三角形重心性质定理题

图2
证法ຫໍສະໝຸດ Baidu：（根据课本上的提示证明）
（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。）
（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。）
2.三角形重心性质定理的应用
解析：从图中可以看出大三角形的面积为 ，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知， … 表示：组成面积为 的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是 … .
【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算.
二、求图形的面积
例2如图 ，长方形 的长为 ，宽为 ， 、 分别是 和 的中点， 、 交于点 ，求四边形 的面积.
⑴求线段长
例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。
解：
⑵求面积
例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：
练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为。
巧用中线的性质解题
我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.
一、巧算式子的值
例1在数学活动中，小明为了求 … 的值（结果用 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 … 的值.
三角形重心性质定理
1．三角形重心性质定理
课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）
在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。