高考数学与阿基米德三角形(与圆锥曲线结合)

高考数学与阿基米德三角形

一、主要概念及性质

1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有：

2、主要性质：

性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。

证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：

112

22

11222

()()

22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 解得两切线交点1212,22y y y y Q p ⎛⎫

+

⎪⎝⎭

，进而可知QM x 轴。 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线。 证明：设(,)Q x y ，由性质1，1212

,22

y y y y x y p +=

=，所以有 122y y px =。由 ,,A B C 三点共线知

1012

222

1210222y y y y y y y x p p p

--=--

即 22

1121020102y y y y x y x y py +--=-

将 12

12,22

y y y y y px +=

= 代入得 00()y y p x x =+ 即为Q 点的轨迹方程。

性质3：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹。

性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。 证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知

Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得

00,c bp x y a a =

=-，即弦AB 过定点,c bp C a

a ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

性质5：底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为3

8a p

。

证明：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知

222

12121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p

++-≤=-=-=

设直线AB 的方程为 x my n =+，则a =

所以23

2

2

121()428a a y y a d s ad p p

-≤⇒≤⇒=≤。 性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2

p 。

证明：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y =

=，Q 点的轨迹方程是2

p

x =-，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。所以

221212122224242

y y x x y y p p p

QM p p p ++=+=+≥+=

而2121

()2

QAB S

QM y y QM p =

-≥≥

性质7 ：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠。

证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1

FA y k p

'=-， 显然1FA QA K k '⋅=-，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得

QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠

同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 0

9090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质8：2

AF BF QF ⋅=

证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛

⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

2

222

1212244y y y y p p ⎛⎫+=+

+ ⎪⎝⎭

而 2

2

2

222

2

12121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=+

+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

性质9 QM 的中点P 在抛物线上，且P 点处的切线与AB 平行。

证明：由性质1知12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，可得P 点坐标为 21212(),82y y y y p

⎛⎫

++ ⎪⎝⎭，此点显然在抛物线上；过P 点的切线斜率为

1212

22

AB p p k y y y y ==++，结论得证。

二、例题解析

1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）

设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线2

2

1x y -=的两条切线

PA PB 、，切点为A 、B ，定点1

(,0)M m

.

（1）求证：三点A M B 、、共线。

（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在曲线方程.