世界各国领导人称谓

ab 2 (a b) 2 (1 ab) 2 ( ) 1 1 ab (1 ab) 2 (1 a 2 )(1 b 2 ) 0, 2 (1 ab) ab ab 1 1, 故 S , 即a b S . 1 ab 1 ab
练习1
已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，
其图象均在x轴的上方，对任意的m、n∈[0,+∞)， 都有f(m·n)=［f(m)］n，且 f(2)=4，又当x≥0时，
其导函数f′(x)>0恒成立.
（1）求f(0),f(-1)的值； 2 kx 2 （2）解关于x的不等式： f ( ) 2, 2 x2 4 其中k∈(-1,1).
3 2
解得 1 2 x 1 2 . 2 2 ∵f(x)是以4为周期的周期函数
3 ∵f(x)> 的解集为 2
2 2 x 4k 1 , k Z . x 4k 1 2 2
例 3 设 f(x)＝3ax ＋2bx＋c， a＋b＋c＝0， 若 f(0) f(1)＞0，求证： （1）方程 f(x)＝0 有实根； b （2） 2 1； a （3）设 x1 ， x2 方程 f(x)＝0 的两个实根，则 3 2 x1 x2 ． 3 3
例5（11湖北） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善 整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流 速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千 米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时， 造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明当 20 x 200 时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （Ⅰ）当 20 x 200 时，求函数 v x 的表达式; （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内 通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） f x x.v x 可以达到最大，并求出最大值。 （精确到1辆/小时）
例2
函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对任
意的x∈R,均有f(x+4)=f(x)成立.当x∈(0,2］时，
f(x)=-x2+2x+1.
(1)当x∈［4k-2,4k+2］(k∈Z)时，求函数f(x)的 表达式;
3 (2)求不等式源自文库(x)> 的解集. 2
解 （1）当x=0时，∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当x∈［-2,0）时，-x∈(0,2］, f(x)=-f(-x)=-(-x2-2x+1)=x2+2x-1. 由f(x+4)=f(x)，知f(x)为周期函数，且周期T=4.
例6 某人有楼房一幢，室内面积共180m2,拟分割成 作为旅游客房，大房间每间面积18m2，可住游客5 名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积 15m2，可住游客3名，每人每天5元；装修大房间每 间需要1000元，装修小房间每间需要600元。如果他 只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他 隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大利润？
国王:King (Spain, Sweden, Norway) 王后:Queen (Britain, Denmark, the Netherlands) 总统:President (US, France, Russia, Ireland) 总理:Premier (China), Chancellor (Germany) Prime Minister (Italy, Sweden, Demark, the Netherlands, Norway, Finland, Canada) 首相:Prime Minister (Britain, Spain, Japan) 加拿大总督:The Governor General 主席:Chairman (China, North Korea) President (China) 伟大导师: Dear Leader (North Korea)
(3)(ⅰ)当 a , 6 2 , 时, 解集为(a,); 2 2
2 (ⅱ)当 a 2 , 2 时, 解集为 a 3 2a , ; 3 2 2
(ⅲ)当 a 6 , 2 时, 解集为 2 2
2
1 2 例 4 已知函数 f ( x) x ax (a 1)ln x ，a 2 ＞1． （1）讨论函数 f(x)的单调性； （2）证明：若 a＜5，则对任意 x1 , x2 (0, ) ， f ( x1 ) f ( x2 ) 1． x1 x2 ，有 x1 x2
① ②
a 2 2 (ⅱ)当a<0时，f ( ) a . 3 32 若x>a,则由①知f(x)≥ a2 ;
若x≤a,由x+a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>
此时g(a)=
2 2 a. 3 3 2 2 a. 3
2a 2 , a 0, 2 综上, g ( a ) 2a , a 0. 3
练习 4（湖北理 21） （Ⅰ）已知函数 f ( x) Inx x 1 ， x (0, ) ，求函数 f ( x) 的最大值；
（Ⅱ）设 ak , bk (k 1, 2 …， n) 均为正数，证明： （1）若 a1b1 a2b2 … an bn
k1 1 k2 2 kn n
x= y
时，积xy 时，和
(2)若xy=P（积为定值），则当 x+y取得最小值 2
P
x=y
五、典型例题 例1 设绝对值小于1的全体实数的集合为
ab S，在S中定义一种运算*，使得 a b , 1 ab
求证：若a,b∈S，则a*b∈S.
证明 ∵a,b∈S.

