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人教版高数必修二第1讲：空间几何体的结构(教师版)
空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
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【最新整理，下载后即可编辑】第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。
棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底(1)上下底面平行,且是全等的多边形。
(2)侧棱相等且相互平行。
(3) 侧面是平行四边形。
面的棱柱叫做直棱柱正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。
按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。
特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥2.棱台定义图形表示分类性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如下图，棱台ABCD-A1B1C1D1由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…特殊的棱上下底面平行，其余各面是梯形，且侧棱延长后交于一点。
人教版高中数学必修二第一章 空间几何体全章教案
人教版高中数学必修二第一章空间几何体全章教案高一数学必修二教案科目：数学课题：空间几何体的结构特征教学目标：1.让学生通过观察实物、图片，理解并归纳出柱、锥、台、球的结构特征。
2.培养学生善于通过观察实物形状到归纳其性质的能力。
教学过程：一、自主研究观察自己书桌上和课本上的图片，思考以下问题：1.这些图片中的物体具有怎样的形状？2.日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？3.组成这些几何体的每个面有什么特点？面与面之间有什么关系？思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
请列举一些空间几何体的实例。
二、质疑提问1.在平面几何中，我们认识了三角形、正方形、矩形、菱形、梯形、圆、扇形等平面图形。
那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？2.对空间中不同形状、大小的几何体，我们如何理解它们的联系和区别？思考2：观察下列图片，你知道这些图片在几何中分别叫什么名称吗？三、问题探究思考3：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？思考4：图（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？思考5：图（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？思考6：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？思考7：一般地，怎样定义旋转体？由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。
思考1：我们把下面的多面体取名为棱柱，你能说一说棱柱的结构有哪些特征吗？据此你能给棱柱下一个定义吗？思考2：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？体的结构特征解决实际问题.1.通过观察实物、图片，使学生理解并能归纳出组合体的结构特征；2.让学生自己观察，通过直观感加强理解；3.培养学生善于通过观察实物形状到归纳其性质的能力.教学内容1.什么是简单组合体？它由哪些基本几何体组成？2.如何通过基本几何体的结构特征来识别简单组合体？3.如何计算简单组合体的表面积和体积？备注思考1：如何计算一个简单组合体的表面积和体积？思考2：如何通过简单组合体的结构特征来识别它？思考3：现实生活中有哪些物体是简单组合体？三、问题探究四、课堂检测1.下列几何体中是简单组合体的是（）五、小结评价本节课我们主要是通过观察实例，探究发现了由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征，研究了如何通过基本几何体的结构特征来识别简单组合体，以及如何计算简单组合体的表面积和体积，要能灵活运用这些知识解决实际问题.教材版本：必修二教学内容：实际模型的结构特征教学目标：1.了解实际模型的结构特征。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教新课标版数学高一人教数学必修2教师用书 第一章 空间几何体
第一章空间几何体1．1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能根据几何结构特征对空间物体进行分类．(2)通过观察实例，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3)能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．●重点难点重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：你能根据某种标准对空间几何体进行分类吗？⇒引导学生观察柱、锥、台、球的相关图片得出空间几何体的定义及分类.⇒通过引导学生回答所提问题掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握棱柱、棱锥、棱台的概念.⇒通过例2及其变式训练，引导学生应用概念判别几何体，加深对棱柱结构特征的认识.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.通过观察实例，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构.空间几何体的定义、分类及相关概念【问题导思】观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？(1)(2)【提示】(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成．(2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成．1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．多面体与旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线棱柱的结构特征观察下列多面体，有什么共同特点？【提示】 (1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行．棱柱的定义、分类、图示及其表示棱柱图形及表示定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图棱柱可记作： 棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′相关概念：底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类：①依据：底面多边形的边数 ②举例：三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……棱锥的结构特征观察下列多面体，有什么共同特点？【提示】 (1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱锥的定义、分类、图形及表示棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥相关概念：底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点分类：①依据：底面多边形的边数②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……如图棱锥可记作：棱锥S－ABCD棱台的结构特征观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别联系？【提示】(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．棱台的定义、分类、图形及表示棱台图形及表示定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台相关概念：上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类：①依据：由几棱锥截得②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……如图棱台可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′棱柱、棱锥、棱台的概念下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有三个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【思路探究】已知条件→联想空间图形→紧扣定义→得出结论【自主解答】选项A错，反例如图a；选项C也错，反例如图b，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；一个多面体至少有四个面，如三棱锥有四个面，不存在有三个面的多面体，所以选项B错；根据棱柱的定义，知选项D正确．【答案】 D判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④【解析】因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.【答案】 A对多面体的识别和判断1111图1－1－1(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱．【思路探究】观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题【自主解答】(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义．(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱．它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．图1－1－2 【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不到位致误如图1－1－3，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－3【错解】图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以乙图的几何体是棱锥；图丙是棱台．【错因分析】上述错误答案都是根据相应概念的某一个结论去判断几何体，判断的依据不充分，应该按照几何体的定义去判断，或按照与定义等价的条件去判断．【防范措施】切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．【正解】图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．1．棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.图1－1－41．如图1－1－4所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体【解析】结合棱柱的概念及分类可知，该几何体是五棱柱．【答案】 C2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错【解析】结合棱锥的特征知B符合题意．【答案】 B3．下列说法正确的有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．【解析】棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而正确的有①②④⑤.【答案】①②④⑤4．下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？(1)(2)(3)(4)图1－1－5【解】(1)是棱柱，可记为五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1；(2)不是棱柱，不满足棱柱的结构特征；(3)是棱柱，可记为三棱柱ABC－A1B1C1；(4)是棱柱，可记为四棱柱ABCD－A1B1C1D1.一、选择题1．棱柱的侧面都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形【解析】由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．【答案】 B2．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解析】三棱锥的侧面和底面均是三角形．【答案】 A3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．【答案】 C图1－1－64．如图1－1－6，能推断这个几何体可能是三棱台的是( ) A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1【解析】 由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC便可．经验证C 选项正确． 【答案】 C5．(2013·郑州高一检测)观察如图1－1－7的四个几何体，其中判断不正确的是( )图1－1－7A ．①是棱柱B ．②不是棱锥C ．③不是棱锥D ．④是棱台【解析】 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误．【答案】 B 二、填空题6．(2013·天水高二检测)在如图1－1－8所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是________．图1－1－8【解析】此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．【答案】四棱锥7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．【答案】5698．(思维拓展题)用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．