2017-2018学年甘肃省兰州市兰州一中高一上学期数学期末试卷

2017-2018学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．（2017一中）（5分）已知直线,a b ，平面α满足//a b αα⊂，，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面
C ．异面
D ．平行或异面
【答案】D
【解析】解：直线,a b ，平面α满足//a b αα⊂，
直线a 与直线b 的位置关系可能异面，可能平行，不能相交， 2．（2017一中）（5分）下列四条直线，倾斜角最大的是（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+
C ．21y x =+
D ．1x =
【答案】A 【解析】
A 选项中，直线方程1y x =-+的斜率为1-，倾斜角为135，
B 选项中，直线方程1y x =+的斜率为1，倾斜角为45，
C 选项中，直线方程21y x =+的斜率为2，倾斜角为α（6090α<<），
D 选项中，直线方程1x =的斜率不存在，倾斜角为90． 所以A 中直线的倾斜角最大．
3．（2017一中）（5分）若直线260mx y ++=与直线()370m x y --+=平行，则m 的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．1-或1
D ．3
【答案】B
【解析】因为两条直线平行，所以
216
317
m m =≠--，解得1m = 4．（2017一中）（5分）如图，三棱柱111A BC ABC -中，侧棱1AA
ABC ⊥底面，底面三角形ABC 是正三角
形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
A ．11AC AB
B A ⊥平面 B ．1C
C 与1B E 是异面直线 C ．111//AC B E
D ．1A
E BB ⊥
【答案】D
【解析】因为三棱柱111A BC ABC -中，侧棱1AA
ABC ⊥底面，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点 所以对于A AC ，与平面1ABB A 斜交，夹角为60；故A 错误； 对于1B CC ，与1B E 都在平面11CC BB 中不平行，故相交；所以B 错误； 对于11
1C AC B E ，，是异面直线；故C 错误； 对于D ，因为几何体是三棱柱，并且侧棱1AA ABC ⊥底面，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点， 所以1BB ABC ⊥底面，所以1BB AE AE BC ⊥⊥，，得到11AE BCC B ⊥平面，所以1AE BB ⊥；
5．（2017一中）（5分）已知两个不重合的平面αβ，和两条不同直线m n ，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n n m αβ⊥⊥⊂，，，则αβ⊥ B ．若//n m αβαβ⊥⊥，，，则//m n C ．若m n n m αβ⊥⊂⊂，，，则αβ⊥ D ．若////n m αβαβ⊂，，，则//m n
【答案】B
【解析】A ．若//n m n m αα⊥⊥⇒，或m α⊂，又m β⊂，所以αβ⊥不成立，所以A ．错误． B ．若//n αβα⊥，n β⇒⊥，又m β⊥，所以//m n 成立，所以B 正确． C ．当αβ⋂时，也满足若m n n m αβ⊥⊂⊂，，，所以C 错误． D ．若////n m αβαβ⊂，，，则//m n 或,m n 为异面直线，所以D 错误． 6．（2017一中）（5分）已知直线0ax by c ++=的图形如图所示，则（ ）
A ．若0c >，则00a b >>，
B ．若0c >，则00a b <>，
C ．若0c <，则00a b ><，
D ．若0c <，则00a b >>，
【答案】D
【解析】由直线0ax by c ++=可得a c
y x b b =--
由图像可知0,0a c
b b
-<->
所以若0c <，则00a b >>，
7．（2017一中）（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（ ）
A ．(442π+
B ．()
642π+
C ．()
842π+
D ．(1242π+
【答案】D
【解析】由三视图可知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体， 且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，
222+2=22
所以该几何体的表面积22222222S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯(1242π+
8．（2017一中）（5分）斜率为4的直线经过点()()()3,5,71,A B a C b ，，-三点，则,a b 的值为（ ）
A ．7
,02a b ==
B ．7
,112a b =-=-
C ．7
,112
a b ==-
D ．7
,112
a b ==-
【答案】C
【解析】因为斜率为4的直线经过点()()()3,5,71,A B a C b ，，-三点 所以
755
4313
b a --==--- 解得7
,112
a b ==-．
9．（2017一中）（5分）如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A ．6
B ．8
C ．232+
D ．223+
【答案】B
【解析】根据原图可作出该直观图的原图形，如右所示
因为直观图中的线段//C B x '''轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B '在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是
O B ''的2倍，则
22OB =，所以3OC =，则四边形OABC 的长度为8
10．（2017一中）（5分）如图所示，将等腰直角ABC ∆沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，使得
60B AC '∠=．那么这个二面角大小是（ ）
A．30B．60C．90D．120【答案】C
【解析】设等腰直角ABC
∆中AB AC a
==，则2
BC a
=，
所以
2
B D CD a
'==，
因为等腰直角ABC
