三角形重心性质定理题
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2．刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了小时，设公共汽车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是（ ）A.B.C. D.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝385．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6．64的立方根是（ ）A ．8B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（ ）A ．3B ．103C ．6D ．2038．已知点A （a ，b ）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点，则代数式a 2+b 2的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．43cmC ．8cmD ．83cm11．休闲广场的边缘是一个坡度为i ＝1：2.5的缓坡CD ，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A 到地面的距离AB ＝0.5m ，B 到缓坡底端C 的距离BC ＝0.7m ．若秋千的长OA ＝2m ，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.6mD ．0.7m12．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．14．﹣19的倒数是_____． 15．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．17．如图，⊙O 的直径AB=8，点C 在⊙O 上，∠CAB=22.5°，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，则弧CD 的长为______．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD ＝ME ．20．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式； （2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就。
重心定理
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
方案①——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
三角形重心性质定理.
三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
证明三角形重心判定性质
证明三角形重心判定性质证明三角形重心判定定理例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵ AF=CF∴HF=1/2CF∴HF:CF=1/2∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2∴EG=1/2CG方法二连接EF利用三角形相似求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明三角形重心判定性质证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。
根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x= y/2， x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。
三角形重心的定理
三角形重心的定理1. 哎呀，说起三角形的重心，那可真是个有趣的话题！就像每个人都有自己的平衡点一样，三角形也有它自己的"中心"，这个点可神奇啦！2. 你想啊，三角形的重心就像是三个小朋友在跷跷板上找平衡点。
这个点的位置可有意思了，它就在三角形三条中线的交点上。
中线是啥？就是从顶点到对边中点的那条线啦！3. 说到这个重心的特点，那可真是绝了！它把每条中线都分成特定的比例，就像是个小裁缝一样，永远都是按照二比一来分割。
从顶点算起，重心把中线分成三分之二和三分之一，这比例稳定得就跟我妈包的饺子一样准！4. 你们猜怎么着？这个重心还有个超级厉害的外号，叫"三角形的平衡点"！要是把一个三角形用硬纸板剪出来，用铅笔尖顶在重心位置，它就能完美平衡，就像杂技演员顶着高高的竿子一样稳！5. 更神奇的是，不管你这个三角形是胖是瘦，是等边还是不等边，这个重心的性质都不会变。
就像是不管你穿什么衣服，你还是你一样！6. 要找重心也特别简单，画两条中线就够啦！它们的交点就是重心。
要是你特别较真，非要画三条中线，也没问题，反正它们肯定在同一个点相交，就像三个好朋友约好在同一个地方见面一样准时！7. 这个重心还有个特别有意思的性质，它到三角形三个顶点的距离的平方和，是最小的。
这就像是找聚会地点，选在重心的位置，大家走的路加起来最短！8. 要是把三角形看成一个薄片，重心就是它的平衡点。
你可以想象，要是用一根针顶着重心，这个三角形就能水平放着不掉下来，简直就像变魔术一样神奇！9. 在物理上，重心还有个超酷的性质：三角形绕着任何一条通过重心的轴旋转时，转动惯量都是最小的。
这就像是花样滑冰选手，把手臂收紧时转得最快一样！10. 有趣的是，三角形的重心还把三角形的面积分成六个相等的小三角形。
这就像是把一个大蛋糕精确地切成六份一样，每一份都一模一样大！11. 在工程设计中，重心的概念可重要啦！比如设计三角形的支架或者建筑构件时，都得考虑重心的位置。
初中数学八年级三角形重心向量2_1证明-三角形重心到三条边的距离
三角形的中心，重心，内心，外心区别,性质1、三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
2、三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
重心分中线比为1：2。
3、三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。
到三边距离相等。
4、三角形的外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称。
到三顶点距离相等。
扩展资料：一、三角形的五心：三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
二、三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。
1、重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好。
2、外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点。
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键。
3、垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。
4、内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。
五心性质别记混，做起题来真是好。
三角形重心性质定理1．三角形重心性质定理课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。
BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：作BO中点M，CO的中点N。
连接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。
这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题
三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
证明三角形重心判定性质
证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。
在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。
在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。
三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。
这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。
三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。
首先，我们需要知道中线是什么。
中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。
因此，三角形有三条中线。
中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。
假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。
这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。
等边三角形的重心
等边三角形的重心重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形aBC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(aP²+BP²+CP ²)-1/3(aB²+BC²+Ca²)。
7.在三角形aBC中，过重心G的直线交aB、aC所在直线分别于P、Q，则aB/aP+aC/aQ=3。
8.从三角形aBC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(aB²+BC²+Ca²)为半径的圆周上。
9、G为三角形aBC的重心,P为三角形aBC所在平面上任意一点，则Pa²+PB²+PC²=Ga²+GB²+GC²+3PG²。
顺口溜三条中线必相交，交点命名为重心；重心分割中线段，线段之比二比一。
三角形的五心1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
旁心到三角形三边的距离相等。
第14章三角形重心的性质及应用
第十四章 三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，()22221124AD AB AC BC =+-，且21AG GD =∶∶． 性质2设G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF AC ∥交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作KH AB ∥交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心，P 为ABC △内任一点，则 （1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG △和DPG △分别应用余弦定理，有 2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-，2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠， 而2AG DG =，cos cos AGP DGP ∠=-∠，于是，有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ，DG 分别是BPC △的BC 边，BGC △的BC 边上的中线，有2222122PD PB PC BC +-=，2222122DG BG CG BC =+-，从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1，有()2222911424AG AB AC BC =+-，()2222911424BC AB BC AC =+-， ()2222911424CG BC AC AB =+-，此三式相加，整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++． 性质4设G 为ABC △内一点，G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一： （1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F 时，GD GE GF ⋅⋅值最大； （3）当AG ，BG ，CG 的延长线交三边于D ，E ，F 时，AFG BDG CEG S G S ==△△△； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3AB ACAP AQ+=； （5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，有BDA CDA S S =△△，BDG CDG S S =△△，故AGB AGC S S =△△．