数学建模入门课件

2
2
2
由 h(的) 连续性，根据介值定理，在
存在一点 ,使得 0
, h( 0 )
0
(0,

2
)中至少
即 f (0 ) g(0 )
又 f (0 ) g(0 ) 0 所以 f (0 ) g(0 ) 0
结论：能放稳。
思考题1： 长方形的椅子会有同样的性质吗？
建模示例之二：人力资源分配问题
以超过需求量
问题分析：
❖ 因素 1、不可变因素：需求量、休息时间、单位费 用； 2、可变因素：安排的人数、总费用；
❖ 方案：确定每天工作的人数，由于连续休息2天， 当确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时 间，因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始
❖ 工变作量的 ：人 设数每，天从开而始求休出息每的天人数工x为作i ,i：的 1人,2数,...。,7 ❖ 约束条件
3）模型建立： •分清变量类型，恰当使用数学工具； •抓住问题的本质，简化变量之间的关系； •要有严密的数学推理，模型本身要正确； •要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。
模型的分类
1）按变量的性质分类：
离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分类：
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分类： 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。
Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
0.06
减少97%的热量损失。
结果分析
0.03 0.02
0 2 4 6h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。
实际上双层窗的功效不会如此之大
三、数学建模论文写作
1、摘要（问题、模型、方法、结果） 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最
优决策控制等。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
3.变量非负约束：
xi 0,i 1,2,...,7
❖ 目标函数：总费用最小，总费用与使用的 总人数成正比。由于每个人必然在且仅在 某一天开始休息，所以总人数等于
7
xi
i 1
模型
7
min 200 xi i 1
x2 x3 x4 x5 x6 12

x3

x4
建模示例之三：双层玻璃窗的功效
室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 内
外
题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 T1 d l d T2
假 热量传播只有传导，没有对流
Q1
设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态
墙
材料均匀，热传导系数为常数
建
室
模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
内 T1
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数
4）椅子的中心不动。
2 建模分析
g( ) 表示A,C与地面距离之和
y
f ( ) 表示B,D与地面距离之和 B B
则由三点着地，有
A
f ( )g( ) 0 0
2
C

O
A
x
C
不失一般性，设初始时： 0, g(0) 0, f (0) 0
D D
3 数学模型 数学命题：.
➢摘要 ➢问题提出和假设的合理性 ➢模型的建立 ➢模型的计算与分析
1、摘要
①字数尽量控制在500字内 ②语言精简，用词准确 ③阐述细致具体的方法 ④列出主要结论 ⑤写出三至五个关键词 • 主要模型（名称）、方法和结果，解决了
什么问题，有何特色等；
2、问题提出和假设的合理性
①简单地说明问题的情景，即要说清事情 的来龙去脉。
y
•
a
o
•
•
b
x
4 模型求解
证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由
2
g(0) 0, f (0) 0, 可得
f

(
)

0,

g(
)

0,
2
2
令 h( ) f ( ) g( ), 则h(0) f (0) g(0) 0,
而 h( ) f ( ) g( ) 0,
不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单 可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补 充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详 细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可 能会陷入困境，无法进行下一步工作。
分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽 量将问题均匀化、线性化。
假设： f ( ), g( )是 的连续函数，g (0) 0,
f (0) 0, 且 对任意 ， f ( ) g( ) 0
求证：至少存在