∆斜边BC上的高是AD
所以B D AD CD AD
'⊥⊥
，，
所以B DC
∠'是二面角B AD C
'--的平面角．连结,
B C
'，因为60
B AC
∠'=︒，所以B C a
'=，所以222
B D CD B C
'+='，
所以B DC
∠'=90．
所以二面角B AD C
'--的大小是90．
11．（2017一中）（5分）若点
1
,
M a
b
⎛⎫
⎪
⎝⎭
和
1
b,
N
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
都在直线:1
l x y
+=上，又点
1
c,
P
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
和点
1
,
Q b
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则
（）
A．点P和Q都不在直线l上
B．点P和Q都在直线l上
C．点P在直线l上且Q不在直线l上D．点P不在直线l上且Q在直线l上【答案】B
【解析】因为点
1
,
M a
b
⎛⎫
⎪
⎝⎭
和
1
b,
N
c
⎛⎫
⎪
⎝⎭
都在直线:1
l x y
+=上，
所以1=1a b +，1
b+1c
=，
所以11
1111a c a
c
+
=⇒+
=-， 所以点1c,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点1,Q b c ⎛⎫
⎪⎝⎭
都在直线l 上．
12．（2017一中）（5分）已知点2,33,2A B --（）,（-），直线10l mx y m +--=：与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．3
4
k ≥或4k ≤- B ．344
k -≤≤ C ．1
5
k <-
D ．3
44
k -
≤≤ 【答案】A
【解析】直线10l mx y m +--=：与线段AB 相交，则点A B 、在直线的两侧或在直线上，
则有()()2313210m m m m -------≤，
解可得3
4
m ≤-
或4m ≥， 而直线10l mx y m +--=：的斜率k m =-，
则其斜率k 的取值范围是3
4
k ≥
或4k ≤-； 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）
13．（2017一中）（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120 的扇形，则这个圆锥的高为 ．
【答案】【解析】
解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则3
2233l r π
π=⎧⎪
⎨=⨯⎪⎩
， 解得1r =．
所以圆锥的高h 14．（2017一中）（5分）经过点()3,1P -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程
是 ．
【答案】30x y +=或210x y +-=
【解析】设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 当0a =时，0b =，
此时直线l 过点()3,1P -，()0,0O ，
所以直线l 的方程为：
13
y x -=，整理，得30x y +=； 当0a ≠时，2a b =，
此时直线l 的斜率122
b k b =-
=-， 所以直线l 的方程为：()1
132
y x +=-
-， 整理，得210x y +-=
综上可知，30x y +=或210x y +-=．
15．（2017一中）（5分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB cm =，2AD cm =，11AA cm =，则三
棱锥11B ABD ﹣的体积为 3
cm ．
【答案】1
【解析】由长方体的性质可得：点1D 到平面11ABB A 的距离为AD ． 11111111
2311332
ABB B ABD ABB V V AD S ∆--==••=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥D
16．（2017一中）（5分）如图，在四面体A BCD -中，已知棱AC 21，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为 ．
【答案】
3 【解析】取CD 中点为E ，取AC 中点为F ，连接BF BE FE 、、， 又由题可知1,2AB AD BD BC CD AC ======
则有BF AC ⊥，即2
2
122BF AB AC ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
BE CD ⊥，即2
2
132BE BC CD ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
11
=
22
FE AD = 又222AC AD CD =+ 所以AD CD EF CD ⊥，⊥
则 FEB ∠为二面角A CD B --的平面角 又由上可知222BE BF FE =+
所以BFE ∆为直角三角形，90BFE ∠=
则有3
cos =EF FEB BE ∠=
所以二面角A CD B --的平面角的余弦值为
3
． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（2017一中）（10分）已知直线l 平行于直线3470x y +-=，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程． 【答案】
【解析】设直线l 的方程为340x y m ++=，
令0x =，得4m y =-
；令0y =，得3
m x =-． 所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为
1=24243
m m
⨯-⨯-， 解得24m =±．
所以直线l 的方程为34240x y ++=．
18．（2017一中）（12分）已知四棱锥P ABCD -的体积为2
，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形． （1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积．
【答案】（12（2）2+2+23
S =
【解析】（1）依据三视图可复原出立体图像，如图所示 则四棱锥P ABCD -的高为PA