同理，AGB BGC S S =△△，故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1，令G 为ABC △内一点，连AG 并延长交BC 于D ，连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△，BC a =，CA b =，AB c =，1BDG S S =△，2CDG S S =△，BD x =，DG y =．图14-1yxEDABC由11sin 2S xy BDG =⋅∠， ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠，故211S a S x =-． 即2211111S S S a S x S S S +=+==，亦即1S S a=，()2SS a x a =-． 又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理，得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠，于是，由上述两式，有2x a x a x a x +=--，于是2ax =，即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理，可证BE 为ABC △边AC 上的中线． 故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．记GD x =，GE y =，GF z =，由 12GBC S ax =△，12GAC S by =△，12GAB S cz =△，知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式，有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤，即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时，即G B C G A C G A BS S S ==△△△时等号取得，即G 为ABC △的重心时，结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2，设1APF BPD CPE S S S ===△△△，APE S x =△，BPF S y =△，CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==，111BP z y PE x++==，111CP x z PF y ++==，有 1yz z x +=+，①1zx x y +=+，②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-，即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+，⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==，再代入①得1x =，故1x y z ===． 若x y ≠，则y x ≠，z x ≠，由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=，⑦而x ，y ，z 为正数，则11x +>，11y +>，11z +>，等式⑦无正数解， 故只有正数解1x y z ===，即证．（4）必要性：如图14-3，设M 为ABC △的边BC 上任一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC 于P ，N ，Q ，连PM ，QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． 当N 为ABC △的重心时，M 为BC 中点，有BM MC =，且32AM AN =∶∶，由此即证得结论3AB ACAP AQ+=． 充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ，2P 两点，在另一边AC 上有1Q ，2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=，则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心． 事实上，如图14-4，连AG 并延长交BC 于M ，过B ，C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ，22P Q 分别于1X ，1Y ，2X ，2Y ，于是，图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+，即11BX CY AG +=． 同理，22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+，即1221BX BX CY CY -=-． 亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥，从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =，即AM 为ABC △的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=，故2A G G M =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线，G 为ABC △的重心时，由中线长公式（即性质1），有()()222222AD AB CA BC =+-，从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理，()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+． 充分性：注意到结论，给定ABC △后，若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数，则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线，并且这条直线过ABC △的重心．事实上，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，设(),G x y ，则222AG x y =+，()222BG x c y =-+，其中AB c =．因此，由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-，得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即证得前一断言，后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度，可求得AC 上的线段AQ 的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-，故3AB AC AP AQ +=，即证． 性质5设P 是锐角ABC △内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5，设PEF α∠=，CPE β∠=，CPD γ∠=，EBC α'∠=，并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDAB C在DEF △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--． 设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x xf x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ，B x -，B x βγπ---+，A B x βγ-π+++-，C x β-+，0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知()f x 递增，于是由()()f f αα'=可得αα'=，所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥，DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =，AF DC FB BD =，DC ECBD AE=． 所以AF FB =，BD DC =，EC AE =．故P 为ABC △的重心． 必要性：显然（略）．故命题获证，性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离，等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一． 事实上，若设三顶点A ，B ，C ，重心G ，BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ，B d ，C d ，G d ，M d ，则()23G A M G d d d d =+-，()12M B C d d d =+．两式相加，即有 ()13G A B C d d d d =++． 注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切． 性质7设G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则两中线AD 和BE 垂直；反之，若两中线AD ，BE 垂直，则222AG BG CG +=． 【典型例题与基本方法】例1如图14-6，在ABC △中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于A '，B '，C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ，GC ，PB ，PC ，分别过G ，P 作GG BC '⊥于G '，作PP BC '⊥于P '，则PP GG ''∥，PP A PGG A G''=''． 又PBC GBC S PP S GG '='△△，有PBC GBC S A P S A G '='△△． 同理PCA GCA S B P S B G '='△△，PAB GAB S C PS C G'='△△． 因G 为重心，有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△． 例2如图147-，设ABC △的重心为G ，AG ，BG ，CG 分别交对边于D ，E ，F ，交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =，CA b =，AB c =，这三边上的中线分别记为a m ，b m ，c m ，应用相交弦定理，有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===． 同理224b B E b EB m '=，224c C F C FC m '=． 则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式，可求出2a ，2b ，2c ，即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边，即证得结论成立．3． 例3如图14-8，过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分，试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8A证明把三角形的每条边三等分，过每一分点作平行于其他两边的直线，这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分，观察这两部分面积之差，显然不超过BEF △的面积，即ABC △面积的19．例4如图14-9，已知P 为ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P ，Q ，O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，AO OC =，PN NC =，则Q '为其重心，且2PQ OQ ''=． 在PDB △中，DO BO =，BM M P =，则Q ''为其重心，且2PQ OQ ''''=．这样，Q Q '''≡，并且Q '，Q ''就是AN ，DM 的交点Q ．故P ，Q ，O 在一条直线上，且2PQ OQ =． 例5如图14-10，已知CA AB BD ==，AB 为O 的直径，CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠． 证明连PO 并延长交O 于E ，则PE PC ⊥．连EC ，ED ，并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中，CO 为PE 边上的中线，且2CA AO =，即知A 为CPE △的重心，则PF 为CE 边上的中线，从而CF PF =，FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分，则CPDE 为平行四边形，即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠． 例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对顶点作切线，得到的六个切点共圆．证明如图14-11，设ABC △的三边分别为a ，b ，c ，O 是以BC a =为直径的圆，AT 切O 于T 点． 连AO ，在AO 上取点G 使2AG GO =，则G 为ABC △的重心．连OT ，GT ，图14-11ABC由AO =，2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=，12OT a =，13OG OA =，有()2222118TG a b c =++为定值．