(完整)高中数学每日一练.8.24

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(完整word版)高中数学每日一练2019.8.24

f (x) 2x 3 x 2，贝y f (2) =数学每日一练8.241 1 1A .(02)B .(2 )C .(02)(2，)D .(咛[2,2 2A . y x sinxB . y x cosxC . y |lnx|D . y 2 1 Jx x A 0(2015 陕西)设 f(x) ' x,x 0，则 f(f( 2))=2 ,x 0113A . - 1B . -C . -D.-4 2 2(2015湖南)设函数 f(x) ln(1 x) ln(1 x)，则 f (x)是(2015北京)下列函数中，定义域是 1.2.3. 4. 5.6.7.8.9.x.A . e1B .e x 1C. e x1x /D . e 12 x ,x < 0卄(2018全国卷I )设函数f(x)，则满足f(x 1) f (2x)的x 的取值范围是1, x 0A . ( , 1]B.(0,)C . ( 1,0)D .(,0)(2016北京)下列函数中,在区间(1,1)上为减函数的是A. y &B . y cosxC . yln(xx1)D . y 2(2019全国H 文6)设f(x)为奇函数，且当(2015北京)下列函数中为偶函数的是A .奇函数，且在(0,1)上是增函数B .奇函数，且在 (0,1)上是减函数C .偶函数，且在(0,1)上是增函数D .偶函数，且在(0,1)上是减函数(2014山东)函数f(X )1.(log 2x)2 1 的定义域为xx 》0寸，f(x)= e 1,则当 x<0 时，f(x)=R 且为增函数的是C . y ln xA. y e x B . y x3(2017新课标n)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x ( ,0)时,f (x) 2x3 x2，贝y f (2) =x 1, x 010．（2014 福建）已知函数则下列结论正确的是cos x, x 0A ．f x 是偶函数B ．f x 是增函数C．f x 是周期函数 D ．f x 的值域为1,。

高三数学精华试题每天一练24试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学精华试题每天一练〔24〕我校学生校篮球队假期集训，集训前一共有6个篮球，其中3个是新球〔即没有用过的球〕，3个是旧球〔即至少用过一次的球〕．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．〔I 〕设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；〔II 〕第二次训练时恰好取到一个新球的概率．【解析】：〔I 〕ξ的所有可能取值为0，1，2．设“第一次训练时取到i 个新球〔即i =ξ〕〞为事件i A 〔=i 0，1，2〕．因为集训前一共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以 51)0()(26230====C C P A P ξ， 53)1()(2613131====C C C P A P ξ， 51)2()(26232====C C P A P ξ．所以ξ的分布列为 ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ．〔II 〕设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球〞为事件B ．那么“第二次训练时恰好取到一个新球〞就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ．。

(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数易混淆知识点

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数易混淆知识点高中数学第四章指数函数与对数函数易混淆知识点单选题1、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．2、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（）A ．−1或2B ．−1C ．2D ．12答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1，解得m =2. 故选：C.3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（）A．25天B．30天C．35天D．40天答案：B分析：根据给定条件求出m及a10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m⋅a1020%=m⋅a20，解得m=120,a10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t，即40%=120⋅a10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a10)2=a20，于是得t−10=20，解得t=30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B4、用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（）A．0.9B．0.7C．0.5D．0.4答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1，所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B5、已知f(x)={2x−x2,x≥5f(x+3),x<5，则f(4)+f(-4)=（）A．63B．83C．86D．91答案：C分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解. 依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，所以f(4)+f(-4)=86.故选：C6、已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A．(−1,1)B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1)D．(−∞,0)∪(1,+∞)答案：D分析：作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， ∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13，∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．8、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x 的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.9、设a =log 2π，b =log 6π，则（）A ．a −b <0<abB ．ab <0<a −bC ．0<ab <a −bD ．0<a −b <ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a−b>0，ab>0，1b −1a<1，由此可判断得选项.解：因为a=log2π>log22=1，0=log61<b=log6π<log66=1，所以a>1,0<b<1，所以a−b>0，ab>0，故排除A、B选项；又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1，且ab>0，所以0<a−b<ab，故选：D.10、函数y=|lg(x+1)|的图像是（）A．B．C．D．答案：A分析：由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，即可求解.由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.多选题11、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（） A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，12、某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（）A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元答案：ABC分析：根据图象一一判断即可.解：对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为12−510−3=1（元），乙方案每千米增加的费用为12−710−3=57（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.13、对于定义在R 上的函数y =f (x )，若存在非零实数x 0，使y =f (x )在(−∞,x 0)和(x 0,+∞)上均有零点，则称x 0为y =f (x )的一个“折点”，下列四个函数中不存在“折点”的是（）A ．f (x )=3|x−1|+2B ．f (x )=lg (|x |+3)−12C ．f (x )=x 33−1D ．f (x )=x+1x 2+4答案：ACD分析：对于选项A ，f (x )>0，所以f (x )没有零点，从而f (x )没有“折点”，故选项A 符合题意；对于选项B ，当x ≥0时，f (x )在[0,+∞)上有零点，又f (x )是偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上也有零点，从而f (x )存在“折点”，故选项B 不符合题意；对于选项C ，因为f (x )单调递增，f (x )在R 上至多有一个零点，所以f (x )没有“折点”，故选项C 符合题意；对于选项D ，f (x )只有一个零点，f (x )没有“折点”，故选项D 符合题意.解：对于选项A ，f (x )=3|x−1|+2≥30+2=3，所以f (x )没有零点，从而f (x )没有“折点”，故选项A 符合题意；对于选项B ，当x ≥0时，f (x )=lg (x +3)−12，f (0)=lg3−12<0，f (7)=lg (7+3)−12=12>0，所以f (x )在[0,+∞)上有零点，又因为f (−x )=lg (|−x |+3)−12=lg (|x |+3)−12=f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上也有零点，从而f (x )存在“折点”，故选项B 不符合题意；对于选项C ，因为f (x )=x 33−1，所以f (x )单调递增，f (x )在R 上至多有一个零点，所以f (x )没有“折点”，故选项C 符合题意；对于选项D ，令f (x )=x+1x 2+4=0，解得x ＝－1，f (x )只有一个零点，f (x )没有“折点”，故选项D 符合题意. 故选：ACD.14、已知函数f(x)={e x −1,x ≥m −(x +2)2,x <m(m ∈R) ，则（）A．对任意的m∈R，函数f(x)都有零点.B．当m≤−3时，对∀x1≠x2，都有(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0成立.C．当m=0时，方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根.D．当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0有2个不同的实数根.答案：AC分析：讨论m的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当m≤−3时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当m=0时，令t=f(x)，由f(t)=0得t=0或t=−2，结合图象可判断C；当m=0时，方程f(x)+ f(−x)=0，则f(x)=−f(−x)，结合图象可判断D．当e x−1=0时，x=0；当−(x+2)2=0时，x=−2；所以当m>0时，函数f(x)只有1个零点，当−2<m≤0时，函数f(x)只有2个零点，m≤−2时，函数f(x)只有1个零点，故A正确；当m≤−3时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数f(x)为单调递增函数，故B错；当m=0时，令t=f(x)，由f(t)=0得t=0或t=−2，作出函数f(x)的图象如图所示，当t=f(x)=−2时，方程f[f(x)]=0有两个解；t=f(x)=0方程f[f(x)]=0有两个解；所以方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根，故C正确；当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0，则f(x)=−f(−x)，如图所示，有1个不同的交点，则故D错误．故选：AC15、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确，设D的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO=∠CDB，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB=∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200；即点D的坐标是(200,0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；当x=128时，y=(128−20)×2=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确.故选：ACD填空题16、已知定义在R上的函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且y=f(x−1)的图象关于x=1对称，若实数a满足f(log12a)<f(−2)，则a的取值范围是___________．答案：(14,4)分析：由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.根据题意y=f(x−1)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于y轴对称，即函数f(x)为偶函数，由f(log12a)<f(−2)得f(log2a)<f(2)，又由函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则f(log2a)<f(2)⇒f(|log2a|)<f(2)⇒|log2a|<2，解可得：14<a<4.所以答案是：(14,4).17、函数y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点___________．答案：(−1,1)分析：利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.当x+1=0，即x=−1时，y=a0=1，所以y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点(−1,1).所以答案是：(−1,1)18、解指数方程2x+3=3x2−9：__________.答案：x=−3或x=3+log32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x+3=0和x+3≠0，解出方程即可.由2x+3=3x2−9得log32x+3=log33x2−9，即(x+3)log32=(x−3)(x+3)，当x+3=0即x=−3时，0=0显然成立；当x+3≠0时，log32=x−3，解得x=log32+3；故方程的解为：x=−3或x=3+log32.所以答案是：x=−3或x=3+log32.解答题19、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x2+x−2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．（1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x−12=√6，∴x+1x+2＝6，x+1x=4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．20、已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．（1）求f(x)的表达式；（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．答案：（1）f(x)＝2x；（2）奇函数；证明见解析．分析：（1）利用指数函数的定义，求出a，即可求f(x)的表达式，（2）F(x)=2x−2−x，即可利用定义判断F(x)=f(x)−f(−x)的奇偶性. （1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x．（2）F(x)=2x−2−x，∴F(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−F(x)，且定义域为R，∴F(x)是奇函数．。

