第二章 《随机变量及其分布》练习题

第二章 《随机变量及其分布》练习题
一、选择题
1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．1
4
2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为65
81，则事件A 在1
次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．3
4
3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )
A ．C 810×0.88×0.22
B ．
C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22
D ．0.82×0.28
4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )
A ．无法求
B ．0
C ．E (X )
D ．2
E (X )
5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43
D ．0.6
6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：
且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.12
5
7．随机变量ξ的分布列为
则ξ的数学期望是( )
A ．2
B ．2.1
C ．2.3
D ．随m 的变化而变化
8．某班有1
4的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～
B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－54
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：
且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4
11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )
A ．m
B ．2m (1－m )
C ．m (m －1)
D ．m (1－m )
12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：
D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则
E (η)和D (η)的值分别是( )
A ．6和2.4
B ．2和2.4
C ．2和5.6
D ．6和5.6
14.随机变量X 的分布列如下：
若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.55
64
15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝1
3
，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．无法计算
16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.1
17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6
二、填空题
1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．
2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.
3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5
，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.
4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
三、解答题
1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为2
3，该射手
每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．
(1)求该射手通过测试的概率；
(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．
3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为3
4、
1
2、
1
3、
1
4，且各题回答正确与否相互之间没
有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
第二章 《随机变量及其分布》练习题
一、选择题
1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．1
4
[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122
×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为65
81，则事件A 在1
次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．3
4
[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04
p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )
A ．C 810×0.88×0.22
B ．
C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22
D ．0.82×0.28
[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 810
0.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )
A ．无法求
B ．0
C ．E (X )
D ．2
E (X )
[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B
5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )
A ．0.4
B ．1.2
C ．0.43
D ．0.6
[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：
且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.12
5
解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝21
5.答案：C
7．随机变量ξ的分布列为
则ξ的数学期望是( )
A ．2
B ．2.1
C ．2.3
D ．随m 的变化而变化
解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B
8．某班有1
4的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～
B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－5
4
，故选D.
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6
解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 2
2
C 310＝115
.
E (X )＝6×715＋9×715＋12×1
15＝7.8.答案：A
10．设随机变量ξ的分布列如下表：
且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4
解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0.3
b ＝0.5.
所以a －b ＝－0.2.答案C
11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )
A ．m
B ．2m (1－m )
C ．m (m －1)
D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.
12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙均可
D ．无法确定
解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.
13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6
D ．6和5.6
解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.
∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：
若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.55
64
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
1×0.5＋2x ＋3y ＝158，
0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧
x ＝1
8，y ＝38.所以D (X )＝⎝
⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D
15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝1
3
，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．无法计算
解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n
3
＝2.∴m ＝6－2n .
∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋1
3×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.
∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A
16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2
D ．1.1
[解析] X 的取值为0、1、2，
P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A
17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6
[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38
C 310＝715
，
P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22
C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115
＝7.8. [答案] A
二、填空题
1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．
解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.
解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5
，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.
解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下
由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：2
5
4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 三、解答题
1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，
1203
3737
310
49()
60
C C C C P A C
346
3
10
()
(0,1,2,3)
k k c c p x
k k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.
随机变量X 的分布列为
数学期望11316
1
23
6
2
10305
E X ．
2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为2
3，该射手
每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．
(1)求该射手通过测试的概率；
(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．
[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 1
2·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316
. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12
·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为
该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝7
4.
3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．
[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．
(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．
[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，
B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，
C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24
C 35＝35
，
媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.
(2)P (C )＝C 25C 36＝1
2，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，
P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝3
25，
P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )
＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝19
50
， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，
P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝3
25，
∴X 的分布列为
E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝3
2.
11
4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．
[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D
－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．
由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34
. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A
－B C －D ，
∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，
∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋
P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )
＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14
. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18
， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38
. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12
， ∴ξ的分布列为
∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278
.。