【解析】用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．【答案】 4三、解答题9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【解】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．10．(探究性问题)如图1－1－9，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？图1－1－9【解】(1)三棱锥．(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何体知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP 为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．11．如图1－1－10，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－10【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.(教师用书独具)多面体的表面展开图画出如图所示的几何体的表面展开图．(1)(2)【思路探究】可假设一个面不动，进行空间想象，展开几何体．【自主解答】表面展开图如图所示：(1)(2)多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()【解析】将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体．【答案】 C第2课时旋转体与简单组合体的结构特征(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．●重点难点重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，并结合旋转体的概念，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征，进而在观察思考中形成概念，突出圆锥与圆台间的内在联系，突破重点的同时化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用启导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察、直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说、举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．●教学流程创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!课标解读1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．2．了解柱体、锥体、台体之间的关系．3．知道这四种几何体的结构特征，能识别和区分这些几何体.圆柱【问题导思】观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？【提示】以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱相关概念：轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线图中圆柱表示为：圆柱O′O圆锥【问题导思】仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？【提示】以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体相关概念：轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线图中圆锥表示为：圆锥SO圆台【问题导思】下图中的物体叫做圆台，也是旋转体．它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？【提示】(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形经旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台相关概念：轴：旋转轴叫做圆台的轴底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫圆台底面图中圆台表示为：圆台O′O侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫圆台的侧面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆台的母线球【问题导思】球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？【提示】以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体即为球．球的结构特征球图形及表示定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球相关概念：球心：半圆的圆心叫做球的球心半径：半圆的半径叫做球的半径直径：半圆的直径叫做球的直径图中的球表示为：球O简单组合体【问题导思】下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？(1)(2)【提示】这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．旋转体结构特征①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0B．1C．2D．3【思路探究】紧扣旋转体的定义逐一判断．【自主解答】①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．【答案】 A1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．如图1－1－11，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来．图1－1－11【答案】(1)—C(2)—B(3)—D(4)—A简单组合体的结构特征图1－1－12【思路探究】结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析．【自主解答】图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．如图1－1－13为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？图1－1－13【解】奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．有关几何体的计算问题截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．图1－1－14【思路探究】过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．【自主解答】设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.。
必修2第1章空间几何体
洋2贮乐新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点、课前准备（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处）引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！二、新课导学探探索新知探究1：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的圭寸闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体：A.具体如下图所示:1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知;2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 理解多面体的有关概念；4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征亠学习过程§ 1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么?轴新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一 个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫 做棱锥（pyramid ）.这个多边形面叫做棱锥的 底面或 底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公 共边叫做棱锥的侧棱•顶点到底面的距离叫做棱锥 的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四 面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶 点的字母表示，如下图中的棱锥S ABCDE .新知3: —般地，有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的几何体叫做 棱柱（prism ）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的 侧面；相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱 的顶点•（两底面之间的距离叫棱柱的高）试试1:你能指出探究 3中的几何体它们各自的 底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准 将探究3中的棱柱分类吗？新知4:①按底面多边形的边数来分，底面是三角 形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做 三棱柱、四棱柱、五棱柱… 探究5:棱台的结构特征问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地 切掉贝U 切掉的部分是什么形状 ？剩余的部分呢？②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为 斜棱柱（不垂直）和 直棱柱（垂直）.新知7:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台（frustum of a pyramid ）.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的 侧面, 相邻侧面的公共边叫 侧棱，侧面与两底面的公共点 叫顶点俩底面间的距离叫 棱台的高.棱台可以用上、 下底面的字母表示，分类类似于棱锥.新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱， 如图⑴中这个棱柱表示为棱柱 ABCD — ABCD .，它具有什么样的几何特征呢?试试2:探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱 柱怎么表示呢？问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗傢2贮乐试试3:请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来•探知识拓展1. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱;2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台反思：根据结构特征，从变化的角度想一想，棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？探典型例题例由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形•仿照棱柱，棱锥、棱台有哪些几何性质呢？探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A .棱锥B .棱柱C.平面D.长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三、总结提升探学习小结1.多面体、旋转体的有关概念; 棱柱｝,面体｝,D=｛直四棱柱｝,则（）.E=｛棱柱｝, F=｛直平行六A. A B C D F EB. A C B F D EC.C A B D F E3.已知集合A=｛正方体｝, B=｛长方体｝, C=｛正四2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质D.它们之间不都存在包含关系4.长方体三条棱长分别是AA 11 AB12, AD 4 , 则从A 点出发，沿长方体的表面到C '的最短矩离是.5. ___________________________________ 若棱台的上、下底面积分别是25和81,高为4, 则截得这棱台的原棱锥的高为 ______________________________________ .1. 已知正三棱锥 S-ABC 的高S01h,斜高（侧面三角 形的高）SM1 n ，求经过 SO 的中点且平行于底面的 截面△ A i B i C i 的面积.•分.....学习目标1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征;4. 能描述一些简单组合体的结构.丄 学习过程•in ■ ■ ■ ■ j J ■ ■ ■ 11 J ■ ■ ■ U、课前准备（预习教材P 5~ P 7，找出疑惑之处）2. 在边长a 为正方形 ABCD 中，E 、F 分别为AB 、 BC 的中点，现在沿 DE 、DF 及EF 把厶ADE 、△ CDF 和厶BEF 折起，使 A 、B 、C 三点重合，重合 后的点记为P .问折起后的图形是个什么几何体？复习：① ___________________________________ 叫多面体， __________________________________________________ 叫旋转体.②棱柱的几何性质： ___________是对应边平行的全等 多边形，侧面都是 ____________ ，侧棱 ______ 且 ____ ，平 行于底面的截面是与 __________ 全等的多边形；棱锥的 几何性质：侧面都是 _________ ，平行于底面的截面与底面 ______ ，其相似比等于 ______________ .引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我 们来探究旋转体的结构特征.1课后作业§ 1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球及 简单组合体的结构特征它每个面的面积是多少?AE B。