同理，其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++，由此即证． 例7如图14-12，AD ，BE ，CF 是ABC △的三条中线，P 是任意一点．证明：在PAD △，PBE △，PCF △中，其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心，直线PG 与AB ，BC 相交，从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '，易证2AA DD ''=，2CC FF ''=，2EE AA CC '''+=，从而EE DD FF '''=+，故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先，证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当x y z a b c =∶∶∶∶时，222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△． 事实上，由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥，当且仅当xy z a b c =∶∶∶∶时取等号，由此即证．如图14-13，设G 为DEF △的重心，则由中线长公式或重心性质3（2），图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦． 三式相加，得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为0D ，0E ，0F ， 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥． 下证等号能够取到，设G 为ABC △内一点，G 到BC ，CA ，AB 的距离依次为x ，y ，z ，且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线，垂足为0D ，0E ，0F ，由0D ，C ，0E ，G 共圆，知00180D GE C ∠+∠=︒，于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△． 同理，00GE F ABC S yz S bc =△△，00GF D ABC S zx S ca=△△． 因x y z a b c =∶∶∶∶，则x y y z z xa b b c c a==，故000000G D E G E F G F D S S S==△△△，由重心性质4（1），知G 为000D E F △的重心．由此可见，对ABC △的内接000D E F △而言，222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△． 因此，所求最小值为222212ABCS a b c ++△． 例9如图14-14，设G 为ABC △的重心，AG ，BG ，CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''； （2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥； （3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤． 证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ，则D 为BC 的中点． 由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△，13ABC GAB S BG GB S '='△△，13ABC GAC SCG GC S '='△△，及AGB BGA ''△∽△， AGC CGA ''△∽△，有22GAB GBA S AG S BG ''=△△，22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△，从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC'△∽△，得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△， 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△． 中线长公式或重心性质3（2），有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心，由莱布尼兹公式，则()2222219OG R a b c =-++（其中R ，a ，b ，c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）． 注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++， 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++． （2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2），知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥，由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤，或由（1）也可推得结论成立．2．证明线共点的一条途径例10如图14-15，设O 是ABC △的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ．射线DO 交EF 于A '，同样可得B '，C '．试证：直线AA '，BB '，CC '共点．图14-15证明连A B '，A C '．易知B ，D ，O ，F 及C ，D ，O ，E 分别共圆，得A OF B '∠=∠，A OE C '∠=∠． 在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理，有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠， 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅． 又AFE AEF ∠=∠，故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边，即AA '必过ABC △的重心，同样可证BB '，CC '，也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性，知AA '，BB '，CC '三直线共点于ABC △的重心． 【模拟实战】习题A1．如图14-16，点O 在锐角ABC △内，过O 作EF BC ∥，PQ CA ∥，HG AB ∥，若E F P Q H GB C C A A B ==，试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17，M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心，AB AC =，D 是AB 的中点，G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点，点E ，F 分别是ABD △和ACD △的重心，连接EF 交AD 于点G ，则DGGA的值是多少？ （1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △，作这样的直线与三角形相交，使得由A 点到直线的距离等于由B ，C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似，其逆亦真．2．在ABC △中，G 为重心，I 为内心，试证：AGI △，BGI △，CGI △中，最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中，O ，G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥，求证：tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．。
三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇
模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
【附2套中考卷】2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．如图，内有一点D ，且，若，则的大小是( )A ．B ．C ．D ．2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ） A ．1000（1+x ）2＝1210 B ．1210（1+x ）2＝1000 C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝1210 3．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等 其中真命题有( ) A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个4．将直线21y x =+向下平移n 个单位长度得到新直线21y x =-，则n 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF ，D 为AB 中点，连接DF 并延长交AC 与点E ，若AB ＝12，BC ＝20，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知反比例函数3(k y k x -=为常数),当0x <时，y 随x 的增大而减小，k 的取值范围是（） A ．k <0B ．k 0C ．k <3D ．k >37．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（2，23）C ．（23，2）D ．（2，22）8．有以下四个命题中，正确的命题是( )． A ．反比例函数2y x=-，当x>-2时，y 随x 的增大而增大 B ．抛物线222y x x =-+与两坐标轴无交点 C ．垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧 D ．有一个角相等的两个等腰三角形相似9．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为（ ）A ．23-B ．23+C ．13+D ．31-10．如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（ ）A ．412()55-，B ．213()55-，C ．113()25-，D ．312()55-，11．A 、B 、C 、D 四名同学随机分为两组，两个人一组去參加辩论赛，问A 、B 两人恰好分到一组的概率（ ） A ．14B ．13C ．16D ．1212．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.2x-8x+17=0B.2x-6x-10=0C.2x-42x+9=0D.2x-4x+4=0二、填空题13．如图，图形B是由图形A旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____．14．如图，在中，，,以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点,将绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____.15．（3分）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD 所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为．16．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为_____．17．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx﹣2，则m＝_____．18．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝12，BC＝9，则EF的长是_____．三、解答题19．已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？20．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD＝ME．21．随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区1200户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了80户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．