高中数学空间的角的计算

10
15. 如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AA1 AB ， D 为 BB1 的中点， E 为 AB1 上 的一点， AE 3EB1 ． （Ⅰ）证明： DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°，求平面 AA1C1 与平面 AB1C1 的夹角的余弦值．
一、选择题
S
C
B
D
A
本次课课后练习
7
1. 若平面 ， 的法向量分别为（－1，2，4），（ x ，－1，－2），并且 ，则 x 的值
为（ ）． A．10
B．－10
C． 1 2
2. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 夹角的余弦值是（
D． 1 2
）
2
A．
4
，
，
，求异面直线
成的角的大小．
是矩形， 与所
⊥底面
.是
【变式 2】如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 AB 2 ， AC BC ， D 为 BB1 的中点，若异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 ，求 AC 的长．
类型二：平面间的夹角
例 2. 如图，在五面体 ABCDEF 中， FA 平面 ABCD ， AD ∥ BC ∥ FE ， AB AD ， AF AB BC FE 1 AD ，求平面 ACD 和平面 CDE 的夹角的余弦值.
是_______.
三、解答题
12. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1. （1）求直线 BC1 和 B1D1 所成角的大小； （2）求直线 BC1 和平面 B1D1DB 所成角的大小.
9
13. 已知 E 是长方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点， AB 2 , BC BB1 1. 求平面
BC 2 2 ，侧面 SBC 底面 ABCD ． SA SB 3 ． （Ⅰ）证明 SA BC ； （Ⅱ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值．
【变式 2】如图，四棱锥 P ABCD 中，AB AP ，PA ⊥底面 ABCD ，四边形 ABCD 中，
AB ⊥ AD ， AB AD 4 ，CD 2 ，CDA 45 ．若直线 PB 与平面 PCD 所成的角 为 30 ，求线段 AB 的长.
2. 线面角的向量计算方法
设直线 l 的方向向量为 a ，平面 的法向量为 u ，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的
3
角为
，则有 sin
|
cos
|
|
|a a|
u| | u |
.
学习目标 重点难点
1.理解空间中两条直线间与两个平面间夹角的含义； 2.理解空间中两直线夹角的求法及夹角的表示，能够利用平面的法向量求平面间 的夹角. 3.在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养观察、分析、类比转化的能力 通过对空间几何图形的探究，会恰当地建立空间直角坐标系. 通过数形结合思想和方法的应用，感受和体会数学的魅力.
要点诠释：异面直线的夹角的范围是
0,
2
.
2. 直线夹角的向量计算方法：
已知空间两条直线 a ， b ，且 A ， C 是直线 a 上不同的两点， B ， D 是直线 b 上不同的
两点，设直线
a
，b
的夹角
由向量
AC ，BD
确定，满足
cos
|AC BD|
.
| AC | | BD |
要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不
2
B．
3
3
C．
3
3
D．
2
3. 如图， A1B1C1 — ABC 是直三棱柱， BCA 90 ，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点，若
BC CA CC1 ，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（
）
30
A．
10
1
B．
2
30
C．
15
15
D．
10
4. 若向量 a (1，，2) 与 b (2，1，2) 的夹角的余弦值为 8 ，则 ( ) 9
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
例题解析
类型一：异面直线所成的角
例 1. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E1 ， F1 分别是 A1B1 ，C1D1 的一个四等分
点，且
B1E1=D1F1=
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值．
4
举一反三：
【变式 1】如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面
的中点，已知
底面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值是（ ）
A． 21 6
二、填空题
B． 8 3 3
C． 210 60
D． 210 30
8．若向量 a (3，4，5) ， b (0，0，1) ，那么 a，b =
.
8
9．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E、F 分别为 AB、CC1 的中点，则异面直线 EF 与 A1C1 所成 角的大小是______.
11
BDE 和平面 BCD 夹角的的正切值.
D1 A1
E C1
B1
D A
C B
14. 如图（1），在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝3， AC ＝6， D，E 分别是 AC ， AB 上 的点，且 DE ∥ BC ， DE=2 ，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，使 A 1C CD ，如图 （2）． (1) 求证： A 1C ⊥平面 BCDE ； (2) 若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A 1BE 所成角的大小； (3) 线段 BC 上是否存在点 P ，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
cos = cos n1，n2
= n1 n2 . n1 n2
要点诠释：
（1）两平面的夹角范围是
0，2
.
（2）已知平面 1 和 2 的法向量分别为 n1 和 n2 ，则
当 0≤ n1，n 2 ≤π/2 时，平面 1 和 2 的夹角等于 n1，n 2 ；
当π/2 ＜ n1，n 2 ≤π时，平面 1 和 2 的夹角等于π n1，n 2 .
要点二：平面间的夹角 1. 平面间的夹角的定义： 平面 1 与 2 相交于直线 l ，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R ，在平面 1 上作直线
l1 ⊥ l ，在平面 2 上作直线 l2 ⊥ l ，则 l1 l2 = R 。我们把直线 l1 和 l2 的夹角叫做平面 1 与 2 的夹角.
2. 平面间夹角的向量计算方法： 设平面 1 与 2 的法向量分别为 n1 和 n2 ，平面 1 与 2 的夹角为 ，则
A． 2
B． 2
C． 2 或 2 55
D．2 或 2 55
5. 在三棱锥 P－ABC 中，AB BC ，AB=BC= 1 PA ，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP ⊥ 2
底面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值是（ ）
A． 21 6
B． 8 3 3
C． 210 60
D． 210 30
6. 在正四面体 ABCD 中， E 是棱 AD 的中点，则 CE 与面 BCD 所成角 满足（ ）
A． =30°
B．sin 2 3
C． =60°
D．cos 6 3
7. 在三棱锥 P－ABC 中，AB BC ，AB=BC= 1 PA ，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP ⊥ 2
空间的角的计算
空间的角的计算
要点一：直线间的夹角
1. 有关概念：
两直线的夹角：当两条直线
l1
与
l2
共面时，我们把两条直线交角中，范围在
0,
2
内的
角叫作两直线的夹角．
异面直线的夹角：当直线 l1 与 l2 是异面直线时，在直线 l1 上任取一点 A 作 AB ∥ l2 ，我
们把直线 l1 和直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1 与 l2 的夹角．
棱 PC 上一点， PQ PC ，试确定 的值，使得平面 BDP 与平面 BDQ 为 45°.
类型三：直线与平面所成的角
例 3. 如图，在正四面体 ABCD 中， E 为 AD 的中点，求直线 CE 与平面 BCD 成的角．
举一反三：
6
【变式 1】四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ABC 45 ，AB 2 ，
特别地，如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为
Βιβλιοθήκη Baidu
0°；
如果一个直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为 90°.
要点诠释：
（1）直线和平面所成角的范围是
0，2
.
（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小
的角；
（2）斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上.
10. 已知三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC ，
SA =3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为
.
11. 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等 腰直角三角形，AB AE, FA FE,AEF 45 ，则平面 BDF 和平面 ABD 的夹角余弦值
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 即
设直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1 ， s2 .
当 0≤ s1，s2 ≤ 2 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 s1，s2 ；
当 < 2
s1，s2
≤ 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于
s1，s2 ．
1