通用版高中数学必修一一次函数与二次函数考点总结

(每日一练)通用版高中数学必修一一次函数与二次函数考点总结单选题1、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A解析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A2、已知函数f(x)=−x2+2x+1,x∈[0,2]，函数g(x)=ax−1,x∈[−1,1]，对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[−1,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−3]B．[3,+∞)C．(−∞,−3]∪[3,+∞)D．(−∞,−3)∪(3,+∞)解析：先求得f(x)的值域，根据题意可得f(x)的值域为[1,2]是g(x)在[−1,1]上值域的子集，分a >0,a <0两种情况讨论，根据g(x)的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.因为f(x)=−(x −2)2+2,x ∈[0,2]，所以{f(x)min =f(0)=1f(x)max =f(2)=2，即f(x)的值域为[1,2]，因为对于任意x 1∈[0,2]，总存在x 2∈[−1,1]，使得g(x 2)=f(x 1)成立，所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在[−1,1]上值域的子集，当a >0时，g(x)在[−1,1]上为增函数，所以g(−1)≤g(x)≤g(1)，所以g(x)∈[−a −1,a −1]，所以{−a −1≤1a −1≥2，解得a ≥3，当a <0时，g(x)在[−1,1]上为减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(−1)，所以g(x)∈[a −1,−a −1]所以{a −1≤1−a −1≥2，解得a ≤−3，综上实数a 的取值范围是(−∞,−3]∪[3,+∞)，故选：C小提示：解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.3、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −3)x +4a,x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，则a 的取值范围为（）A ．(0,14]B ．(0，1)C ．[14,1)D ．(0，3)答案：A根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A解答题4、（1）已知函数y=x2−2x+1，x∈[−1,4]，求该函数的值域.（2）已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是[−12,−13]，求不等式x2−bx−a<0的解集.答案：（1）[0,9]；（2）(2,3)解析：(1)求出二次函数y=x2−2x+1的对称轴，结合二次函数性质可求该函数在[−1,4]上的最值，由此确定函数的值域；(2)由一元二次不等式的解集与一元二次方程的解集的关系求出a，b，再由一元二次不等式的解法求不等式x2−bx−a<0的解集.（1）∵函数y=x2−2x+1，x∈[−1,4]，∴对称轴x=1，由二次函数的性质得：函数y=x2−2x+1，x∈[−1,4]的最大值为f(4)=9，最小值为f(1)=0，..∴函数的值域是[0,9]；（2）因为不等式ax2−bx−1≥0的解集是[−12,−13] ，则a <0，且关于x 的二次方程ax 2−bx −1=0的两根分别为−12、−13，所以{b a =(−12)+(−13)−1a =(−12)⋅(−13) ，解得{a =−6b =5 ，不等式x 2−bx −a <0即为x 2−5x +6<0，解得2<x <3.故不等式x 2−bx −a <0的解集为(2,3)5、已知函数f (x )=4x −a ⋅2x+1−2.（1）若f (x )的最小值为−3，求实数a 的值；（2）若f (x )<0对任意的x ∈[0,1)恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）a =1；（2）[12,+∞). 解析：（1）换元t =2x >0，问题转化为求二次函数y =t 2−2at −2在t ∈(0,+∞)时有最小值−3，求实数a 的值，然后分a ≤0、a >0两种情况讨论，分析二次函数y =t 2−2at −2在区间(0,+∞)上的单调性，求出函数y =t 2−2at −2的最小值，进而可求得实数a 的值；（2）由（1）结合f (x )<0，可得出a >t 2−1t 对任意的t ∈[1,2)恒成立，分析函数g (t )=t 2−1t 在区间[1,2)上的单调性，求出g (t )的值域，由此可得出实数a 的取值范围.（1）∵f (x )=4x −a ⋅2x+1−2=(2x )2−2a ⋅2x −2，换元t =2x >0，则y =t 2−2at −2=(t −a )2−a 2−2.①当a ≤0时，二次函数y =t 2−2at −2在区间(0,+∞)上单调递增，无最小值； ②当a >0时，二次函数y =t 2−2at −2在区间(0,a )上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增，所以，y min=−a2−2=−3，∵a>0，解得a=1.综上所述，a=1；（2）由（1）知，若f(x)<0对任意的x∈[0,1)恒成立，则t=2x∈[1,2)，即y=t2−2at−2<0对任意的t∈[1,2)恒成立，即a>t 2−22t=t2−1t对任意的t∈[1,2)恒成立，令g(t)=t2−1t，其中t∈[1,2)，易知函数g(t)=t2−1t在区间[1,2)上单调递增，当1≤t<2时，g(1)≤g(t)<g(2)，即−12≤g(t)<12，所以，a≥12，因此，实数a的取值范围是[12,+∞).小提示：结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min；（2）∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max；（3）∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max；（4）∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min.。

2024_2025学年高中数学每日一题每周一测1含解析新人教版必修3

每周一测1．老子说：“故失道而后德，失德而后仁，失仁而后义，失义而后礼”，这意味着A．老子认为仁礼很重要B．老子把道德仁义礼一视同仁C．老子认为道是最高境界D．老子融合了道家和儒家思想2．钱穆说：“从汉代起，我们可以说中国历史上的政府，既非贵族政府也非军人政府，又非商人政府，而是一个‘崇尚文治的政府’，即士人政府。

”“士人政府”给儒学带来的影响是A．儒学功利化B．儒学思辨化C．儒学理论化D．儒学宗教化3．武则天是我国历史上唯一的女皇帝。

她14岁入宫为唐太宗的才人（较低等的妃嫔），后被唐高宗立为皇后，唐高宗死后她先后废掉了唐中宗和唐睿宗，最终称帝建周。

在北宋的理学家看来，唐代出现这种现象的主要缘由在于A．唐代社会风气开放，妇女地位高B．武则天具有较高政治才智和野心C．唐代时儒家的正统地位严峻减弱D．唐朝皇帝昏庸无能导致大权旁落4．顾炎武在《日知录》中说：“人君之于天下，不能以独治也。

独治之则刑繁矣，众治之而刑措也。

”这实质上是主见A．君民共治B．限制君权C．民主共和D．民为邦本5．中华文明源远流长，薪火相传，生生不息。

文明不仅传承从未中断，而且内涵丰富。

下表所列信息，按时序排列正确的是①《古今图书集成》；浙东学派黄宗羲；《万树园赐宴图》②《抱朴子》；书圣王羲之；傅咸《纸赋》③《玄秘塔碑》；定州富人何明远；王建《汴路即事》④《梦粱录》；武器独创家唐福；《石炭并引》A．①②③④B．②④③①C．②③④①D．③②①④6．文学是社会现实的反映。

陶渊明的《桃花源记》反映了人们渴望世外桃源的志向和追求，而《西游记》则塑造了敢于抗拒斗争的孙悟空形象。

两者都A．描写了古代官场的腐朽与黑暗B．反映了市民阶层的价值取向C．反映了人们对公允正义的追求D．表明等级观念受到极大冲击7．阅读材料，完成下列要求。

材料一中国文化具有博大的胸怀和超越时空的影响力，在全世界广泛传播。

他的力气无比宏大。

中国文化影响力之大与孔子思想中的进步因素在文化事业方面所做的贡献是分不开的。

高中数学每日一练

——不等式性质应用1.已知0<<b a ,则（） A.a1<b1 B.10<<b a C.ab >2b D.a b >ba 2.已知cb a ,,R ∈，则（）A. b a >⇒2ac >2bcB.b a cb ca>⇒>C.b a ab b a 11033<⇒⎭⎬⎫>>D.b a ab b a 11022<⇒⎭⎬⎫>> 3.若b a >,且0<+b a ，则（）A.b a >B.ba11> C. b a < D.ba11< 4.已知0<c ，则（）A.0c >c )21( B.2c >c )21( C.2c <c )21( D.c )21(>(31)c 5.已知b a ,R ∈,则（）A.“b a >”是“22b a >”的必要条件B.“b a >”是“b a -<-11”的充要条件C.“b a >”是b a >的充分条件D.“b a >”是22b a >的必要条件 6.若0<<y x ，则（）A.02<<xy xB. 22y xy x >>C. 022<<y xD. xy y x >>22 7.已知0=++z y x ，且z y x >>，则（）A.yz xy >B. yz xz >C. xz xy >D. y z y x > 8.已知0,0>>>>d c b a 则（）A.0>-cd abB.0>-ad bcC.0>-ab cdD.0>-bd ac—— 一元二次不等式解法1.不等式222x x +<的解集是（）A.),1(+∞B.)0,(-∞C. ),(+∞-∞D. ),0(+∞ 2.不等式3－5x －2x 2<0的解集为（）A.RB.空集C.}213|{<<-x xD.}213|{>-<x x x 或 3.不等式0412<++bx x 的解集为φ，则（） A.1<b B.11<->b b 或 C.11≤≤-b D.11>-<b b 或4.不等式11622++--x x x x <0的解集为（）A.（+∞-,31）B.（21,∞-）C.（21,31-）D.（31,-∞-） 5.若函数()x f =12++mx mx 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是。

新课标高三数学精华试题每天一练(24).pdf

2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（2）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
I）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
（II）第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
【解析】：（I）的所有可能取值为0，1，2．
设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
，
，
．
所以的分布列为
012的数学期望为．
（II）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．
而事件、、互斥，
所以，．
由条件概率公式，得
，
，
．
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
．。

高考数学每日一练(3)-人教版高三全册数学试题

高三数学每日一练（29）——奇偶性（2）1．下列函数中既是奇函数又存在极值的是( )A ．3x y = B ．)ln(x y -= C ．xxe y = D ．xx y 2+= 2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．(2014·某某理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 5．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a <≠且（1）求m 的值（2）判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性并加以证明（3）当1,a >(x ∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 的值高三数学每日一练（30）——奇偶性（3）1．(2014·某某某某灵宝实验高中月考)f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．－22．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- 4．已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.5．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1）某某数c 的值；（2）若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3）对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，某某数m 的取值X 围.高三数学每日一练（31）——奇偶性（4）1．下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A ．1y x=-B ．22y x =+C ．33y x =- D ．1log ey x =2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．（2015某某市3月质检）已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（）4．(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.（1）证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；（2）证明：函数y ＝f (x )是奇函数；（3）试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n N ∈＋)上的值域．高三数学每日一练（32）——奇偶性（5）1．(2014·某某某某专题练习)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 2．(2014·某某和平区期末)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递减，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (－1)，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <b <a3．(2014·某某统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞) D．(10，＋∞)4．(2014·某某某某一中调研)若f (x )＝3x ＋sin x ，则满足不等式f (2m －1)＋f (3－m )>0的m 的取值X 围为________．5．已知定义在(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数，且12()25f =．（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．高三数学每日一练（33）——奇偶性（6）1．如果函数xx f )21()(=（-+∞<<∞x ），那么函数)(x f 是 ( )A. 奇函数，且在)0,(-∞上是增函数B. 偶函数，且在)0,(-∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是增函数D. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数 2．偶函数)(x f 在区间],0[a （0>a ）上是单调函数，且0)()0(<⋅a f f ，则方程0)(=x f 在区间],[a a -内根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．定义两种运算：m n ⊕=，a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．已知R 上的不间断函数()g x 满足：（1）当0x >时，'()0g x >恒成立；（2）对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。

