用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程

.

１直接可分离变量的微分方程

1.1形如

dx

dy =()x f ()y ϕ(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ϕ分别是的连续函数.

如果ϕ(y)≠0，我们可将（1.1）改写成

)

(y dy ϕ=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到

通解：⎰)(x dy ϕ=⎰dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，⎰)(x dy ϕ，⎰dx x f )(分别理解为)

(1y ϕ，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y

ϕ的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解.

解：(1)变形且分离变量：

(2)两边积分：

c x dx y dy

+-=-⎰⎰2211，

得

c x y +-=arcsin arcsin .

可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解.

我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.

例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方

程.

分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.

解：由题意得

y '

-=1法κ. 从而法线PQ 的方程为

)(1x X y

y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -'

-=-. 整理后，得

x y y 2-='，

其中c 2形如⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ϕ是u 的连续函数.

对方程(1.3)做变量变换

x

y u =，(1.4) 即ux y =，于是

u dx

du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为

)(u u dx

du x ϕ=+，

整理后，得到

x

u u dx du -=)(ϕ.(1.6) 方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）

的解.

例3求微分方程dx

dy xy dx dy x y =+22的通解. 解：原方程化为

()

22y dx

dy x xy =-()x y ≠， 即 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x

y x y dx dy ， 于是，令x y u =，即xu y =，将dx

du u dx dy +=代入该方程，得 1

2

-=+u u dx du x u ， 整理，即有

1

12-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得

x

dx du u u =-1()0≠u ， 两边积分，得

1ln ln ln c x u u +=-， 将x

y u =代回来，得 ()y c c x x y x y 11ln ln =⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅=， ∴x

y

e y c =1， 即

x

y

ce y =，其中c 为任意常数. 另, 0=u 即0=y 也是原方程的解，但此解课包含于通解0=c 之中.故,方程的通解为x

y

ce y =.

2.2形如

2

22111c y b x a c y b x a dx dy ++++=(1.7) 的方程，这里212121,,,,,c c b b a a 均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.

我们分三种情形来讨论：

2.2.1()常数k c c b b b a ===2

12111的情形. 这时方程化为

有通解

c kx y +=，

其中为任意的常数c .

2.2.22

12111c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=，这时有

是变量分离方程.

2.2.32

111b b b a ≠的情形. 如果方程()1.2中21,c c 不全为零，方程右端分子、分母都是y x ,的一次多项式，因此

121=++c y b x a ，

0222=++c y b x a .（1.8）

代表Oxy 平面上两条相交直线，设交点()βα,.若令

α-=x X ，

β-=y Y .

则（2.2）化为

11=+Y b X a ，

022=+Y b X a .

从而（2.1）变为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=++=X Y Y b X a Y b X a dX dY ϕ2211.(1.9)

因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.

如果方程（2.1）中021==c c 可不必求解（2.2），直接取变换x

y u =即可. 上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy . 例4求解方程

7

66322-++-=y x y x dx dy （2.0） 解：解方程组0322=+-y x ,

0766=-+y x , 得3

4,61=-=y x . 于是，令

6

1-=X x , 3

4+=Y y , 代入方程（2.4），则有

Y

X Y X dx dy 6622+-=.()1.2 再令X

Y u =,即uX Y =，则()5.2化为 du u

u u X dX 2211--+=， 两边积分，得

c

u u X ~12ln ln 22+-+-=， 因此

()1~

2212c e u u X c =±=-+， 代回原变量，得

1222c X XY Y =-+，

即

12

2613461234c x y x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-

.