多元函数微分学

有唯一S与之对应
例2 理想气体的压强，体积V 和绝对温度T 之间有关系：
是常数）
P，V，T三个变量（V>0，T>0）。V，T每取定一组数，有唯一P与之对应
结论
它们在数量关系上有共同的属性， 即一个变量依赖于另两个变量．
多元函数概念
2 二元函数定义
点集
f
.P(x,y)
数集
z
二元函数 二 元函数记为
设有三个变量x、y 和z，如果当x、y 在一
偏导数的几何意义
表示平面与曲面的交线
在点
处切线对x 轴的斜率，即
类似 的交线在点
是曲面z=f(x,y)与平面 处切线对y 轴的斜率，即
小 结
1 偏导数是视多元函数为一元函数讨论曲线的变化率问题； 2 偏导数的计算，视其中一元为变量，其它为常量，化为
一元函数的导数；
3 偏导数的几何意义表示曲线的斜率。
率．
方向导数 讨论函数在给定点沿任一方向的变化率
设z=f(x,y)在点
，及其附近有定
方 义．从
出发引一条射线 l，在 l上
向点
的邻近取一动点
，记
导 数
，若当
，在
z
l
..
时极限存在，则称极限值为函数 z=f(x,y)
y
在
处沿方向的方向导数，记作
x
方向导数的计算
即
1 方向导数 是在一个点 处沿方向l 的函数z对距离的变化率;
第三节 全微分与方向导数、梯度
一元函数y＝f（x）的微分 dy是 =A +o( )
全 微
如果二元函数在点 (x0 , y0 )的某邻域有定义，给 x0、y0 的的改变
量 x 、y ，得z的全增量
分
z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) Ax By o()
则称在点 (x0 , y0 ) 可微 ，Ax By 称为z=f(x,y)在点 (x0 , y0 )
z f (x, y), (x, y)在(x,y)处有对x及y的偏导数，且
法
z z u z v
(1)
则
x u x v x
z z u z v
(2)
y u y v y
多元复合函数的复合关系是比较复杂的，中间变量个数及复合次数都给我们求 偏导数带来不便，我们不可能对复合函数的每一种情况都给出求导公式，也没 有必要．在求偏导数时，我们可根据所给复合函数的变量关系图得出求导公 式．
多元函数
二元及二元以上的函数
一元函数 y＝f(x)，x表示数轴上一点P， 则y＝f(P）
对二元函数（x，y）表示平面上一点P，则z＝f(P）
对三元函数 u＝f（x，y，z），u＝f(P） P 表示三维空间中的点
n元函数
可表示为u＝f(P） ， P 表示 n 维空间中的点
点函数
以点表示自变量的函数
多元函数概念
一、多元函数概念 二、二元函数的极限与连续
二、二元函数的极限与连续
一元函数y=f(x)的极限，考察当自变量x 趋于 时f(x)的变化 二元函数z=f(x,y)需要考察当自变量x、y无限趋于常数 、 时函数值的变化
x、y分别趋于 、
记为
或
表示P(x、y)趋于
若
则当
二元函 数极限
表示
或
z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义（点
一、复合函数求导法
复
z f (u,v), u (x, y), v (x, y),
合 函
z f (x, y), (x, y) 是x,y的复合函数
数
设函数 u (x, y), v (x, y) 在点（x,y）处有偏导数，函数
求 导
Z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，那么复合函数
定范围内任取一对数值时，变量 z 按照一
定的法则 f 总有一个确定的数值与之对应，
则称 z 是 x、y 的二元函数．
记
z=f(x,y)
其中x、y 称为自变量，z 称为因变量；自变 量x、y的取值范围称为函数的定义域．
例3 设函数 解
多元函数概念
，求
三元函数 u f (x, y, z)
n元函数 u f (x1, x2 , xn )
2 z 、 2 z
xy yx
在区域
2z 2z
xy yx
即：二阶混合偏导数在区域D内连续时，求导结果与求导次序无关
例６ 设 解
高阶偏导数例题
求
混合偏导数相等
例７ 设 证
高阶偏导数例题
，证明
同理可得
第十章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分与方向导数、梯度 第四节 复合函数与隐函数求导法 第五节 偏导数的应用