(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库单选题1、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f(x)在(−∞,−12)上单调递减，D正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f(−x)与f(x)的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.2、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A3、已知对数式log(a+1)24−a（a∈Z）有意义，则a的取值范围为（）A．(−1,4)B．(−1,0)∪(0,4)C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.4、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（） A ．a >0B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（） A ．−1B ．−5C ．11D ．13 答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值. 令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x) =log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.6、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．7、若y=log3a2−1x在(0,+∞)内为增函数，且y=a−x也为增函数，则a的取值范围是（）A．(√33,1)B．(0,12)C．(√33,√63)D．(√63,1)答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果.若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 8、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（） A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.9、已知y 1=(13)x ，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x=(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A10、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13. 故选：C ．多选题11、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值．对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值．故选：AB ．12、下列命题正确的是（）A ．若a >0，且a ≠1，则∀x >0，y >0，log a (x +y )=log a x +log a yB ．若a >0，且a ≠1，则∃x >0，y >0，log a x ⋅log a y =log a (xy )C ．∀a >0，b >0，ln (ab )=lna +lnbD ．∀a >1，b >0，a log a b =b 答案：BCD分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项AC ，由对数的运算性质知∀x >0，y >0有log a (xy )=log a x +log a y ，而log a (x +y )≠log a x +log a y ，选项A 错误，C 正确；对于选项B ，当x =y =1时，log a x ⋅log a y =log a (xy )成立，选项B 正确；对于选项D ，由对数的概念可知选项D 正确．故选:BCD ．13、已知函数f(x)=log 2(2x +8x )−2x ，以下判断正确的是（） A ．f （x ）是增函数B ．f （x ）有最小值 C ．f （x ）是奇函数D ．f （x ）是偶函数答案：BD分析：由题设可得f(x)=log 2(12x +2x )，根据复合函数的单调性判断f(x)的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.由f(x)=log 2(2x +23x )−log 222x =log 2(12x+2x )，令μ=2x >0为增函数；而t =1μ+μ在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增；所以t 在x ∈(−∞,0)上递减，在x ∈(0,+∞)上递增；又y =log 2t 在定义域上递增，则y 在x ∈(−∞,0)上递减，在x ∈(0,+∞)上递增；所以f(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故最小值为f(0)=1， f(−x)=log 2(12−x +2−x)=log 2(2x +12x)=f(x)，故为偶函数.故选：BD14、定义运算a ⊕b ={a(a ≥b)b(a <b)，设函数f(x)=1⊕2−x ，则下列命题正确的有（）A ．f(x)的值域为 [1,+∞)B ．f(x)的值域为 (0,1]C ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(−∞,0)D ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(0,+∞) 答案：AC分析：求得f (x )的解析式，画出f (x )的图象，由此判断f (x )的值域，并求得不等式f(x +1)<f(2x)的解. 由函数f(x)=1⊕2−x ，有f(x)={1(1≥2−x )2−x(1<2−x )，即f(x)={2−x(x <0)1(x ≥0)，作出函数f(x)的图像如下，根据函数图像有f(x)的值域为[1,+∞)，所以A 选项正确，B 选项错误. 若不等式f(x +1)<f(2x)成立，由函数图像有当2x <x +1≤0即x ≤−1时成立，当{2x <0x +1>0即−1<x <0时也成立. 所以不等式f(x +1)<f(2x)成立时，x <0.所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：AC.小提示：本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.15、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x1,x2，f(x1)+f(x2)=log12x1+log12x2=log12(x1x2)=f(x1⋅x2)，C是；对于D，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x1,x2，f(x1)+f(x2)=log3x1+log3x2=log3(x1x2)=f(x1⋅x2)，D是．故选：CD填空题16、函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．答案：(−∞,0)∪{4}分析：由题意f(x)仅有一个零点，令y1=kx、y2=(x+1)2，即y1、y2在f(x)定义域内只有一个交点，讨论k>0、k<0并结合函数图象，求k的范围.由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)=0，即lg(kx)=lg(x+1)2，∴在f(x)定义域内，y1=kx、y2=(x+1)2只有一个交点，当k>0时，即(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；∴仅当y1、y2相切，即x2+(2−k)x+1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k=4或k=0(舍)，∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.∴k∈(−∞,0)∪{4}.所以答案是：(−∞,0)∪{4}17、计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= ________.答案：−6分析：结合指数幂的运算性质，计算即可.由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1=(24)34−8×[(87)2]−12−8×78=23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.所以答案是：−6.18、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解函数y=log12(3x−1)的定义域为(13,+∞)又y=log12(3x−1)是由y=log12u与u=3x−1复合而成，因为外层函数y=log12u单调递减，所以求函数y=log12(3x−1)的单调递减区间即是求内层函数u=3x−1的增区间，而内层函数u=3x−1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y=log12(3x−1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题19、计算：(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；(2)log535+2log5√2−log515−log514；(3)12lg3249−43lg√8+lg√245.答案：(1)0(2)2(3)12分析：直接利用对数的运算性质进行运算即可.(1)原式=lg(2×7)−2(lg7−lg3)+lg7−lg(32×2) =lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−2lg3−lg2=0.(2)原式=log535+log52−log515−log514=log535×215×14=log535014=log525=2.(3)原式=12(5lg2−2lg7)−43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2−lg7−2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.20、当0<x<1时，若关于x的二次方程x2+2mx+1=−2m有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.答案：{m|−12<m<1−√2}.分析：根据二次函数在区间上的零点问题，数形结合列式求解即可.令y=x2+2mx+2m+1(0<x<1)，则由题意知其图象与x轴有2个交点，故当x=0,1时y>0，判别式大于0且对称轴在0到1之间，则{2m+1>0 4m+2>04m2−4(2m+1)>0 0<−m<1，即{m>−12(m−1)2>20<−m<1，得−12<m<1−√2.故实数m的取值范围是{m|−12<m<1−√2}.。

人教版高中数学必修一一次函数与二次函数知识点总结归纳完整版

(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数知识点总结归纳完整版单选题1、若函数f(x)={a x,x≥1(4−a2)x+2,x<1且满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是（）A．[4,8)B．(4,8)C．(1,8]D．(1,8)答案：A解析：根据解析式及满足的不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>0，可知函数f(x)是R上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围.函数f(x)={a x,x≥1(4−a2)x+2,x<1满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，所以函数f(x)={a x,x≥1(4−a2)x+2,x<1是R上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足{a>1 4−a2>0a≥4−a2+2，解得4≤a<8，所以数a的取值范围为[4,8)，故选：A小提示：本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.2、下列函数在其定义域内为减函数的是（）A ．f (x )=x 3B ．f (x )=12x +1C ．f (x )=log 3xD ．f (x )=(13)x答案：D解析：根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.由幂函数的性质，可知A 中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B 中函数为增函数，由对数函数性质可知C 中函数为增函数，由指数函数性质，可知D 中函数为单调减函数，故选：D.3、已知F 是椭圆C:x 2m +y 215=1的右焦点，点A (2,3√52)在C 上，直线AF 与y 轴交于点B ，点P 为上的动点，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为（） A ．514B ．154C ．−134D ．−154答案：C解析：由题可得椭圆C:x 216+y 215=1，进而可得B (0,−3√52)，利用向量数量积的坐标表示可得PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02−2x 0+y 02−454，再结合条件及二次函数的性质即求.由题可得22m +(3√52)215=1，∴m =16，即椭圆C:x 216+y 215=1，∴F (1,0)，直线AF 方程为y =3√52(x −1)，∴B (0,−3√52)，又A (2,3√52)，设P (x 0,y 0)，则x 0216+y 0215=1，PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−x 0,3√52−y 0),PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−x 0,−3√52−y 0)， ∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−x 0)(−x 0)+(3√52−y 0)(−3√52−y 0) =x 02−2x 0+y 02−454=x 02−2x 0+15−1516x 02−454 =116(x 0−16)2−494，又−4≤x 0≤4，∴当x 0=4时，PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 有最小值为−134. 故选：C.填空题4、已知|a |=|b ⃑ |=a ⋅b ⃑ =2，c =(2−4λ)a +λb ⃑ ，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为__________. 答案：−4952 解析：求出c −a ，c −b⃑ ，再利用向量的数量积展开，根据二次函数配方即可求解. ∵c −a =(1−4λ)a +λb ⃑ ，c −b ⃑ =(2−4λ)a +(λ−1)b⃑ ， ∴(c −a )⋅(c −b ⃑ )=[(1−4λ)a +λb ⃑ ]⋅[(2−4λ)a +(λ−1)b⃑ ] =(16λ2−12λ+2)a 2+(−8λ2+7λ−1)a ⋅b⃑ +(λ2−λ)b ⃑ 2，代入|a |=|b ⃑ |=a ⋅b⃑ =2，原式=52λ2−38λ+6， ∴当λ=1952时，原式最小值为−4952. 所以答案是：−49525、已知F 1,F 2是椭圆x 26+y 23=1的两个焦点，A,B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为__________. 答案：−1解析：由题可设P (x,y )，则y =√22x +√3,−√6≤x ≤0，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.由题可得F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，A(−√6,0),B(0,√3)，设P (x,y )，因为点P 在线段AB 上，所以，y =√22x +√3,−√6≤x ≤0 ∴PF 1 ⋅PF 2 =(x +√3,y)⋅(x −√3,y) =x 2+y 2−3=32x 2+√6x =32(x +√63)2−1， ∴当x =−√63时，PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为−1. 所以答案是：−1.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点总结(超全)

