人教下第四讲 数阵图
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上天弈直线数学课， 疑难杂症难不倒我！
1、回顾上讲知识，并讲解二星训练。
2、趣味思考题：
LOGO
有一天，国王把阿凡提叫到皇宫里，想出点难题 考考他。国王问道：“你知道王宫前面的水池里共有 几桶水吗？”当时大臣们一想，这个问题很不好回答， 暗暗替阿凡提担心，但阿凡提眨眨眼睛，很快说出了 一个让国王满意的答案。 你知道阿凡提是怎么回答的吗？ 阿凡提说：“那要看桶的大小了，如 果桶是和水池一样大的，那么就只有一桶 水，如果桶只有水池一半大，那么就只有 两桶水，如果桶只有水池的三分之一大， 那就是三桶水……”
在计算正方形每边上三数之和时，正 方形四个顶点上的每个数都计算了两 次，即： （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＋重叠数之和 =12×4 即：重叠数之和=12 1＋2＋3＋6=12 这里1、2、3、6这四个数字的位置可以任意调动。 3 7 2
3 5 7 9
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只 有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。 因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于15，所以：
（1＋3＋5＋7＋9）＋重叠数=15×2 重叠数=15×2－（1＋3＋5＋7＋9）=5 重叠数求出来了，其余各数只需要两两配对就可以了。
对于像该题一样较复杂的问题我们 我们可以将复杂条件转化为求重叠的问 题，再求解。
2、将1、2、3、4、5五个数填入下图，使直线上和 圆上的数字和相等。
（1＋2＋3＋4＋5）×2 =一条直线上的数字和×3 一条直线上的数字和=10 2 1
5 4
3
（1＋2＋3＋4＋5）＋重叠数=10×2
重叠数=5
【例3】 将1-6这六个自然数分别填入下图中，使每个大圆上的 4个数的和都是16。 分析：
因为每个大圆上的4个数和都 是16，所以可以算出两个大圆的 总和为：16×2=32
1 5 2
4
6
3
中间两个数被重复加了两次，可得： （1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和=32 所以：重叠数之和=11
那么两个重叠数只可能是5和6。
该题是封闭型数阵图，且有2个 重叠数，可先求出重叠数之和再确 定重叠数。
4
3 2
对于像该题一样较复杂的问题我们 我们可以将复杂条件转化为求重叠的问 题，再求解。
4、将1-6这六个自然数分别填入下图的六个○中使得三 角形每条边上的三个数之和都等于9。
（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和=9×3 重叠数之和=6 6=1＋2＋3 2 4 3 6 1 5
【例5】 将1-7这七个数填入下图中，使每条线段上的三个数 之和等于10。 分析：
⑴封闭型数阵图有几个重叠数，重叠次数都是1次。 对于封闭数阵图，有： 已知各数之和＋重叠数之和=每边各数之和×边数
我思考，我练习， 闯关没问题！
【例1】 把1、3、5、7、9这五个数分别填右下图中的方格中， 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于15。
分析：
中间方格中的数很特殊，横行的三 个数有它，竖列的三个数也有它，我们 把它叫做“重叠数”。 1
直线上和圆上的数字和相等，可得：
每个圆里的数被加了两遍，且所得的和为 2 10 两条直线和圆上的数字和。 即： （2＋4＋6＋8＋10）×2=一条直线上的数字和×3 4
可得30×2=一条直线上的数字和×3 所以：一条直线上的数字和=20
8
由（2＋4＋6＋8＋10）＋重叠数=20×2 得：重叠数=10
由于本题要求三条线上的和都等于10，中心 ○的数被重复计算了三次，可得： （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋重叠数×2=10×3 28＋重叠数×2=30 可得： 重叠数=1 6 1 7
2
3
4
5
每条线上余下数之和为：10－1=9
又因为9=2＋7=3＋6=4＋5，得：
对于较复杂的辐射型数阵图，找到 重叠数，并求出重叠数仍是解题的突破 口。该题中最中间的○内数是重叠数， 且重叠次数是“直线条数”－1，即2次。
该题为辐射型数阵图，最重要的是 重叠数的确定，再求出重叠数。 重叠数=两条边上三数之和－这五个数之和
1、把1、3、5、7、9这五个数分别填在下图中的 方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等 于13。
5 （1＋3＋5＋7＋9）＋重叠数=13×2 重叠数=13×2－25=1 3 1 9
7
将2、4、6、8、10五个数填入下图，使直线上 【例2】 和圆上的数字和相等。 分析： 6
③复合型数阵图
⑴辐射型数阵图只有一个重叠数。
