c 的长． 18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ＝PB ，底面ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD
． （Ⅰ）证明：PD ⊥AB ；
（Ⅱ）若PD ＝2，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．
19．已知抛物线C ：y 2
＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （t ，4）（t ＞p ）是抛物线C 上一点，且满足|PF |＝5． （Ⅰ）求p ，t 的值；
（Ⅱ）设A ，B 是抛物线C 上不与P 重合的两个动点，记直线P A ，PB 与C 的准线的交点分别为M ，N ，若MF ⊥NF ，问直线AB 是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由．
20．某人沿固定路线开车上班，沿途共有5个红绿灯，他对过去30个工作日上班途中的路况进行了统计，得到了如表的数据：
若一路绿灯，则他从家到达公司只需用时20分钟，每遇一个红灯，则会多耗时2分钟，以频率作为概率的估计值
（Ⅰ）试估计他平均每天上班需要用时多少分钟？
（Ⅱ）若想以不少于80%的概率在早上9点前（含9点）到达公司，他最晚何时要离家去公司？ （Ⅲ）公司规定，员工应早上9点（含9点）前打卡考勤，否则视为迟到，每迟到一次，会被罚款100元．因某些客观原因，在接下来的3个工作日里，他每天早上只能8：32从家出发去公司，求他因迟到而被罚款的期望．
21．已知函数f （x ）＝kx （1﹣lnx ），其中k 为非零实数． （Ⅰ）f （x ）的极值；
（Ⅱ）当k ＝4时，在函数g （x ）＝f '
（x ）+x 2
+2x 的图象上任取两个不同的点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．若当0＜x 1＜x 2＜t 时，总有不等式g （x 1）﹣g （x 2）≥4（x 1﹣x 2）成立，求正实数t 的取值范围： （Ⅲ）当k ＞0时，设x ，y ∈（0，+∞），证明：
．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线T的极坐标方程是．（Ⅰ）求曲线T的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设点A（2，﹣2），M为曲线T上的动点，求△AMO的面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝|ax﹣1|+|x+1|，g（x）＝x+2．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集
（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．D
2．A
3．B
4．C
5．D
6．A
7．C
8．B
9．A
10．B
11．D
12．A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．由于（x）6展开式的通项公式为T r+1•（﹣1）r•x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x）6展开式的常数项为20，
14．∵等差数列{a n}前项和为S n，S11＝66，
∴11a6＝66，
解得a6＝6，
∴a3+a5+a10＝3a6＝18．
15．由，知P为线段F1Q的中点，设Q（x，y），则，．∵点P在椭圆上，∴，
∴Q点的轨迹方程为，
即Q的轨迹是以F2（c，0）为中心的椭圆，∴|QF2|min＝2b．
∵|QF2|的最小值为6，∴2b＝6，∴b＝3．
∵椭圆的离心率，∴，∴a2＝12．
∴椭圆的方程为．
16．因为P A＝PB＝1，且侧面P AB是直角三角形，所以，
因为底面ABC是等边三角形，所以AC＝BC＝AB，所以△APC≌△BPC，
所以∠P AC＝∠PBC＝90°，取PC中点O，则在直角三角形P AC与直角三角形PBC中，可知OA＝OB＝OC＝OP，所以点O即为球心，且，所以，所以．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（Ⅰ）∵a＝b cos C c sin B，
∴由正弦定理可得sin A＝sin B cos C sin C sin B，
又∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，
∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B cos C sin C sin B，
可得cos B sin C sin C sin B，
∵sin C≠0，
∴cos B sin B，即tan B，
∵B∈（0，π），
∴B．
（Ⅱ）如图，AB的垂直平分线ED交边BC于点D，b，B，BD＝2CD，
设CD＝x，则BD＝2x，ED＝x，BE x，
∴AB＝2x，
∴在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B，
可得3＝（2x）2+（3x）2﹣2×（2x）×3x，整理可得x＝1，
∴AB＝2，即c的长为2．
