双曲线的定义及其基本性质
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点有哪些双曲线的基本知识点如下：1.双曲线定义：在平面内，设$F_{1}、F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的焦点，若$F_{1}F_{2}=2c$，则称$F_{1}F_{2}$为双曲线的焦距。
2.定义法证明：（1）设$P$点是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的左支上的一点，$F_{1}$是双曲线的左焦点，若$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$ 双曲线的基本知识点整理双曲线的基本知识点整理如下：1.双曲线定义：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。
双曲线函数的图像和性质
双曲线函数的图像和性质双曲线函数是一类常见的函数，其具有独特的图像和性质。
本文将介绍双曲线函数的定义、基本性质以及图像特点。
一、双曲线函数的定义双曲线函数是一类由双曲线函数定义域和值域的函数。
一般来说，双曲线函数可以表示为：y = a / x + b / x其中，a和b是实数。
这个函数在x=0处有一个垂直渐近线，同时在 x 趋近正无穷（＋∞）和负无穷（－∞）时也会有渐近线。
此外，这个函数的图像是对称于 y 轴的。
二、双曲线函数的图像特点双曲线函数的图像有一些独特的特点。
首先，它的图像是以原点为中心的对称曲线，因此很容易将该函数的图像分成四个象限。
其次，双曲线函数在 x 轴上有一个渐近线，图像会在该线上面趋近正无穷或负无穷，而在该线下面趋近于零。
另外，双曲线函数也有两个射线渐近线，分别为 y = a 和 y = -a，其中 a 为函数的正值。
这两个射线渐近线与 x 轴上的渐近线相交于原点。
最后，双曲线函数的图像类似于双曲线的形状，因此得名双曲线函数。
在图像的左右两个象限中，函数都会随着 x 的增大或减小而逐渐趋近于渐近线，但方向是相反的。
三、双曲线函数的基本性质双曲线函数具有很多基本的性质。
其中，最重要的是该函数的定义域和值域。
双曲线函数的定义域为除了 x=0 的所有实数，而值域则是除了y=0 的所有实数。
此外，双曲线函数的导数为：dy / dx = -(a+b) / x^2使用导数可以帮助我们更好地理解双曲线函数的图像以及其性质。
四、结论综上所述，双曲线函数是一类具有独特图像和性质的函数。
它的图像类似于双曲线，在 x=0 处有一个垂直渐近线以及两个射线渐近线。
除了对应值为零的 y 轴上的点外，该函数的定义域和值域分别为除 x=0 和 y=0 外的所有实数。
同时，其导数的解析式为 -(a+b) / x^2。
了解双曲线函数的图像和属性有助于我们更好地理解和解决数学和物理领域的相关问题，如电磁学中的静电场和磁场问题等。
双曲线的概念及性质
双曲线的概念及性质一，定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F1F2| ）的轨迹 问题：（1）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？（3）若a=0，动点M 的是轨迹什么？①当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，M 点轨迹是双曲线（其中当|MF1|-|MF2|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F1的一支）；②当||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M 点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
③当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时，M 点的轨迹不存在。
④当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M 点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。
二，双曲线的标准方程 首先建立起适当的直角坐标系，以1,2F F 所在的直线为x 轴，1,F F 的垂直平分线为y 轴，根据定义可以得到:122a F F =≥ 化简此方程得()22222222()c a x a y a c a --=- ，令222c a b -=得：22221x y a b -=，其中1F (),0c -为左焦点，2F (),0c 为右焦点思考：若焦点落在Y 轴上的时候，其标准方程又是怎样的？ 三，双曲线的性质以双曲线标准方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧.由标准方程可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，它们是双曲线12222=-by a x 的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.4． 渐近线：经过2121B B A A 、、、作x 轴、y 轴的平行线b y a x ±=±=,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为x aby ±=. （1） 定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M 限远离原点时，点M 条直线叫这一曲线的渐近线；（2） 直线x a by ±=与双曲线12222=-by a x 否相交？（3） 求法：在方程12222=-by ax 中，令右边为零，则0))((=+-b ya xb y a x 即x ab y ±=； 若方程为12222=-b x a y ，则渐近线方程为x ba y ±=5.离心率：ce a= ()0c a >>,所以1e > 2．问题拓展 （一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直..3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上. （二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ； （2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；（三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)191622=-y x 与221916y x -=;(2) 191622=-y x 与1183222=-y x 的区别? 问题: 共用同一对渐近线x aby ±=的双曲线的方程具有什么样的特征？ 双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22221x y a b-=有共同的渐近线.