非线性回归模型的线性化(1)
非线性回归模型的线性化
k 1 beatut yt
k 1 beatut yt
ln
k yt
1
ln b at
ut
令yt
ln
k yt
1
,
b
ln b
yt b at ut
此时可用最小二乘法估计b*和a。
钉螺存活率曲线 （生长曲线模型）
把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检 测存活个数，计算存活率。数据见表。
FOOD
3000
2000
1000
0 0
4000
8000
12000
INCOME 16000 20000
9.0 LOG(FOOD)
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0 LOG(LOG(INCOME))
5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
以1为例
1
yt xt1
线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性
系数的一个分量。
应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产 效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力 投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：
Yˆt
0.035X
1.5 t1
X
0.49 t2
yt ke be at
yt ke be at
曲线的上限和下限分别为k和0 。
当a 0, Limyt k, 当a 0,b 0 , Limyt 0
t
t
曲线有拐点，坐标为 Lnb , k
a e
, 但曲线不对称于拐点。
一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才 可以用最小二乘法估计参数。
计量经济学非线性回归模型的线性化
变量替换法
Y 0 1 f1 ( X 1 , X 2 ,, X k ) 2 f 2 ( X 1 , X 2 ,, X k ) p f k ( X 1 , X 2 ,, X k ) u
变量替换公式为 Z1 f1 ( X 1 , X 2 ,, X k )
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
Y AK L e
u
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入 量，A 为效率系数， 和 非别为K 和 L的产出弹性，A、 和 均为待估未知参数。 取对数后：
第四章 非线性回归模型的线性化
第一节：变量间的非线性关系 第二节：线性化方法 第三节：案例分析
第一节 变量间的非线性关系
1. 线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同？
线性模型
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k u
非线性模型 Y f ( X 1 , X 2 ,, X k ; 0 , 1 ,, p ) u
ln Y ln A
Z f ( X , X ,, X ) 2 2 1 2 k Z k f k ( X 1 , X 2 , , X k )
则
Y 0 1 Z1 p Z p u
第二节 线性化方法
（1）多项式函数模型
Yi 0 1 X i 2 X i k X k ui
就可以得到线性回归模型的一组新的最小二乘估计量。 第三步：将非线性函数 f 在这组新的参数估计值 附近作泰勒级数展开，线性化后得到一个新的标准线性回 归模型。对这个新的标准线性回归模型再应用普通最小二
经典回归与非线性回归模型的线性化
称为估计的模型。假定样本容量为 T。 （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但 很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。 （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置 也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。 （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小” （这种 确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。 方法对异常值非常敏感）设残差平方和用 Q 表示， Q=
1
u i 与x i 相互独立。否则，分不清是谁对y t 的贡献。 。 (8) 对于多元线性回归模型，解释变量之间不能完全相关或高度相关（非多重共线性） 在假定（1） ， （2）成立条件下有E(y t ) = E( 0 + 1 x t + u t ) = 0 + 1 x t 。 2．最小二乘估计（OLS） 对于所研究的经济问题， 通常真实的回归直线是观测不到的。 收集样本的目的就是要对 这条真实的回归直线 = 0
i 1
T
(3)
2
( y t ˆ 0 ˆ1 xt ) x t = 0
i 1
T
(4)
（3）式两侧用除 T，并整理得，
ˆ = y ˆ x 0 1
(5)
把（5）式代入（4）式并整理，得，
[( y
i 1 T
T
t
ˆ ( x x )] x t = 0 y) 1 t
T
2 Lim E [T (x T -E(x T )) ] = v
则定义x T 的渐近方差为
1 1 2 v Lim E [T (x T -E(x T )) ]= T T T
ˆ 的渐近期望为，则 ˆ 为 的渐近无偏估计量，即 渐近无偏性。若
ˆ )= Lim E ( T
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。
高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。
一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++，其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。
而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。
在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。
二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。