最新人教版高中数学必修二第一章空间几何体第一节第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.圆柱的结构特征(1)在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？提示：圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．(2)在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？提示：圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线．2．圆锥的结构特征在圆锥中，过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？提示：圆锥的轴截面是等腰三角形，轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线．3．圆台的结构特征经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？提示：因为圆台的任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4．球的结构特征球体与球面的区别和联系是什么？提示：区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体，包括球面及其所围成的空间部分5．简单组合体定义由简单几何体组合而成的几何体构成的基本形式由简单几何体拼接而成由简单几何体截去或挖去一部分而成1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线．( ×)提示：圆柱的母线与轴是平行的．(2)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点. ( √)提示：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确．(3) 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( ×)提示：用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台．(4) 用任意一个平面去截球，得到的是一个圆面．( √)提示：因为球是一个几何体，包括表面及其内部，所以用一个平面去截球，得到的是一个圆面．2．如图所示的图形中有( )A.圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球【解析】选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台．3．(教材习题改编)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的母线长为________．【解析】如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC ＝34AB2，所以 3 ＝34AB2，所以AB＝2.答案：2类型一圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(直观想象)1.下列说法中错误的是( )A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条侧面的母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径2．下列说法中正确的是( )①用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球面上任意三点可能在一条直线上；③球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．A．①B．①②C．①③D．②③3．下列几种说法：①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线；③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．【解析】1.选A.A错误．如图(1)所示旋转轴是直角三角形的斜边所在直线时，得到的旋转体不是圆锥；B正确．由圆锥的定义可知此说法正确；C正确．如图(2)，由圆锥侧面的母线相等可知，所得截面是等腰三角形；D正确．圆锥侧面的母线和底面圆的直径构成等腰三角形，当圆锥侧面母线和底面的直径所成的夹角大于60°时，圆锥侧面的母线长大于圆锥底面圆的直径．2．选C.由球的结构特征可知①③正确．3．由圆锥的定义及母线的性质知①②正确，圆柱的轴截面过上下底的直径，所以是过母线的截面中最大的一个．④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②③1．判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系．(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．2．与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面．(2) 圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．【补偿训练】下列说法正确的是________．(填序号)①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③到定点的距离等于定长的点的集合是球．【解析】①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．②正确．③错，应为球面．答案：②类型二简单组合体的结构特征(直观想象)【典例】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？【思路导引】依据简单旋转体的结构特征从上到下逐一分析．【解析】旋转后的图形如图所示．其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图(2)是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．由旋转体组成的简单几何体的确定(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_______．【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．类型三旋转体中的计算问题(直观想象、数学运算)角度1 有关圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题【典例】(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 2 C．4 D．4 2【解析】选B.设母线长为l，则底面周长为2 2 π，其侧面展开图半周长为πl，故πl＝2 2 π，所以l＝2 2 .角度2 旋转体表面的两点间的距离最大(小)值【典例】如图，圆台侧面的母线AB的长为20 cm，上、下底面的半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．【思路导引】转化为在圆台的侧面展开图中，求两个点距离最小值的问题．【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由Rt△OPA与Rt△OQB相似，得OAOA＋AB＝PAQB，即OAOA＋20＝510，解得OA ＝20，所以OB ＝40.设∠BOB ′＝α，由弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等， 得2×10×π＝π·OB ·α180°， 解得α＝90°.所以在Rt △B ′OM 中， B ′M 2＝OB ′2＋OM 2＝402＋302＝502，所以B ′M ＝50.即所求绳长的最小值为50 cm.1．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 2．与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．1．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6【解析】选D.圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ，R 满足关系式l 2＝h 2＋(R －r)2，求得h ＝2 6 ，即两底面之间的距离为2 6 .2．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M. (1)若OA ＝1，求圆M 的面积；(2)若圆M 的面积为3π，求OA. 【解析】(1)若OA ＝1，则OM ＝12 ，故圆M 的半径r ＝OA 2－OM 2 ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32 ，所以圆M 的面积S ＝πr 2＝34π.(2)因为圆M 的面积为3π，所以圆M 的半径r ＝ 3 ， 则OA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 2 2＋3，所以34 OA 2＝3，所以OA 2＝4，所以OA ＝2.。
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1．1空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征空间几何体与多面体[提出问题观察下列图片：问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？提示：由若干个平面多边形围成．问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的．问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？提示：可以．[导入新知]1．空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCD- A′B′C′D′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S-ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD- A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．棱柱的结构特征[例1](1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[答案](3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形答案：D棱锥、棱台的结构特征[例2](1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．[答案](2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下列说法正确的有()①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A多面体的平面展开图[例3]如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是() A．1B．7C．快D．乐答案：B1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例]如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析](1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[答案](1)(3)(4)(5)[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案：A[随堂即时演练]1．下列几何体中，棱柱的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：D2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()答案：D3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)答案：③⑤①④5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱，多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 016？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)有1 007个面．[课时达标检测]一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C2.如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案：B3．下列说法正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①②B．①③C．②③D．②④答案：B4．(广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10答案：D5．下列命题正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．答案：三 57．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)答案：(1)不一定(2)不一定三、解答题9．如图所示，长方体ABCD -A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的1，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为4一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．