18．（Ⅰ）证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，所以三角形ABD为等边三角形，
取AB中点O，连接OD、OP，所以OD⊥AB，且P A＝PB，所以OP⊥AB，且OD∩OP＝O，所以AB⊥平面OPD，所以AB⊥PD．
（Ⅱ）解：因为P A＝PB，且AB＝2，所以∠APB＝90°，所以PO＝1，OD，又因为PD＝2，所以OP⊥OD，
又因为OP⊥AB，所以OP⊥平面ABCD，所以，以OA、OD、OP方向建立空间直角坐标系，如图所示，得坐标，，，，，，，，，，，，
则，，，，，，，，，设平面PBC的法向量为，，，
则，令y＝1，则，，则，，，
设PD与平面PBC所成角为θ，则．
19．（I）由题意得抛物线的准线方程：x，由题意得：42＝2pt，且t5，t＞p，解得：t＝4，p＝2；
（II）由（I）得抛物线的焦点F（1，0），P（4，4）显然直线AB的斜率不为零，设直线AB方程为：x ＝my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线P A的斜率，故直线P A的方程为：y﹣4，
令x＝﹣1，得，故M的坐标为（﹣1，），同理N的坐标为（﹣1，），
（2，﹣y M），（2，﹣y N）），由MF⊥NF得，0，所以：4+y M y N＝0，
得4
•
0，化简得y 1y 2＝﹣4， 由
，联立解方程组得：y 2﹣4my ﹣4b ＝0，所以y 1y 2＝﹣4b ，故b ＝1， 所以直线AB 的方程x ＝my +1， 恒过定点（1，0），
故存在定点（1，0），满足条件．
20．（Ⅰ）依题意，上班所需时间的频率分布表如下，
他平均每天上班需要用时为20
22
24
26
28
30
27.8分钟； （Ⅱ）依题意，若想以不少于80%的概率在早上9点前（含9点）到达公司，则红灯数最多为3， 路上共用26分钟，故他最晚比9：00提前26分钟，即最晚要8：34离家去公司； （Ⅲ）他每天早上只能8：32从家出发去公司，则每天被处罚的概率为
，
设他因迟到被罚款的次数为X ，则X ～B （3，
），
所以E （X ）＝3
，
所以他因迟到而被罚款的期望Y ＝200E （X ）＝40元．
21．（I ）f （x ）＝kx （1﹣lnx ），其中k 为非零实数，f '（x ）＝﹣klnx ，x ＞0，
当k ＜0时，x ∈（0，1），f '（x ）＜0，f （x ）递减；x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增， f （x ）有极小值f （1）＝k （1﹣0）＝k ，
当k＞0时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，
f（x）有极大值f（1）＝k；
（II）k＝4时，f'（x）＝﹣4lnx，g（x）＝﹣4lnx+x2+2x，
令F（x）＝g（x）﹣4x＝﹣4lnx+x2﹣2x，x∈（0，t），根据题意只需判断F（x）单调递减即可，F'（x），当x∈（0，2）时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x∈（2，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）递增；
故0＜t≤2；
（III）k＞0时，根据（I）f‘（x）＝﹣klnx，x∈（0，1），f（x）递增；x∈（1，+∞），f（x）递减，对函数h（x）＝f（x）+f（y）﹣2f（），
当0＜x＜y，h'（x）＝f'（x）﹣2f'（）＝﹣klnx+kln kln＞kln1＝0，
故h（x）在x∈（0，y）递增，
同理当x＞y时，h'（x）＜0，h（x）在（y，+∞）递减
故h（x）的最大值为h（y）＝f（y）+f（y）﹣2f（y）＝0，
故h（x）≤0，
故成立．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．
曲线T的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：4x2+4y2﹣3x2＝4，整理得：．（Ⅱ）点A（2，﹣2）所以OA的直线方程为x+y＝0．
点M为上任意一点，所以M（2cosθ，sinθ），
所以点M到直线x+y＝0的距离d═，当sin（θ+α）＝1时，，所以．
23．[选修4-5：不等式选讲]
（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|
，＞
，
，＜
．
∵f（x）≤g（x），g（x）＝x+2，
∴＞或或＜，
∴1＜x≤2或﹣1≤x≤0或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤2，
∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}．
（Ⅱ）当x∈[1，2]，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
即|ax﹣1|≤1，对∀x∈[1，2]恒成立，
当a＝0时，显然成立，
当a＞0时，由|ax﹣1|≤1，得，
要使|ax﹣1|≤1，对∀x∈[1，2]恒成立，则，∴a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1；
当a＜0时，由|ax﹣1|≤1，得，
显然对∀x∈[1，2]，|ax﹣1|≤1不成立，
综上，a的取值范围为[0，1]．。