立方根二
立方根与二次根式乘法运算
立方根1.立方根的意义 (1)立方根的意义：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(或三次方根). 就是说，如果x 3＝a ，那么x 就叫做a 的立方根. (2)立方根的定义：数a 的立方根用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数.2.立方根的性质(1)任何数都有立方根，且只有一个立方根.(这与平方根的性质不同，正数有两个平方根，负数没有平方根).(2)正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根还是0. 3.开立方运算开立方运算与立方运算互为逆运算. 【典型例题解析】例1 求下列各数的立方根.(1)343； (2)0.729； (3)-22710.例21.下列说法正确的是( )A. 81的平方根是±3；B.1的立方根是±1；C. 1＝±1；D. x >0.2. 38的平方根是 . 例3 求下列各式的值：(1)-36427-； (2)3973.01-； (3)-327105-； (4)32004524⨯⨯例4 求下列各式的x ；(1)(x+3)3+27＝0； (2)(x-0.5)3+10-3＝0. 【难题点拨】例1 若xx y x --++3922＝0，求：3x+6y 的立方根.例2 求下列式子中的x ：(x-1)3＝8【典型热点考题】例1 求下列各式中的x 的值： (1)(0.1+x)3＝-27000； (2)41 (2x+3)3＝54.例2 设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3,xyz>0,且3222199819971996z y x ++＝31996+31997+31998，求x1+y1+z1.例3 当x 为何值时，下列各根式有意义? (1)2x -； (2)3232+x x .【同步练习】1.选择题(1)下列说法错误的是( )A.3a 中的a 可以是正数、负数、零；B.a 中的a 不可能是负数C.数a 的平方根有两个，它们互为相反数；D.数a 的立方根有一个 (2)下列语句正确的是( )A. 64的立方根是2B.-3是27负的立方根C.216125的立方根是±65D.(-1)2的立方根是-1(3)要使33)4(a -＝4-a 成立，那么a 的取值范围是( ) A.a ≤4 B.-a ≤4 4C.a ≥4D.一切实数(4)下列计算或命题中，正确的个数有( )①±3都是27的立方根； ②33a ＝a ； ③364的立方根是2； ④32)8(±＝±4.A.1个B.2个C.3个D.4个(5)16的平方根和立方根分别是( )A.±4，316B.±2，±34C.2，34D.±2，34(6)下列说法正确的是( )A.零不存在算术平方根B.一个数的算术平方根一定是正数C.一个数的立方根一定比这个数小D.一个非零数的立方根，仍然是一个非零数 (7)如果一个数的平方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0(8)如果一个数的立方根是这个数本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.1，-1，0 (9)下列式子中，不正确的是( )A. 3125827＝352B.±3216＝±6C. 3064.0＝0.4D.33)541(-＝51(10)若一个数的立方根等于这个数的立方，则不满足这个条件的数必为( )A.1B.0C.-1D.不为1，0，-1的其他数 (11)计算下列各式所得结果中( )①25.0；②1691；③3227；④10000；⑤0001.01；⑥416.A.大于1的有两个B.小于1的有两个C.结果相同的有两个D.上述结论都不对2.填空题(1)3a 被开方数是 ，根指数是 ，被开方数的范围是 .(2)若x 3＝-27，则x ＝ ;y 3+64＝0，则y ＝ ;3z 3-81＝0,则z ＝ .(3)-64的立方根是 ，3729的平方根是 ， (-13)3的立方根是 . (4)-103是 的立方根.(5)32)8(-＝ ，3310-＝ ，316437-＝ .(6)数a 的平方根最多有 个，最少有 个，立方根最多有 个，最少有 个.(7)一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 . (8)若x 2＝(-5)2，则(x-1)3＝ . (9)若3x -有意义，则xx --1)1(2＝ .(10)若a<0,则2a +33a ＝ . (11)若a,b 互为相反数，c,d 互为负倒数，则2222ba b a +--5cd ＝ .3.求下列各式中的x.(1)(x+3)3+27＝0(2)(x-0.5)3+10-3＝0(3)(10-0.1x )3＝-0.027(4)343x 3-38-＝-625(5)21 (2x-3)3+32＝0(6)64x 2-3＝46(7)8(x-1)3＝-64125(8)81 +25x 3＝-1164.计算(1)3125.0-3161+3281⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2)14-+25.0-3375.3(3)31-3008.0-3000343.0 (4)3827+641-3641891--256311-【素质训练】5.x 取什么值时，下列各式有意义：(1)32x -； (2)325-x6.已知3x ＝4，且(y-2z+1)2+43-z ＝0，求3333z y x ++的值.这是二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根．这个法则成立的条件是a≥0，b≥0．例1计算：例2计算：例3计算：三、课堂练习1．计算：2．计算：3．计算：五、作业1．计算：2．计算：3．计算：4．求下列代数式的值：。