当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.例：求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程. 三、课堂练习：1 .双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57. 设C 1：2222b y a x -=1,C 2： 2222a x b y -=1,C 3： 2222ay b x -=1,a 2≠b 2,则 ( )(A)C 1和C 2有公共焦点 (B) C 1和C 3有公共焦点 (C)C 3和C 2有公共渐近线 (D) C 1和C 3有公共渐近线8. 双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为____________ 9. 与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为___ 10. 直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________ 11. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）、焦点分别为（0，-5）、（0，5），离心率是23； （2）以坐标轴为两条对称轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点(3，2)。
双曲线的性质与应用
双曲线的性质与应用【正文】双曲线（hyperbola）是数学中的一种特殊曲线，其性质与应用广泛而深远。
本文将对双曲线的性质进行阐述，并探讨其在不同领域中的应用。
一、双曲线的基本性质双曲线可以通过以下两种方式的定义：准线法和焦点法。
准线法是通过定义两条与双曲线相切的直线，而焦点法是通过定义焦点和直角平分线来确定双曲线的位置。
1. 双曲线的准线准线是与双曲线相切于其两个分支的直线。
对于双曲线，两条准线分别对应两个分离的无穷远点。
2. 双曲线的焦点双曲线有两个焦点，位于曲线的近点和远点之间，并分别与曲线的两条分支关联。
3. 双曲线的定义方程双曲线在直角坐标系中的定义方程如下：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别代表相应坐标轴上的半轴长度。
4. 双曲线的对称性双曲线是关于x轴、y轴和原点对称的。
当双曲线的焦点在y轴上时，其对称轴为y轴；当焦点在x轴上时，对称轴为x轴；当焦点在原点时，对称轴为原点。
5. 双曲线的渐近线双曲线还有两条渐近线，分别与曲线的两个分支无限接近但永不相交。
这两条线的方程为y = (b/a) * x 和 y = -(b/a) * x。
二、双曲线的应用双曲线由于其特殊的形状和性质，在数学和其他学科中具有广泛的应用。
1. 物理学中的应用双曲线常用于描述电磁波的传播路径和粒子在加速器中的运动轨迹。
对于电磁波的折射和反射现象，双曲线可以帮助我们解释和预测光线的弯曲和聚焦。
2. 工程学中的应用双曲线在无线通信和抛物面天线设计中起到关键作用。
通过合理地选择双曲线的几何参数，我们可以实现信号的聚焦和辐射，从而提高通信系统的性能。
3. 经济学中的应用双曲线模型在经济学中有着广泛的应用。
例如，在供求关系中，当需求和供应分别满足双曲线方程时，市场均衡的价格和数量可以通过双曲线的交点得到。
4. 生物学中的应用生物学研究中常利用双曲线模型来描述生物体的生长曲线。
在这种情况下，双曲线可以帮助我们理解生物体的增长速率以及其与环境因素之间的关系。
双曲线的性质
PF1 − PF2 = 2a
{
2a < F1 F2
双曲线
2a = F1 F2
两条射线
2.双曲线的标准方程: 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在 轴上F1(c,0)、 F2(-c,0) 轴上 、
x y − 2 = 1 (a, b > 0) 2 a b
2 2
焦点在y轴上 1(0, c)、 F2 (0, -c) 焦点在 轴上F 轴上 、 2 2 y x − 2 = 1 (a, b > 0) 其中 c2=a2+b2 2 a b
2 2
1.范围：|x|≥a， y∈R. 范围： ≥ ， ∈ 范围
2.对称性： 对称性： 对称性 关于x轴 轴成轴对称 轴成轴对称； 关于 轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称。 关于原点成中心对称。 原点——中心 原点 中心 3.顶点： 顶点： 顶点 A1(-a,0)、 A2(a,0)； 、 ； B1(0,-b)、 B2(0,b)(不是顶点 不是顶点). 、 不是顶点 线段A 实轴； 焦点、顶点在实轴上） 线段 1A2——实轴； |A1A2|=2a（焦点、顶点在实轴上） 实轴 线段B 虚轴。 线段 1 B2——虚轴。 |B1B2|=2b 虚轴
a a a
y< x a
4.渐近线： 渐近线： 渐近线
焦点在x轴上的渐近线 焦点在 轴上的渐近线
b y = ± x a
焦点在y轴上的渐近线 焦点在 轴上的渐近线
x y − 2 = 0 2 a b
2Байду номын сангаас
2
a y = ± x b
y x − 2 = 0 2 a b
2
2
提问：等轴双曲线的渐近线方程为？ 提问：等轴双曲线的渐近线方程为？ 双曲线有唯一的渐近线，反之对吗？ 双曲线有唯一的渐近线，反之对吗？
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
双曲线及其性质
双曲线及其性质 ☆知识梳理☆一、双曲线的定义1、 的点的轨迹叫双曲线，两定点叫 ，两点间的距离之差为 。
2、用符号语言表述为： 。
二、双曲线的标准方程及简单几何性质三、双曲线的常见结论1、与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线系方程为 。
2、等轴双曲线222x y a -=±的渐近线方程为 ，离心率是 。
3、渐近线与离心率的关系： 。
4、双曲线的通径为： 。
四、直线与双曲线的位置关系1、直线与双曲线位置关系的判定把双曲线22221x y a b -= ()0,0a b >>与直线方程y kx b =+联立消去y ，整理成形如20Ax Bx C ++=的形式，对此一元二次方程有：（1）0∆>, （2）0∆=， （3）0∆<， 。
2、直线被双曲线截得的张长公式设直线与双曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则AB = 。
3、中点弦“点差法” 。
