大学解析几何第二章
北师大版数学必修2第二章解析几何初步归纳总结课件
得xy′′＝＝3－x－4x45－y5＋3y4＋，8.
把(x′，y′)代入方程 y＝x－2 并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0.
(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′，则直线 l 上任一 点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P′(x，y)一定在直线 l′上，反 之也成立．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有(2l )2＋d2＝r2.
③当直线与圆相交时，设弦为 AB，则 |AB|＝ 1＋k2AB·|xA－xB|， |AB|＝ 1|k＋ABk| 2AB·|yA－yB|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1， 特别地 A1A2＋B1B2＝0 时⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且 A1C2≠A2C1； ③l1 与 l2 重合⇔A1B2＝A2B1 且 A1C2＝A2C1. 4．两条直线的交点
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 时，两圆相交； 当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． 10．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指．
作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位，最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位．
解析几何答案-第二章
第2章 曲面与空间曲线的方程§2.1 曲面的方程1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则z Cz y x M =⇔∈),,( 亦即z z y x =++-222)4( )4(2-∴x2（1（2（3（4解：（1常数为m ),,(z y x ，,,(z y x M 亦即(x -（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。
设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ，则a z y c x z y c x Cz y x M 2)()(),,(222222=++++++-⇔∈ 亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-两边平方且整理后，得：)()(2222222222c a a z a y a x c a -=++- （1） 222c a b c a -=∴>令从而（1）为22222222b a z a y a x b =++即：22222222b a z a y a x b =++由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。
（3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-⇔∈类似于（2），上式经同解变形为：1222222=--cz b y a x 其中 )(222a c a c b >-= （*） （*（4m 。
设动点M （*）（*2、 （1）中心（2（3（4解：（136)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，球面半径73)2(6222=+-+=R所以类似上题，得球面方程为 49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ，球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为：21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l （1） 解（1）有∴1（1）42x （1）42x§2.3空间曲线的方程1、平面c x =与0222=-+x y x 的公共点组成怎样的轨迹。
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目篇一：高等代数与解析几何教学大纲附件1教学大纲课程编号：课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry课程性质：学科基础课课程类别：必修课先修课程：高中数学学分：4+4总学时数：72+72周学时数：4+4适用专业：统计学适用学生类别：内招生开课单位：信息科学技术学院数学系一、教学目标及教学要求1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。
它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。
2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。
3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。
二、本课程的重点和难点（略。
由课任教师自行掌握）三、主要实践性教学环节及要求精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。
四、教材与主要参考文献教材：（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。
参考书： 1. ，陈志杰编著，高等教育出版社，2000年；2.，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。
五、考核形式与成绩计算考核形式：闭卷考试。
成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，期末考试占70%。
六、基本教学内容第二学期第一周—第二周：（8课时）第一章：向量代数与解析几何基础1. 代数与几何发展概述。
2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线性关系3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。
《解析几何》知识点总结：第2章-平面与直线
第二章平面与直线一、直角坐标系、放射坐标系以及直角坐标系中的向量计算1.直角坐标系和放射坐标系（1）定义5.1：i ，j ，k 以O 为起点，为单位向量且两两垂直，则O ；i ，j ，k 为空间的一个以O 为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O ；i ，j ，k }。
如果向量形成右手系，则成为右手直角标架或右手直角坐标系。
i ，j ，k 称为该直角坐标系的基向量。
（2）定义5.2：不要求i ，j ，k 为单位向量且两两垂直，只要求不共面，则称为仿射标架或放射坐标系。
（3）定理5.1：v =x i +y j +z k ，称（x ，y ，z ）为向量v 在该坐标系{O ；i ，j ，k }下的坐标，记为v =（x ，y ，z ）。
（4）定义5.3：规定P 的坐标为向量→OP 的坐标，向量→OP 称为P 点的定位向量或矢径。
（5）8个卦限（逆时针，上层，右下角），x 轴为一半长。
2.直角坐标系中的向量运算（1）线性运算（仿射可）①a ±b =（a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3）；②λa =（λa 1，λa 2，λa 3）；（2）内积（仿射不可）①a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；②|a |=232221a a a ++；③cos∠（a ，b ）=232221232221332211b b b a a a b a b a b a +++++++；cosα=2322211a a a a ++；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；·向量a 与x、y、z 轴的夹角称为向量a 的方向角，其余弦称为a 的方向余弦。
·把与三个方向余弦成比例的三个数（该向量的坐标），称为该向量的一组方向数。