人教版数学七年级下册6.2 立方根 2教案.doc
6.2 立方根【教学目标】1、 使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算；2、 能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力；3、经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。
【学难点与重点】用有理数估计一个无理的大致范围。
【教学过程】一、 复习引新1. 判断题：4的平方根是2（ ）1的立方根是1（ ）－0.125的立方根是－0.5（ ）278-的立方根是32±（ ） －6是216的立方根（ ）2.求下列各式的值 327102-；()331.0--；()25-问题：350有多大呢？（这里可以让学生回忆前面学习过程中讨论2有多大时的方法）。
学生小组讨论，并交流学方法。
因为2733=，6443=所以45033<<因为656.466.33=，653.507.33=所以7.3506.33<<因为836032.4968.33=，24349.5069.33=所以69.35068.33<< ……如此循环下去，可以得到更精确的350的近似值，它是一个无限不循环小数，350=一3．684 031 49……事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数．我们用有理数近似地表示它们．二、 自主学习1、利用计算器来求一个数的立方根，并完成课本上的练习。
（学生利用计算器的说明书独立学习．对于一些暂时还没有学会的学生，可以采用同学之间互帮互学的方式解决．）2、学生解决上节课未解决的一个问题，简单回忆：如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？（结果保留两个有效数字）三、应用新知 (3000216).03216….03216.0，31.0，2、用计算器计算3100（结果个有效数字）。
并利用你发现的规律说出30001 3100000的近似值。
四、课堂小结五、布置作业【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】。
小学六年二次根式与立方根的运算方法总结
小学六年二次根式与立方根的运算方法总结根式是数学中的一个重要概念，它在我们的生活中有着广泛的应用。
在小学六年级，我们学习了二次根式和立方根的运算方法，这些方法对我们进一步学习数学奠定了坚实的基础。
本文将对小学六年级二次根式与立方根的运算方法进行总结。
一、二次根式的运算方法二次根式是指具有平方根形式的数，我们可以使用一些简单的方法进行运算。
1. 相同根号下的二次根式相加或相减：当根号下的数相同时，可以直接将系数相加或相减，并保持根号不变。
例如：√3 + √3 = 2√3√5 - √5 = 02. 不同根号下的二次根式运算：当根号下的数不同时，我们需要进行化简。
首先确定能否提取出他们的最大公因数，如果不能，则无法进行运算。
例如：√2 + √3 无法进行化简，所以无法进行相加运算。
3. 二次根式的乘法：二次根式的乘法需要将根号下的数相乘，并且保持根号不变。
例如：√2 * √3 = √64. 二次根式的除法：二次根式的除法需要将分子和分母的根号下的数相除，然后将结果化简。
例如：√10 / √2 = √5二、立方根的运算方法立方根是指一个数的立方等于该数本身时的那个数。
在小学六年级，我们通常用近似值的方式来计算。
以下是立方根的运算方法：1. 近似法：通过列举一些数的立方，判断该数的立方根的次数，从而逼近结果。
例如：∛8 ≈ 2∛64 ≈ 42. 代入法：通过将一些已知的数代入进行尝试，找到一个接近的数。
例如：∛15 ≈ 2.5∛100 ≈ 4.6三、运算方法应用举例为了更好地理解二次根式和立方根的运算方法，下面我们通过几个例子加深对这些方法的认识。
例子1：计算√8 + √32。
首先，我们发现√8和√32都可以化简。
√8 = 2√2，√32 = 4√2。
所以，√8 + √32 = 2√2 + 4√2 = 6√2。
例子2：计算√27 - √12。
√27 = 3√3，√12 = 2√3。
所以，√27 - √12 = 3√3 - 2√3 = √3。
2 立方根
∴53=125，93=729
∴体积为0.125米3的正方体鸟笼边长为5分米.0.729立方米正方体鸟笼的边长为9分米.
2. 15分钟课堂过关训练A级：1.(1)√(2)×(3)×(4)√
2.(1)0与±1 (2)－ 8 (3)±4 (4)2
14.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.
15.判断下列各式是否正确成立.
(1) =2
(2) =3·
(3) =4
(4) =5
判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论.