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点总结(超全)单选题1、已知集合A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C分析：采用列举法列举出A ∩B 中元素的即可.由题意，A ∩B 中的元素满足{y ≥xx +y =8，且x,y ∈N ∗，由x +y =8≥2x ，得x ≤4，所以满足x +y =8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、已知集合A ={(x,y )∣2x −y +1=0},B ={(x,y )∣x +ay =0}，若A ∩B =∅，则实数a =（）A ．−12B ．2C ．−2D ．12答案：A分析：根据集合的定义知{2x −y +1=0x +ay =0 无实数解．由此可得a 的值．因为A ∩B =∅，所以方程组{2x −y +1=0x +ay =0 无实数解．所以12=a −1≠0，a =−12．故选：A．3、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p、q之间的较大者.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a=d=1，b=c=−1，则max{a,b}+max{c,d}=max{1,−1}+max{−1,1}=1+1>0成立，但max{a+c,b+d}=max{0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max{a+c,b+d}=a+c，则max{a,b}≥a，max{c,d}≥c，从而可得max{a,b}+max{c,d}≥a+c>0，必要性成立.因此，“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.4、已知集合A={x∈N|x≤1},B={−1,0,1,2}，则A∩B的子集的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．由题意A∩B={0,1}，因此它的子集个数为4．故选：D．5、下列元素与集合的关系中，正确的是（）∉RA．−1∈N B．0∉N∗C．√3∈Q D．25答案：B分析：由N,N∗,Q,R分别表示的数集，对选项逐一判断即可.−1不属于自然数，故A错误；0不属于正整数，故B正确；√3是无理数，不属于有理数集，故C错误；2属于实数，故D错误.5故选:B.6、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D7、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C9、设x∈R，则“1<x<2”是“−2<x<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：A分析：根据集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集可得答案.因为集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集，所以“1<x<2”是“−2<x<2”的充分不必要条件.故选：A小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．10、命题“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是（）A ．∃x ≥0,x 2+ax −1<0B ．∃x ≥0,x 2+ax −1≥0C ．∃x <0,x 2+ax −1<0D ．∃x <0,x 2+ax −1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是“∃x <0,x 2+ax −1<0”. 故选：C多选题11、已知A 、B 为实数集R 的非空集合，则A ⫋B 的必要不充分条件可以是（）A ．A ∩B ＝A B ．A ∩∁R B ＝∅C ．∁R B ⫋∁R AD ．B ∪∁R A ＝R答案：ABD分析：根据集合之间的关系和必要不充分条件的定义即可判断．解：因为A ⫋B ⇔∁R B ⫋∁R A ，所以∁R B ⫋∁R A 是A ⫋B 的充分必要条件，因为A ⫋B ⇒A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∩∁R B ＝∅⇔B ∪∁R A ＝R ，故选：ABD ．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（）A ．函数F (x )是偶函数B．方程F(x)=0有三个解C．函数F(x)在区间[−1,1]上单调递增D．函数F(x)有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f(x)=2−x2与g(x)=x2，，画出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)=min{f(x),g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选：ABD13、若“∃x0∈(0,2)，使得2x02−λx0+1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是（）A．1B．2√2C．3D．3√2答案：AB解析：由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2−λx+1≥0成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得λ的取值范围，由此可得结果.由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2−λx+1≥0成立”，所以，λx ≤2x 2+1，可得λ≤2x +1x ，当x ∈(0,2)时，由基本不等式可得2x +1x ≥2√2x ⋅1x =2√2，当且仅当x =√22时，等号成立，所以，λ≤2√2.故选：AB.小提示：名师点评利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）∀x ∈D ，m ≤f (x )⇔m ≤f (x )min ；（2）∀x ∈D ，m ≥f (x )⇔m ≥f (x )max ；（3）∃x ∈D ，m ≤f (x )⇔m ≤f (x )max ；（4）∃x ∈D ，m ≥f (x )⇔m ≥f (x )min .14、解关于x 的不等式：ax 2+(2−4a)x −8>0，则下列说法中正确的是（）A ．当a =0时，不等式的解集为{x|x >4}B ．当a >0时，不等式的解集为{x|x >4或x <−2a }C ．当a <0时，不等式的解集为{x|−2a <x <4}D ．当a =−12时，不等式的解集为∅ 答案：ABD分析：讨论参数a ，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A ：a =0，则2x −8>0，可得解集为{x|x >4}，正确；B ：a >0，则(ax +2)(x −4)>0，可得解集为{x|x >4或x <−2a }，正确；C ：a <0，当−2a <4时解集为{x|−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x|4<x <−2a}，错误； D ：由C 知：a =−12，即−2a =4，此时无解，正确.故选：ABD15、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.16、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．B∩A=B D．A=B=C答案：BC解析：根据集合A,B,C中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其它角，比如−330∘，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于90∘的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC小提示：本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.17、已知下列说法：①命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”；②命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④命题：对任意x∈R，总有x2>0.其中说法错误的是（）A．①B．②C．③D．④答案：ACD分析：①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.对于①，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；对于②，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，正确；对于③，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于④，当x=0时x2=0，故错误.故选：ACD.18、下列各题中，p是q的充要条件的有（）A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例C．p：xy>0；q：x>0，y>0D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）答案：BD分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不是；对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B是；对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不是；对于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，反之，当a+b+c=0时，把c=-a-b代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx-a-b=0，即(ax+a+b)(x-1)=0，显然x=1是方程的一个根，即p是q的充要条件，D是.故选：BD19、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．20、已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=BC．A∪B=U D．(∁U B)∪A=A答案：CD分析：采用特值法，可设U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，根据集合之间的基本关系，对选项A,B,C,D逐项进行检验，即可得到结果.令U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，满足(∁U A)∪B=B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B=B，知∁U A⊆B，∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B=U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A=A，故C，D均正确.故选：CD.填空题21、若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.答案：m≥3≥3求解.分析：先化简命题p，q，再根据p是q的充分不必要条件，由m+32p：x(x－3)＜0，则0＜x＜3；q：2x－3＜m，则x<m+3，2因为p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，≥3，所以m+32解得m≥3.所以答案是：m≥3(a+b+c)，则该三角形的面积S=22、若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=12√p(p−a)(p−b)(p−c)，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，AB=2，则该三角形面积的最大值为___________.答案：2√2分析：计算得到p=4，c=2，a+b=6，根据均值不等式得到ab≤9，代入计算得到答案.(a+b+c)=4，c=2，a+b=6，a+b=6≥2√ab，ab≤9，p=12当a=b=3时等号成立.S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√8(4−a)(4−b)=√128−32(a+b)+8ab≤2√2.所以答案是：2√2.23、已知命题p:“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，则实数m的最大值是____.答案：分析：根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.当x≥3时，2x≥6⇒2x−1≥5，因为“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，所以m≤5.所以答案是：5。

(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识手册

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识手册高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识手册单选题1、若2x−2y<3−x−3−y，则（）A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0答案：A分析：将不等式变为2x−3−x<2y−3−y，根据f(t)=2t−3−t的单调性知x<y，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.2、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k =0.1（单位：h −1），刚注射这种新药后的初始血药含量c 0=2000mg/L ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h答案：C分析：利用已知条件c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t ，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为t 1，转化求解即可.解：由题意得：c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为t 1c (t 1)=2000e −0.1t 1≥1000e −0.1t 1≥12故−0.1t ≥−ln2，t ≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ故选：C3、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x 的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.4、设m ，n 都是正整数，且n >1，若a >0，则不正确的是（）A ．a m n =√a m nB ．(a 12+a −12)2=a +a −1C ．a −m n =√a m nD ．a 0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断.由m ，n 都是正整数，且n >1，a >0，、得(a 12+a −12)2=(a 12)2+2a 12⋅a−12+(a −12)2=a +a −1+2，故B 选项错误，故选：B. 5、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34)答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图，则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34．故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．6、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（） A ．[1,5]B ．[32,5)C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解得32≤a <5，故选：B7、log 318−log 32=（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：利用对数的运算性质计算即可得答案.log 318−log 32=log 3182=log 39=2.故选：B. 8、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.9、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1．故选：D10、化简√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可. √a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√a3=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选：B多选题11、已知函数f(x)=|2x−1|，实数a，b满足f(a)=f(b)(a<b)，则（）A．2a+2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a+b<1C．2a+2b=2D．a+b<0答案：CD分析：根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.画出函数f(x)=|2x−1|的图象，如图所示．由图知1−2a=2b−1，则2a+2b=2，故A错，C对．由基本不等式可得2=2a+2b>2√2a⋅2b=2√2a+b，所以2a+b<1，则a+b<0，故B错，D对．故选：CD ．12、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，则下列说法正确的是（）A ．当m =3时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是m >1C ．方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.13、（多选）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=|x−1| C．y=|x|−1 D．y=2x答案：AC分析：由偶函数的定义及单调性依次判断选项即可.易得四个函数定义域均为R，对于A，令f(x)=x2，则f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，且在(0,+∞)上单调递增，A正确；对于B，令g(x)=|x−1|，g(−x)=|−x−1|=|x+1|≠g(x)，B错误；对于C，令ℎ(x)=|x|−1，ℎ(−x)=|−x|−1=|x|−1=ℎ(x)，且在(0,+∞)上单调递增，C正确；对于D，令m(x)=2x，m(−x)=2−x≠m(x)， D错误.故选：AC.14、下列四个等式正确的是（）A．lg(lg10)=0B．lg(ln e)=0C．若lgx=10，则x=10D．若ln x=e，则x=e2答案：AB分析：根据对数式与指数式的互化，对数的运算对各选项作出判断.对于A，因为lg10=1，所以lg(lg10)=0，故A正确；对于B，因为ln e=1，所以lg(lne)=0，故B正确；对于C，若lg x=10，则x=1010，故C错误；对于D，若ln x=e，则x=e e，故D错误.故选：AB.小提示：本题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的运算，属于基础题.15、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD．填空题16、里氏震级M的计算公式为：M=lgA−lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级.答案：6分析：将A=1000，A0=0.001代入等式M=lgA−lgA0计算即可得解.将A=1000，A0=0.001代入等式M=lgA−lgA0得M=lg1000−lg0.001=lg106=6.所以答案是：6.17、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____．答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解.∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p .所以答案是：1p ．18、心理学家有时用函数L (t )=A (1−e −kt )测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min 内能够记忆20个单词，将A =200，L (5)=20带入即可得出结论.由题意可知200(1−e −5k )=20，所以，e −5k =0.9，所以ln e −5k =ln0.9≈−0.105，解得k ≈0.021．所以答案是：0.021.解答题19、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N ∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a −3x 500)万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？答案：（1）500名；（2）(0,5].解析：（1）求出剩下1000−x名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a的范围．解：（1）由题意，得10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，则10(a−3x500)x⩽10(1000−x)(1+1500x)，所以ax−3x 2500⩽1000+2x−x−1500x2.所以ax⩽2x 2500+1000+x，即a⩽2x500+1000x+1在x∈(0,500]时恒成立.因为2x500+1000x⩾2√2=4，当且仅当2x500=1000x，即x=500时等号成立，所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5.所以a的取值范围为(0,5].小提示：本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．20、已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )的单调性．答案：(1)f (x )=1−2x2x+1+2(2)f (x )在R 上单调递减，证明见解析分析：（1）根据函数为奇函数可得f (−1)=f (1)、f (0)=0，代入函数解析式可分别求得a 、b 的取值，继而确定函数解析式；（2）化简求出f (x 1)−f (x 2)的表达式，根据x 1、x 2的大小关系，判断f (x 1)−f (x 2)的正负，进而根据定义法确定函数的单调性.（1）因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，即−1+b 2+a =0，解得b =1，则f(x)=1−2x 2x+1+a ．又f (−1)=−f (1)，则1−12a+1=−1−222+a ，解得a =2，经检验当a =2，b =1时，f (x )=1−2x 2x+1+2是奇函数，所以f (x )=1−2x 2x+1+2．（2）证明：由（1）知f (x )=1−2x2+2x+1=−12+12x +1，对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)−f (x 2)=12x 1+1−12x 2+1=2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，所以f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在R 上单调递减．。