组号分组频数频率1 0～4 4 0.0502 5～9 12 0.1503 10～14 a 0.4504 15～19 18 0.2255 20～24 b m6 25～29 4 0.050合计80 1.000根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中a＝，b＝，m＝；补全频数分布直方图；（2）这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？22．为了丰富学生的校园文化生活，学校开设了书法、体育、美术音乐共四门选修课程.为了合理的分配教室，教务处问卷调查了部分学生，并将了解的情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参与问卷调查的共有________人，其中选修美术的有________人，选修体育的学生人数对应扇形统计图中圆心角的度数为________. （2）补全条形统计图；（3）若每人必须选修一门课程，且只能选一门，已知小红没有选体育，小刚没有选修书法和美术，则他们选修同一门课程的概率是多少，列树状图或列表法求解.23．某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．请你根据图中信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生．（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度． （3）补全条形统计图（标注频数）．（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人． 24．1135323(5)(1)(3)(10)10464675+----++- 25．先化简，再求值：222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭，其中a ＝20190﹣（12）﹣1【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A A D B D B C B A C B二、填空题13．（0，1）．14．2-.15．4或6．16．120°17．118．5三、解答题19．k＝8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB＝AC，BC＝AC，两种情况讨论，得出k的值．【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k2+2k)＝4k2+8k+4﹣4k2﹣8k=4>0，∴x＝()2242k--+±⎡⎤⎣⎦，∴x1＝k+2，x2＝k，设AB＝k+2，BC＝k，显然AB≠BC，而△ABC的第三边长AC为10，(1)若AB＝AC，则k+2＝10，得k＝8，即k＝8时，△ABC为等腰三角形；(2)若BC＝AC，则k＝10，即k＝10时．△ABC为等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k的值，从而证得△ABC为等腰三角形．20．(1)见解析；(2)AD+BE＝12AB，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由△ABC是等边三角形知∠A=∠B=60°．结合PD⊥AC，PE⊥BC得∠APD=∠BPE=30°，据此知AD=12 AP，AD=12AP，再根据AD+BE=12（AP+BP）可得答案；（3）取BC中点F，连接MF．知MF=12AC，MF∥12AC．据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°．从而知AM=12AB，AB=AC，MF=MA．根据EF+BE=12BC得AD+BE=12AB．据此知EF=AD．即可证△MAD≌△MFE得出答案．【详解】(1)补全图形如图：(2)线段BE，AD 与AB 的数量关系是：AD+BE＝12 AB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴∠APD＝∠BPE＝30°，∴AD＝12AP，AD＝12AP．∴AD+BE＝12(AP+BP)＝12AB；(3)取BC中点F，连接MF．∴MF＝12AC．MF∥12AC，∴∠MFB＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠MFE＝60°，∵AM＝12AB，AB＝AC，∴MF＝MA，∵EF+BE＝12 BC，∴AD+BE＝12 AB，∴EF＝AD，∴△MAD≌△MFE(SAS)，∴MD＝ME．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点．21．（1）见解析（2）3（4）16050【解析】【分析】（1）总数乘以第3组频率可得a，总数减去其它分组人数可得b，依据频率＝频数÷总数可得m；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）总户数乘以样本的平均值即可得．【详解】解：（1）a＝80×0.45＝36，b＝80﹣（4+12+36+18+4）＝6，m＝6÷80＝0.075，补全直方图如下：故答案为：36、6、0.075；（2）这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而这两个数据均落在第3组，所以这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第3组；（3）24712123617182262741070 12001200160508080⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=（件），估计该小区去年一年共收到快递件数大约是16050件．【点睛】本题考查搜集信息的能力（读图、表），分析问题和解决问题的能力．正确解答本题的关键在于准确读图表．22．（1）60,12,108°；（2）详见解析；（3）1 6【解析】【分析】（1）用参与了解的音乐的学生数除以所占的百分比即可求得调查的总人数；用总人数减去书法的人数减去体育和音乐的人数就可得到美术的人数；用选修体育的人数除以总人数再乘以360°即可求出对应扇形的圆心角；.（2）根据选修课程的人数补全条形统计图即可；.（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．【详解】(1) 由条形统计图可知音乐有24人，由扇形统计图可知音乐占40%，2440%=60∴÷（人）；选修美术的人数：606182412---=(人)；选修体育的圆心角：1860360=108÷⨯(2) 条形统计图如图，(3) 树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能情况，其中小红和小刚选修同一门课程的情况有1种，所以概率为16【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）本次共调查了50名学生；（2）72°；（3）补全条形统计图见解析；（4）该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 【解析】 【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图； （4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可； 【详解】（1）14÷28%＝50，所以本次共调查了50名学生；（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数＝360°×1050＝72°； （3）最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16＝10（人）， 补全条形统计图为：（4）2000×1650＝640， 估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．34335- 【解析】【分析】根据有理数的加减法法则计算即可.【详解】原式=11353235131010464675-+-+- 13153231531010446675⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 15935=-+ 34335=- 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法的运算法则是关键.25．2a a -，13- 【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】 解：222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭ 2(1)2(1)(1)1a a a a a a ---=÷-- 112a a a a -=⋅--+ 2a a=-， 当a ＝20190﹣（12）﹣1＝1﹣2＝﹣1时， 原式＝112(1)3-=---． 【点睛】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分.同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟2．下列判断正确的是（）A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐B．为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为4000C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.7D．有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件3．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )A.3B.4C.5D.64．已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A ．33πB ．3C ．23πD ．25．已知点P （a+1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）A.﹣1＜a ＜B.﹣＜a ＜1C.a ＜﹣1D.a>6．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面积始终等于833；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A.2＜a≤3B.2≤a＜3C.0＜a ＜3D.0＜a≤28．如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，延长AB ，CD 相交于点E,若∠CAD ＝35°，∠CDA ＝40°，则∠E 的度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D.35°9．已知抛物线()()y x a x a 1=+--(a 为常数，a 0≠).有下列结论：①抛物线的对称轴为1x 2=；②方程()()x a x a 11+--=有两个不相等的实数根；③抛物线上有两点P(x 0，m)，Q(1，n)，若m n <，则00x 1<<；其中，正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．310．关于x 的一元一次不等式组213(1)x x x m--⎧⎨⎩＜＜有三个整数解，则m 的取值范围是（ ）A．5≤m＜6 B．5＜m＜6 C．5≤m≤6D．5＜m≤611．将抛物线y＝﹣3x2先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（）A．y＝﹣3（x﹣4）2﹣5 B．y＝﹣3（x+4）2+5C．y＝﹣3（x﹣4）2+5 D．y＝﹣3（x﹣4）2﹣512．|－3|的值等于（）A.3B.－3C.±3D.二、填空题13．不等式1﹣x≥2的解集是_____．14．计算：2cos60°﹣（3+1）0＝_____．15．16的平方根等于_________．16．计算(-3x2y)•(13xy2)=_____________．17．已知一组数据：1，4，x，2，6，9，若这组数据的众数为2，则这组数据的平均数为_____，中位数为_____．18．如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．三、解答题19．某运输公司现将一批152吨的货物运往A，B两地，若用大小货车15辆，则恰好能一次性运完这批货．已知这两种大小货车的载货能力分别为12吨/辆和8吨/辆，其运往A，B两地的运费如下表所示：目的地(车型) A地(元/辆) B地(元/辆)大货车800 900小货车400 600(1)求这15辆车中大小货车各多少辆．(用二元一次方程组解答)(2)现安排其中的10辆货车前往A地，其余货车前往B地，设前往A地的大货车为x辆，前往A，B两地总费用为w元，试求w与x的函数解析式．20．某体育健身中心为市民推出两种健身活动付费方式，第一种方式：办会员证，每张会员证300元，只限本人当年使用，凭证进入健身中心每次再付费20元；第二种方式：不办会员证，每次进入健身中心付费25元设小芳计划今年进入健身中心活动的次数为x（x为正整数）．第一种方式的总费用为y1元，第二种方式的总费用为y2元（1）直接写出两种方式的总费用y1、y2分别与x的函数关系式；若小芳计划今年进入健身中心活动的总费用为1700元，选择哪种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多．（2）当x＞50时，小芳选择哪种付费方式更合算？并说明理由21．如图，已知在平面直角坐标系内，点A（1，﹣4），点B（3，3），点C（5，1）（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）求四边形ABB1A1的面积．