如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2R 进行拟合效果分析，2R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。
三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：(1)双曲线型，其形式为1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1x x'=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为by ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型，其形式为bxy ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。
04-非线性回归模型的线性化
i l
2 t
2
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6
4.2、线性化方法
1、 被解释变量与解释变量之间不存在线性关系，与
未知参数之间存在线性关系的模型，其线性化的方法 为：变量替换法；然后利用OLS估计参数。 2、被解释变量与解释变量、未知参数之间不存在线性 关系，但可线性化的模型的线性化方法为：对数法和 变量替换法；然后利用OLS估计参数。 3、真正意义上的非线性模型，需要进行线性化处理。
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4.1.3、非线性回归模型的基本假定
1．扰动项零均值： E(u ) 0, t 1, 2,..., n 2．无自相关性： E(u u ) 0; i, l 1, 2,..., n; i l 3．同方差性： E(u ) , t 1, 2,..., n ，其中为有限常 数。 4．解释变量为非随机变量 5．函数性质：一般情况下，假设 f (xt , β)为二阶连 续可微函数。 6．模型参数可识别 7．分布假定：零均值、同方差。在极大似然估 计中，需要对扰动项的分布做出假设，一般假 设其服从正态分布。
ˆ ˆ) log(a 1 ˆ ˆ b
2
ˆ e ) (a
ˆ 1
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量
的性质（如 BLUE, 正态性等）只适用于变换后的参 ˆ 和 ˆ ，而不一定适用于原模型参数的估 数估计量 1 2 计量 a ˆ 。 ˆ和 b
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CES生产函数模型的线性化回归
最小二乘法
t
ˆ ) min S (β) S (β
min (Yt f (xt , β))2
t
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非线性最小二乘法的正规方程组
非线性回归模型的线性化
非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
⑴ 指数函数模型y t = t t u bx ae + (4.1) b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6)b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
非线性回归模型的线性化讲解
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为： Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式，
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
15
2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 （1）指数函数模型
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化25页
（1）指数函数模型
Yi AebXiui 取对数 ln Y i ln AbiX ui
令
Y* i
lnYi,alnA则
Yi*abX i ui
（2）幂函数模型
Y i A1 i1 X X 2 2 i1 X k kieui
lY i n lA n 1 lX n 1 i 2 lX n 2 i k lX n k i u i
2. 非线性回归模型可分为几类？
第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。
第一节 变量间的非线性关系
第一类：非标准的线性化模型 Y与解释变量 X1,X2,,Xk 之间不存在线性关系，
但与未知参数 0,1,2,之,间p 存在线性关系。
Y 01f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) 举例：总成 本 函数pf模k(X 型1 ,X 2 , ,X k) u
C 01 X 2 X 23 X 3 u
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
YA K Leu
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入
Y i AiK L ieui,i1 ,2 , ,n
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u 表示随机误差项，A、、为未知参
数。试利用天津市1980年~2019年间的有关统计资 料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
04-非线性回归模型的线性化.
对此方程采用对数变换 logM=loga+blog(r-2)
令Y=logM, X=log(r-2), β1= loga, β2=b
则变换后的模型为：
β β Y = + X + u 2020/10/1
t 1 2t t
15
将OLS法应用于此模型，可求得β1和β2的估计
值 ˆ1, ˆ2，从而可通过下列两式求出a和b估计值：
log(aˆ) ˆ1 (aˆ eˆ1 ) bˆ ˆ2
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量 的性质（如BLUE,正态性等）只适用于变换后的参 数估计量 ˆ1和ˆ2 ，而不一定适用于原模型参数的估
计量 aˆ 和 bˆ 。
是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新
定义来解决。例如，对于
Y 1X12 2
X2
3
X3 X4
...
只需定义
Z1
X
2 1
,
Z2
X2 ,
Z3
X3 X4
...