（3）外积（仿射不可）a ×b =（a 2b 3-a 3b 2）i +（a 3b 1-a 1b 3）j +（a 1b 2-a 2b 1）k （4）混合积（仿射不可）（a ，b ，c ）=321212131313232c b b a a c b b a a c b b a a ++3.距离公式和定比分点公式（1）距离公式21221221221z -z y -y x -x ）（）（）（++=P P （2）定比分点公式（坐标形式）：P 1P=λPP 2λλλλλλ++=++=++=1z 1y y 1x 212121z z y x x ；；·中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛+++2a ,2a ,2a 332211b b b ·重心公式：⎪⎭⎫⎝⎛++++++3c a ,3c a ,3c a 333222111b b b 4.题型①向量运算二、平面方程1.平面方程（1）平面的向量形式的点法式方程：N ·（P -P 0）=0平面的坐标形式的点法式方程：A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0——平面法向量[垂直]N =（A ，B ，C ）（2）平面的一般式方程（普通方程）：Ax+By+Cz+D=0（A ，B ，C 不能同时为0）平面的一般式方程（向量形式）：N ·P+D=0定理6.1：平面方程是三元一次方程，反之三元一次方程必表示平面。
必修2第二章解析几何复习
数学必修2 解析几何复习一、直线的倾斜角、斜率以及直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )2．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或43．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 4．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 ．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.7.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 8.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为 ．答案 x ＋13y ＋5＝0二、两直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 4．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行 5．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案 C 2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C 3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝ .答案 1 4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3 答案 C 5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是 ． 答案3246．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝ . 答案 0或17. 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．三、圆的方程1.圆的定义与方程2．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 3．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A2．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为 ． 3．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4 答案 A 5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A(x －2)2＋(y －1)2＝1 B(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A四、直线与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C 2．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为 ． 答案 2 2 3．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A[－2，2] B[－22，22] C[－2－1，2－1] D[－22－1,22－1] 答案 D4.过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为 ． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2， 即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.5.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.。
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
Back
四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
Back
五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
Back
3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
Back
二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
解析几何第二章
第二章 轨迹与方程
平面曲线的方程
曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)
(a>0) 为参数方程。
解：设y=tx，代入可得参数方程
2at 2 x 2 1 t 3 2 at y 1 t2
( t )
注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如
x e t t lg t 2 y t sin t arcsin t
由
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
得上、下半球面的方程分别是：
由上述方程可得球面的一般式方程为：
z
M
Q
θ
R
P
y
QP ( r cos sin ) j OQ ( r cos cos )i
PM ( r sin )k
r OM OQ QP PM
z
M
Q
θ
R
P
y
x
r ( r cos cos )i ( r cos sin ) j ( r sin )k (4) 与 2 2
y O x
《高等代数与解析几何》教学大纲
《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。
三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。
四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。
本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。
难点：向量间垂直、共线、共面的条件。
第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
北师大数学必修二课件：第二章 解析几何初步 1.3
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[变式训练1] 下列说法中，正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两
直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．与直线 3x－2y＋1＝0 垂直，且过点(1,2)的直线 l 的方程是________．
提示：2x＋3y－8＝0 设与 3x－2y＋1＝0 垂直的直线方程为 2x＋3y＋b ＝0，将(1,2)代入方程，得 b＝－8，
∴直线 l 的方程为 2x＋3y－8＝0.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
答案 A
解析 当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，①不正确，②中斜率不存在时，
不正确；④同①也不正确．只有③正确.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案 解析
例 2 已知直线 l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1 ＝0，如果 l1∥l2，求 m 的值．
A．l1⊥l2 B．l1 与 l2 重合 C．l1∥l2 D．非以上答案 提示：C 由斜率公式 kAB＝－6－2－32＝－34，kCD＝130－－66＝－34. ∵kAB＝kCD，由已知可知，直线 AB 与 CD 不重合． ∴l1∥l2.