22．问题提出（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD ＝22km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km．现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小．则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．24．计算：021(2019)12()2π---+-25．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：△BEC ≌△CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D C A C B A B D DA A二、填空题13．x≥314．015．±4．16．33x y -17．318．x≠3三、解答题19．(1)中大货车用8辆，小货车用7辆；(2)w ＝100x+9400(3≤x≤8，且x 为整数)．【解析】【分析】（1）根据表格列出二元一次方程，再根据二元一次方程的解法计算即可.（2）根据费用的计算，列出费用和大货车x 的关系即可.【详解】(1)设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得： 15128152x y x y +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：87x y =⎧⎨=⎩．故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆．(2)设前往A地的大货车为x辆，前往A，B两地总费用为w元，则w与x的函数解析式：w＝800x+900(8﹣x)+400(10﹣x)+600[7﹣(10﹣x)]＝100x+9400(3≤x≤8，且x为整数)．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于设出合适的未知数，再根据条件列出方程.20．（1）y1＝20x+300，y2＝25x；选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；再把y＝1700分别代入函数关系式即可求解；（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得y1＝20x+300，y2＝25x；第一种方式：20x+300＝1700，解得x＝70，即她进入健身中心活动的次数为70次；第二种方式：25x＝1700，解得x＝68，即她进入健身中心活动的次数为68次；所以选择第一种付费方式，她进入健身中心活动的次数比较多；（2）当y1＞y2，即20x+300＞25x时，解得x＜60，此时选择第二种付费方式更合算；当y1＝y2，即20x+300＝25x时，解得x＝60，此时选择两种付费方式一样；当y1＜y2，即20x+300＜25x时，解得x＞60，此时选择第一种付费方式更合算．所以当50＜x＜60时，选择第二种付费方式更合算；当x＞60，选择第一种付费方式更合算．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．21．（1）见解析；（2）见解析；（3）28.【解析】【分析】（1）根据A，B，C三点坐标画出三角形即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（3）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）△ABC如图所示．（2）△A 1B 1C 1如图所示．（3）1112ABB A S =四边形×（2+6）×7＝28． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．(1)2;(2)174-;(3) 存在点P ，使得△DCP 的面积最小，△DCP 面积的最小值是（2932﹣20）km 2． 【解析】【分析】（1）如图1，当BD ⊥AC 时，BD 的值最小，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；（2）如图2，根据BM ＝DM 可知：点D 在以M 为圆心，BM 为半径的⊙M 上，连接AM 交⊙M 于点D'，此时AD 值最小，计算AM 和半径D'M 的长，可得AD 的最小值；（3）如图3，先确定点P 的位置，再求△DCP 的面积；假设在四边形ABCD 中存在点P ，以BM 为边向下作等边△BMF ，可知：A 、F 、M 、P 四点共圆，作△BMF 的外接圆⊙O ，圆外一点与圆心的连线的交点就是点P 的位置，并构建直角三角形，计算CD 和PQ 的长，由三角形的面积公式可求得面积．【详解】解：（1）当BD ⊥AC 时，如图1，∵AB ＝BC ，∴D 是AC 的中点，∴BD ＝12AC ＝12×4＝2，即BD 的最小值是2； 故答案为：2；（2）如图2，由题意得：DM ＝MB ，∴点D 在以M 为圆心，BM 为半径的⊙M 上，连接AM 交⊙M 于点D'，此时AD 值最小，过A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝EC＝12BC＝1632⨯=，由勾股定理得：AE＝2253-=4，∵BM＝4，∴EM＝4﹣3＝1，∴AM＝2217AE EM+=，∵D'M＝BM＝4，∴AD'＝AM﹣D'M＝17﹣4，即线段AD长的最小值是17﹣4；（3）如图3，假设在四边形ABCD中存在点P，∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB＝60°，∵∠PMB＝∠ABP，∴∠BPM＝180°﹣∠PBM﹣∠PMB＝180°﹣（∠PBM+∠ABP）＝180°﹣∠ABC＝120°，以BM为边向下作等边△BMF，作△BMF的外接圆⊙O，∵∠BFM+∠BPM ＝60°+120°＝180°，则点P 在BM 上，过O 作OQ ⊥CD 于Q ，交⊙O 于点P ，设点P'是BM 上任意一点，连接OP'，过P'作P'H ⊥CD 于H ，可得OP'+P'H≥OQ＝OP+PQ ，即P'H≥PQ，∴P 即为所求的位置，延长CD ，BA 交于点E ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝135°，∠DCB ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠E ＝90°，∠EAD ＝∠EDA ＝45°，∵AD ＝22 ，∴AE ＝DE ＝2，∴BE ＝AE+AB ＝5，BC ＝2BE ＝10，CE ＝53，∴BM ＝BC ﹣MC ＝6，CD ＝53﹣2，过O 作OG ⊥BM 于G ，∵∠BOM ＝2∠BFM ＝120°，OB ＝OM ，∴∠OBM ＝30°，∴∠ABO ＝∠ABM+∠MBO ＝90°，OB cos30BG ︒=＝23， ∴∠E ＝∠ABO ＝∠OQE ＝90°，∴四边形OBEQ 是矩形，∴OQ ＝BE ＝5，∴PQ ＝OQ ﹣OP ＝5﹣23， ∴S △DPC ＝11293(523)(532)222PQ CD ⋅=--= ﹣20， ∴存在点P ，使得△DCP 的面积最小，△DCP 面积的最小值是（2932﹣20）km 2． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，有难度，考查三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形，矩形的判定和性质，圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆来解决问题，属于中考常考题型．23．8【解析】【分析】根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线，则AE=DE ，AF=DF ，所以∠EAD=∠EDA ，加上∠BAD=∠CAD ，得到∠EDA=∠CAD ，则可判断DE ∥AC ，同理DF ∥AE ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上EA=ED ，则可判断四边形AEDF 为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE 的长．【详解】解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，而EA=ED，∴四边形AEDF为菱形，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴BE：AE=BD：CD，即BE：4=6：3，∴BE=8．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例．24．5-23【解析】【分析】运用负指数幂、零次方以及二次根式的化简的知识进行化简，然后计算即可.【详解】解：原式=1-23+4=5-23．【点睛】本题考查了负指数幂、零次方以及二次根式的化简，其解题关键在于运用相关知识对原式进行化简. 25．（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE-CD，即可解答．【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，ADC E90 ACD CBE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB（AAS），（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴BE＝CD＝1，AD＝EC＝3，∴DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．。
等边三角形重心的性质
等边三角形重心的性质
三角形重心是三角形三条中线的交点。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）
性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。
性质六、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
性质七、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
关于重心的顺口溜：
三条中线必相交，交点命名为重心
重心分割中线段，线段之比二比一；。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形重心
1．（2013秋•新疆校级期末）三角形三边垂直平分线的交点是三角形的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段的垂直平分线的性质可知，三角形三边垂直平分线的交点到3个顶点的距离相等，所以是外心．解答：解：三角形三边垂直平分线的交点到3个顶点的距离相等，所以是外心．故选A．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2．（2013春•灌阳县期末）三角形的重心是三角形三条（）的交点．A．中线B．高C．角平分线D．垂直平分线考点：三角形的重心．分析：根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．解答：解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选：A．点评：此题考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．3．（2011•武侯区校级自主招生）设G是△ABC的重心，且AG=6，BG=8，CG=10，则三角形的面积为（）A．58 B．66 C．72 D．84考点：三角形的重心；三角形的面积．专题：计算题．分析：延长AG到G'，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG≌△CDG′，所以CG'=BG=6，根据重心的性质可求得DG=DG′=3，则GG'=6，又CG=10，所以△CGG'是直角三角形，并可求得其面积，从而得出△BGC的面积，即可求得△ABC的面积．解答：解：延长AG到G'，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG≌△CDG′，∴CG′=BG=8，∵DG=AG=3，∴DG=DG′=3，∴GG′=6，∵CG=10，∴△CGG′是直角三角形，∴S△GBC=S△CGG′=×8×6=24，∴S△ABC=3S△GBC=72．故选C．点评：此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．4．如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4.解：∵三角形的重心在它的一条高线上，∴这条高线是中垂线，∴这个三角形一定是等腰三角形．故选A．考点：三角形的重心．分析：如果三角形的重心在它的一条高线上，则这条高线是中垂线，根据中垂线的性质可判断三角形的形状．解答：4.解：∵三角形的重心在它的一条高线上，∴这条高线是中垂线，∴这个三角形一定是等腰三角形．故选A．点评：此题考查三角形重心的概念和中垂线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等．5．（2008春•椒江区期末）三角形的重心是（）A．三条边的中点B．三条高线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点考点：三角形的重心．