第二课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征旋转体[提出问题]如图，给出下列实物图．问题1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？提示：它们不是由平面多边形围成的．问题2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？提示：可以．问题3：如何形成上述几何体的曲面？提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成．[导入新知]旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O[化解疑难]1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．简单组合体[提出问题]2013年6月13日13时18分，“天宫一号”目标飞行器与“神舟”十号飞船实现自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来第五次与神舟飞船成功实现交会对接．下图为“天宫一号”目标飞行器的结构示意图．其主体结构如上面右图所示．问题1：该几何体由几个简单几何体组合而成？提示：4个．问题2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱．[导入新知]1．简单组合体的概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[化解疑难]简单组合体识别的要求(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．旋转体的结构特征[例1]曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径．其中说法正确的序号是________．[答案](2)(3)(4)[类题通法]1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[活学活用]给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．答案：(1)(2)简单组合体[例2](1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①.(2)图②所示几何体的结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②.(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？请说明该几何体的面数、棱数、顶点数．[解](1)图①是由圆锥和圆台组合而成．可旋转如下图形180°得到几何体①.(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如下图形360°得到几何体②.(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．[类题通法]1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．[活学活用]指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成；(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成；(3)几何体由一个六棱柱挖去一个圆柱而成．1.旋转体的生成过程[典例]如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．[解题流程][规范解答]以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示．以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示．以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示．以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示．[活学活用]一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解：如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．[随堂即时演练]1.右图是由哪个平面图形旋转得到的()答案：A2．下列说法中错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的平行于轴的截面是等腰三角形C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案：B3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何体是________．答案：圆锥4．如图所示的组合体的结构特征为______________．答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体5.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[课时达标检测]一、选择题1．下列说法正确的是()A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形答案：C2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥答案：D3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥答案：D4．下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1C．2 D．3答案：B5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案：D二、填空题6．有下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．其中正确的是________(把所有正确说法的序号都填上)．答案：②④7．下面这个几何体的结构特征是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱三、解答题9．指出如图①②③所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体． 图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图③是由一个半球、一个圆柱和一个圆台拼接而成的简单组合体．10.如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm 和5 cm ，圆台的母线长是12 cm ，求圆锥SO 的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD ，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，所以l ＝20 cm ，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1．2空间几何体的三视图和直观图1．2.1 & 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图中心投影与平行投影[《泰坦尼克号》是一部浪漫的爱情灾难电影，于1997年11月1日开始，在全球上映，票房收入超过18亿美元，并获得了多项奥斯卡奖项.15年之后，《泰坦尼克号》再次被搬上了荧屏，而这次的宣传噱头则是3D.《泰坦尼克号(3D)》让观众在明知下一步剧情发展的情况下，仍然会因为发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶．从上图中我们可以清楚地看到3D电影是怎么一回事：两个投影机会从不同的方向错开一定距离，把画面中有距离区别的部分投射到荧幕上．而观众所佩戴的3D眼镜也会选择不同的光线进入左右眼，这样你就能看到物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了．电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．问题1：放电影成像与太阳光照射成像原理一样吗？提示：不一样．问题2：放电影成像中的光线有何特点？提示：光是由一点向外散射．问题3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？提示：一束平行光线．[导入新知]1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影[化解疑难]平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．三视图[提出问题]如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地．问题1：“水立方”的外观形状是什么？提示：长方体．问题2：假如你站在“水立方”入口处的正前方或在“水立方”的左侧看“水立方”，你看到的是什么？提示：“水立方”的一个侧面．问题3：若你在“水立方”的正上方观察“水立方”看到的是什么？提示：“水立方”的一个表面．问题4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出“水立方”的形状？提示：可以．[导入新知]三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．中心投影与平行投影[例1]①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；。
高中数学人教A版必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构
1、平面的概念
地面 墙面 平静的水面
平面的形象
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的.
平面的表示方法
D
C
A
B
2.记法： ①平面α、平面β、 平面γ ②平面ABCD ③平面AC或平面BD
返回.
练习1：
判断下列各题的说法正确与否，在正确的说 法的题号后打√，否则打X:
1、一个平面长4米，宽2米；
虚线画出来.
β
⑴先画两平面基本线
⑵画两平面的交线
⑶分别推三条线的平行线
α
⑷把被遮部分的线段画成虚线或不画。其它为实线。
返回
D
FC
A
E
B
二、点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点 A 、线 a 、面 （2）集合关系： Aa、A、a
图形
符号语言 文字语言(读法)
Aa
Aa
点在直线上
Aa
A
A
C B
D
A
C1 D1
B1 A1
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内．
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
总结出关于平面的一些
l
A
B
基本性质，我们把它作 为公理．这些公理是进 一步推理的基础．
实际生活中的应用
泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆
公理1的应用
例1.如图所示，若 AB,在BC平面 内， 证明:
③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C
D
O
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构教案(3)
1.1 空间几何体的结构教案教学目标：1.知识目标: 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征；2.能力目标：会表示有关几何体；能判断组合体是由哪些简单几何体构成的。
3.情感目标：通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
教学重点：七种空间几何体的结构特征。
教学难点：七种空间几何体的分类及简单组合体的判断。
教学方式：多媒体教学过程：一、知识回顾1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？二、知识探究思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列举那些空间几何体的实例？思考2：观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？思考3：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？思考4：图（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？（多面体）思考5：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？（旋转体）空间几何体的定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
多面体的是定义：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体。
旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．三、几种基本空间几何体的结构特征1、棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
新人教A版必修2高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．( ) (2)用平面去截圆锥，会得到一个圆锥和一个圆台．( ) (3)用直角三角形的一条边旋转就可得到一个圆锥．( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)×
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上) (1)棱锥至少由________个面围成． (2)下列几个命题： ①棱柱的底面一定是平行四边形； ②棱锥的底面一定是三角形； ③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱． 其中正确的是________．(填序号) 【答案】(1)4 (2)③
相关概念 上底面：原棱锥的 _截__面_____； 下底面：原棱锥的 __底__面____； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的 公共边； 顶点：侧面与上(下) 底面的公共顶点.