《解析几何》第二章(吕林根-许子道第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4 空间曲线的方程
§2.2 曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
上一页 下一页
返回
由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
上一页 下一页
返回
例 2 求与原点O 及M 0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
z vt
y 螺旋线的参数方程
返回
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
解析几何智慧树知到答案章节测试2023年四川师范大学
第一章测试1.对于空间中任意三向量a、b、c，有(a´b)´c=a´(b´c)。
（）A:对B:错答案:B2.若三向量a、b、c满足a||b且b||c，则a||c。
（）A:对B:错答案:B3.三向量共面的充要条件是（）。
A:有两向量平行B:三向量线性相关C:至少有一个向量为零向量D:三向量混合积为零答案:BD4.若向量（x,y,z）平行于xoy坐标面，则（）。
A:x=y=0B:y=0C:x=0D:z=0答案:D5.对于空间中任意向量a、b，有。
A:对B:错答案:A第二章测试1.方程r={cos t, sin t}表示平面上以原点为圆心的单位圆。
（）A:错B:对答案:B2.请问：（）。
A:圆柱面B:圆C:点D:直线答案:D3.空间中，方程x2+y2=0表示原点。
（）A:错答案:A4.下列参数方程中，表示平面上曲线9x2-4y2=36的参数方程有（）。
A:r={2sin t, 3cos t}B:r={2cos t, 3sin t}C:r={2sec t, 3tan t}D:r={2csc t, 3cot t}答案:CD5.判断：对于空间中任意a、b，有A:对B:错答案:A第三章测试1.旋转一周得到的旋转曲面方程是（）。
A:,B:.C:,D:，答案:A2.间的最短距离是A:B:2C:1D:答案:D3.投影点是（）。
A:B:C:D:答案:C4.平面方程为A:B:C:D:答案:A5.的位置关系为（）。
A:重合B:异面C:平行答案:D第四章测试1.单叶双曲面与平面的交线对平面的射影柱面为（）。
A:，B:,C:,D:.答案:B2.顶点在原点，准线为的锥面方程为（）。
A:B:C:D:答案:B3.已知柱面的准线为：母线平行于轴,则该柱面为（）.A:,B:,C:,D:.答案:C4.该平面为A:B:C:D:答案:D5.且过点（1，2，6）和这个椭圆抛物面的方程为A:B:C:D:答案:A第五章测试1.直线与曲线的交点有 ( ) 个.A:0B:2C:1D:1答案:B2.是中心曲线. ( )A:错B:对答案:B3.曲线无奇异点. ( )A:错B:对答案:A4.通过中心二次曲线中心的直线一定是中心二次曲线的直径. ( )A:对B:错答案:B5.若二次曲线满足, 那么. ( )A:对B:错答案:A。
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
解析几何第四版 第二章
本章主要内容： 1) 平面曲线的方程 2) 曲面的方程 3) 空间曲线的方程 本章基本要求： 1) 理解轨迹与方程的关系 2) 熟悉曲面、曲线的一般式和参数式 3) 熟练掌握球面、特殊柱面、圆柱螺旋线的方程
2.1 平面曲线的方程
1、曲线方程
曲线上点的特征性质： 1）曲线上的点都具有这些性质； 2）具有这些性质的点都在曲线上。 曲线上 点的特 征性质
例 3
一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动,
另一方面作平行于轴线的等速直线运动,其速度与角
速度成正比,求这个质点运动的轨迹方程.
参数方程
x a cos y a sin z b ( )
z
x
a
O
(圆柱螺线)
a
y
参数方程
x a cos y a sin z b ( )
例 1 求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 例 2 已知两点A(2,2)和B(2,2)，求满足条件MA MB 4
的动点M的轨迹方程。
2、参数方程
(t ),
at b
建立坐标系
{O；e1，e2}
(t ) x(t )e1 y(t )e2
or x x(t ) y y(t )
例4. 维维安尼曲线
x 2 + y 2 + z2 = a 2 2 2 2 (xa/2) + y = a /4
x=a (1+cos t ) 2 y = a sint 2 t z = asin 2 (0 t < 2)
(-2 t < 2)
例5. 双柱面曲线
y 2 + z2 = a 2 (b a > 0) 2 2 2 x +z =b 令y = acost, z = asint, 代入x2 + z2 = b2得 x = b2 a2sin2t 由此可得该双柱面曲线的参数方程为 x = b2 a2sin2t y = acost (0 t < 2) z = asint
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
t
通过
r
r t
ur
xte1 y t
ur
xt
uur
e1
e2 a t
uur
y t e2 b
a t b
叫做曲线的
向量式参数方程，其中t 为参数。
其坐标式参数方程为
x y
xt y t
,
a
t
b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）外摆线_3.avi
（a＝4b）四尖点星形线（astroid）
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个 定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）心脏线左尖.avi
其参数方程为
x
y
R R
r cos r sin
r cos R r
r
r sin R r
r
,
特别当R＝r时可以得到心脏线（cardioid）
一、空间曲线的方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
特点： 曲线上的点都满足
方程，不在曲线上的点不
能同时满足两个方程.
x
z
S1
S2
C
o
y
下一页
返回
一、空间曲线的方程
设 F1 x, y, z 0 ， F2 x, y, z 0是两个曲面方程，若它们相交于曲线 L .