分析：根据三角形的重心的定义是三角形三边中线的交点求解即可．解答：解：由三角形的重心的定义可知，三角形三边中线的交点即为三角形的重心，而三条高线的交点是三角形的垂心，三条角平分线的交点是三角形的内心．故选D．点评：本题考查了三角形的重心的定义，属于基础题，牢记定义是解题的关键．6．（2013秋•巢湖校级月考）如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（）A．3B．4C．5D．6考点：三角形的重心．分析：根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD=CD，又知△ABD与△ADC 的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数，解答：解：∵O是△ABC的重心，∴BD=CD，又∵△ABD与△ADC的高相等，∴△ABD与△ACD的面积相等=S△ABC，同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，故选C．点评：本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积=底×高，此题难度一般．7．（2013•奉贤区一模）等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；三角形的重心．分析：作等腰直角三角形底边上的高并根据勾股定理求解，再根据三角形重心三等分中线的性质即可求出．解答：解：如图，根据三线合一的性质，底边上的中线CD=sin45°=1，∵三角形的重心到三角形顶点的距离等于中点距离的2倍，∴重心到AB的距离=1×=．故选D．点评：本题主要考查等腰三角形三线合一的性质和三角形重心的性质，熟练掌握定理是解题的关键．8．下列说法错误的是（）A．三角形的重心一定在三角形内B．正方形的重心是它的两条对角线交点C．一个多边形只有一个重心D．过三角形重心的一条直线平分三角形的面积考点：三角形的重心；多边形．分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点，所以一定在三角形内；正方形的重心是它的两条对角线交点；一个多边形只有一个平衡点，所以只有一个重心；过三角形重心和顶点的一条直线才平分三角形的面积．解答：解：A、三角形的重心一定在三角形内，正确；B、正方形的重心是它的两条对角线交点，正确；C、一个多边形只有一个重心，正确；D、过三角形重心和顶点的一条直线平分三角形的面积，错误．故选D．点评：本题考查多边形的重心知识．二．填空题（共7小题）9．（2010•本溪）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=6﹣2．考点：黄金分割．专题：计算题；压轴题．分析：△ABC顶角是36°的等腰三角形，则两底角为72°，这样的三角形称为黄金三角形，又△BDC、△DEC都是黄金三角形，可证BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC ﹣AD=AB﹣BC求解．解答：解：根据题意可知，BC=AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=AC﹣AD=AB﹣BC=AB﹣AB=6﹣2．故答案为：6﹣2．点评：黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰三角形，利用等腰三角形的边相等进行代换．10．（2012•杭州模拟）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，己知AB=2cm，则DE=（3﹣）cm．考点：黄金分割．专题：计算题．分析：由顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，而△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，可得到∠ABC=∠C=72°，∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，则DA=DB=BC，DE=DC，易得△BDC∽△ABC，得BD：AC=DC：BC，则AD：AC=DC：AD，于是得到点D为AC的黄金分割点，所以AD=AB，DC=AB﹣AD=AB，把AB=2代入计算得到DC，而DE=DC．解答：解：∵顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，而△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，∴∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，同理有∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，∴DA=DB=BC，DE=DC，∴△BDC∽△ABC，∴BD：AC=DC：BC，∴AD：AC=DC：AD，∴点D为AC的黄金分割点，∴AD=AB，∴DC=AB﹣AD=AB，而AB=2，∴DC=×2=3﹣，∴DE=（3﹣）cm．故答案为（3﹣）．点评：本题考查了黄金分割：一个点把一条线段分成较长线段与较短线段，且较长线段与整个线段的比等于较短线段与较长线段的比，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；其中较长线段是整个线段的倍．也考查了等腰三角形的性质．11．（2013春•碑林区校级期末）三角形的重心是三角形的三条中线的交点．考点：三角形的重心．分析：根据三角形的重心的定义解答．解答：解：三角形的重心是三角形的三条中线的交点．故答案为：中线．点评：本题考查了三角形的重心，是基础题，熟记概念是解题的关键．12．（2013•上海模拟）直角三角形斜边长为6，那么三角形的重心到斜边中点的距离为1．考点：三角形的重心；直角三角形斜边上的中线．分析：根据重心是三角形三边中线的交点，以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．即可得出答案．解答：解：∵直角三角形斜边长为6，∴斜边上的中线长为3，∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，∴三角形的重心到斜边中点的距离OM为1，故答案为：1．点评：此题主要考查了三角形的重心的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解决问题的关键．13．（2014秋•烟台期中）三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．考点：三角形的重心．分析：运用三角形重心的定义，即可解决问题．解答：解：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．故答案为：中线．点评：该题主要考查了三角形重心的定义问题．应牢固掌握三角形重心的定义，这是解决有关三角形重心问题的基础．14．（2010•松江区模拟）在△ABC中，边BC上的中线AD等于9cm，那么这个三角形的重心G到顶点A的距离是6cm．考点：三角形的重心．分析：根据重心的概念得出AG=2DG，即可得出答案．解答：解：∵点G是△ABC的重心，D是边BC的中点，∴那么AG：GD的值为：=2，∵AD等于9cm，∴重心G到顶点A的距离是6cm，故答案为：6cm．点评：此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A ．217B ．25C ．42D ．72．下列运算正确的是（ ）A.236a a a ⋅=B.336a a a +=C.22a a -=-D.326()a a -= 3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ）A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 4．若4＜k ＜5，则k 的可能值是（ ）A ．23B ．8C ．23D ．45+5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，点A 、B 横坐标分别为2和6，对角线BD ∥x 轴，若菱形ABCD 的面积为40，则k 的值为（ ）A.15B.10C.152D.56．已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO ＝CO ，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ）A.BO ＝DOB.AB ＝BCC.AB ＝CDD.AB ∥CD 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和之间（不包括端点）．有下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个8．近日，海南省旅游委通报了2019年春节黄金周假日旅游工作情况，该省共接待游客5670万人次.数据5670万用科学记数法表示为（ ）A ．556.710⨯B ．65.6710⨯C ．656.710⨯D ．75.6710⨯9．如图，点A （﹣2，0），B （0，1），以线段AB 为边在第二象限作矩形ABCD ，双曲线y ＝k x（k ＜0）过点D ，连接BD ，若四边形OADB 的面积为6，则k 的值是（ ）A ．﹣9B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣1810．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ）A.20°B.35°C.40°D.70°11．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列计算正确的是（ ）A ．（b ﹣a ）（a+b ）＝a 2﹣b 2B ．2212255x xy x y ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭C ．（﹣2x 2）3＝﹣6x 3y 6D ．（6x 3y 2）÷（3x ）＝2x 2y 2二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知(23,0)A ，B(0,6)，M(0,2)，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ，如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是____________14．如图，AD 为ABC △的角平分线，AC BC = ，E 在AC 延长线上，且AD DE =，若6,2AB CE ==，则BD 的长为______.15．2016年鄂尔多斯市实现生产总值4417.9亿元，按可比价格计算，比上年增长7.3%，在内蒙古自治区排名第一，将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为______元.16．把抛物线y=2（x-1）2+1向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．17．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）18．n 个数据2、4、6、8、…．、2n ，这组数据的中位数是_____．(用含n 的代数式表示)三、解答题19．在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x （x ＞0，k ＞0图象上的两点（n ，3n ）、（n+1，2n ）． （1）求n 的值；（2）如图，直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，点A 在反比例函数y ＝k x（x ＞0，k ＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD 的面积为S2，求S1﹣S2的值．20．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若tan∠PAO＝12，求边AB的长．21．已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．24．如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；（2）填空：①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；②当DA 与⊙O 相切时，若AB ＝2，则AC 的长为 ．25．如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形；（厚度不计）（1）当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长为______分米；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，且将容器的外表面进行防锈处理，其侧面处理费用为0.5元/平方分米，底面处理费用为2元/平方分米；求：裁掉的正方形边长为多大时，防锈处理总费用最低，最低为多少？【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C D A B C D C BC D二、填空题13．(23,0)-或(0,2)-或(23,4)14．272-15．42×101116．y=2x 2+117．