答案
1 5分钟课堂过关训练参考答案
.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=± ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=± ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.
（2） 与 有何关系？
意图：明晰 =a， =a。
(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3
例1求下列各数的立方根：
（1） ；（2） ； （3） ； （4） ；（5） .
解：（1）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（3）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（4）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
完全掌握平方根与立方根的计算方法
完全掌握平方根与立方根的计算方法数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必不可少的。
在数学学习中，平方根与立方根是常见的概念和计算方法。
掌握平方根与立方根的计算方法，不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中运用。
本文将详细介绍如何完全掌握平方根与立方根的计算方法。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于该数的算术根。
计算平方根的方法主要有两种：近似法和开方法。
1. 近似法近似法是一种简单快捷的计算平方根的方法。
例如，要求√10的近似值，我们可以先找出最接近10的完全平方数，即4和9。
4的平方根是2，9的平方根是3，显然10介于2和3之间，所以√10的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的平方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开方法开方法是一种精确计算平方根的方法。
它主要有两种形式：手算开方和使用计算器开方。
手算开方是一种基于数学原理的计算方法。
以求√16为例，我们可以将16分解为4×4，即(√4)×(√4)，结果是4。
同样地，我们可以通过分解数的因数，将其转化为完全平方数的乘积，然后再进行开方运算。
使用计算器开方则更加方便快捷。
现在的计算器都配有开方功能，只需输入要开方的数，按下开方键即可得到结果。
这种方法适用于计算复杂的平方根或需要高精度结果的情况。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数的算术根。
计算立方根的方法主要有两种：近似法和开立方法。
1. 近似法近似法和计算平方根的近似法类似。
例如，要求³√27的近似值，我们可以先找出最接近27的完全立方数，即8和27。
8的立方根是2，27的立方根是3，显然27介于2和3之间，所以³√27的近似值可以取为2.5。
这种方法适用于计算不太复杂的立方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。
2. 开立方法开立方法是一种精确计算立方根的方法。
它可以通过数学原理进行手算开立方，也可以使用计算器进行开立方运算。
2024八年级数学上册第二章实数3立方根课件新版北师大版
知2－练
感悟新知
知2－练
3-1. －a2 的立方根的值一定为( A )
A. 非正数
B. 负数
C. 正数
D. 非负数
知2－练
例4
已知3 3y－1和3 1－2x互为相反数，且x≠0，y≠0，
x
求 的值.
y
解题秘方：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相
反数，建立x与y之间的等量关系求解.
知2－练
1
2-1.已知 7a+1 的立方根是 ，8a+b － 2 的平方根是 ±2.
2
(1)求 a，b 的值 .
1
解：因为 7a＋1 的立方根是 ，8a＋b－2 的平方根是±2.
2
1
所以 7a＋1＝ ，8a＋b－2＝4，
8
1
解得 a＝－ ，b＝7.
8
感悟新知
知1－练
(2)求 － 8a+3b+3 的平方根 .
(3)－1.
解：因为(－1)3＝－1，所以－1的立方根是－1，
即3 －1＝－1.
1-1. 求下列各数的立方根：
知1－练
(1)－343；
解：因为(－7)3＝－343，所以－343的立方根是－7.
(2)1.331；
因为1.13＝1.331，所以1.331的立方根是1.1.
(3)－
64
；
27
43
64
(1)
27 ；(2)
(5)( －8) 3.
