欧氏空间

欧氏空间

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９. 欧氏空间

Subsｅctionｓ

•9.1 内积与欧氏空间

•9．2 标准正交基

•９.3 欧氏空间的同构

•9.4 正交变换与正交矩阵

•9.5 正交补空间

•9.６对称矩阵的对角化

•9.7 酉空间与酉变换

9．1 内积与欧氏空间

定义 1内积：是一个两元实函数，满足条件

当当且仅当

定义2具有内积的实数域上的线性空间称为欧氏空间.

例子１通常所定义的那样,定义二元函数

例子2如通常所定义的那样，定义二元函数

那么为欧氏空间。

有关内积的两个不等式.

性质1设为欧氏空间的一个内积，则

1.柯西不等式: ;

2.三角不等式:

一些名词术语：

1.向量长度：;

2.非零向量的夹角:

3.单位向量与单位化：；.

欧氏空间的基、坐标与任意两个元素的内积的关系

定理 1设, , , 则

上面的矩阵称为基的度量矩阵．

基的度量矩阵有着良好的性质．

性质2度量矩阵是正定的.

性质 3不同基础下的度量矩阵是合同的.

9.2 标准正交基

定义 1欧氏空间的一组非零向量 , 如果他们两两正交

的 , 就称为正交向量组 .

因为有性质

性质４正交的向量组一定是线性无关的.

所以引入

定义２欧氏空间的一组基，如果他们两两正交的 , 就称为标准正交基.

出了上面的联系, 线性无关的向量组和正交向量组之间可以互化.

先来了解转化过程--- 有名的 Sｃhｉmidt 正交化方法. 然后再给出主要定理的证明．

例子 1已知线性无关的向量组,求一组向量

，使得

解：设存在一系列未知数使得

代入条件,依次求出这些未知数这些关系是用矩阵来可以看得很清楚

定理 1维欧氏空间中任一个正交向量组都可以扩充为一组正交基.

定理 2对于维欧氏空间中任一组基都可以找到一组正交基, 使得

定义３阶实矩阵称为正交矩阵, 如果.

９．3 欧氏空间的同构

定义１实数域上欧氏空间与称为同构的, 如果由到有一个1-1 的映上的映射, 适合

这里, 这样的映射称为到的同构映射.

9.４正交变换与正交矩阵

定义 1正交变换：双射, 使得

1)

２）

3）

称为正交变换．

定理 1设是一个线性变换，则以下四个结论等价

(i) 是一个正交变换；

(iｉ) 是一个保长度的变换;

(iii) 是一个保标准正交基的变换;

(iv) 在一组标准正交基的矩阵是正交矩阵变换.

9．5 正交补空间

定义1假设是的两个子空间，如果对任意的均有

则称是正交的,记为.

,

定理1如果子空间两两正交,那么是直和

定义 2假设是的两个子空间，如果对任意的称为的正交补,如果且

定理 2正交补的存在性

欧氏空间的每一个子空间均有唯一的正交补

证明唯一性

，那么

. 计算内积

所以

同理可证，得

9．6 对称矩阵的对角化

已知的结论是:任意的一个对角矩阵,均有一个可逆的矩阵使得为对角形．利用欧氏空间的性质,可以将这一方法加强.主要结果是:

对于任意的实的矩阵,都存在一个阶的正交的矩阵，使得

为对角形．

为此引入

引理１实的对称矩阵的特征值为实数.

引理 2设是实对称矩阵,且定义如下

则对任意，有

定义１欧氏空间中满足上市的线性变换称为对称变换．

引理 3设是对称变换，是-子空间,则也是-子空间．

证明，均有

特别地,取,因为是子空间, 那么,最终有

所以有.

引理４实的对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.

利用以上两点,我们可以将实对称矩阵化. 最终,我们得到

定理1对于任意的实对称矩阵,都存在一个阶的正交的矩阵,使得

为对角形.

证明：利用归纳法来证明．定理自然成立.

设时,定理也成立.

当时,设为的一个特征根,为与之相对应的特征向量．则必有

再利用基扩充定理，知存在与构成标准正交基,令

,则

此时也是对称矩阵,由归纳假设得,使得为对角矩阵．最后令

必有为对角矩阵.

本定理的证明不同于书本上的证明, 两者可以相互参考.

例子1设

,那么

例子 2

例子３

例子 4请用正交变换将下面的矩阵化为对角矩阵

例子５

9．7 酉空间与酉变换

欧氏空间是定义在实数域上的内积线性空间．改实数域为复数域,欧氏空间也就变为酉空间. 酉空间上的正交变换为酉变换.这是本节的主要内容. 它可以使用对比方法来学习．

性质

欧氏空间酉空间

比较

内积

线性

可加

性

正交矩阵酉矩阵

正交变换

酉变换

对称变换Ｈermitｅr 变换

对称矩阵

Hermｉｔer 矩阵

实对称矩阵可以通过正交变换化为对角矩阵Heｒmｉter 矩阵可以由酉变换化为对角矩阵

实二次型可以通过正交变换化为标准型Heｒmiｔeｒ二次型可以由酉变换化为标准型