118．n+1三、解答题19．（1）2（2）6【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n•3n＝（n+1）•2n，然后解方程可得n 的值；（2）设B （m ，m ），利用△OBC 为等腰直角三角形得到∠OBC ＝45°，再证明△ABD 为等腰直角三角形，则可设BD ＝AD ＝t ，所以A （m+t ，m ﹣t ），把A （m+t ，m ﹣t ）代入y ＝12x 中得到m 2﹣t 2＝12，然后利用整体代入的方法计算S 1﹣S 2．【详解】解：（1）∵反比例函数y ＝k x（x ＞0，k ＞0图象上的两点（n ，3n ）、（n+1，2n ）． ∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n ＝2或n ＝0（舍去），∴n 的值为2；（2）反比例函数解析式为y ＝12x ， 设B （m ，m ），∵OC ＝BC ＝m ，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴∠OBC ＝45°，∵AB ⊥OB ，∴∠ABO ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，设BD ＝AD ＝t ，则A （m+t ，m ﹣t ），∵A （m+t ，m ﹣t ）在反比例函数解析式为y ＝12x 上， ∴（m+t ）（m ﹣t ）＝12，∴m 2﹣t 2＝12，∴S 1﹣S 2＝2211112222m t -=⨯＝6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝k x（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．20．（1）见解析；（2）AB ＝10．【解析】【分析】（1）只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似（2）根据题①可知CP ＝4，设BO ＝x ，则CO ＝8﹣x ，PD ＝2（8﹣x ），即可解答【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°．由折叠，可知：∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD+∠CPO ＝90°．∵∠APD+∠DAP ＝90°，∴∠DAP ＝∠CPO ，∴△OCP∽△PDA；（2）解：由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝POAP＝BOAB＝12．∵△OCP∽△PDA，∴12 PO OC CPAP PD DA===∵AD＝8，∴CP＝4．设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，解得：x＝5，∴AB＝10．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和折叠问题，解题关键在于证明全等21．（1）证明见解析；（2）20.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到AE=CE=12BC=5，推出四边形AECF是菱形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点，∴AF=12AD，CE＝12BC，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵BC＝10，∠BAC＝90°，E是BC的中点．∴AE＝CE＝12BC＝5，∴四边形AECF是菱形，∴▱AECF的周长＝4×5＝20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；邻边相等的平行四边形是菱形．22．（1）x 1＝3﹣2，x 2＝3+2；（2）Q 的最小值是﹣1．【解析】【分析】（1）把t ＝3代入x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝0，再利用公式法即可求出答案；（2）由根与系数的关系可得出m+n ＝2t 、mn ＝t 2﹣2t+4，将其代入（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4中可得出（m ﹣2）（n ﹣2）＝（t ﹣3）2﹣1，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m ﹣2）（n ﹣2）的最小值．【详解】（1）当t ＝3时，原方程即为x 2﹣6x+7＝0， 63628322x ±-==±， 解得132x =-，232x =+；（2）∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n ＝2t ，mn ＝t 2﹣2t+4，∴（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4＝t 2﹣6t+8＝（t ﹣3）2﹣1．∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣2t ）2﹣4（t 2﹣2t+4）＝8t ﹣16≥0，∴t≥2，∴（t ﹣3）2﹣1≥（3﹣3）2﹣1＝﹣1．故Q 的最小值是﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解法．23．（1）见解析；（2）CD ＝5．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD ＝BC ，等量代换得到BC ＝EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论，（2）设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC 且AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形.（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①S△AOE最大＝12；②AC＝1.【解析】【分析】（1）利用垂直平分线，判断出∠BAC＝∠DAC，得出EC＝BC，用SSS判断出结论；（2）①先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可；②根据切线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）连接AC，如图1，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC EC=，∴BC＝EC，在△OBC和△OEC中BC EC OB E OC COO=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC≌△OEC（SSS），（2）①∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，∴OA＝1，设△AOE的边OA上的高为h，∴S△AOE＝12OA×h＝12×1×h＝12h，∴要使S△AOE最大，只有h最大，∵点E在⊙O上，∴h最大是半径，即h最大＝1∴S△AOE最大＝12，故答案为12；②如图2：当DA与⊙O相切时，∴∠DAB＝90°，∵AD＝AB＝2，∴∠ABD＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AC＝BC＝2221 22AB=⨯=，故答案为：1【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是确定面积最大时，点E到AB的距离最大是半径．25．（1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．【解析】【分析】(1)由设裁掉的正方形的边长为xdm，用x的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案；(2)由条件“制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍“列出不等式，可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．【详解】(1)设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm；(2)设总费用为y元，则y=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4x2-60x+192=4(x-7.5)2-33，又∵12-2x≤5(8-2x)，∴x≤3.5，∵a=4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，∴当x=3.5时，y取得最小值，最小值为31，答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，矩形的面积计算，列代数式．正确列代数式和找出等量关系列方程，求二次函数的最值的方法是本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如左图所示．其俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.2．若实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=cx+a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（ ）平方千米．A ．361×106B ．36.1×107C ．3.61×108D ．0.361×1094．下列计算正确的是（ ）A ．2a+b ＝2abB ．a 3÷a＝a 2C ．（a ﹣1）2＝a 2﹣1D ．（2a ）3＝6a 35．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，并且∠DAC ＝60°，∠ADB ＝15°．点E 是AD 边上一动点，延长EO 交BC 于点F ．当点E 从D 点向A 点移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是（ ）A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6．如图，AD 是ABC ∆的中线，点O 是AC 的中点，过点A 作AE BC ∥交DO 的延长线于点E ，连接CE ，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE 是菱形的是（ ）A ．ABC ⊥ B ．AB AC = C ．AC 平分DAE∠D ．72171()01230.9244040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 7．关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k 5< B ．k 5<且k 1≠ C ．k 5≤ D ．k 5≤且k 1≠8．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BI 、BD 、DC ．下列说法中错误的一项是（ ）A.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C.∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D.线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合9．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3＝a 6B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．a 5÷a ﹣2＝a 7D ．（a+1）0＝1 10．计算：11x x x+-＝（ ） A ．1 B ．2 C ．1+2x D ．2x x- 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C ，则A'C 的长为（ ）A ．6B ．4+23C ．4+33D ．2+3312．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )A.12∠=∠B.180BAD ADC ︒∠+∠=C.34∠=∠D.180ADC DCB ︒∠+∠=二、填空题 13．在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥AC 交射线CB 于点D ，若△ABD 是等腰三角形，则∠C 的大小为_____度．14．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是_____．15．如图所示，四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点E ，且BD BC =，30ACD ∠=︒，若19AB =，7AC =，则CE 的长为_____．16．平面直角坐标系中，点P(﹣2，4)关于x 轴对称的点的坐标为_____．17．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______．18．不等式5﹣2x ＞﹣3的解集是_____．三、解答题19．