1-1复数及其运算
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12）Fourier变换应用于信号处理。 随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在 频率域中的处理要方便得多。
7
复变函数课程的主要内容
1 引论 2 解析函数 3 复积分 4 级数 5 留数及应用 6 共形映射
8
第一章 复数与复变函数
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的曲线和区域 §1-3 复变函数与整线性映射 §1-4 复变函数的极限和连续性
(2) i 可与实数一起按同样的法则进行四则运算.
11
复数
形如 z x yi 或 z x iy 的数称为复数. 其中 x, y 为实数，分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z yi 称为纯虚数; 当 y 0时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则 y 0,
由m2 5m 6 0知 m 6 或 m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
由m2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
复变函数的应用背景
世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。
像微积分的直接扩展统治了18世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。
它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
1
•16 •17 •18
•19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数。
15
二、 复数的表示方法
（1）定义表示法 用 x iy 表示复数 z, 即 z x iy. 给定复数 z x iy ，则确定了实部x和虚
部y；反过来，给定实部x和虚部y, 则完全确定 了复数z, 这样，复数z与一对有序实数（x, y) 构成了一一对应关系。
因此，x iy 与（x, y) 不加区别.
方面有重要成果。
2
•空气 动力学
•流 体力
学
复变函数论
•电
•热
学
学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学 、理论物理等领域有重要应用。
3
1) 从解代数方程开始，例如 : 方程
x2 1 0 在实数范围内无解; 人们引入复数。
Gauss用复数理论证明了代数基本定理。
2)
应用于积分的计算, 如
z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
o
z1 z2 z1
Ri L di 1
t
i(t)dt E
dt C 0
6
10）Laplace变换应用于控制问题。 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变 换与Biblioteka Baidu出量的Laplace变换之比。
11）Fourier变换应用于频谱分析。
频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数， 对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进 行分析。
6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。 例如：热炉中温度的计算。
5
7）Laurent级数应用于数字信号处理。 利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。
8）积分变换也是复变函数的重要应用。 积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。
9）Laplace变换可以求解微积分方程。
例如：RLC(电阻、电感、电容）串联电路接上 电压 E 的直流电源，求电流.
9
§1-1 复数及其运算
一Δ 、复数的概念及其几何表示 二Δ、复数的代数运算 三* 、（扩充）复平面与复球面
注：标记Δ为掌握内容，标记*为了解内容。
10
一、复数的概念
为了解方程的需要，例如 : 方程 x2 1 0在 实数范围内无解, 人们引入了一个新数i, 称为虚 数单位.
对虚数单位,作如下规定: (1) i2 1;
14
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z.
即：若 z x iy, 则 z x iy. 例 2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2.
因此：两个共轭复数z, z 的积是一个实数.
0
sin x(x2
x
1)
dx。
3)
应用于求解偏微分方程，如： 2u x 2
2u y2
0，
具体用在平面稳定流动（水、空气等的流速与
时间几乎无关）。
4
4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。
5）应用于计算渗流问题。 例如：大坝、钻井的浸润曲线。
•17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形
•18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何 、物理意义。
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特
拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复
变函数的映射性质。
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质
、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等
12
复数相等的概念 定义:设复数 z1 x1 y1i 复数 z2 x2 y2i
则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
显然有
z0 z 0
z1 z2 0 z1 z2 且argz1 argz2
注：非实数的复数不能比较大小。
13
例 1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向.
该向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 .
y
y
显然成立：
r
o
x z, y z,
Pz x iy
x
x
z x y,
z z z 2 z2 .
18
复数和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
16
（2）平面表示法
我们知道，( x, y)可以用平面直角坐标系中平面 上的点表示(如图）
y z x iy
y
(x, y)
o
x
x
复数 z x iy 可以用平面上的点 ( x, y) 表示(如图）.
这种用来表示复数的平面叫复平面. 通常把横
轴叫实轴或x 轴, 纵轴叫虚轴或y 轴.