☆释疑解惑☆1、对双曲线定义的认识（1）双曲线221102x y -=的焦距为（2）动点P 到两动点()()0,2,0,2A B -的距离之差的绝对值是4，则点P 的轨迹是双曲线（3）双曲线的两焦点()()123,0,3,0F F -，点(6,P 在双曲线上，则双曲线的标准方程是22145x y -= （4）以椭圆221164x y +=的焦点为实轴的顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是221124x y -= 2、对双曲线性质的认识（1）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，当a b =时，称该双曲线为等轴双曲线，等轴双（2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的3倍，则19m =-（3）双曲线221416x y k k-=的渐近线方程是2y x =±☆典例精析☆例1：已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，点,A B 在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点2F ，AB m =，1F 为另一焦点，则△1ABF 的周长为 （ ） A . 22a m + B . a m + C . 42a m + D . 24a m +变1：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点()4,3P 到双曲线的左、右焦点的距离之差等于4，则b 的值为 .变2：已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为 .变3：设P 是双曲线222116x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为430x y -=，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为_ .例2：与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是（ ）A ．2214x y -=B ．2212x y -=C ．22133x y -= D ．2212y x -=变1：若双曲线222114y x m m ++-=的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 （ ） A ．()2,2- B ．()2,1-- C ．()1,2 D ．()1,2-变2：已知双曲线 ()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 （ ）A ．22145x y -= B ．22154x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -=例3：如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝2 : 3 : 4，则双曲线的离心率为 （ ）A ．4B C ．2D变1：已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左、右焦点分别为12F F 、，P 为双曲线右支上一点，直线1PF 与圆222a y x =+相切，且212F F PF = ，则该双曲线的离心率e 是 （ ）A ．35B ．45C ．1517D ．1617变2：已知O 为原点，双曲线2221x y a-=上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为 （ ）ABC．2 D．3变3：设双曲线221222:1(0,0),,x y F a b F F a b-=>>为双曲线F 的焦点．若双曲线F 存在点M ，满足1212MF MO MF ==（O 为原点），则双曲线F 的离心率为 （ ） ABCD1-变4：如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，12,C C 的离心率分别是12,e e ，点A 是12,C C 的一个公共点，若 6021=∠AF F ，则221213e e += （ ） A ．41 B ． 21C ．2D ．4变5：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）A ．221+B ．224-C ．225-D ．223+变6：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为12,F F ， P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ． ()3,+∞D ．[)3,+∞变7：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞变8：已知12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .例4：已知双曲线22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为12,F F ，若在双曲线上存在点P ，满足01260F PF ∠=，OP =（O 为原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．0x =B 0y ±=C ．0x =D 0y ±=变1：与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是 ．变2：如图，12,F F 是12222=-by a x （0,0>>b a ）的左右焦点，过1F 的直线与的左、右两支分别交于A B ,两点，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．例5：若直线1y kx =+与曲线x =则k 的取值范围是（ ）A ．k <<B ．1k <-C ．1k <<D ．k <k >变1：直线l 过点()5,0，与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则满足条件的l 有（ ） A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条变2：已知双曲线224x y -=，直线l ：()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点个数．变3：直线1y kx =+与双曲线221x y -=左支交于,A B ，另一条直线l 过点()2,0-和AB的中点，则直线l 在y 轴上截距的取值范围是变4：已知双曲线的中心在原点，()3,0F 是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线交于,A B ，AB 的中点为()12,15N --，则双曲线的方程为 ．变5：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:l y kx =C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围； （3）在（2）的条件下，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于()0,M m ，求m 的取值范围．