①若已知每条直线上各数之和，则： 重叠数= （直线上各数之和×直线条数－已知各数之和）÷重叠次数 ②若已知重叠数，则： 直线上各数之和= （已知各数之和＋重叠数×重叠次数）÷直线条数 ③若重叠数与每条直线上的各数之和都 不知道，则要从重叠数的可能取值分析。
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在情境中学数学， 在数学中感受生活！YE！
1、数阵图：按照一定的规则将一些数填在特定形状的图 形中，我们把这种图形称为数阵图。 2、解数阵图问题的一般步骤： ①求出条件中若干已知数字的和。 ②根据“和相等”，列出关系式，找出重叠数。 ③确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方 法，求出其他各数。 3、数阵图一般按数字的组合形式分为三类： ①辐射型数阵图 ②封闭型数阵图
5、将1-7这七个数填入下图中，使每条线段上的三个 数之和等于12。
1
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋重叠数×2=12×3 重叠数=4 每条线上余下数之和为：12－4=8 8=1＋7=2＋6=3＋5 6 2
7
4 3 5
【例6】 把1-8这八个数分别填入下图中，使正方形每 边上的三个数的和为12。 分析：
3、将1-6这六个自然数分别填入下图中，使每个大圆 上的4个数的和都是12。
（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和 =12×2 4 重叠数之和=3 3=1＋2 5 2 6
1
3
百度文库
【例4】 将1-6这六个自然数分别填入下图的六个○中， 使得三角形每条边上的三个数之和都等于12。
分析： 本题有三个重叠数，即三角形三个顶点 上的数都是重叠数，并且各重叠一次。 因为三个重叠数都重叠了一次，有： 5 （1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和=12×3 即：21＋重叠数之和=36 得：重叠数之和=15 那么三个重叠数只可能是4，5，6。 1 6
1、回顾上讲知识，并讲解二星训练。
2、趣味思考题：
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有一天，国王把阿凡提叫到皇宫里，想出点难题 考考他。国王问道：“你知道王宫前面的水池里共有 几桶水吗？”当时大臣们一想，这个问题很不好回答， 暗暗替阿凡提担心，但阿凡提眨眨眼睛，很快说出了 一个让国王满意的答案。 你知道阿凡提是怎么回答的吗？ 阿凡提说：“那要看桶的大小了，如 果桶是和水池一样大的，那么就只有一桶 水，如果桶只有水池一半大，那么就只有 两桶水，如果桶只有水池的三分之一大， 那就是三桶水……”
在计算正方形每边上三数之和时，正 方形四个顶点上的每个数都计算了两 次，即： （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＋重叠数之和 =12×4 即：重叠数之和=12 1＋2＋3＋6=12 这里1、2、3、6这四个数字的位置可以任意调动。 3 7 2
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也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只 有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。 因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于15，所以：
（1＋3＋5＋7＋9）＋重叠数=15×2 重叠数=15×2－（1＋3＋5＋7＋9）=5 重叠数求出来了，其余各数只需要两两配对就可以了。
对于像该题一样较复杂的问题我们 我们可以将复杂条件转化为求重叠的问 题，再求解。
2、将1、2、3、4、5五个数填入下图，使直线上和 圆上的数字和相等。
（1＋2＋3＋4＋5）×2 =一条直线上的数字和×3 一条直线上的数字和=10 2 1
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（1＋2＋3＋4＋5）＋重叠数=10×2
重叠数=5
【例3】 将1-6这六个自然数分别填入下图中，使每个大圆上的 4个数的和都是16。 分析：
因为每个大圆上的4个数和都 是16，所以可以算出两个大圆的 总和为：16×2=32
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中间两个数被重复加了两次，可得： （1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和=32 所以：重叠数之和=11
那么两个重叠数只可能是5和6。
该题是封闭型数阵图，且有2个 重叠数，可先求出重叠数之和再确 定重叠数。
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对于像该题一样较复杂的问题我们 我们可以将复杂条件转化为求重叠的问 题，再求解。
