2. 第二讲 线性子空间

定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 { x1 x2 | x1 V1 , x2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间. 事实上， 0 V1 , 0 V2 , 0 0 0 V1 V2 任取 x , y V1 V2 , 设 x x1 x2 , y y1 y2 , 其中，x1 , y1 V1 , x2 , y2 V2 , 则有
x, y V1 , k , l K 有 kx ly V1
充分性:设
k=l=1，x , y V1 x y V1
取l=0， x V1 , k K kx V1
必要性:
（数乘封闭） x V1 , k K kx V1 y V1 , l K ly V1 （数乘封闭）
矩阵分析与应用
第二讲 线性子空间
2011-9-28
本讲主要内容

线性子空间的定义 线性子空间的性质 线性子空间的交 线性子空间的和 子空间交与和的有关性质
线性子空间
设V1是数域K上的线性空间V上一个非空子 集合，且对已有的线性运算满足以下条件： 1. 如果 x , y V1 ，则 x y V1 ； 2. 如果 x V1 , k K ， kx V1 则称V1是V的线性子空间或子空间 线性子空间也是线性空间 非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身 以及零空间 线性子空间的维数小于等于线性空间的维数
Байду номын сангаас
x y V2 ,
故V2不是Rn的子空间.
下证V3是Rn的子空间.
首先 0 (0, 0, , 0) V3 , V3
其次， x , y V 3 , k K , 设 x ( x1 , x 2 , , x n 1 , 0), y ( y1 , y2 , , yn 1 , 0) 则有 x y ( x1 y1 , x2 y2 , , xn1 yn1 , 0) V3
k , l K : kx ly kk1 ll1 x1 kkm llm xm
线性组合所成集合.
V y l x l x l x , x , , x 即y x 的一切 1 1 1 2 2 m m 1 2 m
kx ly V1
而在 V2中任取两个向量 x , y ，设
x ( x1 , x 2 , , x n ), y ( y1 , y2 , , yn )
则 x y ( x1 y1 , x2 y2 , , xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn ) ( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) 1 1 2
n元齐次线性方程组
1,0, ,0
0,1, ,0
得到n-s个解向量 11 , 12 , , 1s 1,0, ,0

s1
0,0, ,1

, s 2 , , ss ,0,0, ,1
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间：
的全部解向量所成集合V对于通常的向量加法 和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间 Rn 的一个子空间，称V为方程组的解空间
方程组的解空间W的维数＝n－秩(A)， 方程组的一个基础解系就是解空间V的一组基
c11 x1 c x2 a a12 c a11snx x c0 sn 1, s 1 x s 1 c1 n xn 11 1 12 x2 a21 x1 c xx c c0 a22 x22 a sn s n 22 2, s 1 x s 1 c2 n xn 22x a x a x ca xx 0 s2 2 s1 1 sssn s n c s , s 1 x s 1 c sn xn 变形后， 用n-s组数表示自由未知量 x s 1 , , xn
V1 V2 {( a, 0, 0), (0, b, 0) a, b R} {( a, b, 0) a, b R 且a, b中至少有一是0}
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1, 0, 0), (0,1, 0) V1 V2 但是 (1, 0, 0) (0,1, 0) (1,1, 0) V1 V2
m n 是线性无关组，
零子空间就是零元素生成的子空间
例：设V为数域K上的线性空间， x1 , x2 , , xm V
V1 {k1 x1 k2 x2 km xm ki K , i 1,2, , m }
则V1关于V的运算作成V的一个子空间． 证： x V1 x k1 x1 k 2 x2 k m xm
V1 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi R} V2 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi R} V3 {( x1 , x2 , , xn1 , 0) xi R, i 1, 2, , n 1}
V1 k1 x1 kn xn ki K , i 1, 2, , n
称为由 x1 , x2 , , xn 生成(或张成)的子空间,记为
L x1 , x2 , , xn k1 x1 kn xn
是生成的子空间的基
如果 x1 , x2 , , xm 则 x1 , x2 , , xm
同样可以得到
若 A R
mn
rankA 2,
T
nA
T
0
，有
T
rankA n A n n A n A
nm
定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 { a | a V1 且a V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
x1 , x2 , , xm 就是V 的一组基.
假设当n－m＝k时结论成立.
定理成立．
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形． 既然 x1 , x2 , , xm 还不是V 的一组基，它又是线 性无关的，那么在Vn 中必定有一个向量 xm 1不能被
故 kx ly V1
（加法封闭）
＃
n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 s2 2 sn n s1 1
包含在V1和V2中 的最大的子空间 子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1 ,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2、设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间，则以下三
矩阵的值域
设 A C
m n
R( A ) L a1 , a2 , , an y | y Ax , x C
的n个列向量为 a1 , a2 , , an 则
n