其参数方程为
x 2R cos (1 cos )
y
2R
sin
(1
cos
)
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从 圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成 的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
其坐标式参数方程为
x R cos sin
第二章 轨迹与方程 • 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个 方程的图形。
二、曲面的参数方程
定义 2.2.2 如果取 u,va u b,c v d 的一切可能取的值，由
r
ur
uur
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3,
表示的向径
r r
u,
v
的终点
M
总在一个M曲面上；
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径，
而这向径可由 u,v 的值 a u b,c v d 通过
则曲线 L 上的任意点，同时在这两个曲面上，它的坐标满足方程组
F1 x, y, z 0,
F2
x,
y,
z
0
（2.3－1）；
反过来，满足方程组（2.3－1）的任何一组解所决定的点，同时在这两
曲面上，即在这两曲面的交线上，
因此方程组（2.3－1）表示一条空间曲线 L 的方程，我们把它叫做空间
曲线的一般方程.
三、球坐标系与柱坐标系
1.球坐标系
设 M(x,y,z)为空间内一点，则点
M 可用三个有次序的数 ，，θ来确 定，其中 为原点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z轴正向所夹的角，
θ为从正 z 轴来看自x 轴按逆时针方向
z
• M(x, y,z)
z
o
x
A
xy
•
P
y
转到有向线段 OP 的角，这里 P 为点 M
M ,, z .
柱面坐标系的三坐标面是
为常数
θ为常数 z 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的关
系为
x cos ,
x2 y2
y
sin
,
z z.
或 tan
y x
z z
x
z
• M (x, y, z)
z
o
• P(, )
y
§3 空间曲线的方程
• 一、空间曲线的方程 • 二、空间曲线的参数方程
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）星形线_白.avi
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑 动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
圆的内摆线
圆的内摆线
数方程也可写成
x xu,v,
y
y
u,v,
z z u, v.
（2.2－6）
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
M
例6 求球心在原点，半径为r 的球面的参数方程.
解: 取定直角坐标系, 球心为原点(如图)
设球面上任意一点M(x, y, z), 过M作xy
平面uu的ur 垂线交于点P. 设φ是由uuurx 轴转
r
ur
uur
ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 完全决定，
r
ur
uur
ur
那么我们就把表达式 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 叫做
曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数.
r
向径 r u,v 的坐标为xu,v, yu,v, z u,v，所以曲面的参
yk
例5 设球面的中心是点C（a,b,c），而且半径等于r ，求它的 方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | CM | r
x a2 y b2 z c2 r
所求方程为 x a2 y b2 z c2 r2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
z
• M(x, y,z)
注意：柱面坐标系就是平 面极坐标系加上 z 轴.
o
x
y
•P(, )
2.柱坐标系
空间的点除去 z 轴上的点，其余的点与有序三数组 , , z 建立
了一一对应的关系，这里 0, , z ，这种一
一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序三
数组 , , z 叫做空间点 M 的柱坐标或称半极坐标，记做
一、曲面的方程
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
F(x, y, z) 0
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
在 xoy 面上的投影，这样的三个数，
，θ就叫做点 M 的球面坐标．
1.球坐标系 空间的点除去 z 轴上的 O 点，其余的点与有序三数组 ,, 建立了一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐 标系，或称空间极坐标系，并把有序三数组 ,, 叫做空间点 M
的球坐标或称空间极坐标，记做 M ,, ，
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
上一页 下一页
返回
例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
x y 0 and x y 0
例3 求坐标平面yOz 的方程.
x0
例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平面 xOz 相隔距离为k ，求它的方程.
y
R
sin
cos
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1
第一种参数方程以角度 为参数：
x
y
a cos b sin
,
a b2 a2t 2
第二种参数方程以斜率 t 为参数：x
b2 a2t 2
, t
y
2ab2t b2 a2t 2
§2 曲面的方程
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
z S
oy x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面 的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
• M(x, y,z)
o
x
r
y
•
P(r, )
结论
求空间曲面或曲线的参数方程时，经常是作向径
uuur OP
的坐标折线，将分解 OuuPu为r 平行于坐标轴的三个向量之和，这
样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
x xu,v,
化普通方程
F
x,
y,
上一页 下一页
返回
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4