变6：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围.例7：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>和圆：222x y b +=，过双曲线上的一点()00,P x y 引圆的两条切线，切点分别为,A B .（1）若双曲线上存在点P ，使得090APB ∠=，求离心率的取值范围； （2）求直线AB 的方程；（3）求AOB ∆（O 为原点）面积的最大值.变1：若点O 和点()2,0F -分别为双曲线()22210x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为 .例8：已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()()111222,,,P x y P x y .（1）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（2）记直线11PA 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.变1：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点()()1002A B -，，，，点C 满足(),,21OC mOA nOB m n R m n =+∈-=．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线,M N 两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：2211a b-为定值；（3）在（2☆优化热身☆1、过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于,P Q ,若7PQ =，2F 是双曲线右焦点，则三角形2PF Q 的周长是 （ ）A ．28B ．14-C ．14+D ．2、已知双曲线2212x y a-=的一条渐近线为y =，则实数a 的值为 （ ） A . 16 B . 8 C . 4 D . 23、设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12,F F 是该双曲线的两个焦点，若12:3:2PF PF =，则12PF F ∆的面积为 （ ）A ．B ．C ．12D ．244、已知中心在原点，焦点在y 则它的渐近线方程为（ ）A . 2y x =±B . y x =C . 12y x =±D . y =5、已知双曲线中心在原点且一个焦点为()1F ，点P 位于该双曲线上，线段1PF 的中点坐标为()0,2，则双曲线的方程是 （ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -= C ．22123x y -= D ．22132x y -=612,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q .若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 （ ）A B ．2 C ． D 7、如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．5C ．25 D ．31+8、如图所示，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l则该双曲线的离心率为 （ ）A BC ．5D ．29、若双曲线122=-y x 左支上的一点),(b a P 是 ．10、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点是()6,0F ，则此双曲线的方程是 ．11、双曲线1222=-m y m x 和椭圆1402522=+y x 有共同的焦点，则=m ． 12、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y +-=无公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ．13、设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足＝PA PB ，则该双曲线的离心率是 ．14、如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，122FF =，P是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，2F P 与y 轴交于点A ，APF ∆的内切圆半径为，则双曲线的离心率是 ．15、已知双曲线:C 2212x y -=，设直线l过点()A -. （1）当直线l 双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离； （2）证明：当2k >时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．16、已知双曲线方程222y x -2=.（1）求以()2,1A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点()1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于12,Q Q 两点，且12,Q Q 两点的中点为()1,1？如果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由．MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k 的取值范围．18、设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点()2,0Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，求双曲线的离心率的取值范围．。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是数学中的一种常见曲线类型，具有独特的性质和应用。
本文将介绍双曲线的基本概念以及它所具有的一些重要性质。
1. 基本概念双曲线是由与两个固定点F1和F2的距离之差恒定的点P所构成的轨迹所形成的曲线。
这两个固定点称为焦点，用F1和F2表示；而距离之差的常数值称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还包括一条称为主轴的线段，它是与离心率的方向相垂直且通过双曲线的两个焦点的连线。
