大学解析几何第二章

则曲线 L 上的任意点，同时在这两个曲面上，它的坐标满足方程组
F1 x, y, z 0,
F2
x,
y,
z
0
（2.3－1）；
反过来，满足方程组（2.3－1）的任何一组解所决定的点，同时在这两
曲面上，即在这两曲面的交线上，
因此方程组（2.3－1）表示一条空间曲线 L 的方程，我们把它叫做空间
曲线的一般方程.
yk
例5 设球面的中心是点C（a,b,c），而且半径等于r ，求它的 方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | CM | r
x a2 y b2 z c2 r
所求方程为 x a2 y b2 z c2 r2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
r
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ur
uur
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 完全决定，
r
ur
uur
ur
那么我们就把表达式 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 叫做
曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数.
r
向径 r u,v 的坐标为xu,v, yu,v, z u,v，所以曲面的参
M ,, z .
柱面坐标系的三坐标面是
为常数
θ为常数 z 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的关
系为
x cos ,
x2 y2
y
sin
,
z z.
或 tan
y x
z z
x
z
• M (x, y, z)
z
o
• P(, )
y
§3 空间曲线的方程
• 一、空间曲线的方程 • 二、空间曲线的参数方程
z
• M(x, y,z)
注意：柱面坐标系就是平 面极坐标系加上 z 轴.
o
x
y
•P(, )
2.柱坐标系
空间的点除去 z 轴上的点，其余的点与有序三数组 , , z 建立
了一一对应的关系，这里 0, , z ，这种一
一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序三
数组 , , z 叫做空间点 M 的柱坐标或称半极坐标，记做
第二章 轨迹与方程 • 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个 方程的图形。
y
R
sin
cos
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1
第一种参数方程以角度 为参数：
x
y
a cos b sin
,
a b2 a2t 2
第二种参数方程以斜率 t 为参数：x
b2 a2t 2
, t
y
2ab2t b2 a2t 2
§2 曲面的方程
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
定义2
若取 t a t b 的一切可能取值
rA
r ar P rt r
B
r b
①由
r
ur
uur
r t xte1 y te2 a t b
表示的向径
r r
t
的终点总在一
条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径
可由 t 的某一值 t0 a
完全决定， 那么就把
tr0 r
二、曲面的参数方程
定义 2.2.2 如果取 u,va u b,c v d 的一切可能取的值，由
r
ur
uur
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3,
表示的向径
r r
u,
v
的终点
M
总在一个M曲面上；
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径，
而这向径可由 u,v 的值 a u b,c v d 通过
到uOuuPur OM
的有向角, 而 θ 是由 有向角(向上为正).
OP转到
这时, |OP| =r cosθ , 点M的横坐标x =
|OP|cosφ, 所以x = r cos θ cos φ, 类
似地可求得点M的其它坐标.
这就是球面的参数方 程, 当θ,φ变动时就得 出整个球面.
例7 求以z 轴为对称轴，半径为r 的圆柱面的参数方程. z
在 xoy 面上的投影，这样的三个数，
，θ就叫做点 M 的球面坐标．
1.球坐标系 空间的点除去 z 轴上的 O 点，其余的点与有序三数组 ,, 建立了一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐 标系，或称空间极坐标系，并把有序三数组 ,, 叫做空间点 M
的球坐标或称空间极坐标，记做 M ,, ，
z
0
为参数方程
y
y
u,v,
z
z
u,
v
,
一般按下列三个步骤进行：
1）根据普通方程 F x, y, z 0 或它所表示的图形特征选取适当的参数 u,v ；
2）找出中 x, y, z 的两个与参数 u,v 的关系式，如 x xu,v ， y yu,v [或 z z u,v ]；
3）把关系式 x xu,v ， y yu,v [或 z z u,v ]代入 F x, y, z 0 ，然后 解出 z z u,v .
z 0 是 xOy 平面，其交线是 xOy 面上的以原点为圆心，半径
为 1 的圆（如图）.
z
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2 1 z 0
O
y
x
二、空间曲线的参数方程 r
A
设向量函数 rr
r ar r t
r rt
（2.3－2）
r
ur
uur
这里的 0,0 , .