从这个例子可知．对于二元函数，偏导数存在仅仅是可微的必 要条件，不是充分条件．
全微分例题
性质３ （可微的充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)
的邻域内存在，且在点(x,y)连续，则函数z=f(x,y)在点(x,y)处可
微．
例２ 求函数z=xy在点(2,3) 处关于
的的改变量与全微分
求
1 由所给复合函数画出变量关系图 ；
导
2 对所求偏导数，由变量关系图得出求导公式；
步
3 求出求导公式中所需的偏导数（或导数）；
骤
4 将所求导数代入求导公式后，化简即可。
例１ 设已知 解 本题可带公式（１）、（２）
，求
因为 所以
复合函数求导实例
例２ 已知
．求
解 画出变量关系图，由关系图得公式
y
z
而
例５ 要制作一个圆柱形的玻璃桶，内圆柱的直径为２米，高为３米， 桶底及桶壁的厚度分别为10厘米和５厘米，试计算所需材料的近似值
解 设内圆柱的体积为V，半径为R，高为H
例６ 计算
解把 在 取
全微分近似计算例题
的近似值 看作函数
的函数值
所以
三、方Байду номын сангаас导数
偏导数 、 分别表示函数f(x,y)在点(x,y)沿平行于x轴和y轴方向的变化
第十章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分与方向导数 第四节 复合函数与隐函数求导法 第五节 偏导数的应用
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数概念 二、二元函数的极限与连续
多元函数概念
1 两个实例
例１ 矩形面积S和它的边长a，b具有如下关系：
S＝ab
S，a，b三个变量（a>0，b>0）。a，b每取定一组数，
l x
y
证明 由z=f(x,y)在点
处可微，则
而 所以
；当
推广到三元函数u=f(x,y,z)的情形
计 算 公 式
例７ 求函数 数． 解
方向导数的计算
平面
空间
在点M(1,0,1)处沿l=i+2j+2z方向的方向导
第十章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分与方向导数 第四节 复合函数与隐函数求导法 第五节 偏导数的应用
二、高阶偏导数
函数z=f(x,y)的两个偏导数
仍是x,y的函数 对以上二个偏导数再考虑求偏导数，得函数的二阶偏导数。
混合偏 导数
高阶偏导数
二阶及二阶以上的偏导数
例５ 求 解 因为
高阶偏导数例题
的所有二阶偏导数．
是否具有偶然性？？？
定 理
如果函数 z=f(x,y)的两个混合偏导数 D内连续，则在区域内D有
证明 因函数z=f(x,y)在点
处可微,有
所以，函数 z=f(x,y)在点
连续
注意
函数 z=f(x,y)在点
不连续，则在
可微
全微分性质
性质２
函数z=f(x,y)在点 (x0 , y0 )处可微，则z=f(x,y)的两个偏导数存在，
且
f x( x0 , y0 ) A, f y ( x0 , y0 ) B
证明 因为函数可微, z=f(x,y)在点
的增量为
由于A、B的取值与 、 取值无关 ，特别地取 ＝0
则
得 所以 规定
得
同理可得
全微分公式
全微分例题
例１ 讨论
在点(0,0)处是否可微
解 在点(0,0)处，
如果让
沿趋y=x于点(0,0)，则 =
当
不是比 更高阶的无穷小，所以在点(0,0)
处全微分不存在．
解
例３ 求函数 解
的全微分
例４ 求 解
全微分例题
的全微分
全微分在近似计算中的应用
设z=f(x,y)函数在点(x,y)处可微，当x、y分别取得改变量 、 时
由全微分定义， 与dz的差是比 更高阶的无穷小，当 与 充分小时 计算增量的近似计算公式
计算f(x,y)邻近值的近似计算公式
全微分近似计算例题
而x在 x0 处取得增量 x 时 ，函数z取得增量 x z
即
x z f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
称之为函数z在点 (x0 , y0 )处对x的偏增量
如z=果f(xl,ixmy)0 在xx点z 存(x在0 , y，0 )则对称x的此偏极导限数值为函数
z , x xx0
注
意
2当
时，函数z沿l 方向是增加的；
3当
时，函数z沿l 方向是减少的.
