小学数学培优之容斥原理
五年级数学培优-容斥问题与盈亏问题
五年级数学培优-容斥问题与盈亏问题【专题分析】容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排斥原理，也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中去掉重复的部分.容斥原理：对于n个事物，如果采用两种白不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb+Nab.在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余.盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参与分配的人数.解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系.【名题精讲】例1、一个班有48人，老师问：“谁做完语文作业了？请举手.”有37人举手.又问：“谁做完数学作业了？请举手.”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析：如图所示，完成语文作业的有37，完成数学作业的有42人，一共有37+42=79人，多于全班人数.这是因为语文数学作业都完成的人数在统计做语文作业人数时计算过一次，在统计做数学作业人数时有计算了一次，这样就多算了一次.所以，这个班语文、数学作业都完成的人数：78-48=31人.37+42-48=31（人）答：这个班语文、数学作业都完成的人有31人.想一想下列算式的道理：1、37-（48-42）=31（人）2、42-（48-37）=31（人）做完语文作业的有37人.做完数学作业的有42人.？人48人五年级有122名学生参加语文数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文数学都优秀的有多少人？例2、某班有36个同学在一次测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两题都答得不对？分析：如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25-15=10人.又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10+23=33人.所以，两题都答得不对的有36-33=3人.36人五（1）班有40个同学，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了.那么，有多少人两个小组都没有参加？例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56-25=31人，再求出两科竞赛同时参加的人数：28+27-31=24人.28+27-（56-25）=24（人）答：同时参加语文、数学两科竞赛的有24人.一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的友谊18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例4、一个植树小组植树.如果每人栽5棵，还剩14棵，如果每人栽7棵，就缺4棵.这个植树小组多少人，一共有多少棵树？分析：根据题意，植树人数和棵树是不变的，比较两种分配方式，结果相差14+4=18棵树，这时因为第二种方案每人多植树2棵.所以，小组有18 ÷2=9人.一共有5×9+17=59棵树.（14+4）÷（7-5）=9（人）5×9+17=59（棵）答：这个小组有9人，一共植树59棵.一个幼儿园把一些积木分给小朋友.如果每人分2个，则剩20个；如果每人分3个，则差40个，幼儿园有多少小朋友？一共有多少个积木？例5、学校将一批铅笔奖给三好学生.如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支.三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析：这是两亏的问题.由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的.比较两种分配方案，，结果相差45-7=38支.这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9-7=2支.所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有19×7-7=126支.（45-7）×(9-7)=19（人）19×7-7=126（支）答：三好学生有19人，铅笔有126支.将月季花插入一些花瓶中.如果每瓶差8朵，则缺少15朵；如果每瓶改插6朵，则缺少1朵.求花瓶的个数和月季花的朵数？例6、学校给一批新入学的小时分配宿舍.如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间.求学生宿舍有多 少间？住宿学生有多少人？分析：把“每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每个房间住 14人，则少14×4=56人”，比较两种分配方案，结果相差34+56=90人，每个房间相差14-12=2人，所以，房间数为90÷2=45间，学生数为：12× 45+34=574人.（34+14×4）÷（14-12）=45（间）12×45+34=574（人）答：学生宿舍有45间，住宿学生有574人.育才小学学生乘汽车去春游.如果每车坐65人，则有15人不能乘车； 如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车.问一共有几辆车？有多少学生？【实战演练】1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹 电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，这个文艺组一共有 多少人？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？练习十一二3、一个俱乐部有103人，其中会下象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？4、学校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位.问宿舍有多少间？学生有多少人？5、老师给美术小组的同学分发图画纸.如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张.美术小组有多少学生？老师一共有多少图画纸？6、育才小学学生乘汽车去春游.如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车.问一共有多少辆车，一共有多少人？。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。
它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。
在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。
下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。
1. 两个集合的容斥原理公式。
对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。
2. 三个集合的容斥原理公式。
对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。
在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。
3. n个集合的容斥原理公式。
对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。
在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。
4. 容斥原理的应用举例。
下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。
17 容斥原理(思维拓展专项练习)小升初数学专项培优(通用版含解析)
容斥原理（思维拓展提高卷）六年级下册小升初数学专项培优卷（通用版）一．选择题（共20小题）1．三一班有32人参加了午餐配餐、课后延时服务，其中参加午餐配餐的有25人，参加课后延时的有29人。
三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有（）人。
A．22B．25C．322．三（1）班同学参加庆元旦演出的小组合唱和舞蹈节目人数情况如图，说法正确的是（）A．参加小组唱的有7人B．参加舞蹈节目的有12人C．参加这两个节目的一共有15人3．三（一）班有42人参加美术兴趣小组和音乐兴趣小组，其中参加美术兴趣小组的有34人，参加音乐兴趣小组的有28人，（）人既参加了美术兴趣小组又参加了音乐兴趣小组。
A．20B．8C．64．三（3）班订阅《少年画报》和《科学博览》两种课外读物的人数如图所示，下面说法正确的是（）A．订阅《少年画报》的有14人B．只订阅《科学博览》的有17人C．两种课外读物都订阅的有7人5．三（1）班有15人参加舞蹈队，25人参加轮滑队，两队都参加的有10人，全班每人至少参加一项，三（1）班有（）人．A．20B．30C．406．三（1）班有33人订了《数学文化故事》，有28人订了《智慧语文》，全班每人至少订了这两种课外读物中的一种，其中19人两种都订了，三《1》班有（）人。
