数学---湖南省株洲市醴陵二中、四中2018届高三(上)联考试卷(理)(解析版) (1)

湖南省株洲市醴陵二中、四中2018届高三（上）联考
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）
A．{1，2} B．{1，2，4} C．{2，4} D．{2，3，4} 2．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）
A．1 B．C．D．2
3．（5分）等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）
A．﹣18 B．9 C．18 D．36
4．（5分）在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落
在第二象限的概率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长
C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长
6．（5分）如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）
A．8+πB．8+4πC．16+πD．16+4π
7．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）=x2，，f（x）=e x，f（x）=sin x，则可以输出的函数是（）
A．f（x）=x2B．C．f（x）=e x D．f（x）=sin x 8．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位
于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）
A．B．C．2 D．
9．（5分）函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
10．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．2
11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的为（）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D（a＜b），使
f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（）
A．B．（0，1）C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）若向量=（1，0），=（2，1），=（x，1）满足（3），则x=．14．（5分）若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a=．
15．（5分）已知函数f（x）=，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为．
16．（5分）在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为A n，令a n=log2A n，n∈N*．
（1）数列{a n}的通项公式为a n=；
（2）T n=tan a2•tan a4+tan a4•tan a6+…+tan a2n•tan a2n+2=．
三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．
（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．
19．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；
（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的
长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
21．（12分）设函数f（x）=﹣ax．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．
23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤+．
【参考答案】
一、选择题
1．B
【解析】合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}={1，2，4，8}，
则A∩B={1，2，4}，
故选：B．
2．A
【解析】∵复数z满足=i，
∴z==﹣=﹣i
则|z|=1．
故选：A．
3．C
【解析】∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，
∴{a n}的前9项和S9===．
故选：C．
4．B
【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：
由，解得：P（，），
不等式组所表示的平面区域为Rt△，
其面积为×3×=，
点M恰好落在第二象限表示的平面区域为一直角三角形，
其面积是×1×1=，
∴点M恰好落在第二象限的概率为P=，
故选：B．
5．A
【解析】函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin[3（x﹣）+]=sin3x的图象．
故选：A．
6．C
【解析】根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，
且下部长方体的长、宽、高分别为4、2、2，
上部圆柱体的底面圆半径为1，高为1；
∴该几何体的体积（容积）为
V=V长方体+V圆柱体
=4×2×2+π×12×1
=16+π．
故选：C．
7．D
【解析】由已知中的程序框图可知，输出的函数必须同时满足函数为奇函数且存在零点（即函数图象与x轴有交点）
∵函数f（x）=x2不是奇函数，故不满足要求；
函数不存在零点（即函数图象与x轴没有交点），故不满足要求；
函数f（x）=e x不是奇函数，故不满足要求；
函数f（x）=sin x即是奇函数且存在零点（即函数图象与x轴有交点），故满足要求
故选D
8．B
【解析】由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，
则丨OP丨=丨OQ丨，
∴四边形PFQF1为平行四边，
则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，
由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，
∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，
∴∠OPF1=90°，
在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，
∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，
则双曲线的离心率e===，
故选B．
9．D
【解析】对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，
对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．
10．C
【解析】设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=
∵m=2+m cos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S==
故选C．
11．A
【解析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．
对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E 相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
故选：A．
12．D
【解析】为增函数，存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则，即
∴a，b是方程为4x﹣2x+t=0的两个不等的根，
设2x=m，
∴m2﹣m+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0，
∴，
解得0＜t，
故选：D．
二、填空题
13．1
【解析】3﹣=（1，﹣1），
∵（3），
∴（3）•=x﹣1=0，解得x=1．
故答案为：1．
14．1
【解析】（x+a）7的二项展开式的通项公式：T r+1=x r a7﹣r，令r=6，则=7，解得a=1．
故答案为：1．
15．（1，2）
【解析】作函数f（x）=的图象如下，
∵0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），
∴﹣log2a=log2b，即ab=1；
∵f（c）==+，
∴＜f（c）＜1；
故1＜=＜2；
故答案为：（1，2）．
16．（1）
（2）﹣n
【解析】（1）设在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列为{b n}，则b1=1，b n+2=2=1×q n+1，即q n+1=2，q为此等比数列的公比．
∴A n=1•q•q2•q3…q n+1=q1+2+3+…+（n+1）===，
∴a n=log2A n=，
故答案为：．
（2）由（1）可得a n=log2A n=，又tan1=tan[（n+1）﹣1]=，∴tan（n+1）tan n=，
∴tan a2n•tan a2n+2=tan（n+1）tan（n+2）═﹣1，n∈N*．
T n=tan a2•tan a4+tan a4•tan a6+…+tan a2n•tan a2n+2 =（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
=﹣n，n∈N*，
故答案为：﹣n．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由题意知，tan A=，
则=，即有sin A﹣sin A cos C=cos A sin C，
所以sin A=sin A cos C+cos A sin C=sin（A+C）=sin B，
由正弦定理，a=b，则=1；
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=ab sin C=a2sin C=，则a2sin C=，①
由余弦定理得，cos C==，②
由①②得，cos C+sin C=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，又0＜C＜π，则＜C+＜，即C+=，解得C=．18．解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD
∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°
设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE
即a•OE=a•，解之得OE=
∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2
即PD：AD的值为．
19．解：（1）根据题意，有，
解得x=9，y=6，
∴p=0.15，q=0.10，
补全频率分布图有右图所示．
（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，
∴ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的分布列为：
Eξ==．
20．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C1的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．
由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．
∴|AB|==．
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，
∴|PD|=．
∴三角形ABD的面积S△==，
令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，
f（t）===，
∴S△=，当且仅，即，当时取等号，
故所求直线l1的方程为．
21．解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，
﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，
令g（x）=（﹣）2﹣，
故当=，即x=e2时，
g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥
∴a的最小值为．
（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，ln x∈[1，2]，∈[，1]，
f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，
f′（x）max+a=，
问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，
①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣a e2+≤，
∴﹣a≤﹣，
∴a≥﹣．
②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴ln x∈[，1]，
∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：
f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，
要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，
与﹣＜﹣a＜0矛盾，
∴﹣＜﹣a＜0不合题意．
综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．
22．解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），
所以曲线C1的普通方程为，
由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，
曲线C2的普通方程为x2+y2=4；
（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，
所以P点坐标为（2cosα，2sinα），
由题意可知M（0，），N（0，）．
因此|PM|+|PN|=
=+
则（|PM|+|PN|）2=14+2．
所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，
因此|PM|+|PN|的最大值为．
法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，
由题意可知M（0，），N（0，）．
因此|PM|+|PN|=+=+
则（|PM|+|PN|）2=14+2．
所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，
因此|PM|+|PN|的最大值为．
23．解：（Ⅰ）由已知可得：，
由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．故f（x）≥2的解集为{x|x≥1}．
（II）由（Ⅰ）知，∴；
∴+=（+）[y+（1﹣y）]=2++≥4，
∴．。