定理１ 若函数 z=f(x,y)在点 M0(x0, y0 )处可微；cos、cos 为l 方向的 方向余弦，则函数z在点 M 0 处沿l 方向的方向导数必存在，且
z z cos z cos
l x
y
方向导数计算公式
方向导数的计算公式 证明 z z cos z cos
复合函数求导公式推导
设函数
1)作出变量关系图
我们把从z到x的路径数看成项，z
每条线段代表一个因式
写出偏导数公式
u
x
v
y
2)由关系图写出公式
类似
又设
写出z对t的求导
x
1)作出变量关系图
z
t
y
从z到t有两条路，有两项；每条路有两条线段，每项为两个因式。
1)写出公式
z对t的全导数
复合函数求导步骤与实例
的全微分
记作
dz Ax By
A、B仅与 (x0 , y0 ) 有关 ，而与 x、y 无关
(x)2 (y)2 ，o()是比 更高阶的无穷小 区域可微 z=f(x,y)在区域D内每一点可微
全微分性质
性质１ 函数 z=f(x,y)在点 (x0 , y0 ) 处可微，则 z=f(x,y)在点 (x0 , y0 )连续
x
所以
例３ 设
求
x
解 画出变量关系图，由关系图得公式
u
z
y
而
所以
注意
例４ 设 解令 得公式
而
复合函数求导实例
f x
是把f(x,y,z)中除以x外任何量看成常量而对x求导；
u 仅把f(x,y,z)中y看成常量而对x求导（因为z是x的函数）.
第十章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分与方向导数 第四节 复合函数与隐函数求导法 第五节 偏导数的应用
第二节 偏导数
一、偏导数的概念
一元函数y=f(x)的导数
偏导数
二元函数z=f(x,y)的导数
视其中一个量为变量，其余量为 常数讨论导数
偏导数定义
设z=f(x,y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域有定义，固定 y y0
可考虑用另一组不等时表示D
多元函数概念
4 二元函数的几何意义
设函数z=f(x,y)的定义域为D，对任意点 相应有函数值z=f(x,y) ,有序数组(x,y,z)确定空间中一 点M(x,y,z) 当点P 在D 内变动时，对应点 M 就在空间变动，一般形成一张曲面
函数
的图形
第一节 多元函数的基本概念
多元函数概念
例4 求下列函数的定义域 D ，并画出 D 的图形．
（1）
(2)
解 （１）要使函数
有意义，应有
3
2
（２）定义域为
多元函数概念
的点全体，即
2
例５ 试用不等式表示由 y=x,x=2,y=1 所 围成的平面区域 D． 解 先作出区域 D 的图形 横坐标x满足不等式 纵坐标y满足不等式
所以，区域D用不等式组表示为
f y ( x0 , y0 )
z f y y
z y
f y(x, y)
例１ 求函数 解
偏导数的计算
在点(1,3)处的两个偏导数
所以
例２ 求函数 解
的偏导数
偏导数的计算
例3 已知气态方程
（R是常数）求证：
证由
所以
例4
求
解 所求偏导数必须按定义计算
例4在函数在点（0,0)不 存在极限，但函数在该 点却存在偏导数
y y0
f x xx0
y y0
f x(x0 , y0 )
zx
x x0 y y0
按定义
偏导数的计算
类似对y的偏导数
当（x,y)为D内动点，偏导数就是x，y的函数。
此函数为z=f(x,y)在点的偏导函数。
z x
f x
z x
f x(x, y)
z ,
y xx0 y y0
f y xx0
y y0
z y x x0 y y0
P正0 以数除外使）得．当如点果P对（于x，任y意）给满定足的0正数PP0，总存时在，
恒有
f (x, y) A
lim f (x, y) A 或 lim f (P) A
x x0 y y0
P P0
例６ 求 解令
二元函数的极限与连续
，当
，所以
求解特点
二元函数的极限转化为一元函数的极限求解
注意
3 二元函数的定义域
区域 边界 开区域 闭区域
邻域
全部平面或由曲线围成的部分平面
围成区域的曲线
不包括边界的区域
连同边界在内的区 域
以点 P0 (x0 , y0 ) 为中心，为半径的圆内所有点的集合
有界区域
U(P, ) (x, y) (x x0)2 ( y y0)2
一个区域可以被包含在原点的某个 邻域内，否则称为无界区域