(完整版)集合中的数学思想方法例析

集合中的数学思想方法例析

河北 赵春祥

数学思想和数学方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，信息社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题和用数学方法解决问题．近几年的高考数学试题，越来越注重对数学思想和数学方法的考查，这已成为高考热点问题．为帮助同学们更好地理解和掌握最常用的基本数学思想和数学方法，特结合同学们已经学过的集合中有关的数学思想方法要点归纳如下，以扩大读者的视野．

一、等价转化思想

在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式．比如：将A B I = B 或将A B U = A 转化为B A ⊆，将()()U U A B U u

u 痧转化为()U A B I u ð，将()()U U A B I u u 痧转化为()U A B U u

ð等． 例1 已知M ={(x ，y)| y = x ＋a}，N ={(x ，y)| x 2＋y 2= 2}，求使得M N I =φ成立的实数a 的取值范围。

解：M N I =φ等价于方程组22,2.

y x a x y =+⎧⎨+=⎩无解。 把y = x ＋a 代入方程x 2＋y 2= 2中，消去y ，得关于x 的一元二次方程2x 2＋2ax ＋a 2－2= 0。①

问题又转化为一元二次方程①无实根，即△= (2a)2－4×2×(a 2－2)＜0，由此解得a ＞2或a ＜－2。

故所求实数a 的取值范围是{a | a ＞2或a ＜－2}。

评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决．这种转化可以把抽象知识用简洁、

准确的数学语言表达出来，提高解题效率．

二、分类讨论思想

解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，必须选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法．

例2 设集合A = {x | x 2＋4x = 0，x ∈R}，B = {x | x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1= 0，a ∈R ，x ∈R }，若A B ⊆，求实数a 的取值范围。

分析：B ⊆A 可分为B =φ，B ≠⊂A ，B = A 三种情况讨论。

解：∵A = {0，－4}，∴B ⊆A 分以下三种情况：

⑴当B = A 时，B= {0，－4}，由此知：0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1= 0的两个根，由根与系数之间的关系，得：

⎪⎩

⎪⎨⎧=--=+->--+=∆.01,

4)1(2,0)1(4)1(4222a a a a ⇒a = 1。 ⑵当B ≠⊂A 时，又可分为：

①B =φ时，△= 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；

②B ≠φ时，B = {0}或B = {－4}，并且△= 4(a ＋1)2－4(a 2－1) = 0，解得a=－1，此时B = {0}满足题意。

综合⑴、⑵知，所求实数a 的值为a ≤－1或a = 1。

评析：解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何

非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =φ时也满足B≠⊂A．所以B≠⊂A中就应考虑B =φ与B≠φ两种情况，就是说，正是空集φ引法的分类讨论．

三、开放思想

开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和结论的封闭型问题而言的．这类问题的知识覆盖面大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度．集合中的开放型问题问题大多是结论不定性开放型问题．

例3 设集合A = {(x，y)|y2－x－1= 0 }，集合B ={(x，y)| 4x2＋2x－2y＋5 = 0 }，集合C ={(x，y)| y = kx＋b }，是否存在k，b∈N，使得()

A B Cφ

=

U I？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

解：因为()

A B Cφ=

U I，即()()

A C

B Cφ=

I U I，所以A Cφ=

I且

B Cφ

=

I．

将y = kx＋b代入y2－x－1= 0，得k2x2＋(2kb－1)x＋b2－1= 0，

因为A Cφ=

I，所以△

1

= (2kb－1)2－4k2( b2－1)＜0，即4k2－4kb＋1＜0，若此不等式有解，应有16b2－16＞0，即b2＞1．①

又将y = kx＋b代入4x2＋2x－2y＋5 = 0，得：4x2＋(2－2k)x＋(5－2b) = 0，因为B Cφ=

I，所以△

2

= (2－2k)2－4k(5－2b)＜0，即k2－2k＋8b－19＜0，

若此不等式有解，应有4－4(8b－19)＞0，解得b＜5

2

．②

由不等式①、②及b∈N，得b = 2．

将b = 2代入由△

1＜0和△

2

＜0组成的不等式组，得2

2

4810,

230.

k k

k k

⎧-+<

⎪

⎨

--<

⎪⎩

，再注

意到k∈N，求得k = 1．

故存在自然数k = 1，b = 2使得()

U I．

A B Cφ=

评析：在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证．“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由．