3．旋转体的结构特征
旋转体
结构特征
以_矩_形__的__一__边____所在直线
为旋转轴，其余三边旋转形
成的面所围成的旋转体叫
侧面：有公共顶点 的各个_三__角__形__面_； 侧棱：相邻侧面的
_公__共__边___； 顶点：各侧面的 __公__共__顶__点．
多面体 定 义
图形及表示
用一个平行
于_棱__锥__底__面_
的平面去截
棱 台 棱锥，底面与 截面之间的
部分叫做棱 如图可记作：
台．
棱台 ABCD－
A′B′C′D′
3．思一思：用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台 吗？
【解析】不一定，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥 才能得到棱台．
多面体的结构特征
【例1】 下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中说法正确的序号是________．
专题 立体几何之所成角-(人教A版2019必修第二册) (教师版)
立体几何之所成角1 异面直线所成的角①范围(0∘ ,90∘]；②作异面直线所成的角：平移法.如图,在空间任取一点O,过O作a′ // a ,b′ // b,则a′ ,b′所成的θ角为异面直线a ,b所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.2 线面所成的角①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.②范围[0∘ ,90∘]3 二面角①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②范围[0° ,180°].【题型一】异面直线所成的角【典题1】如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E ,F分别是AA1,AD的中点，则CD1与EF所成角为()A．0°B．45°C．60°D．90°【解析】连结A1D、BD、A1B,∵正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E ,F分别是AA1,AD的中点，EF∥A1D,∵A1B∥D1C,∴∠DA1B是CD1与EF所成角,∵A1D=A1B=BD ,∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选 C．【点拨】①找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；【典题2】如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1 ,AD 的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【解析】取BC的中点G．连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH,∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中,OE=√3,HE=√52,OH=√52．由余弦定理,可得cos∠OEH=OE 2+EH2−OH22OE⋅EH=3⋅√2=√155．故答案为√155【点拨】本题利用平移法找到异面直线所成的角(∠OEH)后,确定含有该角的三角形(△OEH),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角∠OEH最终求出来.【典题3】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB ,PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN=BC=4 ,PA=4√3,求异面直线PA与MN所成的角的大小．【解析】(1)证明：取PD中点Q,连AQ、QN,则AM∥QN,且AM=QN,∴四边形AMNQ为平行四边形∴MN∥AQ又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD内∴MN∥面PAD；(2)解方法一∵MN∥AQ∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角∵MN=BC=4 ,PA=4√3,∴AQ=4,设PQ=x,根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0即16+x 2−488x +16+x2−168x=0,解得x=4在三角形AQP中,AQ=PQ=4 ,AP=4√3∴cos∠PAQ=2×4×4√3=√32,即∠PAQ=30°∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°方法二过点A作AH⊥PD交PD于H,如图∵MN=BC=4,∴H是QD的中点设HD=x,则QH=x,PQ=2x,在Rt△AQD和Rt△APH利用勾股定理可得AH2=16−x2=48−9x2,解得x=2∴cos∠PAQ=PHAP =4√3=√32,即∠PAQ=30°∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°【点拨】本题中所成角∠PAQ找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题, 再利用解三角形的方法进行求解.【题型二】线面所成的角【典题1】如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,AB⊥BC,AB= 2CD=2BC,EA⊥EB．(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取AB中点O,连接EO,DO．∵EB=EA,∴EO⊥AB．∵四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,∴四边形OBCD为正方形,∴AB⊥OD．又∵EO∩OD=O,∴AB⊥平面EOD．∴AB⊥ED．(2)∵平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,∴BC⊥平面ABE．则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．设BC=a,则AB=2a,BE=√2a,∴CE=√3a,在直角三角形CBE中,sin∠CEB=CBCE =√3=√33．即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为√33．【点拨】本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角∠CEB的直角三角形CBE中求出角度！【典题2】如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为G点,E点在AB边上,平面PEC⊥平面PDC．(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求BE的长；(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．【解析】(1)证明：∵CD ⊥AD,CD ⊥PA∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG,又PD ⊥AG∴AG ⊥平面PCD作EF ⊥PC 于F,因面PEC ⊥面PCD∴EF ⊥平面PCD∴EF ∥AG,又AG ⊄面PEC,EF ⊂面PEC,∴AG ∥平面PEC(2)由(1)知A 、E 、F 、G 四点共面,又AE ∥CD ∴AE ∥平面PCD∴AE ∥GF ∴四边形AEFG 为平行四边形,∴AE =GF∵PA =3,AD =AB =4 ∴PD =5,AG =125, 在Rt △PAGP 中,PG 2=PA 2−AG 2=8125 ∴PG =95 又GF CD =PG PD∴GF =3625 ∴AE =3625,故BE =6425(3)∵EF ∥AG,所以AG 与平面PAC 所成角等于EF 与平面PAC 所成的角,过E 作EO ⊥AC 于O 点,易知EO ⊥平面PAC,又EF ⊥PC,∴OF 是EF 在平面PAC 内的射影∴∠EFO 即为EF 与平面PAC 所成的角EO =AEsin45°=3625×√22=18√225,又EF =AG =125,∴sin∠EFO=EOEF =18√225×512=3√210故cos∠EFO=√1−sin2∠EFO=√8210所以AG与平面PAC所成角的余弦值等于√8210.【点拨】①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,比如下图中,求直线AP与平面α所成的角,具体步骤如下：(1) 如图,过点P作平面α的高PO,垂足为O,则AO是线段AP在平面α上的投影；(2) 找到所求角θ；(3) 求解三角形APO进而求角θ.