A．61B．42C．527．同学们带水壶和水果去春游，每人至少带一样，带水壶的有65人，带水果的有58人，既带水壶又带水果的有26人。
参加春游的同学一共有（）人。
A．97B．39C．328．冬奥会期间，爸爸观看的项目有花样滑冰、短道速滑、冰球、冰壶、速度滑冰、钢架雪车；妈妈观看的项目有雪橇、短道速滑、速度滑冰、冰球、越野滑雪、钢架雪车。
爸爸和妈妈一共观看了（）种项目比赛。
A．12B．10C．89．六（1）班有48人，其中23喜欢打乒乓球，34喜欢打篮球，没有人既不喜欢打乒乓球又不喜欢打篮球。
两种球都喜欢的有（）人。
A．32B．36C．28D．2010．四年级一班的同学参加社团活动，全班45人中参加书法社团的有25人，参加剪纸社团的有16人，两个社团都不参加有10人，两个社团都参加有（）人。
小升初数学培优讲义全46讲—第40讲 容斥原理
第40讲 容斥原理1、考察范围：AB 、ABC 类型。
2、考察重点：求三者公共区域数，总数。
3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。
容斥问题：有重复包含关系的问题。
容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。
容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。
1、两种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A 、B 两类，那么， A 类B 类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数。
即A ∪B = A+B - A ∩B2、三种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么， A 类和B 类和C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数。
即A ∪B ∪C = A+B+C - A ∩B - B ∩C - C ∩A + A ∩B ∩C考点解读知识梳理典例剖析【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？【变式练习】1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。
其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？【变式练习】1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？【例3】有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？【变式练习】1、有一根120厘米长的绳子，从一端开始，每5厘米作一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学容斥原理的解释
小学容斥原理的解释小学容斥原理，又称为容斥原理、包容原理，是组合数学中的一种重要原理。
它是解决计数问题的一种方法，通过将问题划分为不相交的子集，然后逐个计算每个子集的元素个数，并利用集合的容量大小来计算最终的结果。
容斥原理在解决小学数学题目中的应用相当广泛，如排列组合、概率论等等。
小学生在学习容斥原理之前，首先需要了解集合的概念。
集合就是由一些个体组成的整体，比如我们可以用集合{1, 2, 3}来表示三个小朋友的编号。
在容斥原理中，我们主要使用交集和并集这两个概念。
交集就是把两个或多个集合里共有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集是{2, 3}。
并集就是把两个或多个集合里所有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4}。
容斥原理的核心思想是通过计算交集和并集的关系来求解问题。
首先，我们考虑简单的情况，假设有两个集合A和B，我们要求这两个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以通过计算A和B的并集来获得结果。
但是由于并集中包含了A和B的交集，为了避免重复计算，我们需要减去A和B 的交集的元素个数，也就是用并集的元素个数减去交集的元素个数。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，它们的并集为{1, 2, 3, 4}，交集为{2, 3}。
根据容斥原理，集合A和集合B的元素个数之和等于并集的元素个数减去交集的元素个数，即4-2=2+2=4。
这个结果表示集合A和集合B中一共有4个元素。
在解决实际问题时，容斥原理的应用更为复杂，涉及到多个集合的情况。
我们可以通过逐个考虑不同的情况，然后用加减的方式求得最终的结果。
例如，假设有三个集合A、B和C，我们要求这三个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以先计算每两个集合的交集的元素个数之和，然后再减去所有三个集合的交集的元素个数，最后加上三个集合的并集的元素个数。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
小升初培优之计数原理之容斥原理 (2)
【例5】(★★★) 甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆，乙浇了 68盆，丙浇了58盆，那么3个人都浇过的盆数最少是多少 盆？
【例6】(★★★☆) 唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与 孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与 沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡 过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同 时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难。请问：师徒四人 共同渡过的有多少难？
【例2】(★★) 某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日 语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2 人既会英语又会日语，1人三种语言全会。只会1种外语 的人比1种外语也不会的人多______人。
【例3】(★★★) 1~1000之中，有多少个自然数不是2的倍数也不是3的倍 数也不是5的倍数？
容斥公式1：大饼＝A＋B－AB 容斥公式2：大饼＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
A
B
消重 不漏不重
A C
人至少有一个兴趣。其中，有12人 喜欢音乐，有21人喜欢折纸，其中有8人两种兴趣都喜 欢．请问： ⑴ 只喜欢音乐的有____人。 ⑵ 只喜欢折纸的有____人。 ⑶ 一共有___人。
2
【拓展】(★★☆) 一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度， 每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，如果按 刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
【例4】(★★★☆) 模块二：典型的拉灯问题. 2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1、2、 2006.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将 编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的 灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏。
苏教版五年级数学下册奥数培优 第15讲 容斥原理
第15讲容斥原理知识概述求和问题，通常只要直接相加就可以直接得出答案。
例如:五(1)班有男生24人，女生26人，五(1)班一共有学生多少人?24+26＝50(人)但是，有的求和问题，却不能直接求出答案。
例如:五(2)班一次期末测验中，语文得“优”的有24人，数学得“优”的有26人・两门都得“优”的有10人，五(2)班共有学生多少人?很显然，求全班的学生人数，不能用24和26直接相加，把24和26相加时，把语文、数学都得“优”的10人多加了一次，因此全班人数应当是: 24+26-10＝40(人)像这道有重复包含情况的数学题，就是包含与排除问题，在解题时应考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的数。
如图，两张圆纸的面积分别为A和B，它们相互包含的部分的面积为C。
求覆盖在桌面上的面积。
因为:A＝D+C，B＝C+E，所以A＋B＝D＋C＋C＋ED＋C＋E＝A＋B－C也就是说，A和B的覆盖面积等于它们的面积之和减去它们相互包含部分的面积例1、一次数学竞赛，只有两道题。