4、将1-6这六个自然数分别填入下图的六个○中使得三 角形每条边上的三个数之和都等于9。
（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和=9×3 重叠数之和=6 6=1＋2＋3 2 4 3 6 1 5
【例5】 将1-7这七个数填入下图中，使每条线段上的三个数 之和等于10。 分析：
⑴封闭型数阵图有几个重叠数，重叠次数都是1次。 对于封闭数阵图，有： 已知各数之和＋重叠数之和=每边各数之和×边数
我思考，我练习， 闯关没问题！
【例1】 把1、3、5、7、9这五个数分别填右下图中的方格中， 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于15。
分析：
中间方格中的数很特殊，横行的三 个数有它，竖列的三个数也有它，我们 把它叫做“重叠数”。 1
直线上和圆上的数字和相等，可得：
每个圆里的数被加了两遍，且所得的和为 2 10 两条直线和圆上的数字和。 即： （2＋4＋6＋8＋10）×2=一条直线上的数字和×3 4
可得30×2=一条直线上的数字和×3 所以：一条直线上的数字和=20
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由（2＋4＋6＋8＋10）＋重叠数=20×2 得：重叠数=10
由于本题要求三条线上的和都等于10，中心 ○的数被重复计算了三次，可得： （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋重叠数×2=10×3 28＋重叠数×2=30 可得： 重叠数=1 6 1 7
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每条线上余下数之和为：10－1=9
又因为9=2＋7=3＋6=4＋5，得：
对于较复杂的辐射型数阵图，找到 重叠数，并求出重叠数仍是解题的突破 口。该题中最中间的○内数是重叠数， 且重叠次数是“直线条数”－1，即2次。
该题为辐射型数阵图，最重要的是 重叠数的确定，再求出重叠数。 重叠数=两条边上三数之和－这五个数之和
1、把1、3、5、7、9这五个数分别填在下图中的 方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等 于13。
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将2、4、6、8、10五个数填入下图，使直线上 【例2】 和圆上的数字和相等。 分析： 6
③复合型数阵图
⑴辐射型数阵图只有一个重叠数。
①若已知每条直线上各数之和，则： 重叠数= （直线上各数之和×直线条数－已知各数之和）÷重叠次数 ②若已知重叠数，则： 直线上各数之和= （已知各数之和＋重叠数×重叠次数）÷直线条数 ③若重叠数与每条直线上的各数之和都 不知道，则要从重叠数的可能取值分析。
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在情境中学数学， 在数学中感受生活！YE！
1、数阵图：按照一定的规则将一些数填在特定形状的图 形中，我们把这种图形称为数阵图。 2、解数阵图问题的一般步骤： ①求出条件中若干已知数字的和。 ②根据“和相等”，列出关系式，找出重叠数。 ③确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方 法，求出其他各数。 3、数阵图一般按数字的组合形式分为三类： ①辐射型数阵图 ②封闭型数阵图
5、将1-7这七个数填入下图中，使每条线段上的三个 数之和等于12。
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（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋重叠数×2=12×3 重叠数=4 每条线上余下数之和为：12－4=8 8=1＋7=2＋6=3＋5 6 2
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【例6】 把1-8这八个数分别填入下图中，使正方形每 边上的三个数的和为12。 分析：
3、将1-6这六个自然数分别填入下图中，使每个大圆 上的4个数的和都是12。
（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和 =12×2 4 重叠数之和=3 3=1＋2 5 2 6
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【例4】 将1-6这六个自然数分别填入下图的六个○中， 使得三角形每条边上的三个数之和都等于12。
分析： 本题有三个重叠数，即三角形三个顶点 上的数都是重叠数，并且各重叠一次。 因为三个重叠数都重叠了一次，有： 5 （1＋2＋3＋4＋5＋6）＋重叠数之和=12×3 即：21＋重叠数之和=36 得：重叠数之和=15 那么三个重叠数只可能是4，5，6。 1 6