∴-1<a<1,-1<b<1.此时
即f ( kx 2 2 x 4
2
2
) f (1),
由于f(-1)=f(1),因此 f (
k x 2 x 4
2
) f (1).
又∵当x≥0时，其导函数f′(x)>0恒成立，
∴y=f(x)在区间［0,+∞)上为单调递增函数. ∴
k x 2 x2 4 1,即 k x 2 x 2 4 ,
解 （1）由f(m· n)=［f(m)］n， 得f(0)=f(0×0)=［f(0)］0. ∵函数f(x)的图象均在x轴的上方， ∴f(0)>0,∴f(0)=1. ∵f(2)=f(1×2)=［f(1)］2=4,
又∵f(x)>0(x∈R),
∴f(1)=2,f(-1)=f(1)=2.
(2)由 f ( kx 2 ) 2, 得， f ( k x 2 2) 2 2 2 x2 4 2 x 4
由a2≥1知a≤-1.因此，a的取值范围为 （-∞,-1］. (2)记f(x)的最小值为g(a)，则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|

(ⅰ)当a≥0时，f(-a)=-2a2,由①②知f(x)≥-2a2, 此时g(a)=-2a2.
a 2 2a 2 , x a, 3( x ) 3 3 ( x a ) 2 2a 2 , x a.
三、不等式问题体现的重要数学思想 ----化归 等式和不等式之间的转化、不等 式和不等式之间的转化、函数与不等 式之间的转化等，对于这些转化，一 定要注意条件，注意等价性.
四、运用基本不等式求最值，常见的有两类
（已知x、y都为正数）
(1)若x+y=S(和为定值)，则当 2 取得最大值
S 4
; .
b1 b2 … bn ，
a a a 1 ； 则
（2）若 b1 b2 … bn =1，
1 则n
b
k1
1
b b b b b .
k2 2 kn n 2 1 2 2 2 n
练习2.（09江苏）
设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.
(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;
(2)求f(x)的最小值; 出演算步骤）不等式h(x)≥1的解集.
(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出（不需给
解 (1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.
当x∈［4k-2,4k）(k∈Z)时，x-4k∈［-2,0),
∴f(x)=f(x-4k）=(x-4k)2+2(x-4k)-1.
当x∈(4k,4k+2］(k∈Z)时，x-4k∈(0,2］, ∴f(x)=f(x-4k)=-(x-4k)2+2(x-4k)+1. 故当x∈［4k-2,4k+2］(k∈Z)时，f(x)的表达式
n N* ， ，
且
． 的值；
（Ⅰ）求 （Ⅱ）设
a3 , a4 , a5
cn a2 n 1 a2 n 1 , n N *
cn 是等比数列； ，证明：
4n
Sk 7 (n N * ) a 6 Sk a2 a4 a2 k , k N * , （III）设 证明： k 1 k ．
a 3 2a 2 a 3 2a 2 a, , . 3 3
练习 3． （天津理 20）已知数列
{an }
与
{bn }
满足：
bn an an 1 bn 1an 2
a1 2, a2 4
3 (1) n 0, bn 2
一、不等式应用的范围： 1.运用不等式求一些最值问题； 2.某些函数单调性的判定或证明即不等式的证明；
3.求函数的定义域， 往往直接归纳为解不等式 （组） ； 4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与 不等式有密切联系； 5.利用不等式可以解决一些实际应用题的最优化问 题.
二、建立不等关系的主要途径： （1）利用问题的几何意义； （2）利用判别式； （3）利用函数的有界性； （4）利用函数的单调性.
两边平方，整理得(k2-1)x2+4kx≥0. ①当k=0时，x∈{0};
②当-1<k<0时， x( x
4k x ,0 ; 2 1 k
4k ) 0, 2 1 k
4k ③当0 k 1时, x( x )0 2 1 k 4k 4k 解得0 x , x 0, . 2 2 1 k 1 k 综上所述 : 当k 0时, x 0; 4k 当 1 k 0时, x ,0 ; 2 1 k 4k 当0 k 1时, x 0, . 2 1 k
( x 4k )2 2( x 4k ) 1, 为 x 4k 2,4k f ( x) 0 x 4k ( x 4k )2 2( x 4k ) 1, x 4k ,4k 2
(k∈Z). 2 x 0 0 x 2 (2)当x∈［-2,2］时，由f(x)> 得 2 3 或 2 3, x 2 x 1 2 x 2 x 1 2