结果做对第1题的有24人，做对第2题的有36人，两道题都做对的有8人，参加竞赛的有多少人?练习1、1、五(3)班学生在期中考试时，语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都得100分的有6人，五(3)班参加语文、数学考试中至少有1门得100分的共有多少人?2、五年级学生到书店去买书，每个人都买了书，其中买语文书的有30人，买数学书的有26人，语文、数学两种书都买的有12人，五年级学生共有多少人?3、大华纺织厂的女工每人至少参加业余唱歌、舞蹈组中的一个组，有30人参加唱歌组，有36人参加舞蹈组，两个组都参加的有10人，大华纺织厂有女工多少人?例2、一张长10厘米、宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米。
求两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米。
练习2、1、五(1)班有50人，参加数学课外兴趣小组的有35人，参加语文课外兴趣小组的有30人，每人至少参加数学、语文中的一个组，问两个组都参加的有几人？2、有长10厘米、宽8厘米的长方形与边长5厘米的正方形如图放在桌面上(阴影部分是两个图形的重叠部分)。
2019新人教版五年级数学下《容斥原理》培优训练试题
五年级数学下《容斥原理》培优训练试题1.一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2.某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？3.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？4.某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？5.某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？6.在1～100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有多少个？7.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为多少人？8.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米.69.在1至10000中不是2的倍数，又不是3的倍数共有多少个？10.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？11.分母是1001的最简真分数有多少个？12.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和15.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？16.有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子一共被剪成多少段？。
(尖子生培优)集合问题(容斥原理)-三年级数学思维拓展含参考答案
（尖子生培优）集合问题（容斥原理）三年级数学思维拓展集合问题，也是思维拓展中比较常见的题型之一，又称为容斥原理问题。
1．某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？2．一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？3．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？能力巩固提升4．三（1）班在喜欢吃的水果中，每人至少选了一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人，两种都喜欢的有9人，三（1）班一共有几人？5．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？6．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？7．三（4）班同学在本学期的期中考试中，有36人数学获得优秀，有29人语文获得优秀，有28人语文和数学都获得了优秀，同时有9人语文数学都没有获得优秀，三（4）班总共有多少学生？8．对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人。
两项都会的有10人，两项都不会的有9人。
这个班一共有多少人？9．五（2）班有48人，在学校举行的社团活动中，参加舞蹈社的有29人，参加美术社的有25人，两个社团都没参加的有3人，既参加舞蹈社又参加美术社的有多少人？10．四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四（1）班共有多少人？11．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？12．某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？13．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分．如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？14．把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
四年级下册数学试题-奥数培优专题：03容斥原理(4年级培优)教师版
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B)原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C 类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）两根完全相同的木条，各长100厘米，将两根木条中间钉在一起后成了一根长木条，中间钉在一起的重叠部分长10厘米，现在这根长木条的长度是多少？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：两根木条钉在一起，其中一根木条10厘米的部分将另一根木条10厘米的部分遮住了，那么在统计总长时这遮住的10厘米需要扣除。
步骤：100+100－10=190（厘米）难度系数：A某班共有36人，参加书法小组的有12人，参加折纸小组的有14人，有5人两个小组都参加。
这个班既没参加书法小组，也没参加折纸小组的有多少人？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：图中长方形的覆盖面积表示全班的人数，即36人。
图中两个圆形分别表示折纸小组的人数与书法小组的人数，则两个圆圈的覆盖面积表示至少参加一个小组的总人数，其余部分则表示即没有参加书法小组也没有参加折纸小组的人数。
步骤：12+14－5=21（人）36－21=15（人）植树节某校除一年级外，其他四个年级共有120人参加了植树活动。
四升五暑期奥数培优讲义——5-09-容斥原理4-讲义-教师
第9讲 容斥原理【学习目标】1、理解容斥原理的研究的范围；2、掌握容斥原理的分析方法；3、学会利用相关分析方法解题。
【知识梳理】1、容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
2、常用工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号3、常见题型：数论，几何。
【典例精析】【例1】五年级的学生一共有42人，参加奥数补习的有30人，参加语文补习的有25人，所有五年级学生都至少补习奥数和语文中的一门。
请问五年级中两门都补习的学生有多少人？30+25-42=13（人）【趁热打铁-1】实验小学五年级一班共有40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本。
采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种都采集的有多少人？28+19-40=7（人）【例2】星星艺术团有32名同学，其中有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢Nab NbNa琴都会的8人，既不会小提琴又不会弹钢琴的有多少人？32-（14+21-8）=5（人）【趁热打铁-2】学校组织100名家长去香港旅游，其中有10人既不懂英语又不懂粤语，有75人懂英语，83人懂粤语。
既懂英语又懂粤语的有多少人？（75+83）-（100-10）=68（人）【例3】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？5的倍数：100÷5=20(个)6的倍数：100÷6≈16(个）.5和6的倍数：100÷30≈3(个）100-(20+16-3)=67(个）【趁热打铁-3】在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？5的倍数：200÷5=40(个)8的倍数：200÷8=25(个）5和8的倍数：200÷40=5(个）200-(40+25-5)=140(个）【例4】奥斑马、小美、欧欧给100盆花浇水．奥斑马浇了78盆，小美浇了68盆，欧欧浇了85盆．那么，至少有______盆花被浇了三次水。
小升初培优课堂数学第35讲 容斥原理及答版案-人教新课标