是 Cn 的子空间，称为矩阵A的值域，或列空间 矩阵的零空间（核空间） 设 A C
m n
是 Cn 的子空间，称为矩阵A的零空间，其维 数为A的零度，记为 n( A )
事实上， 0 V1 , 0 V2 , 0 V1 V2 任取 x , y V1 V2 , 即 x , y V1 , 且x , y V2 , 则有 x y V1 , x y V2 , x y V1 V2 同时有 kx V1 , kx V2 , kx V1 V2 , k K 故 V1 V2 为V的子空间.
N ( A ) x | Ax 0, x C
的n个列向量为 a1 , a2 , , an 则
n

1 0 1 已知 A 求A的秩和零度 0 1 1 显然A的秩为2，即 rankA 2 又由 Ax 0 ，可以解得 T 可以得到 x 1 1 1 t n A 1
x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) V1 V2 kx k ( x1 x2 ) kx1 kx2 V1 V2 , k K

子空间的交满足交换率与结合率
V1 V2 V2 V1 , (V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )

子空间的和满足交换率与结合率
V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {( a, 0, 0) a R}, V2 {(0, b, 0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集
因此，V1关于V的运算作成V的一个子空间
扩基定理
定理：设V1为 n 维线性空间 V的一个 m 维子空间，
x1 , x2 , , xm 为V1的一组基，则这组向量必定可扩充
为 V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
xm 1 , xm 2 , , xn ，使 x1 , x2 , , xn为 V 的一组基．
线性子空间V1也是线性空间 证明：必要性由定义直接得出
充分性：各运算律已在V中定义，我们只需证明
0 V1 x V1 , x V1 实际上， 0 0 x V1
x V1 , 1 K
x 1 x V1
所以线性子空间V1也是线性空间
V1是数域K上的线性空间V上一个非空子空间
条件等价: 1) V1 V2 包含V1和V2中的 最小的子空间
2) V1 V2 V1 3) V1 V2 V2
kx ( kx1 , kx2 , , kxn1 , 0) V3
故，V3为Rn的一个子空间，且维V3 ＝n－1 ，
i (0, , 0,1, 0 , 0), i 1, 2, , n 1
i
就是V3的一组基.
设 x1 , x2 , , xn 是数域K上的线性空间V的 一组向量，所有可能的线性组合的集合
x1 , x2 , , xm 线性表出，把它添加进去，则 x1 , x2 , , xm , xm 1 必定是线性无关的．
由定理， 子空间 L( x1 , x2 , , xm 1 ) 是m＋1维的． 因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k， 由归纳假设，L( x1 , x2 , , xm 1 ) 的基 x1 , x2 , , xm , xm 1 可以扩充为整个空间Vn 的一组基．由归纳原理得证.
若为Rn的子空间，求出其维数与一组基. 解：V1 、V3是Rn的子空间， V2不是Rn的子空间. 事实上，V1 是n元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以，维V1 ＝n－1，①的一个基础解系
x1 x2 xn 0
1 (1, 1, 0, , 0), 2 (1, 0, 1, 0, , 0), , n1 (1, 0, , 0, 1) 就是V1 的一组基.