底面积为3
22
AD BD S CD +=
⨯= 所以四棱锥P ABCD -的体积113
332
P ABCD V S PA PA -=⨯⨯=⨯⨯四棱锥
解得2PA 所以正视图的面积为1
2222
S =
⨯
（2）由三视图可知，ABCD 是直角梯形，E 是BC 中点 且121AD BC AE CD ====、、
则2
2
2
2
222BC AC AD CD AB AE ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭
、
因为PA ⊥平面ABCD
所以PA AB PA AD PA AE PA AC PA DC ⊥⊥⊥⊥⊥，，，，
又由（1）可知2PA =
所以222PC PA AC =+=、222PB PA AB =+=、223PD PA AD =+=、223PE PA AE =+=
1
12
PAB S PA AB ∆=
⨯⨯=，122PAD S PA AD ∆=⨯⨯=
因为PC PB =,E 是BC 中点 所以PE BC ⊥
1
32
PBC S BC PE ∆=
⨯⨯= 因为PA DC ⊥，AD DC ⊥，PA PAD ⊂平面，AD PAD ⊂平面，PA AD A =
所以DC PAD ⊥平面 又PD PAD ⊂平面 所以PD DC ⊥
132PCD S PD CD ∆=
⨯⨯= 综上可知四棱锥P ABCD -的侧面积
2+2+23
PAB PAD PBC PCD S S S S S ∆∆∆∆=+++=
19．（2017一中）（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为
2的正方形，E F 、分别为线段1,DD BD 的中点． （1）求证：//EF 平面11ABC D ；
线
（2）四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为16π，求异面直
EF 与BC 所成的角的大小．
【答案】（1）略；（2）60
【解析】（1）连接1BD ，在1DD B ∆中，E 、F 分别为线段1DD BD 、的中点，
所以EF 为中位线，所以//EF 1BD ，
因为1BD ⊂面11ABC D ，EF ⊄面ABC 1D 111ABC D ，
所以//EF 平面11ABC D ；
（2）由（1）知//EF 1BD
则1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角
因为四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为16π，
所以四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球的半径
2R =， 设1AA a =，则222222R a =++，解得122AA a ==，
因为1111ABCD A BC D -是直四棱柱，底面ABCD 是边长为
2的正方形 所以11BC C D DC ⊥，1BCD ∆为直角三角形
124D B R ==,2BC =
则111cos 2BC D BC D B ∠=
=,160D BC ∠= 因此异面直线EF 与BC 所成的角为60
20．（2017一中）（12分）如图，在四棱P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平
面ABCD ，点E 是AB 的中点．
（1）求证：PE AD ⊥；
（2）若CA CB =，求证：平面PEC ⊥平面PAB ．
【答案】（1）略；（2）略
【解析】（1）因为PA PB =，点E 是AB 的中点 所以PE AB ⊥，
因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，
因为AD ⊂平面ABCD ，
所以PE AD ⊥
（2）因为CA CB =，点E 是AB 的中点，
所以CE AB ⊥．
由（1）可得PE AB ⊥，
又因为CE PE E ⋂=，
所以AB ⊥平面PEC ，
又因为AB ⊂平面PAB ，
所以平面PAB ⊥平面PEC ．
21．（2017一中）（12分）已知ABC ∆的顶点()1,3B --，边AB 上的高CE 所在直线的方程为4370x y +-=，
BC 边上中线AD 所在的直线方程为330x y --=．
（1）求直线AB 的方程；
（2）求点C 的坐标．
【答案】（1）3490x y --=；（2）()1,1
【解析】（1）因为CE AB ⊥，且直线CE 的斜率为43-，
所以直线AB 的斜率为3
4
又因为()1,3B --
所以直线AB 的方程为()3
314y x +=+，即3490x y --=
（2）设(),D a b
因为D 为BC 中点，()1,3B --
所以()21,23C a b ++
则()()330
4
2132370a b a b --=⎧⎪⎨+++-=⎪⎩
解得0
1a b =⎧⎨=-⎩
所以点C 的坐标()1,1
22．（2017一中）（12分）如图，在直三棱柱11ABC A B C -中，AC BC ⊥，
1AC BC CC ==，M N 、分别是111A B BC 、的中点．
（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；
（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小．
【答案】（1）略；（2）30
【解析】（1）由题意可知在直三棱柱11ABC A B C -中 由已知1BC AC BC CC ⊥⊥，
所以BC ⊥平面1ACC A ．连接1AC ，则1BC AC ⊥． 由题意可知，侧面1ACC A 是矩形，所以1
1AC AC ⊥． 又1
BC AC C ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BC ． 因为侧面11ABB A 是矩形，M 是1A B 的中点，连接1AB ，则M 是1AB 的中点． 又点N 是11BC 的中点，则MN 是11AB C ∆的中位线，所以1//MN AC ．
故MN ⊥平面1A BC ．
（2）设1AC 与1AC 相交于点D ，连接BD
因为1AC ⊥平面1A BC
所以1C BD ∠为直线1BC 和平面1A BC 所成角 又因为DB ⊂平面1A BC
所以1AC DB ⊥
设1AC BC CC a ===，则12C D a =，12C B a =．
在1Rt BDC ∆中，111
1
sin 2C D C BD BC ∠==，
所以130C BD ∠=
因此，直线1BC 和平面1A BC 所成的角为30．。