0

(0,

2
)
，使得
f (0 ) g (0 ) 0
回忆:连续函数的介值定理
若(x)在闭区间[a,b]上连续，(a)(b) 0, 则在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使( ) 0.
3、模型的建立
论文中引进变量及其记号，通过一定的数学方法， 建立方程式或归纳为其他形式的数学问题。
注意事项：
1. 用分析和论证的方法，让读者了解得到模型的过程。 2. 上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服
力。 3. 需要推理和论证的地方，应该有推导的过程而且力求严谨。 4. 引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。 5. 论文中用到的各种数学符号，须在第一次出现时加以说明。
墙
Q2 s 2
wk.baidu.com
k2
d Q Q
1
2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
对Q1比Q2的减少量 作最保守的估计，
Q1 1 , h l
取k1/k2 =16
Q2 8h 1
d
模型应用
Q
1
l
1
, h
Q 8h 1
d
2
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
模型准备
②列出必要数据，提出要解决的问题，并 给出研究对象的关键信息的内容。
③历届数学建模竞赛的试题可以看作是情 景说明的范例。
模型假设
①论文中的假设要以严格、确切的数学语言表达。 ②所提出的假设为建立数学模型所必需的，而不是
与建立模型无关。 ③假设应验证其合理性：
合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问 题的性质出发作出合乎常识的假设；或者由观察 所给数据的图象，得到变量的函数形式；也可以 参考其他资料由类推得到，但要指出参考文献的 相关内容。 ④主要假设以3~5条为宜。

x5

x6

x7
15

x
4

x5

x6

x7

x1

12
s.t.
x1 x1

x2 x2

x5 x3

x6 x6

x7 x7
14 16

x1

x2

x3

x4

x7
18
x1 x2 x3 x4 x5 19
xi 0,i 1,2,...,7
灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题， 包括生态、气象、经济、交通等。
黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现 象，如生命科学、社会科学等。
基本方法
•机理分析
•测试分析
数学建模的基本方法
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据 的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
Q1

k1
T1 T2 d (s 2)
,
s h k1 , k2
h l d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
Q k T1 T2
2
1 2d
Q1

k1
T1 T2 d (s 2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
室 外 2d T2
Q2
Q1 2 , s h k1 , h l
R ~大皮 半径 S k1R2 V k2R3 V kS3/2 (2)
r ~小皮半径 s k1r2 , v k2r3 v ks3/ 2 (3)
(1),(2),(3)
V n3/2v
应用 V n(nv) nv V是 nv是 n 倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,
则50个汤圆(饺子) 可以包 1公.4斤馅
数学建模
——现实生活中的数学
dx rx dt
主要内容：
一、数学建模简介 二、数学建模简单示例 三、数学建模论文写作 四、全国大学生数学建模竞赛简介 五、数学建模的意义
一、数学建模简介
引子 从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
建模步骤
模型假设
模型建立
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
建模步骤(具体解释)
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。 （有时需查资料或到有关单位了解情 况）。
2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类： 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
5）按建模目的分类：
描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、
决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分类：
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
2.1每. 每天人工作休人息数时不间低2于天需，求自量然，第满i足天。工作的人数就是
从第 i 2 天往前数 5 天内开始休息的人数，所以有约束：
x2 x3 x4 x5 x6 12 x3 x4 x5 x6 x7 15 x4 x5 x6 x7 x1 12 x5 x6 x7 x1 x2 14 x6 x7 x1 x2 x3 16 x7 x1 x2 x3 x4 18 x1 x2 x3 x4 x5 19
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v
S
s s … s (共n个)
vv
v
V
V和 nv 哪个大? 定性分析
V比 nv大多少?
定量分析
从包汤圆（饺子）说起
假设 1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一样
模型
S ns (1)
两个 k1（和k2）一样
室 外
2d T2
热传导定律 Q k T d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1 室
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1

k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l

k1
Tb
T2 d
•二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数
二、数学建模简单示例
建模示例之一：椅子能放平稳吗
问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的 地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地， 即放稳。 1 假设 1）地面为光滑曲面；
2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；
3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触；
❖ 某个中型百货商场对售货人员（周工资 200元）的需求经统计如下表
星期 一 二 三 四 五 六 七
人数 12 15 12 14 16 18 19
为了保证销售人员充分休息，销售人 员每周工作5天，休息2天。问应如何安排 销售人员的工作时间，使得所配售货人员 的总费用最小？
模型假设
❖ 每天工作8小时，不考虑夜班的情况； ❖ 每个人的休息时间为连续的两天时间； ❖ 每天安排的人员数不得低于需求量，但可