(此方法关键在于找到垂足O的位置,证明到PO⊥平面α,如本题中EO⊥平面PAC的证明)②本题若直接求“AG与平面PAC所成角”,过点G做高有些难度,则由EF∥AG,能把“AG与平面PAC所成角”转化为“EF与平面PAC所成的角”,这方法称为“间接法”吧.【典题3】如图,正四棱锥S－ABCD中,SA=AB=2,E,F,G分别为BC,SC,CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(Ⅰ)求证：EP⊥AC；(Ⅰ)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．【解析】证明：(Ⅰ)连接AC交BD于O,∵S－ABCD是正四棱锥,∴ SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC,又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,∴AC⊥SD,∵F,G分别为SC,CD的中点,∴SD∥FG,∴AC⊥GF,同理AC⊥EF,∴AC⊥平面GEF,又∵PE⊂平面GEF,∴EP⊥AC．(Ⅰ) 方法一过B作BH⊥GE于点H,连接PH,∵BD⊥AC,BD∥GF,∴BH∥AC,由(Ⅰ)知：AC⊥平面GEF,∴BH⊥平面GEF,∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角,∵SA=AB=2,∴在Rt△BHP中,解得BH=√22,PH=√132,PB=√152,(易知△BHE是等腰直角三角形,又由斜边BE=1,∴BH=√22；在三角形PGH中,PG=12,GH=3√22,∠PGH=π4,用余弦定理可得PH=√132)则cos∠BPH=PHPB =√19515,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为√19515.方法二设过点B作平面EFG的垂直,垂直为T,则∠BPT就是直线BP与平面EFG所成的角,BT是点B到平面PGE的距离,由已知条件可求GF=EF=1,GE=√2,则∠GFE=90°,∴S△PEG=12S△GFE=12×12=14,由于P、F是中点,易得点P到平面ABCD的距离ℎ1=14SO=√24,而S△GEB=12S△GCB=12×1=12,对于三棱锥P−GEB,由V B−PEG=V P−GEB⇒13×BT×S△PEG=13×ℎ1×S△GEB⇒112BT=√224⇒BT=√22,在正四棱锥S－ABCD中可求PB=√152,(方法较多,提示过点P作平面ABCD的高PI)∴sin∠BPT=BTBP =√3015∴cos∠BPT=√1−sin∠BPT=√19515,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为√19515.【点拨】①本题第二问中方法一就是用“做高法”,计算量有些大；方法二是觉得垂足H的位置难确定,可设点B到平面EFG的投影为T(即垂足),再用“等积法”求高BT,则sin∠BPT=BTBP,可求所求角∠BPT,这种方法称为“等积法”；②思考：上一题试试用“等积法”！【题型三】二面角【典题1】如图,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,AC 与BD相交于点O．求二面角 A1－BD－A 的正切值．【解析】在正方体中BD⊥平面A1ACC1，∴AO⊥BD,A1O⊥BD，∴二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA由题中的条件求出：AO=√22a ,AA1=a∴tan∠A1OA=√22a=√2,所以二面角 A1－BD－A 的正切值为√2．【点拨】本题根据二面角的定义找到二面角二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA,再在三角形AOA1内用解三角形的方法求解角∠A1OA.【典题2】如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=√6,点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD=√3,求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．【解析】(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,可得△PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt△PAB中,PA=AB=√6,所以AE=12PB=12√PA2+AB2=√3(2)过点D作DF⊥CE于F,过点F做FG⊥CE,交AC于G,连接DG,则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥AE,又AD∥BC,得AD⊥AE,从而DE=√AE2+AD2=√6在Rt△CBE中,CE=√BE2+BC2=√6,由CD=√6,所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sinπ3=3√22因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG∥AE．∴G点为AC的中点,FG=12AE=√32,则在Rt△ADC中,DG=12√AD2+CD2=32,所以cos∠DFG=DF 2+FG2−DG22DF⋅FG=√63【点拨】若在题目中不能直接得到所求二面角,就需要构造出二面角,比如本题求二面角A－EC－D,解题具体步骤如下(1) 过点D作DF⊥EC,过点F作FG⊥EC交AC于点D,则二面角∠DFG为所求的二面角的平面角；(2) 确定含角∠DFG的三角形DFG,利用解三角形的方法求出角∠DFG,常见的是求出三角形三边再用余弦定理.【典题3】如图,已知三棱锥P－ABC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC,M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC．(2)求二面角M－AC－B的大小．【解析】(1)证明：由PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又因为∠ACB=90°,即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC,∴PC⊥BC．(2)取AB中点O,连结MO、过O作HO⊥AC于H,连结MH,∵M是PB的中点,∴MO∥PA,又∵PA⊥面ABC,∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M－AC－B的平面角．设AC=2,则BC=2√3,MO=1,OH=√3,在Rt△MHO中,tan∠MHO=MOHO =√3=√33．二面角M－AC－B的大小为30∘．【点拨】求二面角也可以转化为线面角,比如求二面角D－AB－C,解题思路如下过点D作DE⊥AB,则二面角D－AB－C等于直线ED与平面ABC所成的角或其补角,若过点D作DF⊥平面ABC,则二面角D－AB－C是锐角,等于角∠DEF；二面角D－AB－C是钝角,等于角∠DEF的补角.1(★)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是()A．0 <θ <π2B．0 <θ≤π2C．0≤θ≤π3D．0 <θ≤π3【答案】D【解析】∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为π3，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0 <θ≤π3．故选D．2(★★)如图所示的几何体,是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1,O2,O2′分别为AB ,BC ,DE的中点,F为弧AB的中点,G为弧BC的中点．则异面直线AF与GO2′所成的角的余弦值为．【答案】√1010【解析】如图，连接AF、FB、BG、GC，∵F为半圆弧AFB的中点，G为半圆弧BGC的中点，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AF=CG，FB=GB，AB=BC，∴△AFB≌△CGB，∴AF∥CG，则∠CGO2′即为所求的角或其补角，又∵半径为1，高为2，且△AFB，△CG B都是等腰Rt△，∴CG=√2，CO2′=GO2′=√1+22=√5，∴在△CGO2′中，cos∠CGO2′=√52√22√522√2⋅√5=√1010，即异面直线AF与GO2′所成的角余弦值√1010．故答案为√1010．3 (★★)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC．(1)求证：AD1⊥平面A1DC；(2)求MN与平面ABCD所成的角．【答案】(1) 见解析(2)π4【解析】(1)证明：由ABCD－A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1∴CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC；(2)解：∵MN⊥平面A1DC，又由(1)知AD1⊥平面A1DC，∴MN∥AD1，∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，，由正方体可知∠D1AD=π4∴MN与平面ABCD所成的角为π．44(★★★) 如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P ,Q分别为AE,AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．【答案】(1) 见解析(2)√55【解析】(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ 平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝√5，DP＝1，sin∠DAP＝√5，即AD与平面ABE5。
