可靠性设计

正态分布的密度函数为
若令 z t 则

f (t ) 1 2
f (t )
e
z2 2
1
2
e

(t )2 2 2
F (t )
z z 2
2
1
2

t

e

(t )2 2 2
dt
F (t )
其中：t 为失效时间随机变量，μ 为母体的平均值，σ 为标准差，设 z为标准正态随机变量，T为规定工作时间，则有可靠度为： 正态失效率函数为：
要求。
4
C.规定的工作时间：
产品之间可靠性比较的标准。
D.正常工作（满意运行）：
指系统或零件是否能达到人们所要求的运行效能，
达到了就说它是处于正常的工作状态，反之说它是
失效的。
5
E．概率：
基本事件发生的可能性。对于可靠性来讲，就
是失效或正常运行事件发生的可能性。在大量统 计的基础上，这种可能性可用该事件的概率来表 示，因此概率可用[0，1]区间的某个数表示。
N f (t ) N s (t ) N 0 N f (t ) R(t ) 1 N0 N0 N0 由于０≤Ｎｆ(ｔ)≤Ｎ０，故０≤Ｒ(ｔ)≤１。
11
可靠度表达式-B
设ｔ为零件（系统）的失效时间（随机变量），Ｔ为
要求运行的时间（规定时间）则零件失效Biblioteka Baidu概率为：
Ｆ(ｔ)＝Ｐ(ｔ≤Ｔ)（ｔ＞０） Ｆ(ｔ)为失效累积分布函数或称为不可靠度函数。
例：某车间有10台7.5kw的机床，如果每台机床使用情况是相互 独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问全部机床用电超过 48kw的可能性是多少？ 分析：由于在任意时间，各个机床都有“开、停”两种状态， 所以服从二项分布，用“p”表示“开”发生的概率，用“q”表示 “停”发生的概率，n表示事件的总数，r表示事件实际发生的次数，
R(t 400) R( z 2.5) F ( z 2.5) 0.9938 失效概率 F (t 400) 1 R(t 400) 1 0.9938 0.0062
失效数r=1000×0.0062=6.2(个)≈6（个）
30
（2）t=600h时，标准正态变量
即失效时间随机变量t的对数为正态分布的分布，引进随机
变量x=Int。
分布密度函数为 f (t )
1 Int 2 exp[ ( )（ ] t>0） 2 2 1
对数正态分布的均值为 可靠度函数为： 失效率函数为：
) f (t ) h(t ) R (t ) t R(t )
r r nr f (r ) C n p q
25
设事件发生次数的均值为m，事件实际发生次数为r，对泊松分布
而言，则有：
事件发生r次概率为:
m r m f (r ) e r!
F (c ) f ( r )
r 0 c
事件发生次数不超过c的累积概率为: 其泊松分布的均值E(r)=np=m，方差s=m
12
可靠度表达式-C
如果定义可靠度是Ｔ时刻“成功”运行的概 率，则根据互补定理，可以定义可靠度函数为：
Ｒ（ｔ）＝１－Ｆ（ｔ）＝Ｐ（ｔ＞Ｔ）
13
可靠度表达式-D
如果设失效时间随机变量ｔ可用概率密度函数ｆ
(ｔ)来描述，则可靠度函数为：
R(t ) 1 F (t ) 1 f (t )d t f (t )d t
2
它包含了五个要素：
A.对象：零件
指某个不可拆卸的独立体（如弹簧、齿轮），
也可指某一部件或机器（如发动机或减速器），
还可指某个系统（如某条生产线、某个车间等）， 甚至包括人的判断与人的操作因素在内。
3
B.规定的工作条件：
为了比较某系统或零件的可靠程度，必须将 它的工作环境固定下来。同一种设备在不同的工 作环境下运行寿命是不同的，如汽车。因此，同 一产品在不同的工作条件下运行应有不同的设计
主要内容
可靠性设计常用的分布函数

可靠性设计的原理


零部件的可靠性设计
系统的可靠性设计
1
一、可靠性的概念
可靠性又称可靠度(Reliability)，指零件或
系统在规定的运行条件下，规定的工作时间内，能 正常工作（或满意运行）的概率。 该定义将以往人们对产品可靠性只是出于模糊、 定性的概念发展转变为一个明确的“数”的概念。
26
3.指数分布(exponential distribution) —— 连续型分布函数 其概率密度函数为:
f (t ) e t 1
可靠度函数为：
故障函数为： 数学期望为： 标准差为：

e

t

(t 0, 0) θ 为平均故障间隔时间
R(t ) e t e
1 h(t ) f (t ) t R(t ) e
r 0
二项分布的均值E(r)=np，方差s=npq。
22
解： (1)分析用电超过48kw的各种情况：
当10台全部开动时，用电量为75kw>48kw，
9台开动时用电量为9*7.5=67.5kw>48kw，
8台开动时用电量为8*7.5=60kw>48kw，当
7台开动时用电量为7*7.5kw>48kw， 当开动机床数小于7台时，用电量均不足48kw， 因此所求得概率值有10，9，8，7台开动时的累积概率。
E (t ) exp(
2
2
)
R(t ) p(t T ) p[ z
Int

