函数对称性与周期性

函数对称性与周期性

知识归纳：

一．函数自身的对称性结论

结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b －y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论1：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

推论2：的图象关于点对称．

推论3：的图象关于点对称．

推论4：的图象关于点对称．

结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b－x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。

证明：已知对于任意的都有f(a+) =f(b－)=

令a+=, b－=

则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f(x)上的点

显然，两点是关于x= 对称的。

反之，若已知函数关于直线x = 对称，

在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（）那么（）

关于x = 对称点（a+ b－,）也在函数上

故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a))

所以有f (a +x) = f (b－x)成立。

推论1：函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)

推论2：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)结论3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称

（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线

x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周

期。

2．不同函数的对称性结论

结论4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

结论5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1)∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三．三角函数图像的对称性

函数对称中心坐标对称轴方程

y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2

y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπ

y = tan x(kπ/2 ,0 )无

注：上表中k∈Z

四、抽象函数的周期问题：

1、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+a)=f(x+b)（a、b为常数，a>b），那么函数f(x)的周期T=a-b。由x的任意性，将式中x换成x-b，即得f(x+a-b)=f(x)。

2、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+a)=-f(x)（a为常数），那么函数f(x)的周期T=2a。事实上，f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)。

同样可得，若函数f(x)对定义域内任意的x满足：（a为常数），那么函数f(x)的周期T=2a。

3、如果函数f(x)对定义域内任意x满足：（a为常数），那么f(x)的周期T=2a。这是因为：。

同样可得，如果函数f(x)对定义域内任意x满足：（a为常数），那么函数f(x)的周期T=4a。