该关系即可以重写为：
Y 1Z1 2Z2 3Z3 ... 此方程的变量和参数都是线性的。
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13
参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不
（2）参数的线性
因变量Y是各参数的线性函数。
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3
4.1.2. 非线性模型中变量间的关系
非线性模型的一般形式是 Yt f ( X1t , X 2t ,..., X kt ; 1, 2 ,..., m ) ut
其中f是关于解释变量和未知参数的一个非线性函
数。
上式中解释变量的个数k与参数个数m不一定相 等，
模型形式：
2表020示/10什/1 么意义呢？（思考）
第四章 非线性回归模型的线性化讲解
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
Y 和
X 1 , X K
之间不存在
多元线性随机函数关系
Y 0 1 X 1 K X K
那么我们如何估计出模型中的未知参数呢？
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/08/08 Time: 13:51 Sample: 1980 1996 Included observations: 17 Variable Coefficient C -10.46551 X1 1.021132 X2 1.472202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
(2)可线性化的非线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，但是可以转化 为线性函数。例如： 生产函数模型： Y AK L e 转化为： ln Y LnA LnK LnL (3)不可线性化的非线性回归模型： 被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，而且无法转化 为线性函数。 例如：Y 0 1e 1x1 2 e 2 x2
0.99841 S.D. dependent var 0.029873 Akaike info criterion
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
可以化为线性的多元非线性回归模型精品文档
若回归结果如下所示
ln ES ˆX t 7.78 90.007 tt 43
Se = (0.0023) (0.00017)
t = (3387.619) (44.2826)
R2=0.9894
结果表示对外劳务输出每年以0.743%的速 度增长。
如果设定的非线性模型为
j表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj
每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。
非线性的情况：
(1 )ln Y i12ln X i u i (2 )ln Y i12X i u i (3 )Y i12ln X i u i (4 )Y i12X i3X i2 u i
回归结果如下：
GDPˆGi 0.0130.062RGDPi 0.061RGDPi2
Se = (0.004) (0.027)
(0.033)
这个回归结果表明，在一定范围内发展中国家 GDPG随着RGDP的提高而递增，但增加的速 度递减。
（五）倒数函数模型
如果设定的非线性模型为
Y i12(1X i)u i
非线性回归模型的线性化
一、双对数模型 二、半对数模型 三、幂函数模型 四、多项式函数模型 五、倒数函数模型
一元线性回归模型
Yi ห้องสมุดไป่ตู้12Xiui
i=1,2…,n
1表X 示 每变化一Y的 个均 单 E（ Y 值 位 ）时 的， 变
多元线性回归模型
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i i=1,2…,n
2
E(lnYi)E(lnYi1) Xi Xi1
Y的X的 均绝 值对 的变 相化 对变化
斜率系数 2 衡量的是当变量X的绝对量每发生单位变动 时，引起被解释变量Y平均值的相对变动比率。
第四章 非线性回归模型的线性化
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
-10.46385643
1.287009777
-8.130362812
1.1E-06
X Variable 1
1.021123591
0.029404208
34.72712407
5.5E-15
X Variable 2
1.471943365
0.239290421
6.151284117
2.5E-05
（2）Eviews3.1结果：
0 =lnA 1 =
2 =
X1=lnK
X2=lnL
新生成的线性回归模型为： Y= 0 +1X1+ 2 X2+
对于非线性模型的解决方法：以生产函数为例
案例分析：见Excel表格
解答： （1）Excel回归 （2）Eviews3.1
（1）EXcel回归结果
回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.99930353 1 0.99860754 8 0.99840862 6 0.02991798 5 17
第四章 非线性回归模型的线性化
陈修兰
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
第4章非线性回归模型的
• 移项整理后得到
p f f Y f ( X 1 , X 2 , X k ; 1, 0 , 2, 0 , p , 0 ) i , 0 i i 1 i 0 i 1 i 0 p
• 令
f Y Y f ( X 1 , X 2 , X k ; 1,0 , 2,0 , p , 0 ) i , 0 i 0 i 1
• 不断重复上述过程，直至参数估计值收 敛为止。即l+1组参数估计值与第l组参数 估计值没有显著差别时为止。 • 这个方法的一个优点是计算效率比较高， 另一个优点是因为每一次迭代都是一次 线性回归，因此可以进行标准的显著性 检验、拟合优度检验等各种统计检验。
具体步骤
• 第一步， • 根据经济理论和历史统计资料，选定 ( , , ) 作为未知参数(1, , 2, , p, )的一组初始估计值。接 着将模型 Y f ( X1, X 2 , X k ; 1, 2 , p ) 中的非线 性函数f在这组初始估计值附近作泰勒极数展开， 得 （*）
第4章非线性回归模型的线性化