如图，在△ACD 中，DA ＝DC ，点B 是AC 边上一点，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，点F 是直径AB 上一点（不与A 、B 重合），延长DF 交圆于点E ，连结EB ．（1）求证：∠C ＝∠E ；（2）若弧AE ＝弧BE ，∠C ＝30°，DF ＝2，求AD 的长．20．（1）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0+8；（2）化简：（x ﹣3）（x+3）+x （2﹣x ）．21．甲骑电动车、乙骑摩托车都从M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往N 地，甲先出发一段时间后乙再出发．甲，乙两人到达N 地后均停止骑行，已知M ，N 两地相距1753km ，设甲行驶的时间为x （h ），甲、乙两人之同的距离为y （km ），表示y 与x 函数关系的图象如图所示．请你解决以下问题：（1）求线段BC 所在直线的函数表达式；（2）分别求甲，乙的速度；（3）填空：点A 的坐标是 ．22．如图，抛物线y=-x2+4x-1与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于另一点D，AB∥x轴交抛物线于点A，B，点A在点B的左侧，且两点均在第一象限，BH⊥CD于点H．设点A的横坐标为m．（1）当m=1时，求AB的长.（2）若AH=2（CH-DH），求m的值.23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．24．在一次数学考试中，小明有一道选择题(只能在四个选项A、B、C、D中选一个)不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．(1)小明随机选的这个答案，答对的概率是；(2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？(3)这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是．25．某公司要购买一种笔记本供员工学习时使用.在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元.在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元.设在同一家文具店一次购买这种笔记本的数量为x(x为非负整数).(Ⅰ)根据题意，填写下表：一次购买数量(本) 10 20 30 40 …甲文具店付款金额(元) 20 60 …乙文具店付款金额(元) 24 66 …(Ⅱ)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为1y元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为2y元，分别写出1y ，2y 关于x 的函数关系式；(Ⅲ)当50x 时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由.【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C C B B B D D C AC B 二、填空题13．30或60．14．k≤5且k≠1．15．16516．(﹣2，﹣4) 17．12 18．x ＜4三、解答题19．（1）见解析；（2）AD ＝3+1．【解析】【分析】（1）证明∠A ＝∠C ，∠A ＝∠E 即可．（2）作FH ⊥AD 于H ，连接OE ．只要证明△DFH 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：∵DA ＝DC ，∴∠A ＝∠C ，∵∠A ＝∠E ，∴∠C ＝∠E ．（2）解：作FH ⊥AD 于H ，连接OE ．∵弧AE ＝弧BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ADF ＝45°，∵∠FHD ＝90°，DF ＝2，∴HF ＝HD ＝1，∵∠A ＝∠C ＝30°，FH ＝1，∠AHF ＝90°，∴AH ＝3FH ＝3，∴AD ＝AH+DH ＝3+1．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（1）3+22；（2）2x ﹣9．【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，然后计算加减法；（2）先利用平方差公式和单项式乘多项式去括号，然后计算加减法．【详解】（1）原式＝4﹣1+22＝3+22．（2）原式＝x 2﹣9+2x ﹣x 2＝2x ﹣9．【点睛】考查了平方差公式，实数的运算，单项式乘多项式，零指数幂等知识点，熟记计算法则即可解答，属于基础题．21．（1）y ＝20x ﹣503；（2）甲的速度为30 km/h ，乙的速度为50km/h ；（3）（13，10）． 【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC 所在直线的函数表达式；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度；（3）由（2）的结论可以求得点A 的坐标并写出点A 表示的实际意义【详解】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝kx+b （k≠0）， ∵5,06B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，340,23C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线BC 上， 50634023k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得k 2050b 3=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝20x ﹣503； （2）设甲的速度为m km/h ，乙的速度为n km/h ，51563631340m 2323n m n ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，得3050m n =⎧⎨=⎩， 故甲的速度为30 km/h ，乙的速度为50km/h ，（3）点A 的纵坐标是：130103⨯=， 即点A 的坐标为（13，10）． 故答案为：（13，10） 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．（1）2；（2）35m =-【解析】【分析】（1）因为A 在抛物线上，则把m=1代入二次函数解析式y=-x 2+4x-1解得y=2，令-x 2+4x-1=2解得的两个根分别是A 、B 两点的横坐标．由于B 点在A 点右边，用B 点横坐标减去A 点横坐标所得的数值就是AB 线段的长度．（2）根据题意以及抛物线的对称性分析可得AB=CH-DH ，若AH=2（CH-DH ），实际上AH=2AB ，此时△ABH 应为等腰直角三角形，∠B 为直角，AB=BH ，用待定系数法设点A 的坐标为（m ，-m 2+4m-1），再利用等腰三角形边比数量关系设出B 点坐标，由于A 、B 两点关于对称轴直线x=2对称，建立方程求解即可得m 的值．【详解】（1）∵m=1，∴A 的横坐标为1，代入y=-x 2+4x-1得，y=2，∴A （1，2），把y=2代入y=-x 2+4x-1得，2=-x 2+4x-1，解得x 1=1，x 2=3，∴B （3，2），∴AB=3-1=2．（2）∵AB ∥x 轴交抛物线于点A ，B ，∴A 、B 两点关于对称轴对称，∴CH-DH=AB ，∵AH=2（CH-DH ），∴AH=2AB，∴22 ABAH=，∴∠BAH=45°，∴AB=BH，由A在抛物线上，则设A（m，-m2+4m-1），则B（-m2+5m，-m2+4m-1）．∴对称轴h=()2542(1)2m m m+-+-=⨯-∴整理得，m2-6m+4=0解得，m=3+5或m=3-5又∵A点在对称轴左边∴m＜2∴m=3-5【点睛】本题考查了数形结合的思想以及用待定系数法设点的坐标并建立方程求解的能力．23．（1）m≥﹣112；（2）m＝2．【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．【详解】（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解得m≥﹣1 12；（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，因为x1x2＝m2+2＞0，所以x12+x22＝31+x1x2，即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，而m≥﹣1 12；所以m ＝2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=．灵活应用整体代入的方法计算． 24．(1)14；(2)116；(3)1014. 【解析】【分析】（1）错误答有3个，除以答案总数4即可（2）根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况，选出两题都错的情况，即可解答（3）由（2）可知两题都对的概率为(14)2，10道选择题全对的概率是10个14的乘积 【详解】(1)∵只有四个选项A 、B 、C 、D ，对的只有一项， ∴答对的概率是14 ； 故答案为：14； (2)根据题意画图如下：共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种， 则小亮两题都答对概率是116； (3)由(2)得2道题都答对的概率是(14)2，则这10道选择题全对的概率是(14)10＝1014． 故答案为：1014． 【点睛】 此题考查概率公式和列表法与树状图法，解题关键在于看懂题中数据25．(Ⅰ)40，80；48，84；(Ⅱ)12y x =；当020x ≤≤时，2 2.4y x =；当20x >时，2 1.812y x =+.(Ⅲ)当5060x ≤<时，有0y <，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当60x >时，有0y >，在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意分别求出付款金额即可；(Ⅱ)根据题意可得y 1的解析式，分别讨论0x 20≤≤时和x>20时，根据题意可得y 2的解析式；(Ⅲ) 记12y y y =-，得出x>50时y 关于x 的解析式，根据一次函数的性质解答即可.【详解】(Ⅰ)20×2=40（元），40×2=80（元），2,4×20=48（元）2,4×20+1.8×（40-20）=84（元）故答案为：40，80；48，84.(Ⅱ)根据题意，得1y 2x =.当0x 20≤≤时，2y 2.4x =；当x 20>时，()2y 2.420 1.8x 20 1.8x 12=⨯+⨯-=+.(Ⅲ)当x 50≥时，记()12y y y 2x 1.8x 120.2x 12=-=-+=-. 当y 0=时，即0.2x 120-=，得x 60=.∴当x 60=时，在这两家文具店购买这种笔记本的花费相同. ∵0.20>，∴y 随x 的增大而增大.∴当50x 60≤<时，有y 0<，在甲文具店购买这种笔记本的花费少； 当x 60>时，有y 0>，在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.。
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1．三角形重心性质定理
课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）
在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
⑴求线段长
例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。
解：
⑵求面积
例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：
练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。
解析：从图中可以看出大三角形的面积为 ，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知， … 表示：组成面积为 的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是 … .
【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算.
二、求图形的面积
例2如图 ，长方形 的长为 ，宽为 ， 、 分别是 和 的中点， 、 交于点 ，求四边形 的面积.
证法1：（根据课本上的提示证明）
（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。）
（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。）
2.三角形重心性质定理的应用
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为。
巧用中的性质解题
我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.
一、巧算式子的值
例1在数学活动中，小明为了求 … 的值（结果用 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 … 的值.
图2