2. 方程表示双曲线的一般方程可表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) -(x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 图形特征双曲线具有以下几个重要的性质和特征：- 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于双曲线的两个分支。
渐近线是曲线逐渐趋近但永远不会到达的直线。
- 弦长公式：对于双曲线上的一条弦，其长度可以通过双曲线焦点之间的距离和与双曲线焦点的连线的夹角来计算。
- 曲率：双曲线上不同点的曲率不同，与点到双曲线焦点连线的方向有关。
4. 应用领域双曲线在数学和其他学科中具有广泛的应用。
以下是其中一些典型的应用领域：- 物理学：双曲线可用于描述光和声波的传播、电磁场的分布等现象。
- 工程学：双曲线的性质可用于设计天线、抛物面反射器等。
- 经济学：双曲线可用于描述成本和收益关系、货币供给和需求等经济现象。
- 统计学：双曲线可用于建模统计分布如正态分布、泊松分布等。
- 计算机图形学：双曲线可用于绘制和渲染曲线和物体的形状。
通过了解双曲线的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用这个有趣而重要的数学曲线类型。
无论是在纯数学研究还是实际应用中，双曲线都具有广泛而深远的影响。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。
具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。
双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。
二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。
2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。
3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。
4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。
5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。
6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。
7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。
2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。
4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。
四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。
2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。
3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。
五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。
认识双曲线与其性质
认识双曲线与其性质双曲线是二次曲线的一种常见形式，它在数学和几何学中占据着重要的地位。
本文将介绍双曲线的基本定义，性质和一些常见的应用场景。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一个动点到两个定点的距离差为常数的轨迹。
双曲线的定义可以通过以下方程表示：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1在数学中，双曲线具有以下基本性质：1. 定义域和值域：双曲线是定义在实数域上的。
它的定义域为所有使方程成立的x值，而值域为所有满足方程的y值。
2. 对称性：双曲线是x轴和y轴的对称图形。
这意味着如果(x, y)在双曲线上，那么(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。
3. 渐近线：双曲线拥有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
当x或y 趋于正无穷时，双曲线趋于渐近线，但永远不会触及它们。
4. 焦点和直径：双曲线有两个焦点，分别称为F1和F2。
它们与双曲线上的每个点的距离之差等于常数2a。
双曲线还有两个直径，分别称为长轴和短轴。
5. 双曲率：双曲线具有不同的双曲率。
在焦点处，双曲线的双曲率为负；在其它点，双曲线的双曲率为正。
二、双曲线的分类双曲线可以进一步分为以下三种类型：1. 椭圆型双曲线：当椭圆的长轴与短轴分别与x轴和y轴平行时，双曲线为椭圆型双曲线。
它的方程形式为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 12. 双叶双曲线：当双曲线的长轴与短轴分别与x轴和y轴垂直时，双曲线为双叶双曲线。
它的方程形式为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -13. 异形双曲线：当双曲线的长轴和短轴的方向不同时，双曲线为异形双曲线。
三、双曲线的应用双曲线由于其独特的性质，在许多学科和应用领域中都有广泛的应用。
以下是双曲线的一些常见应用场景：1. 物理学：双曲线在物理学中的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，双曲线用于描述场线的形状和传播特性。
在热力学中，双曲线可以用于描述热传导的过程。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
它具有独特的性质和特点，本文将详细介绍双曲线的基本概念与性质。
一、双曲线的定义与表示双曲线是平面上一组点的集合，这组点的到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数。
数学上，双曲线可以用以下方程表示： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (1)或者y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (2)其中，a和b都是正实数，决定了双曲线的形状和尺寸。
二、双曲线的基本性质1. 中心与焦点：双曲线的中心是坐标原点O(0,0)；双曲线的焦点是坐标轴上的两个点F1(-c,0)和F2(c,0)；2. 弦与渐近线：双曲线上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，都满足OA - OB = 2a；双曲线还有两条渐近线，与双曲线无交点但无限趋近于双曲线；3. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称；4. 弧长与面积：双曲线的弧长计算公式为s = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx；双曲线的面积计算公式为A = ∫(y * dx)；5. 双曲率：双曲线的曲率计算公式为k = |-2a^2 * y / (a^2 - x^2)^(3/2)|；三、不同双曲线的特点对于方程(1)和(2)，当参数a和b取不同的值时，双曲线呈现出不同的形状和特点。