(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语知识汇总笔记

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语知识汇总笔记单选题1、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．3答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C2、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．3、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.故选：B.4、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.7、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断. 易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.8、命题∃x∈R,x2+1≤0的否定是（）A．∀x∈R，x2+1>0B．∃x∈R，x2+1>0C．∀x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1≥0答案：A分析：根据特称命题的否定形式直接求解.特称命题的否定是全称命题，即命题“∃x∈R,x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”.故选：A9、下列命题中正确的是（）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.10、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C ．多选题11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14.所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、已知A 、B 为实数集R 的非空集合，则A ⫋B 的必要不充分条件可以是（）A ．A ∩B ＝A B ．A ∩∁R B ＝∅C ．∁R B ⫋∁R AD ．B ∪∁R A ＝R答案：ABD分析：根据集合之间的关系和必要不充分条件的定义即可判断．解：因为A⫋B⇔∁R B⫋∁R A，所以∁R B⫋∁R A是A⫋B的充分必要条件，因为A⫋B⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩∁R B＝∅⇔B∪∁R A＝R，故选：ABD．13、设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q 中元素的个数不可能是（）A．9B．8C．7D．6答案：BCD分析：根据定义，直接写出P⊗Q中元素的个数．解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素为(0,−1),(0,1),(0,2),(1,−1),(1,1),(1,2),(2,−1),(2,1),(2,2).所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．故选：BCD．14、已知集合A={x∣ax2+2x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（）A．-2B．-1C．0D．1答案：BCD分析：根据条件可知集合A中仅有一个元素，由此分析方程ax2+2x+a=0为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出a的值.因为集合A仅有2个子集，所以集合A中仅有一个元素，当a=0时，2x=0，所以x=0，所以A={0}，满足要求；当a≠0时，因为集合A中仅有一个元素，所以Δ=4−4a2=0，所以a=±1，此时A={1}或A={−1}，满足要求，故选：BCD.15、设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，则（）A．A∩B={0,1}B．∁U B={4}C．A∪B={0,1,3,4}D．集合A的真子集个数为8答案：AC分析：根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.因为全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，所以A∩B={0,1}，∁U B={2,4}，A∪B={0,1,3,4}，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合A={0,1,4}的元素共有3个，所以它的真子集个数为：23−1=7，因此选项D不正确，故选：AC16、定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合B={1,2,3}的孙子集的是（）A．∅B．{1}C．{1,2}D．{1,2,3}答案：BC分析：根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.A：∅为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；B：{1}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；C：{1,2}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；D：{1,2,3}为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC17、已知下列说法：①命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”；②命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④命题：对任意x∈R，总有x2>0.其中说法错误的是（）A．①B．②C．③D．④答案：ACD分析：①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.对于①，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；对于②，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，正确；对于③，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于④，当x=0时x2=0，故错误.故选：ACD.18、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.下列命题中正确的是（）A．s是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．¬p是¬s的必要条件而不是充分条件答案：ABD分析：根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.将四个条件写成：p⇒r，且r不能推出p；q⇒r；r⇒s；s⇒q，所以q⇒r⇒s，所以s⇔q，故A正确；p⇒r⇒s⇒q,q⇒r不能推出p，故B正确；r⇒s⇒q，又q⇒r，故r是q的充要条件，故C错误；由p⇒r⇒s，可得¬s⇒¬p，由s⇒q⇒r不能推出p，可得¬p不能推出¬s，故D正确.故选：ABD19、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．20、已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=BC．A∪B=U D．(∁U B)∪A=A答案：CD分析：采用特值法，可设U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，根据集合之间的基本关系，对选项A,B,C,D逐项进行检验，即可得到结果.令U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，满足(∁U A)∪B=B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B=B，知∁U A⊆B，∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B=U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A=A，故C，D均正确.故选：CD.填空题21、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去.所以答案是：−4．22、设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4}，A∩B={3}.则实数a=_______.答案：1分析：由A∩B={3}可得3∈A,3∈B，从而得到a+2=3，即可得到答案.因为A∩B={3}，所以3∈A,3∈B，显然a2+4≠3，所以a+2=3，解得：a=1.所以答案是：1.小提示：本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.23、若命题“∃x0∈[−1,2]，x0−a>0”为假命题，则实数a的最小值为_______.答案：2分析：根据命题为假得到∀x∈[−1,2]，x−a≤0恒成立，简单计算，可得答案.命题“∃x0∈R，x02−2x0−a=0”为假命题，故∀x∈[−1,2]，x−a≤0恒成立.所以∀x∈[−1,2]，a≥x恒成立，故a≥2所以实数a的最小值为2所以答案是：2.小提示：本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.。

人教版高中数学必修一集合重点易错题

(每日一练)人教版高中数学必修一集合重点易错题单选题1、设集合A={x|3x−1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5答案：C解析：直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可．因为集合A={x|3x−1<m}，而1∈A且2∉A，∴3×1−1<m且3×2−1≥m，解得2<m≤5．故选：C．小提示：本题主要考查元素与集合的关系，对描述法表示集合的理解，属于基础题．2、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C解析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.3、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.填空题4、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4；给出下列四个结论:①2015∈[0]；②−3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a−b∈[0]”.其中，正确结论的个数．．是_______.答案：3解析：根据2015被5除的余数为0，可判断①；将−3=−5+2，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令a=5n1+m1，b=5n2+m2，根据“类”的定理可证明④的真假.①由2015÷5=403，所以2015∈[0]，故①正确；②由−3=5×(−1)+2，所以−3∉[3]，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，故③正确；④假设a=5n1+m1，b=5n2+m2，a−b=5(n1−n2)+m1−m2，a，b要是同类.则m1=m2，即m1−m2=0，所以a−b∈[0]，反之若a−b∈[0]，即m1−m2=0，所以m1=m2，则a，b是同类，④正确；所以答案是：3小提示：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.5、已知集合A={x|x2+ax+3=0}，且满足1∈A，则集合A的子集个数为______．答案：4解析：根据给定条件求出a值，进而求出集合A即可得解.集合A={x|x2+ax+3=0}，而1∈A，则1+a+3=0，解得a=−4，因此，A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，则A的子集有22=4(个)，所以集合A的子集个数为4.所以答案是：4。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.}，此时满足条件；解：①当a=0时，A={−12②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．2、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.3、已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<−6，推不出a>6，故必要性不成立；所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选：A.4、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A5、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，6、若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}答案：D分析：由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，所以m2=2或m2=4，解得m=±√2或m=±2，所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.7、命题∃x∈R,x2+1≤0的否定是（）A．∀x∈R，x2+1>0B．∃x∈R，x2+1>0C．∀x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1≥0答案：A分析：根据特称命题的否定形式直接求解.特称命题的否定是全称命题，即命题“∃x∈R,x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”.故选：A8、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．9、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.10、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.多选题11、已知集合A={x|x2−x−6=0},B={x|mx−1=0},A∩B=B，则实数m取值为（）A ．13B ．−12C ．−13D ．0 答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ，因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题12、下列四个命题中正确的是（）A ．∅={0}B ．由实数x ，－x ，|x |，√x 2，−√x 33所组成的集合最多含2个元素C ．集合{x |x 2−2x +1=0}中只有一个元素D ．集合{x ∈N |5x ∈N }是有限集答案：BCD分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.对于A ，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；3=−x，且在x，－x，|x|中，当x>0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，当对于B，由于√x2=|x|，−√x3x=0时，|x|=x=−x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；对于C，{x|x2−2x+1=0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；∈N}={1,5}是有限集，故D正确．对于D，集合{x∈N|5x故选：BCD．13、下列四个选项中正确的是（）A．{∅}⊆{a,b}B．{(a,b)}={a,b}C．{a,b}⊆{b,a}D．∅⊆{0}答案：CD分析：注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.对于A选项，集合{∅}的元素是∅，集合{a,b}的元素是a,b，故没有包含关系，A选项错误；对于B选项，集合{(a,b)}的元素是点，集合{a,b}的元素是a,b，故两个集合不相等，B选项错误；对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.故选：CD.14、整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，其中k∈{0,1,2,3,4}．以下判断正确的是（）A．2021∈[1]B．−2∈[2]C．Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D．若a−b∈[0]，则整数a，b属同一类答案：ACD分析：根据题意可知，一个类即这些整数的余数相同，进而求出余数即可.对A，2021=404×5+1，即余数为1，正确；对B，−2=−1×5+3，即余数为3，错误；对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；对D，由题意a−b能被5整除，则a,b分别被5整除的余数相同，正确.故选：ACD.15、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．∃x∈R，x2−x+14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC16、设集合A={x|x=m+√3n,m,n∈N∗}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是（）A．加法B．减法C．乘法D．除法答案：AC分析：先由题意设出x1=m1+√3n1，x2=m2+√3n2，然后分别计算x1+x2，x1−x2，x1x2，x1x2，即可得解. 由题意可设x1=m1+√3n1，x2=m2+√3n2，其中m1，m2，n1，n2∈N∗，则x1+x2=(m1+m2)+√3(n1+n2)，x1+x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1−x2=(m1−m2)+√3(n1−n2)，当n1=n2时，x1−x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2=m1m2=3n1n2+√3(m1n1+m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；x1x2=1√3n1m+√3n，当m1m2=n1 n2=λ(λ>0)时，x1x2∉A，所以出发不满足条件，D错误.故选：AC.17、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.18、设A={a1,a2,a3},B={x|x⊆A}，则（）A．A=B B．A∈B C．∅∈B D．A⊆B答案：BC分析：根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.依题意集合B的元素为集合A的子集，所以B={∅,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}}所以A∈B，∅∈B，所以AD错误，BC正确.故选：BC19、（多选）下列命题中为真命题的是（）．A．“x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C．“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2−4ac≥0”D．若集合A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件答案：AC分析：从“x>4”与“x<5”互相不能推出，得到A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；由一元二次方程根的判别式可知，C正确；D选项可举出反例.故选：AC20、下列选项正确的是（）A．√7∈R B．Z∈Q C．0∈∅D．∅⊆{0}答案：AD分析：根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及空集的概念进行判断即可.A．√7是无理数，无理数属于实数，所以√7∈R，故正确；B．因为Z,Q都是集合，所以不能用∈表示两者关系，故错误；C．因为∅不包含任何元素，所以0∉∅，故错误；D．因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故正确；故选：AD.填空题21、若∅是{x|x2≤a，a∈R}的真子集，则实数a的取值范围是_________．答案：[0,+∞)分析：根据题意以及真子集定义分析得出x2≤a有实数解即可得出答案.若∅是{x|x2≤a，a∈R}的真子集，则{x|x2≤a，a∈R}不是空集，即x2≤a有实数解，故a≥0，即实数a的取值范围是[0,+∞).故答案为:[0,+∞)22、定义集合A和B的运算为A∗B={x|x∈A,x∉B}，试写出含有集合运算符号“*”“∪”“∩”，并对任意集合A和B都成立的一个式子：_____________________.答案：A∗(A∩B)=(A∪B)∗B（答案不唯一）.分析：根据运算A∗B={x|x∈A,x∉B}的定义可得出结论.如下图所示，由题中的定义可得A∗(A∩B)={x|x∈A,x∉(A∩B)}={x|x∈(A∪B),x∉B}=(A∪B)∗B.所以答案是：A∗(A∩B)=(A∪B)∗B（答案不唯一）.小提示：本题考查集合运算的新定义，利用韦恩图法表示较为直观，考查数形结合思想的应用，属于中等题.23、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是______.答案：[1,+∞)分析：由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤y≤m}，∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是：[1,+∞).11。