]
(
Int
其中：ψ

1 1 0.0004 次/小时 MTBF 2500
R(t 500) e t e 0.0004500 0.8187
R(t 1000 ) e t e 0.00041000 0.6703
28
4.正态分布（normal distribution）—— 连续型分布函数
Ｎ０＝ＮＳ(ｔ)＋Ｎｆ(ｔ)
对于任一时间ｔ内的可靠度为
N f (t ) N s (t ) N 0 N f (t ) R(t ) 1 1 F (t ) N0 N0 N0
16
上式对时间求导得：
而
f (t )
dF (t ) dt
dR(t ) dF(t ) 1 dN f (t ) dt dt N 0 dt
23
(2)开的概率：p=12/60=0.2，q=1-p=0.8 (3)f(r=10)=0.210=0.0000001024,
f(r=9)=(10!/9!)×0.29×0.8=0.000004096
同理f(r=8)=0.000073728，f(r=7)=0.0007864
(4)用电超过48kw的可能性即概率为：
F(z)=1-F(-z) 即
F(-z)=1-F(z)=1-0.2=0.8
查标准正态分布积分表得到-z=0.84， 所以，z=-0.84，代入 得
t 500 0.84 40
z
t s
因而t=500-40×0.84=466.4h 即经过466.4h后，会有20%的零件失效。
32
连续型分布函数 对数正态分布(lognormal distribution)
c表示事件允许发生（或要求发生）的次数，则有：
21
对于二项分布，事件发生r次的概率f(r)为：
n! f (r ) C p q p r (1 p) nr r!(n r )! 事件发生次数不超过c的累积概率F（c）为：
r n r nr
c
F (c) f (0) f (1) f (2) f (c) f (r )
由此得到： 1 dN f (t ) f (t ) N 0 dt dN f (t ) 表示单位时间ｔ内的失效数，Ｎ０为时间为０时提 dt 供的样品数，对于一般时刻ｔ，失效率函数为：
(t )
dN f (t ) N0 1 dN f (t ) N0 1 1 dN f (t ) 1 ( ) f (t ) N s (t ) dt N0 N s (t ) dt N s (t ) N0 dt R(t )
17
由此得到失效率、可靠度与概率密度之间的关
系为：
f (t ) (t ) R(t )
18
举例： 某零件的失效时间随机变量服从指数分布，为了让１０００小时的可靠 度在８０％以上，该零件的失效率应低于多少？
解：分析可知，失效时间随机变量服从指数分布，即 f (t ) e t 因为 由于
用Ｒ(ｔ)表示，称为可靠度函数。
可靠度是一个累积分布函数，表示在规定的
时间内圆满工作的产品占全部工作产品累积起来
的百分比。
其表达式有以下几种：
10
可靠度表达式-A
若设有Ｎ０个相同产品在相同条件下工作，到任一给定 的工作时间ｔ时，累积有Ｎｆ(ｔ)个产品失效，剩下Ｎｓ(ｔ) 个产品仍能正常工作，则该产品到时间ｔ的可靠度Ｒ(ｔ)为：
R(t ) f (t )d t e t dt e t
t t


所以
f (t ) e t (t ) t R(t ) e
0.8 e
1000
0.000223 / 小时
19
17 可靠性设计的常用概率分布
20
1.二项分布——离散型分布函数
z t 600 500 2.5 s 40
查标准正态分布积分表可知失效概率 F(t=600)=0.9938 失效数r=1000×0.9938=994（个） 所以，在t=400-600h之间的失效数为
994-6=988（个）
31
（3）失效概率F=20%=0.2, 在标准正态分布积分表中查不到对应的 标准正态变量的值，可利用如下关系得到：
1 1157 r 7 即在1157min内大约有一分钟用电超过48kw。 F (c ) f ( r )
试问不超过48kw的概率是多少？
10
24
2.泊松分布——离散型分布函数
从数学理论知道，使用二项分布，如果p很小(p≤0.1)，而n很大
（n≥50）时，使用
n! p r (1 p) nr r!(n r )! 计算较繁琐，通常采用泊松分布近似求解。
0 t
t

14
2.失效率与故障函数ｈ(ｔ)
失效率：在某一段时间内，在提供可能失效的产品 数下，单位时间内的失效数。
dN f (t ) 单位时间内的失效数 (t ) dt 提供可能失效的产品数 （零件数） N s (t )
15
令Ｎ０为投入的样品数，ＮＳ(ｔ)为在时间ｔ的残 存数，Ｎｆ(ｔ)为时间ｔ的失效数，
0
( t
t
t >0)

e


1



E (t ) R(t )dt e t dt
1
s
1
0


27
例：某设备在5000h的运转记录中发生过两次偶然性故障，已 知设备的失效时间服从指数分布，试求设备运转500h和1000h时的
可靠度各是多少？
解：根据题意，平均故障间隔时间为： MTBF=5000/2=2500h， 故平均失效率 可靠度
R(t ) p(t T ) P( z z )
e 2

1
dz
( z t ) h(t ) f (t ) R(t )


R(t )

其中： ( z ) 为标准正态随机变量z的 密度函数值（可查表）。 29
例：有1000个零件，已知其失效时间服从正态分布，均值μ=500h，标准差 σ=40h，求1）t=400h的可靠度、失效概率和失效数。2）在t=400-600h之间的 失效数。3）经过多少时间后会有20%的零件失效?
6
16 可靠性设计的常用指标
7
衡量可靠性指标主要有：

概率指标和寿命指标；
衡量可靠性指标体系的有：

可靠性(reliability)、 维修度（maintainability） 可用度（availability）
8
9
一、概率指标
1.可靠度与可靠度函数
一般情况下，产品的可靠度是时间的函数，
解：（1）标准正态随机变量 由正态分布的特点可知
z
t


400 500 2.5 40
而失效概率F与可靠度R又存在互补关系，即 查标准正态分布积分表可知
F ( z 2.5) 1 F ( z 2.5)
F ( z 2.5) 1 R( z 2.5) R( z 2.5)