计算流体力学第4章课件

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人工粘性方法
一维流体力学模型方程是典型的拟线性双曲型方程组，即使在连续可微的初始 条件下，也会在解中出现间断，一些适合于计算连续可微解的差分方法，常常 不能适用于间断解的计算。
Von Neumann人工粘性方法是计算流体力学方程组的最早的方法之一，在实际 的工作中的一种常用的差分方法。
由于流体力学方程组的复杂性，所得计算结果仍然需要与实验值或典型问题的 公认结果进行比较，证实数值方法的可靠性。
一般来说，模型方程应具备流体力学方程组的基本特征，本节给出在计算流体 力学中经常采用的几个模型方程，用于验证数值方法的精度。
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线性单行波方程
ut aux 0a const 0t 0

u
n j

a
un j 1

u
n j 1
t
2x
u n1 j

u
n j

a
u
n j

u
n j 1
t
x
根据von Neumann稳定性分析理论可以得到，FTFS格式与FTCS格式为不稳定 的，FTBS格式也称为迎风格式，它在a∆t/∆x≤1的条件下是稳定的，在时间和空 间上都具有一阶精度。
U
0

x


U U
l r
,x ,x

0 0
这类问题常称为Riemann问题，也称为激波管问题，该方程经常用于间断解计算方
法设计和构造，并用于判断间断解方法的优劣。
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4.2 几个经典的差分格式
本节讨论计算流体力学早期发展起来的几个重要的流体力学方程组计算格式， 其中包括Lax-Friedrichs格式、Lax-Wendroff的二阶格式以及Von Neumann人 工粘性方法等。
这些方法构造相对简单，在计算流体力学发展过程中起到了先驱的作用，而且 在实际工作中也得到过相当广泛的应用，了解这些计算格式的基本思想对研究 和构造计算格式仍然有很深的影响。
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基本差分格式
FTFS FTCS FTBS
u n1 j

u
n j

a
u
n j 1

u
n j
t
x
u n1 j
Von Neumann人工粘性方法的基本思想是将“激波”看成是仅有几个分子自由 程宽度的薄层，其中的物理量是连续的，但是变化梯度很大，在这个基本思想 下，Von Neumann提出在流体力学方程组中加上一项人工粘性来取代真实的粘 性，目的就是把激波间断抹平，使得差分方法能够进行计算。
第4章 可压缩流对流项数值格式 的几种处理方法
《计算流体力学:典型算法与算例》课程 （全书共235张幻灯片）
基本内容
4.1 模型方程及其数学性质 4.2 几个经典的差分格式 4.3 矢通量分裂方法 4.4 Roe格式 4.5 Godunov间断方法 4.6 TVD格式 4.7 ENO/WENO格式 4.8 间断Galerkin有限元方法 4.9 数值算例
u x,t
1 4 t

u0
x 2

e 4t d
该方程描述的是纯耗散性问题，其典型特征是解析解随时间的进行越来越光滑 。
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无粘Burgers方程
ut uux 0
初始条件
u x,0 sin x
该方程经常用来进行间断解的方法设计、分析与检验，其典型特征是随时间的 进行，方程的解将出现间断。
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Lax-Wendroff格式
利用Taylor级数展开，可以得到二阶格式
un1 j

u
n j

at

un j 1

un j 1
x


at 2
2

u
n j 1

2u
n j
x

2
u
n j 1

该格式在时间和空间上均具有2阶精度，其稳定性条件为a∆t/∆x≤1 。
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Lax-Friedrichs格式
将FTCS格式中u取成平均值，就得到了偏微分方程的Lax格式
un1 j

un j 1
2
un j 1

at 2x
un j 1

u
n j 1
根据von Neumann稳定性分析理论可以得到，Lax格式在a∆t/∆x≤1的条件下是 稳定的，在时间和空间上都具有一阶精度。
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一维Euler方程组
Ut

F
U
x

0
其中
U , u, E T
F u, u2 p,u E p T
E p 1 u2 1 2
这里，,u, p, E, 分别为流体的密度，流体速度，压强，单位体积的总能和气体绝热 指数。计算中经常给出左右状态的初始条件
初始条件
u x,0 u0 x
精确解
u x,t u0 x at
该方程的解只不过是以速度a平移而已，它描述了对流输运的基本特性。
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热传导方程
ut uxx 0 const 0t 0
初始条件 精确解
u x,0 u0 x
2
4.1 模型方程及其数学性质
流体力学的基本方程是复杂的非线性方程组，很难找到一般情况下的解析解或 者精确解，所以在计算流体力学的研究过程中，经常针对模型方程，分析采用 的数值方法的基本特征，如方法的精度、收敛性、稳定性以及数值解的误差特 性等。
通过对模型方程的研究，验证数值方法的可靠性之后，再将其应用于求解流体 力学基本方程组。
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Burgers方程
ut uux uxx0 x Lt 0
初始条件
u x,0 u0 x u 0,t u1 t u L,t u2 t
该方程是Navier-Stokes方程最简单的模型方程，空间一阶导数项用于模拟非 线性对流项，方程右端二阶导数项用于模拟粘性项，基本上保留了Navier-Stokes方 程的混合型特征。选用特殊的初始值和边界条件，可以得到模型方程的准确解。
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蛙跳格式
在时间和空间都用二阶中心差分离散，可以得到蛙跳格式
u n1 j

u
n1 j

a
u
n j 1

u
n j 1
2t
2Hale Waihona Puke Baidux
蛙跳格式在时间和空间上均具有2阶精度，其稳定性条件为a∆t/∆x≤1 。
从格式上可以看到，计算 层时间上的值时需要n和n-1两个初始时间层上的值， 因此初始解对计算结果的精度有很大的影响，同时，该格式的存储量也会比前 面的格式大。