(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语高频考点知识梳理

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语高频考点知识梳理单选题1、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C2、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.3、在下列命题中，是真命题的是（）A．∃x∈R,x2+x+3=0B．∀x∈R,x2+x+2>0C．∀x∈R,x2>|x|D．已知A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，则对于任意的n,m∈N*，都有A∩B=∅答案：B分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；选项C，∀x∈R,x2>|x|，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；选项D，A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，当n,m∈N*时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.4、已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可答案：B分析：由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．∵2∈A，∴m＝2 或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．5、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．6、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p、q之间的较大者.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a=d=1，b=c=−1，则max{a,b}+max{c,d}=max{1,−1}+max{−1,1}=1+1>0成立，但max{a+c,b+d}=max{0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max{a+c,b+d}=a+c，则max{a,b}≥a，max{c,d}≥c，从而可得max{a,b}+max{c,d}≥a+c>0，必要性成立.因此，“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.7、设集合A、B均为U的子集，如图，A∩(∁U B)表示区域（）A．ⅠB．IIC．IIID．IV答案：B分析：根据交集与补集的定义可得结果.由题意可知，A∩(∁U B)表示区域II.8、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D9、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.10、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．多选题11、设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q 中元素的个数不可能是（）A．9B．8C．7D．6答案：BCD分析：根据定义，直接写出P⊗Q中元素的个数．解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素为(0,−1),(0,1),(0,2),(1,−1),(1,1),(1,2),(2,−1),(2,1),(2,2).所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．故选：BCD．12、解关于x的不等式：ax2+(2−4a)x−8>0，则下列说法中正确的是（）A．当a=0时，不等式的解集为{x|x>4}}B．当a>0时，不等式的解集为{x|x>4或x<−2a<x<4}C．当a<0时，不等式的解集为{x|−2a时，不等式的解集为∅D．当a=−12答案：ABD分析：讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A：a=0，则2x−8>0，可得解集为{x|x>4}，正确；}，正确；B：a>0，则(ax+2)(x−4)>0，可得解集为{x|x>4或x<−2aC ：a <0，当−2a <4时解集为{x|−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x|4<x <−2a}，错误； D ：由C 知：a =−12，即−2a=4，此时无解，正确. 故选：ABD13、若x 2−x −2<0是−2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：BCD分析：根据充分必要条件得出a 范围，可得选项.由x 2−x −2<0得−1<x <2，因此，若x 2−x −2<0是−2<x <a 的充分不必要条件，则a ≥2．故选：BCD ．小提示：本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题.14、对于集合A ，B ，定义A −B ={x|x ∈A,x ∉B}，A ⊕B =(A −B )∪(B −A )．设M ={1,2,3,4,5,6}，N ={4,5,6,7,8,9,10}，则M ⊕N 中可能含有下列元素（）．A ．5B ．6C ．7D ．8答案：CD分析：根据所给定义求出M −N ，N −M ，即可求出M ⊕N ，从而判断即可；解：因为M ={1,2,3,4,5,6}，N ={4,5,6,7,8,9,10}，所以M −N ={1,2,3},N −M ={7,8,9,10}，∴M ⊕N =(M −N)∪(N −M)={1,2,3,7,8,9,10}．故选：CD15、若“∀x ∈M ，|x |>x ”为真命题，“∃x ∈M ，x >3”为假命题，则集合M 可以是（）A ．(−∞，−5)B ．(−3，−1]C ．(3，+∞)D ．[0，3]答案：AB解析：根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.16、已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=BC．A∪B=U D．(∁U B)∪A=A答案：CD分析：采用特值法，可设U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，根据集合之间的基本关系，对选项A,B,C,D逐项进行检验，即可得到结果.令U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，满足(∁U A)∪B=B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B=B，知∁U A⊆B，∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B=U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A=A，故C，D均正确.故选：CD.17、已知集合P，Q是全集U的两个非空子集，如果P∩Q=Q且P∪Q≠Q，那么下列说法中正确的有（）A．∀∈P，有x∈Q B．∃∈P，使得x∉QC．∀∈Q，有x∈P D．∃∈Q，使得x∉P答案：BC分析：根据P∩Q=Q且P∪Q≠Q确定正确选项.由于P,Q是全集U的非空子集，P∩Q=Q且P∪Q≠Q，所以Q是P的真子集，所以∃∈P，使得x∉Q、∀∈Q，有x∈P，即BC选项正确.故选：BC18、集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为（）A．{x|x是不大于9的非负奇数}B．{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}C．{x|x≤9,x∈N∗}D．{x|0≤x≤9,x∈Z}答案：AB分析：利用描述法的定义逐一判断即可.对A，{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A正确；对B，{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B正确；对C，{x|x≤9,x∈N∗}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C错误；对D，{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D错误.故选：AB.19、（多选）下列是“a<0，b<0”的必要条件的是（）A．(a+1)2+(b+3)2=0B．a+b<0>0C．a−b<0D．ab答案：BD分析：由a<0,b<0判断各个选项是否成立可得．取a=−2，b=−4，得(a+1)2+(b+3)2=2≠0，故A不是“a<0，b<0”的必要条件；由a<0，b<0，得a+b<0，故B是“a<0，b<0”的必要条件；取a=−2，b=−4，得a−b=−2−(−4)=2>0，故C不是“a<0，b<0”的必要条件；>0，故D是“a<0，b<0”的必要条件．由a<0，b<0，得ab故选：BD．20、下列关系正确的是（）A．0∉∅B．∅⊆{0}C．{∅}⊆{0}D．∅{∅}答案：ABD分析：利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.由空集的定义知：0∉∅，A正确.∅⊆{0},B正确.{∅}⊄{0}，C错误.∅{∅},D正确.故选：ABD.填空题21、写出一个使得命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值__________．（写出一个a的值即可）答案：−1分析：根据题意，假设命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当a= 0和a≠0时两种情况，从而得出实数a的取值范围，再根据补集得出命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题时a的取值范围，即可得出满足题意的a的值.解：若命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则当a=0时成立，当a≠0时有{a>0Δ=4a2−12a<0，解得：0<a<3，所以当0≤a<3时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，所以当a∈(−∞,0)∪[3,+∞)时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题，所以答案是：−1.（答案不唯一，只需a∈(−∞,0)∪[3,+∞)）22、命题p:∀x∈R，x2+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x∈R，要使得x2+ax+a≥0，则Δ=a2−4a≤0，解得0≤a≤4.若命题p为真命题，则实数a的取值范围为[0,4].所以答案是：[0,4].23、设全集U=R，集合A={3,−1}，B={m2−2m,−1}，且A=B，则实数m=______．答案：3或-1##-1或3分析：根据集合相等得到m2−2m=3，解出m即可得到答案.由题意，m2−2m=3⇒m=3或m=-1.所以答案是：3或-1.。

(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语全部重要知识点

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语全部重要知识点单选题1、下列元素与集合的关系中，正确的是（）∉RA．−1∈N B．0∉N∗C．√3∈Q D．25答案：B分析：由N,N∗,Q,R分别表示的数集，对选项逐一判断即可.−1不属于自然数，故A错误；0不属于正整数，故B正确；√3是无理数，不属于有理数集，故C错误；2属于实数，故D错误.5故选:B.2、下列命题中正确的是（）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.3、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C4、若不等式|x−1|<a成立的充分条件为0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．{a∣a≥3}B．{a∣a≥1}C．{a∣a≤3}D．{a∣a≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，令不等式的解集为A，可得{x|0<x<4}⊆A，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，设不等式的解集为A，则{x|0<x<4}⊆A，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.5、命题“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是（）A ．∃x ≥0,x 2+ax −1<0B ．∃x ≥0,x 2+ax −1≥0C ．∃x <0,x 2+ax −1<0D ．∃x <0,x 2+ax −1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是“∃x <0,x 2+ax −1<0”.故选：C6、集合M ={2,4,6,8,10},N ={x |−1<x <6 }，则M ∩N =（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，所以M ∩N ={2,4}．故选：A.7、设a ，b 是实数，集合A ={x||x −a |<1,x ∈R }，B ={x||x −b|>3,x ∈R }，且A ⊆B ，则|a −b |的取值范围为（）A ． [0,2]B ．[0,4]C ．[2,+∞)D ．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|>3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D8、已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到结果.由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.9、设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=（）A．−1B．−2C．2D．0答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1， ∴a −b =0.故选：D.10、命题“∀1≤x ≤2,x 2−a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥4B ．a ≥5C ．a ≤4D ．a ≤5答案：B分析：根据命题是真命题，由∀1≤x ≤2，a ≥x 2恒成立求解.因为命题“∀1≤x ≤2，x 2−a ≤0”是真命题，所以∀1≤x ≤2，a ≥x 2恒成立，所以a ≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5，故选：B多选题11、(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是（）A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R}答案：ABD分析：选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．12、设集合A={x|a−1<x<a+1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B=∅的实数a的取值范围可以是（）A．{a|0⩽a⩽6}B．{a|a⩽2或a⩾4}C．{a|a⩽0}D．{a|a⩾6}答案：CD分析：根据A∩B≠∅可得a−1⩾5或a+1⩽1，解不等式可以得到实数a的取值范围，然后结合选项即可得出结果.∵集合A={x|a−1<x<a+1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，满足A∩B=∅，∴a−1⩾5或a+1⩽1，解得a⩾6或a⩽0，∴实数a的取值范围可以是{a|a⩽0或a⩾6}，结合选项可得CD符合.故选：CD.13、已知关于x的方程x2+(m−3)x+m=0，则下列说法正确的是（）A．当m=3时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是m>1C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.14、（多选）方程x 2=2x 的所有实数根组成的集合为（）．A ．(0,2)B ．{(0,2)}C ．{0,2}D ．{x ∈R |x 2=2x }答案：CD分析：先解方程，然后利用列举法或描述法表示其解集即可由x 2=2x ，解得x =2或0，所以方程x 2=2x 的所有实数根组成的集合为{x ∈R |x 2=2x }={0,2}．故选：CD15、已知集合A ={1,4,a },B ={1,2,3}，若A ∪B ={1,2,3,4}，则a 的取值可以是（）A．2B．3C．4D．5答案：AB分析：根据并集的结果可得{1,4,a}{1,2,3,4}，即可得到a的取值；解：因为A∪B={1,2,3,4}，所以{1,4,a}{1,2,3,4}，所以a=2或a=3；故选：AB16、下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使x2+2x+1=0成立B．对任意的x都有x2+2x+1=0成立C．对任意的x都有x2+2x+1=0不成立D．矩形的对角线垂直平分答案：BCD分析：判断各选项中命题的类型，由此可得出结果.A选项中的命题为特称命题，BCD选项中的命题均为全称命题.故选：BCD.17、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．18、1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案：BD分析：根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.对于选项A，因为M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}，M∪N={x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m,n)使M∪N=Q不成立；若m=n，则M∩N=∅不成立，故C错误；对于选项D，设M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选:BD．19、集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为（）A．{x|x是不大于9的非负奇数}B．{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}C．{x|x≤9,x∈N∗}D．{x|0≤x≤9,x∈Z}答案：AB分析：利用描述法的定义逐一判断即可.对A，{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A正确；对B，{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B正确；对C，{x|x≤9,x∈N∗}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C错误；对D，{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D错误. 故选：AB.20、已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0∉M B．2∈M C．−4∈M D．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.当x,y,z均为负数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4；当x,y,z两负一正时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z两正一负时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z均为正数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；∴M={−4,0,4}，A、B错误，C、D正确.故选：CD填空题21、设集合A={1,2,3,4,5,6}，B={4,5,6,7}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S有________个.答案：56分析：A的子集一共有26=64个，其中不含有元素4，5，6，7的有∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}共8个，由此能求出满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数.集合A={1,2,3,4,5,6}，B={4,5,6,7}，满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S是集合A的子集，且至少含有4，5，6，7四个元素中的一个，A的子集一共有26=64个，其中满足条件的有∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8个，因此满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数为64−8=56个所以答案是：56小提示：本题主要考查集合子集的概念，属于基础题.22、已知p:−1<x<3，q:−1<x<m+2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_______.答案：(1,+∞)分析：由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.因为p是q的充分不必要条件，则{x|−1<x<3}{x|−1<x<m+2}，所以，m+2>3，解得m>1.因此，实数m的取值范围是(1,+∞).所以答案是：(1,+∞).23、设全集U=R，集合A={3,−1}，B={m2−2m,−1}，且A=B，则实数m=______．答案：3或-1##-1或3分析：根据集合相等得到m2−2m=3，解出m即可得到答案.由题意，m2−2m=3⇒m=3或m=-1. 所以答案是：3或-1.。