人教案 必修二 第1章空间几何体
第一章空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性4.斜二测法：在坐标系'''不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
(三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++⑤球的表面积24SR π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 VS h =⨯底②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（④球体的体积343V R π=222r rl S ππ+=二、练习与巩固(1)空间几何体的结构特征及其三视图1.下列对棱柱说法正确的是（）A．只有两个面互相平行 B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，且各侧棱也平行2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。
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必修二 空间几何体1、（2011、 8）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ D ）2、（ 2012、7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B）（ A ）6 （B ） 9（ C ）12 （ D ）18第1题第2题3（、 2012 、8）平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （ B）（ A ） 6π（ B ） 4 3π（ C ） 4 6π（ D ）6 3π4、（2013、 11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A )A ．16＋ 8πB ． 8＋ 8πC ． 16＋16πD ． 8＋ 16π解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝ 12V 长方体＝4×2×2＝16.π×2×4＝ π，2816＋8π故.选 A.所以所求体积为 5、（2013、 15）1 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH ∶ HB ＝ 1∶2，AB ⊥平面 α， H 为垂足， α截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积 为______． O 的半径为 R ， 解析：如图，设球则 AH ＝2R，OH ＝R 33.又∵ π·EH 2＝ π，∴ EH ＝ 1.∵在 Rt △OEH 中， R 2＝R2+12 ，∴ R 2＝ 9.38∴ S 球＝ 4πR 2＝9π.26、(2014 、 8).如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ B ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7、（2015、 11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（B）（ A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8[ 基础训练 A 组 ]一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个A.棱台 B.棱锥 C.棱柱(D.都不对)主视图左视图俯视图解：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. 3B.23C.33D. 4 3S表面积4S底面积 4 3解：因为四个面是全等的正三角形，则 343．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5 ，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25 B．50 C．125 D．都不对解：长方体的对角线是球的直径，l 32 42 52 5 2, 2R 5 2,R 5 2 , S 4 R2 5024．正方体的内切球和外接球的半径之比为（） A． 3 :1 B．3:2 C．2: 3 D．3:3 解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是 aa 2r内切球， r内切球 a , 3a 2r外接球， r外接球3a, r内切球： r外接球1：32 25．在△ ABC 中，AB 2, BC 1.5, ABC 1200 ,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（） A. 9 B. 7 C. 5 D. 32 2 2 2解： V V大圆锥V小圆锥 1 r 2 (1 1.5 1) 33 25 ，它的对角线的长6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为分别是 9和 15，则这个棱柱的侧面积是（）A．130 B．140 C．150 D．160解：设底面边长是 a ，底面的两条对角线分别为l1 ,l2，而 l12 152 52 ,l 22 92 52 , 而 l12 l22 4a2 , 即152 52 92 52 4a2 ,a 8, S侧面积ch 4 8 5 160二、填空题1．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。
解：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台2．若三个球的表面积之比是1: 2:3 ，则它们的体积之比是_____________ 。
解： r1 : r2 : r3 1: 2 : 3, r 31 : r23 : r33 13 :( 2)3 :( 3)3 1:2 2:3 3．正方体 ABCD A1 B1C1D1 中，O 是上底面ABCD中心，若正方体的棱长为a，3则三棱锥 O AB1D1的体积为_____________。
解：画出正方体，平面AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点，三棱锥 O AB1D1的高 h 3a,V1Sh 1 3 2a2 3 1 a3 3 3 3 4 3 6或：三棱锥 O AB1 D1也可以看成三棱锥 A OB1 D1，显然它的高为AO，等腰三角形OB1 D1为底面。
4．如图，E, F分别为正方体的面ADD1 A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1 E 在该正方体的面上的射影可能是 ____________。
解：平行四边形或线段5 ．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、6 ，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15 ，则它的体积为___________.解：设 ab 2, bc 3, ac 6, 则 abc 6, c 3, a2, c 1 ， l 3216设 ab 3,bc 5, ac 15 则 (abc) 2 225, V abc 15三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高 4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4M （高不变）；二是高度增加 4M (底面直径不变 )。