2019-2020学年度小升初培优课堂数学第35讲 容斥原理一、解答题6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？3.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？4.两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与尺寸如图所示，则它们盖住的面积是多少？（单位：厘米)5.六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有多少人？6.一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，两种小组都参加的有多少人？7.奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内直径为8厘米，外直径为10厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。
求每个小曲边四边形的面积。
8.有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?9.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？10.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。
那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？11.分母是105的最简真分数有多少个？12.如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上。
三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。
容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。
下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。
假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。
我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。
首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。
根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。
容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。
下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。
例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。
首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。
根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。
四年级奥数培优《容斥原理》
容斥原理一、知识梳理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
二、例题精讲例1.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例2.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？例3.某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？例4.在1到60的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例 5.光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？三、课堂小测6.五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？7.五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？8.一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？9.科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？10.四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？11.某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
小升初数学培优讲义全46讲—第40讲容斥原理
第40讲容斥原理考点解读1、考察范围：AB、ABC类型。
2、考察重点：求三者公共区域数，总数。
3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。
知识梳理容斥问题：有重复包含关系的问题。
容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。
容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。
1、两种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B2、三种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C典例剖析【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？【变式练习】1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。
其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？【变式练习】1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？【例3】有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？【变式练习】1、有一根120厘米长的绳子，从一端开始，每5厘米作一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。
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容斥原理
1.志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学而思各学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？
2.火星小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？
3.某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？
4.五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
5.在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？
6.分母是385的最简真分数有多少个？
7.有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3， (2000)
然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
8.图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上签名。
已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本。
问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
9.甲、乙、丙同时给100盆花浇水。
已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？
10、边长为6、5、2的三个正方形，如图所示，求它们的盖住部分的面积。
11、在1到1000的自然数中，既不是平方数也不是立方数的数有多少个？
12、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
13、某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明：这个报名表有误。
14、以1001为分母的最简真分数共有多少个？
15、学而思六年级竞赛班有50人，共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和计算机，参加天文组的有38人，参加无线电组的有35人，参加计算机组的有31人，既参加天文组又参加无线电组的有29人，既参加天文组又参加计算机组的有28人，既参加无线电又参加计算机组的有26人，三个小组都参加的有24人，试求三个小组都没有参加的人数。
16、不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？
17、某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？
18、（1）48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，试问：这48人当中是独生子女的有几个？
（2）学而思举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？
19.如图，5条同样长的线段拼成了一个五角形。
如果每条线段上恰有1994个
8、点被染成红色，那么在这个五角形上红色点最少有多少个？。