24广州8月高三阶段训练数学试题

24广州8月高三阶段训练数学试题一.选择题:每小题5分1.已知集合M={x|x 2-x-2≤0},N={x|y=√x +2+√1−x },则M ∪N=( ) A. [-2,2] B. [-1,1] C. [-2,1] D. [-1,2] 2.已知复数z 满足(1-i)z=1+i,则z=( ) A. -i B. i C. 1-i D. 1+i 3.在□ABCD 中,G 为△ABC 的重心,满足AG⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R),则x+2y=( ) A. 43B. 53C. 0D. -1 4.设命题p:若数列{a n }是公差不为0的等差数列,则点P(n,a n )必在-次函数图象上;命题q:若正项数列{a n }是公比不为1的等比数列,则点Q(n,a n )必在指数函数图象上.下列说法正确的是( ) A. p.q 均为真命题 B. p 、q 均为假命题 C. p 真q 假 D. p 假q 真 5.某人从A 地到B 地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3,0.3,0.4,乘火车迟到的概率为0.2,乘轮船迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为0,4,则这个人从A 地到B 地迟到的概率是( ) A. 0.16 B. 0.31 C. 0.4 D. 0.32 6.已知把物体放在空气中冷却时,若物体原来的温度是θ1oC,空气的温度是θ0 oC,则1min 后物体的温度θoC 满足公式θ=θ0+(θ1-θ0)e -kt(其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是80 oC 的牛奶放在20 oC 空气中,冷却2min 后牛奶的温度是50 oC,则下列说法正确的是( ) A. k=ln2 B. k=2ln2 C. 牛奶的温度降至35 oC 还需4 min D. 牛奶的温度降至35 oC 还需2 min 7.已知F 1,F 2分别是椭圆C: x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点,M,N 是椭圆C 上两点,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则椭圆C 的离心率为( ) A. 34B. 23C. √53 D. √748.记a=√20222023,b=√20232023,c=√20232024,则a,b,c 的大小关系是( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. b>a>c二.选择题:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知一组样本数据x 1,x 2,…,x n (n ≥4)均为正数,且x 1<x 2<…<x n ,若由y k =2x k -1(k=1,2,…,n)生成一组新的数据y 1,y 2,…,y n ,则这组新数据与原数据的( )可能相等. A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 10.已知0为抛物线C:y 2=2px(p>0)的顶点,直线l 交抛物线于M,N 两点,过点M,N 分别向准线x=-p2作垂线,垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是( ) A. 若直线l 过焦点F,则N,O,P 三点不共线 B. 若直线l 过焦点F,则PF ⊥QFC. 若直线l 过焦点F,则抛物线C 在M,N 处的两条切线的交点在某定直线上D. 若OM ⊥ON,则直线l 恒过点(2p,0)11.已知正四面体P-ABC 的棱长为2,下列说法正确的是( )A. 正四面体P-ABC 的外接球表面积为6πB. 正四面体P-ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值C. 正四面体P-ABC 的相邻两个面所成二面角的正弦值为13D. 正四面体Q-MNG 在正四面体P-ABC 的内部,且可以任意转动,则正四面体Q-MNG 的体积最大值为2√28112.若f(x)是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x=1对称x 且对任意x 1,x 2∈[0,12],都有f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2),则下列说法正确的是( ) A. f(1)一定为正数 B. 2是f(x)的一个周期 C.若f(1)=1,则(20234)=1 D.若f(x)在[0, 12]上单调递增,则f(1)≠12024三填空题:每小题5分.13.已知sin αcos(α+π6)=3cos αsin(α+π6),则tan α=_______.14.已知Rt △ABC 的两条直角边分别为3,4,以斜边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______. 15.已知函数f(x)=sin ωx+√3cos ωx(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,且(π3+x)=-( π3-x),则f(π6)=_____.16.已知⊙O1:x2+(y-2)2=1,⊙02:(x-3)2+(y-6)2=9,过x轴上一点P分别作两圆的切线,切点分别是M,N,当|PM|+|PN|取到最小值时,点P坐标为____.四.解答题:17.(10分)在△ABC中,AC=2,AB=√6,D为BC中点.(1)若AD=2,求BC;(2)若∠BAD=π4,求sin∠DAC的值.18.(12分)西梅以“梅”为名,实际上不是梅子,而是李子,中文正规名叫“欧洲李”,素有“奇迹水果”的美誉.因此,每批西梅进人市场之前,会对其进行检测,现随机抽取了10箱西梅,其中有4箱测定为一等品.(1)现从这10箱中任取3箱,求恰好有1箱是一等品的概率;(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况,若从这一批西梅中随机抽取3箱,记ξ表示抽到一等品的箱数,求ξ的分布列和期望.19.(12分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面ABB1A1均为矩形,AB=2,BC=6,BB1=2√3,A1C=4.(1)求证:A1D⊥DC;(2)求AC1与平面BAA1B1所成角的正弦值.20.(12分)已知数列{a n}满足a1>0,a n+1={log2a n,n为奇数,2a n+2,n为偶数.(1)判断数列{a2n-1}是否是等比数列?若是,给出证明;否则,请说明理由;(2)若数列{a n}的前10项和为361,记b n=1(log2a2n+1)∙a2n+2,数列{b n}的前n项和为T n.求证:T n<716.21.(12分)已知双曲线手x 24-y29=1与直线l:y=kx+m(k≠±32)有唯一的公共点M.(1)若点N(2,9)在直线l上,求直线l的方程;(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于A(x1,0),y轴于B(0,y1)两点.是否存在定点G,H,使得M在双曲线上运动时,动点P(x1,y1)使得∣|PG|-|PH|∣为定值.22.(12分)已知函数f(x)=xlnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若两个不相等的正实数a,b满足f(a)=f(b),求证:a+b<1;(2)若π4<α<π2,求证:f(cosα)<f(sinα).。

(2021年整理)高中数学每日一练2019.8.19

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数学每日一练8。

191.（2019全国Ⅰ理）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x <<2。

（2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2—5x +6〉0｝，B =｛ x |x -1〈0}，则A ∩B =A ．（-∞，1）B ．（—2，1)C ．（-3，—1)D ．（3,+∞）3。

(2019全国Ⅲ理）已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 4．(2018全国卷Ⅰ）已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =R A ．{12}-<<x xB ．{12}-≤≤x xC ．{|1}{|2}<->x x x xD ．{|1}{|2}-≤≥x x x x5．（2018全国卷Ⅱ)已知集合22{(,)|3}=+∈∈Z Z ≤，，A x y x y x y ，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．46．（2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =,则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}7．(2017新课标Ⅰ）已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅8．（2017新课标Ⅱ）设集合{1,2,4}A =，2{|40}B x x x m =-+=，若A B ={1}，则B =A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}9．(2017新课标Ⅲ）已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．010．（2016年全国I)设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->,则=A BA ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)211．(2016年全国II)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =A ．{1}B ．{12}，C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，，12．(2016年全国III ）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =A ．[2，3］B ．(-∞ ,2] ［3,+∞）C ．［3，+∞） D ．（0，2] [3,+∞）13．（2015新课标2）已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则A B =A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}14．（2014新课标)已知集合A =｛x |2230x x --≥｝，B ={x |－2≤x ＜2｝，则A B ⋂=A ．［-2， -1］B ．［-1,1］C ．[-1，2)D ．[1，2）15．(2014新课标）设集合M ={0,1,2}，N ={}2|320x x x -+≤,则M N ⋂=A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．{1，2｝16．（2014新课标)已知集合A =｛-2，0,2｝，B =｛x ｜2x -x -20=}，则A B ⋂=A ． ∅B ．{}2C ．{}0D ．{}2-。