（ 1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （ 2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （ 3） 哪个方案更经济些？解：（ 1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积1116 2256V 1 Sh4 (M 3)33 23如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积1Sh 1 122288 (M 3)V 283 323（ 2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为 8M .棱锥的母线长为 l 82 424 5则仓库的表面积S 18 4 5 32 5 (M 2)如果按方案二，仓库的高变成 8M .棱锥的母线长为 l82 62 10 则仓库的表面积S 26 10 60 (M 2)（3） Q V 2 V 1 ， S 2 S 1方案二比方案一更加经济2．将圆心角为1200 ，面积为 3 的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为 r ，则120 l23 , l3 ；23 2 r , r1；3603S表面积S侧面S底面rlr 2 4 ,V1Sh 112 2 22 23 33[综合训练 B 组 ] 一、选择题1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为450 ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A ．2212 C ．222 B ．22 D ． 1解：恢复后的原图形为一直角梯形S1(121)22222．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A ．3 R 3 B ．3 R 3 C ．5 R 3 D ．5 R 3248248解： 2 rR, rR, h3R ,V 1 r 2h 3 R 3223243．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm ，则球的表面积是（ ）Ａ． 8 cm 2Ｂ． 12 cm2Ｃ． 16cm 2Ｄ． 20 cm 2解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2 3 2R ，R3, S 4 R 2124．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84 ，则圆台较小底面的半径为（ ）A ． 7Ｂ． 6Ｃ． 5 Ｄ． 3解： S 侧面积(r 3r )l 84 , r 75．棱台上、下底面面积之比为 1: 9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()A ．1: 7Ｂ．2:7 Ｃ． 7:19 Ｄ． 5:16解：中截面的面积为4 个单位，V 1 1 2 4 7V 246 9 196．如图， 在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3的正方形， EF // AB , EF3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为2 ，则该多面体的体积为（2）E F9 Ｂ． 5Ｃ． 615 A ．Ｄ．22解： 过点 E, F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一DCAB个三棱柱， V 2 13 3 2 13 2 3 153 42 2 2二、填空题1．圆台的较小底面半径为1，母线长为 2 ，一条母线和底面的一条半径有交点且成600 ,则圆台的侧面积为 ____________。
解： 画出圆台，则 r 1 1,r 22, l 2, S 圆台侧面 (r 1 r 2 )l 62 Rt ABC中， AB 3, BC 4,AC 5 ，将三角形绕直角边 AB旋转一周所成．的几何体的体积为 ____________。
解：旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以 AB 为高的圆锥，V1 r 2h 1 423 163 33．等体积的球和正方体 ,它们的表面积的大小关系是S 球 ___ S 正方体解：设 V4 R 3 a 3 , a3V,R33V，34S 正6a 2 63V 23216V 2 ,S 球 4 R 2336 V 23216V 24．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3, 4,5 ，从长方体的一条对角线的一个 端点出发 ,沿表面运动到另一个端点 ,其最短路程是 ______________。
解：从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点 ,有两种方案42 (3 5)2 80, 或 52 (3 4)2745． 图（ 1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成 ;图（ 2）中的三视图表示的实物为 _____________。
图（ 1）图（ 2）解：（ 1） 4 （ 2）圆锥6．若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的 直径为 _______________。
解：设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为 l ，则由 l 2 r 得 l 2r ，而 S 圆锥表r2r 2ra ，即 3 r2a, ra3 a，即直径为 2 3 a333三、解答题1.有一个正四棱台形状的油槽， 可以装油 190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和 40cm ，求它的深度为多少 cm ？解： V1 (S SS ' S ' )h, hS3V h3 190000753SS ' S ' 3600 2400 16002．已知圆台的上下底面半径分别是2,5 ,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长 . 解： (2 5)l(2 252 ), l 297[提高训练 C 组] 一、选择题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）AB C D解： A几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ）A. 1: 2:3B. 1:3:5C. 1:2: 4D. 1:3:9解：从此圆锥可以看出三个圆锥，r 1 : r 2 : r 3 1: 2: 3,l 1 : l 2 : l 3 1: 2: 3,S 1:S 2:S 31: 4:9,S 1:(S 2 S 1): (S 3 S 2) 1: 3: 53．在棱长为 1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去 8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（）2 7 C.4D.5A.B.5636解： V 正方体8V 三棱锥 181 1 1 1 1 53 2 2 2 264．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为 V 1和 V 2 ，则 V 1 : V 2 （）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:1 解： V 1 :V 2 (Sh) : ( 1Sh) 3:135．如果两个球的体积之比为 8: 27 ,那么两个球的表面积之比为 () A. 8: 27B. 2:3C. 4:9D. 2:9解： V 1:V 2 8: 27, r 1 : r 22:3,S 1 : S 24 : 96 ． 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 及 其 尺 寸 如 下 （ 单 位 cm ）， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 及 体 积 为 ：56A. 24 cm 2 ， 12 cm 2B.15 cm 2 ， 12 cm 2 C. 24 cm 2 ， 36 cm 2 D. 以上都不正确 解：此几何体是个圆锥，r 3,l 5,h 4, S 表面323 5 24V1 32 4 123二、填空题1. 若圆锥的表面积是15 ，侧面展开图的圆心角是600 ，则圆锥的体积是 _______。