规定： 0 , 0 ,
0 2.
如图，三坐标面分别为
为常数
为常数
θ为常数
球 面； 圆锥面； 半平面.
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
数方程也可写成
x xu,v,
y
y
u,v,
z z u, v.
（2.2－6）
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
M
例6 求球心在原点，半径为r 的球面的参数方程.
解: 取定直角坐标系, 球心为原点(如图)
设球面上任意一点M(x, y, z), 过M作xy
平面uu的ur 垂线交于点P. 设φ是由uuurx 轴转
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
z S
oy x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面 的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
一、曲面的方程
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
F(x, y, z) 0
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos.
2.柱坐标系
设 M(x,y,z)为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P的极坐标为θ, ，则这样的三 个数 ,,z就叫点M的柱面坐标．
规定： 0 ,
0 2 ,
z .
• M(x, y,z)
o
x
r
y
•
P(r, )
结论
求空间曲面或曲线的参数方程时，经常是作向径
uuur OP
的坐标折线，将分解 OuuPu为r 平行于坐标轴的三个向量之和，这
样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
x xu,v,
化普通方程
F
x,
y,
其参数方程为
x 2R cos (1 cos )
y
2R
sin
(1
cos
)
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从 圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成 的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
其坐标式参数方程为
x R cos sin
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求曲线（面）方程一般需要下面的5个步骤： 1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步可省）； 2）在曲线（面）上任取一点，也就是轨迹上的流动点； 3）根据曲线（面）上的点所满足的几何条件写出等式； 4）用点的坐标x,y, （ z ）的关系来表示这个等式，并化简得方程； 5）证明所得的方程就是曲线面的方程，也就是证明它符合定义.
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
x y 0 and x y 0
例3 求坐标平面yOz 的方程.
x0
例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平面 xOz 相隔距离为k ，求它的方程.
b
t
通过
r
r t
ur
xte1 y t
ur
xt
uur
e1
e2 a t
uur
y t e2 b
a t b
叫做曲线的
向量式参数方程，其中t 为参数。
其坐标式参数方程为
x y
xt y t
,
a
t
b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）外摆线_3.avi
一、空间曲线的方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
特点： 曲线上的点都满足
方程，不在曲线上的点不
能同时满足两个方程.
x
z
S1
S2
C
o
y
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一、空间曲线的方程
设 F1 x, y, z 0 ， F2 x, y, z 0是两个曲面方程，若它们相交于曲线 L .
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由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程. 当 A2+B2+C2-4D =0 时, 是点球面方程. 当 A2+B2+C2-4D <0 时, 是虚球面方程.
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
设 M(x,y,z)为空间内一点，则点
M 可用三个有次序的数 ，，θ来确 定，其中 为原点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z轴正向所夹的角，
θ为从正 z 轴来看自x 轴按逆时针方向
z
• M(x, y,z)
z
o
x
A
xy
•
P
y
转到有向线段 OP 的角，这里 P 为点 M
概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系
• 例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
x2 y2 R2
uuur uuur
• 例2 已知两点 A2,2 和 B2,2 ，求满足条件 MA MB 4
的动点M 的轨迹方程
xy 2 x y 2
M。○ B2, 2
○
A2, 2
二、曲线参数的方程
注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达.
一、空间曲线的方程
例 1 写出 Oz 轴的方程.
x0
y
0.
例 2 求在 xOy 坐标面上，半径等于 R ，圆心为原点的圆的方程.
x2 y2 z2 R2 z0
x2 y2 R2 or
z 0
例
方程组
x2
y2
z2
1表示怎样的曲线？
z 0
解 方程 x2 y2 z2 1表示以原点为球心，半径为 1 的球面，
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）星形线_白.avi
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑 动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
圆的内摆线
圆的内摆线
（a＝4b）四尖点星形线（astroid）
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个 定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）心脏线左尖.avi
其参数方程为
x
y
R R
r cos r sin
r cos R r
r
r sin R r
r
,
特别当R＝r时可以得到心脏线（cardioid）