【高三数学高分】2024.12.09每日一练十二月月考- 教师版

2024.12.09每日一练12月月考训练A 组1.（山东省青岛市2022-2023高三上期末13T ）已知sin sin 1αβ+=，cos cos αβ+=，则()cos αβ-=______.【答案】12【分析】将已知两式平方相加，结合两角差的余弦公式，即可求得答案.【解析】因为sin sin 1αβ+=，cos cos αβ+=故222(sin sin )sin sin 2sin sin αβαβαβ+=++1=，222(cos cos )cos cos 2cos cos 2αβαβαβ+=++=，以上两式相加可得2sin si 2n 2cos cos 3αβαβ+=+，即2(sin sin cos cos )1αβαβ+=，故()1os 2c αβ-=，故答案为：122.（山东菏泽2023-2024高三上11月期中5T ）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当12x ≤<时，()()2log 2f x x =+，则()2024f =（）A.0 B.2C.－3D.3【答案】A【分析】结合题意，利用奇函数的性质，先确定函数()f x 的一个周期为4，再按照函数的周期性计算即可.【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()f x 为R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -=+=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的一个周期为4，所以()()()2024450600f f f =⨯==.故选：A.3.（多选）已知函数()sin cos (0)f x x x b ωωω=++>的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）155****3035A ．2ω=，1b =B ．()f x 在区间2π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数()f x 的图象可由2cos y x b ω=+的图象向左平移π6个单位长度得到【答案】ABD【分析】求出()π2cos 3ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x b ，利用π1cos 13ω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断A ；根据余弦函数的图象与性质可判断B ；由图可判断函数()f x 的图象关于点5π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称可判断C ；根据三角函数图象平移规律可判断D ．【解析】()πcos 2cos 3f x x x b x b ωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，对于选项A ：由图可知，max ()3f x =，所以23b +=，1b =，因为32ππ5π3π43124ω⨯=+=，所以2ω=，故选项A 正确；对于选项B ：()π2cos 213f x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭=+，当2π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π5π2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的图象与性质可知，选项B 正确；对于选项C ：由图易知，函数()f x 的图象关于点5π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故选项C 错误；对于选项D ：将2cos21y x =+的图象向左平移π6个单位长度后，得到()π2cos 213f x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭=+的图象，故选项D 正确，故选：ABD.4.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底4T ）已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为60︒，则该正四棱台的体积为（）A. B.2863C. D.155****3035【答案】B【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案.【解析】如图，,S O 分别为上底面和下底面的中心，连接OS ，则OS ⊥底面ABCD ，过点1A 作1AT ⊥AO 于点T ，则1AT ⊥底面ABCD ，因为上、下底面边长分别为2和4，所以1A S AO ==故1TO A S ==，AT AO OT =-=，11tan AT A AT AT∠=，由于160A AT ∠=︒，故1AT ==，故该正四棱台的体积为(2212862433++=，故选：B 5.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底15T ）已知圆221:2440C x y ax by +-++=，则直线220ax by -+=与圆222:1C x y +=的位置关系是__________.【答案】相交【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系可得.【解析】因为2222()(2)44x a y b a b -++=+-表示圆1C 的方程，所以22440a b +->，即2244a b +>.因为圆2C 的圆心到直线220ax by -+=的距离212=<=，所以直线220ax by -+=与圆222:1C x y +=相交.故答案为：相交6.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底16T ）已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=，则)R m ∈的最小值为________．155****3035【答案】【分析】将题意转化为求曲线上一点到,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭距离最小值，通过求导求出点()1,1符合题意，进而求出答案.【解析】由题意得，=，即求曲线23ln y x x =-上一点到,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭距离最小值，又因为,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上，所以当曲线与直线y x =-平行时，距离取得最小值，令321y x x'=-=-，解得1x =或32x =-（舍去），当1x =时，点()1,1到直线0x y +=距=，即所求曲线23ln y x x =-上一点到,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案【点睛】本题考查导数的应用.关键点在于将所求式子进行化简，进而转化为距离问题，通过导数研究曲线即可.本题考查转化与化归能力、计算能力，属于中档题.7.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底5T ）已知等边ABCP 为ABC 所在平面内的动点，且||1PA = ，则PB PC ⋅的取值范围是（）A.39,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.111,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【分析】首先建立平面直角坐标系且3(2A -，3(2B ，3(0,2C ，进而确定P 的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可.【解析】如下图构建平面直角坐标系，且3(2A -，3(,0)2B ，3(0,2C ，所以(,)P x y 在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为22(12x y ++=，而33,),(,)22PB x y PC x y =--=-- ，故222333(224PB PC x x y y x ⋅=-+-=- 233(44y +--，综上，只需求出定点33,44与圆223(12x y ++=上点距离平方的范围即可，而圆心A 与33,)44的距离32d ==，故定点33,44与圆上点的距离范围为15[,22，所以111[,]22PB PC ⋅∈- ，故选：B8.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底12T ）已知函数()e xf x x =，()lng x x x =，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 与函数()g x 有相同的极小值B.若方程()f x a =有唯一实根，则a 的取值范围为0a ≥C.若方程()g x a =有两个不同的实根12,x x ，则212x x a >D.当0x >时，若()()12f x g x t ==，则12x x t =成立【答案】ACD【分析】对于A ，根据题目直接对两个函数求导判断极值即可；对于B ，根据函数单调性和最值判断函数变化趋势，进而求出参数范围；对于C ，利用对数均值不等式直接判断即可；对于D ，利用同构方法进行转化即可.【解析】对于A ，()e x f x x =定义域(),-∞+∞，()()1e xf x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()min 11ef x f =-=-，()ln g x x x =定义域()0,∞+，()ln 1g x x '=+，当10ex <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1e x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，若方程()e xf x x a ==有唯一实根，由于当x →-∞时，()0f x →，且()0f x <，结合已求的单调性和最值可知，0a ≥或1a e=-，故B 错误；对于C ，因为方程()g x a=有两个不同的实根12,x x ，假设12x x >，则a<0，则1122ln ln x x a x x a =⎧⎨=⎩，即1122ln ln a x x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得211212ln ln x x ax x x x -=-，即1212121ln ln x x x x x x a-=--，由对数均值不等式1212121ln ln x x x x x x a-=->-0a >->，即212x x a >得证，故C 正确；对于D ，当0x >时，若()()12f x g x t ==，则12ln 12e ln e x xx x t ==，即()()12ln f x f x =，显然120,ln 0x x >>，则12ln x x =，则1222ln x x t x x ==成立，故D 正确.故选：ACD下面补证C 选项对数均值不等式：要证)121212ln ln x x x x x x ->>-，即证12121ln x xx x ->，设)1m m =>，即证212ln m m m->，即证12ln 0m m m -->，令()()12ln 1m m m m m ϕ=--≥，()()22211210m m m m mϕ-'=+-=≥，则()m ϕ在()1,+∞单调递增，当1m >时，()()10m ϕϕ>=得证.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解B 组1（山东省淄博市2024届高三上学期摸底18T ）如图，AB 是半球O 的直径，4AB =，,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON ∠=︒．（1）证明：PB PM ⊥；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】（1）根据题意证明ON ⊥面PMB ，得到ON PB ⊥，再结合线面垂直的判定定理得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量计算公式进行求解即可.【解析】（1）连接,,,AM OM MN PN ，因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以四边形OMNB 是菱形，设MB ON Q ⋂=，则Q 为ON 中点，且ON MB ⊥，又因为,60OP ON PON ==︒∠，故OPN 是等边三角形，连接PQ ，则ON PQ ⊥，又因为,MB PQ ⊂面PMB ，MB PQ Q ⋂=，所以ON ⊥面PMB ，因为PB ⊂面PMB ，所以ON PB ⊥，因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以//ON AM ，所以AM PB ⊥，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，所以PB PA ⊥，因为,AM PA ⊂面PAM ，AM PA A ⋂=，所以PB ⊥面PAM ，又因为PM ⊂面PAM ，所以PB PM⊥（2）因为点P 在底面圆上的射影为ON 中点，所以PQ ⊥面AMB ，因为,QM QN ⊂面AMB ，所以,PQ QM PQ QN ⊥⊥，又因为QM QN ⊥，所以以{},,QM QN QP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()),,,2,0P MB A -，所以(),2,,2,0PM PA BA ==-=-，设平面PAB 的法向量(),,n x y z = ，则2020n PA y n BA y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1n =- ，设直线PM 与平面PAB 所成角为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则10sin cos ,5PM n PM n PM n θ⋅====⋅所以直线PM 与平面PAB所成角的正弦值为52.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底19T ）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos a b A a B =-.（1）求证：2B A =；（2）求ba的取值范围；（3）若1c =，求ABC 面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）31,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到()sin sin A B A =-，结合ABC 为锐角三角形，得到A B A =-，即可求解；（2）由（1）求得ππ64A <<，得到23cos 22A <<，结合正弦定理，即可求解；（3）由正弦定理和面积公式，化简得到11sin 32tan tan S ab C A A==-，结合函数的单调性，即可求解.【解析】（1）因为cos cos a b A a B =-，由正弦定理得sin sin cos sin cos A B A A B =-，所以()sin sin A B A =-，又因为ABC 为锐角三角形，可得π,(0,)2A B ∈，所以,22B A ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得A B A =-，即2B A =.（2）因为2B A =，且ABC 为锐角三角形，且3ππ()π22C A B B =-+=-<，可得π3B >，所以ππ32B <<又因为2B A =，即ππ232A <<，可得ππ64A <<，所以23cos 22A <<，则sin sin22cos sin sin b B A A a A A ===∈，即ba的取值范围是.（3）由正弦定理得sin sin ,sin sin A Ba b C C==，所以11sin sin 1sin sin 2sin 22sin 2sin 3A B A AS ab C C A⋅⋅==⋅=⋅1sin sin 22sin 2cos cos 2sin A A A A A A⋅=⋅⋅+⋅22sin cos 133cos sin tan tan A AA A A A⋅==--，又由ππ64A <<，可得3tan 13A <<，设()3f x x x =-在3(3为单调递减函数，可得383tan (2,tan 3A A -∈，所以31,82S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故S的取值范围是1,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.3.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底20T ）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，记{11max n c b na =-，22b na -，…，}n n b na -（n=1，2，3，…），其中{1max x ，2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，s x 这s 个数中最大的数．（1）计算1c ，2c ，3c ，猜想数列{}n c 的通项公式并证明；（2）设数列()()132n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，若24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，求偶数m 的值．155****3035【答案】（1）10c =，21c =-，32c =-，1n c n =-，证明见解析（2）2m =【分析】（1）设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，利用111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，利用通项公式可得11122d d +=+，211d d =+，可得n a ，n b ．根据10c =，21c =-，32c =-．猜想数列{}n c 的通项公式1n c n =-，证明数列{}k k b na -为单调递减数列，即可得出结论．（2）1111(3)(2)(1)(2)12n n c c n n n n ==---++++，利用裂项求和方法即可得出n S ，根据24n S m m <-+对任意*n ∈N 恒成立即可得出m 的取值范围．【解析】设等差数列{}n a 和{}n b 的公差为1d 、2d ，那么()()()11221121114131d d d d d ⎧+=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得1212d d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，21n b n =-，那么，111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-，猜想{}n c 的通项公式为1n c n =-，当3n ≥时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以数列{}k k b na -关于*N k ∈单调递减，所以{}112211max ,,,1n n n c b na b na b na b na n =---=-=- ；（2）()()()()()()111113221123121n n c c n n n n n n ===---++++----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ n S n n n ，因为24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，所有2142m m -+≥，解得41441422m +≤≤，所以2m =．4.（山东省淄博市2024届高三上学期摸底21T ）已知函数()2e 1x xh x x --=．（1）若0x >时，恒有()h x a >，求a 的取值范围；（2）证明：当1x >时，()2e 1ln e xx x +>．【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【分析】（1）根据题意转化为当0x >时，2e 10x x ax --->恒成立，分类讨论12a ≤和12a >两种情况，结合导数与函数的关系以及零点存在性定理等知识求解即可；（2）将原题转化为证明当1x >时，()12e 1ln 10x x x -+->，通过构造函数和二次求导的方法，结合导数与函数的关系即可得证.【解析】（1）由若0x >时，恒有()h x a >，所以当0x >时，2e 10x x ax --->恒成立，设()()2e 10x f x x ax x =---≥，则令()()()e 120xg x f x ax x '==--≥，则()e 2x g x a '=-，显然()g x '在()0,∞+单调递增，故当0x >时，()()012g x g a ''>=-，当12a ≤时，120a -≥，则()0g x '>对0x >恒成立，则()f x '在()0,∞+单调递增，从而当0x >时，()()00f x f ''>=，即()f x 在()0,∞+单调递增，所以当0x >时，()()00f x f >=，符合题意；当12a >时，()0120g a '=-<，又因为()()ln 12ln 12e 210a g a a +'+=-=>⎡⎤⎣⎦，所以存在()()00,ln 12x a ∈+，使得()00g x '=，所以当00x x <<时，()00g x '<，()f x '单调递减，()()00f x f ''<=，则()f x 单调递减，此时()()00f x f <=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）要证当1x >时，()2e 1ln e x x x +>，即证()12e 1ln 10x x x -+->，设()()12e 1ln x x m x x -+=()11x -≥，则()()1112331ln 12ln ln 2ln 1e e x x x x x x x x x m x x x x---++-+-'=-=，令()()ln 2ln 11n x x x x x x =-+-≥，则()2ln 2n x x x '=+-单调递增，所以当1x >时，()()2ln 210n x x n x''=+->=，则()n x 单调递增，所以当1x >时，()()ln 2ln 110n x x x x x n =-+->=，则当1x >时，()0m x '>，即()m x 单调递增，所以当1x >时，()()()12e 1ln 110x x m x m x -+=->=，原式得证【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题，常见方法如下：（1）构造函数法：通过构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为求函数最值问题；（2）放缩法：一是利用题目中已知条件进行放缩，二是利用常见的二级结论进行放缩；（3）同构法：指数和对数同时出现，往往将不等式形式进行变形，通过同构化简不等式进而证明即可.。