1. a > b时：双曲线的轴线平行于x轴，焦点在x轴上方或下方，称为水平双曲线。
2. a < b时：双曲线的轴线平行于y轴，焦点在y轴的左侧或右侧，称为垂直双曲线。
3. a = b时：双曲线的轴线与对角线重合，形状接近于两个无限远的平行直线。
四、应用领域与示例双曲线在物理、工程和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线常用于描述电磁场、光学、天体物理等领域的运动和效应。
2. 工程学中，双曲线常用于建筑设计、交通规划等领域的结构和曲线优化。
3. 计算机科学中，双曲线广泛用于曲线拟合、数据可视化等领域的数学计算和图形绘制。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。
3、双曲线概念及几何性质
双曲线的概念与几何性质一、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质3.重要结论1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案 x 28－y 28＝13.已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.答案64.(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x x，则a＝________.解析由题意可得3a＝35，所以a＝5.答案56.(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.解析由题意可得，a2＋4a2＝⎝⎛⎭⎪⎫522，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.答案4考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c a ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )81045C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值. 2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝132332(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)C (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D.2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b2＝1，得3a ＝4b ， 所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516， 又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 答案 (1)B (2)(0，2)三、课后练习1.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎨⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案 D2.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6] B.[2，3＋1] C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案 D3.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 答案3－1 24.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 5.已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.答案 0 3。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点
1、双曲线的定义：
一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支：
双曲线有两个分支。
当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。
3、双曲线的顶点：
双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴：
两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线：
双曲线有两条渐近线。
渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
6、应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。
7、双曲线的标准方程和几何性质：。
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四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为 渐近线方程为 ，
（2）若已知某双曲线与 有公共渐近线，则可设此双曲线为 ，
（3）特别地当a=b时 两渐近线互相垂直，分别为y=±x，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A的实轴为双曲线B的虚轴，双曲线A的虚轴为双曲线B的实轴，即 。
双曲线标准方程的两种形式：
① ， ，焦点是F1(Байду номын сангаасc,0),F2(c,0) , ，
焦点是F1(0, -c),F2(0, c)
三、双曲线的性质：
（1）焦距F1F2=2c,实轴长A1A2=2a,虚轴长2b,且a2+b2=c2
（2）双曲线的离心率为e= ，e>1恒成立。
（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b，通径长EF＝
双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜ ）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。 ＜
（2）动点P到定点F的距离与到一条定直线的距离之比是常数e（e＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程：