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（3）向量表示法
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复变函数课程的主要内容
1 引论 2 解析函数 3 复积分 4 级数 5 留数及应用 6 共形映射
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第一章 复数与复变函数
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的曲线和区域 §1-3 复变函数与整线性映射 §1-4 复变函数的极限和连续性
(2) i 可与实数一起按同样的法则进行四则运算.
11
复数
形如 z x yi 或 z x iy 的数称为复数. 其中 x, y 为实数，分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z yi 称为纯虚数; 当 y 0时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则 y 0,
由m2 5m 6 0知 m 6 或 m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
由m2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
复变函数的应用背景
世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。
像微积分的直接扩展统治了18世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。
它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
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•16 •17 •18
•19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数。
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二、 复数的表示方法
（1）定义表示法 用 x iy 表示复数 z, 即 z x iy. 给定复数 z x iy ，则确定了实部x和虚
部y；反过来，给定实部x和虚部y, 则完全确定 了复数z, 这样，复数z与一对有序实数（x, y) 构成了一一对应关系。
因此，x iy 与（x, y) 不加区别.
方面有重要成果。
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•空气 动力学
•流 体力
学
复变函数论
•电
•热
学
学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学 、理论物理等领域有重要应用。
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1) 从解代数方程开始，例如 : 方程
x2 1 0 在实数范围内无解; 人们引入复数。
Gauss用复数理论证明了代数基本定理。
2)
应用于积分的计算, 如
z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
o
z1 z2 z1
Ri L di 1
t
i(t)dt E
dt C 0
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10）Laplace变换应用于控制问题。 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变 换与Biblioteka Baidu出量的Laplace变换之比。
11）Fourier变换应用于频谱分析。
频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数， 对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进 行分析。
6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。 例如：热炉中温度的计算。
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7）Laurent级数应用于数字信号处理。 利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。
8）积分变换也是复变函数的重要应用。 积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。
9）Laplace变换可以求解微积分方程。
例如：RLC(电阻、电感、电容）串联电路接上 电压 E 的直流电源，求电流.
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§1-1 复数及其运算
一Δ 、复数的概念及其几何表示 二Δ、复数的代数运算 三* 、（扩充）复平面与复球面
注：标记Δ为掌握内容，标记*为了解内容。
10
一、复数的概念
为了解方程的需要，例如 : 方程 x2 1 0在 实数范围内无解, 人们引入了一个新数i, 称为虚 数单位.
对虚数单位,作如下规定: (1) i2 1;
14
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z.
即：若 z x iy, 则 z x iy. 例 2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2.
因此：两个共轭复数z, z 的积是一个实数.
0
sin x(x2
x
1)
dx。
3)
应用于求解偏微分方程，如： 2u x 2
2u y2
0，
具体用在平面稳定流动（水、空气等的流速与
时间几乎无关）。
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4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。
5）应用于计算渗流问题。 例如：大坝、钻井的浸润曲线。
•17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形
•18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何 、物理意义。
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特
拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复
变函数的映射性质。
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质
、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等
12
复数相等的概念 定义:设复数 z1 x1 y1i 复数 z2 x2 y2i
则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
显然有
z0 z 0
z1 z2 0 z1 z2 且argz1 argz2
注：非实数的复数不能比较大小。
13
例 1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向.
该向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 .
y
y
显然成立：
r
o
x z, y z,
Pz x iy
x
x
z x y,
z z z 2 z2 .
18
复数和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
16
（2）平面表示法
我们知道，( x, y)可以用平面直角坐标系中平面 上的点表示(如图）
y z x iy
y
(x, y)
o
x
x
复数 z x iy 可以用平面上的点 ( x, y) 表示(如图）.
这种用来表示复数的平面叫复平面. 通常把横
轴叫实轴或x 轴, 纵轴叫虚轴或y 轴.
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（3）向量表示法