1 变量间的非线性关系 2 线性化方法 3 案例分析
4.1 变量间的非线性关系
对于非线性回归模型，按其形式和估计方法的不 同，可以分为三种类型： 1 非标准线性回归模型 Y 例： f ( X , X ,, X ) f ( X , X ,, X ) f ( X , X ,, X ) 2 可线性化的非线性回归模型 例： Y AK L e 3 不可线性化的非线性回归模型 x x 例： Y 0 1e 2e
p
f f f Z1 , Z2 ,Zp p 0 1 0 2 0
4非线性回归模型的线性
变量间的非线性关系 变量非线性 变量与参数非线性(可线性化) 变量与参数非线性（不可线性化） 线性化方法（可线性化模型）
变量替换法 函数变换法 级数展开法
案例分析
第一节 变量间的非线性关系
一般的非线性回归模型的表示形式：
Y f ( X 1 , X 2 , , X k , 0 , 1 , , k ) u
i
ui
当b>0和b<0时的图形如图，Xt与Yt的关系是非线性的。
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
Y i a bLnX
i
ui
(b 0)
令LnXi = Xi*,则
Yi = a + bXi* + ui
变量Yi和Xi*已变换成为线性关系。
4、S-型曲线模型
Yi 1
*
* 0
1 X 1i 2 X 2i u i
* *
——线性模型
用OLS法估计后，再返回到原模型。若参数：
1 + 2 = 1，称模型为规模报酬不变型； 1 + 2 > 1，称模型为规模报酬递增型；
1 + 2 < 1，称模型为规模报酬递减型。
对于对数线性模型，LnYi = Ln0 + 1 LnX1i + 2 LnX2i + ui ，1和2称作弹
性系数。以1为例：
1
LnY LnX
i 1i
Yi
1
Yi
X 1i X 1i
1
X i Yi Yt X 1 i
Yi / Yi X 1i / X 1i
中级计量经济学讲义_第九章非线性回归模型
中级计量经济学讲义_第九章非线性回归模型第九章非线性回归模型回归模型的一般形式是i i i x h y εβ+=),( （1）很明显，线性模型只是一种特殊情况，我们应该讨论更一般的模型（1）。
例如，εβββ++=x e y 321 （2）不能变换到线性形式。
1 线性化回归非线性回归模型是εβ+=),(x h y（为简化记号，我们去掉了观测值的下标）非线性回归模型的许多结果是基于在参数向量的一个特定值0β处（如由经验得到的数据时）对),(βx h 的一个线性泰勒级数来近似：)(),(),(),(000k k kkx h x h x h ββββββββ-??+?=∑（3）这被称为线性化回归模型。
整理各项可得),(),(),(),(00ββββββββββββ==∑∑??+??-?kkkkkk x h x h x h x h令0~k x 等于第k 个偏微分0/),(k x h ββ??。
对于0β的一个给定值，这0~k x 是数据而不是含未知参数的函数。
于是∑∑+-?k k kk k x x h x h βββ0000~]~[),(ββ'+'-=0000~~x x h或εββ+'+'-?0000~~x x h y把已知项移到方程左边，可得回归模型：εββ+'='+-=0000~~~x x h y y （4）有了0β值，我们就可以计算0~~x y 和并通过线性最小二乘法估计（4）中的参数。
然后，进行再次的迭代和回归，直至收敛和满足我们的精度要求。
[例] 对于（2）所给的非线性回归模型，线性化方程中的回归量是,(.)~,1(.)~03202101x e h x h x βββ=??==??=x xe h x 0302303(.)~βββ=??=有了一组参数0β0303020201010302010~~~),,,(~x x x x h y y ββββββ+++-= 可以对前面为估计321,βββ和而定义的三个变量进行回归。
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本章结束
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回归方程中的变量通常在一个连续区间上取。但 是，有时希望用一个或多个只取两个值的自变量， 这样可以设立一个虚拟变量。 例如：一个公司采用两台机器生产。假设两台机 器的产出都服从正态分布，具有不同的期望和相 同的方差。
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§4－3 分段线性回归
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城镇居民人均收入差异分析
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
Cobb-Douglas生产函数
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§4－2 虚拟变量
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⑴ 指数函数模型
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⑵ 对数函数模型
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⑶ 幂函数模型
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⑷ 双曲线函数模型
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⑸ 多项式方程模型
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另一种多项式方程的表达形式是
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1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能 的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
第四章 线性回归模型的应用
§4－1 典型的非线性模型及处理方法 §4－2 虚拟变量 §4－3 分段线性回归 §4－4 实证分析
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§4－1 典型的非线性模型及处理方法
我们介绍一类非线性回归模型。其 形式是非线性的，但可以通过适当的 变换，转化为线性模型，然后利用线 性回归模型的估计与检验方法进行处 理。称此类模型为可线性化的非线性 模型。下面介绍几种典型的可以做线 性化处理的非线性模型。