北师大版七年级数学下册练习题《平方差公式》典型例题

《平方差公式》典型例题

例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？

（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；

（3）))((c b a a c b ---+； （4）)83

1)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-

例2 计算：

（1）)32)(32(y x y x -+；

（2）)53)(53(b a b a ---；

（3）))((2332x y y x ---；

（4）)543)(534(z y x z x y +--+．

例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．

例4 利用平方差公式计算 ：

（1）1999×2001； （2）3

1393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )

例6 计算：

（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-

（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+

例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)

例8 填空

(1)(a+d)·( )=d 2-a 2

(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1

例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n

参考答案

例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．

解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．

（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．

（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．

（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 23

1-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．

（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．

例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．

解： （1）原式22)3()2(y x -=

2294y x -=

（2）原式)53)](53([b a b a -+-=

2

22222925)259(]

)5()3[(a b b a b a -=--=--=

或原式)35)(35(a b a b --+-=

22)3()5(a b --=

22925a b -=

（3）原式))((3232y x y x --+-=

642

322)()(y x y x -=--=

（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=

2

2222222540169)254016(9)

54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=

说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．

例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y ---． 解： )3)(3(y xy xy y +---

)3)](3([xy y xy y -+-=

])3([22xy y ---=

2229y x y +-=

或)3)(3(y xy xy y +---

])3][()3[(y xy y xy +---=

22)3(y xy --= 2229y y x -=

说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．

例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用

平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如

第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.402

80231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-

（2）31393240⨯)3

240)(3240(-+= .9

51599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．

例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.

解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )

=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号

=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)

=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2

=-2a 2-5ab +3b 2

说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！

例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．

（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．

解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 391893922818422

22222+-=-+--+-=

（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=