1 6
－ ( ) ；(3)
10
3
3 ；(4)
8
7
－1 ；
8
感悟新知
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
立方根的计算方法
立方根的计算方法立方根是数学中常见的一个运算，用来计算一个数的立方根。
在日常生活和工程领域中，计算立方根的需求也十分常见。
本文将介绍两种常用的计算立方根的方法：二分法和牛顿迭代法。
一、二分法计算立方根二分法是一种简单而有效的数值计算方法，可以用来求解函数的根。
对于立方根的计算，也可以借助二分法的思想。
1. 确定区间首先，我们需要确定一个区间，该区间内的数的立方根与待求数最接近。
例如，要计算数x的立方根，我们可以选择一个区间[a, b]，使得a^3小于等于x，b^3大于等于x。
2. 二分查找在确定了区间之后，我们可以使用二分查找的方法逐步缩小范围。
首先，计算区间的中点m，然后判断m的立方是否等于x，如果相等，则m就是x的立方根；否则，判断m的立方是否大于x，如果大于x，说明待求数的立方根在区间[a, m]内，否则在区间[m, b]内。
不断缩小区间，直到满足精度要求即可。
3. 代码示例下面是使用二分法计算立方根的示例代码（使用Python语言表示）：```pythondef binary_search_cube_root(x, epsilon):a = 0b = max(1, x)while abs(b**3 - x) >= epsilon:m = (a + b) / 2if m**3 < x:a = melse:b = mreturn m```二、牛顿迭代法计算立方根牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。
对于立方根的计算，也可以借助牛顿迭代法进行逼近。
1. 初值选择首先，我们需要选择一个初始值作为计算的起点。
该初始值越接近最终结果，计算的迭代次数就越少。
2. 迭代计算在初始值的基础上，使用牛顿迭代公式进行迭代计算。
对于求解立方根的情况，迭代公式可以表示为：x = (2 * x + n / x^2) / 3，其中n为待求数。
3. 收敛条件迭代过程中，我们需要设定一个收敛条件。
初中数学 什么是二次根式的立方根的立方根
初中数学什么是二次根式的立方根的立方根二次根式的立方根的立方根是指对一个二次根式进行两次立方根运算的过程。
在数学中，一个二次根式可以表示为√a 的形式，其中 a 是一个正实数。
要求这个二次根式的立方根的立方根，需要按照以下步骤进行计算。
1. 将二次根式表示为指数形式。
即，将√a 表示为a^(1/2)。
2. 对a^(1/2) 进行立方根运算，得到(a^(1/2))^(1/3)。
3. 在进行立方根运算之前，我们可以对指数进行乘法运算。
即，将(a^(1/2))^(1/3) 简化为a^((1/2) * (1/3))。
4. 继续简化指数的乘法运算。
即，计算(1/2) * (1/3) 的结果。
5. 最后，将a 的指数结果进行简化，并得到最终结果。
为了更好地理解这个过程，让我们通过以下例子进行演示。
例子1：假设我们要求√16 的立方根的立方根。
解：首先，将√16 表示为16^(1/2)。
然后，对16^(1/2) 进行立方根运算，得到(16^(1/2))^(1/3)。
在进行立方根运算之前，我们可以简化指数的乘法运算。
即，计算(1/2) * (1/3) 的结果，得到1/6。
然后，将指数结果进行简化，得到16^(1/6)。
最终的结果是√16 的立方根的立方根为16^(1/6)。
例子2：假设我们要求√81 的立方根的立方根。
解：首先，将√81 表示为81^(1/2)。
然后，对81^(1/2) 进行立方根运算，得到(81^(1/2))^(1/3)。
在进行立方根运算之前，我们可以简化指数的乘法运算。
即，计算(1/2) * (1/3) 的结果，得到1/6。
然后，将指数结果进行简化，得到81^(1/6)。
最终的结果是√81 的立方根的立方根为81^(1/6)。
通过以上步骤，我们可以求得一个二次根式的立方根的立方根。
这个过程可以用于简化表达式或解决一些数学问题。
通过多做实例和练习，我们能够更好地掌握这个计算方法，提高解题能力。
初二数学立方根平方根知识点总结归纳
初二数学立方根平方根知识点总结归纳初二数学立方根平方根知识点总结归纳数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题.从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献.下面是店铺整理的关于数学立方根平方根知识点总结归纳，欢迎大家参考!立方根知识点总结知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算《平方根与立方根》知识点归纳平方根:概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。
就是2说，如果x=a,那么x就叫做a的平方根。
立方根 教学设计(二)
立方根教学设计（二）教学设计思想：这节课我们讨论立方根的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法，这是本章的重点内容之一．在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性(实数范围内)的讨论上，组织教学活动时，引导学生多举一些实例。
在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结。
让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：知识与技能：1．能说出立方根的概念，会表示一个数的立方根。
2．知道开立方与立方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求一个数的立方根。
3表示的是非负数a的平方根。
过程与方法：通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同。
情感态度价值观：发展求同存异思维；由立方与立方根的教学，渗透数学的转化思想；教学重难点：重点：立方根的概念及求法难点：立方根与平方根的区别。
教学方法：类比及引导探索法课时安排1课时教学媒体多媒体教学过程：(一)复习提问请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？在同学们回答后，启发学生是否可试着给数的立方根下个定义．（二）立方根1．立方根的概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．2．立方根的表示方法：类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，注意，在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根.练习：用根号表示下列各数的立方根：3．开立方概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．4．开立方运算与立方运算互为逆运算．因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根．例1．求下列各数的立方根：解：(1)∵(－2)3=－8，(2)∵23=8，(4)∵ (0.6)3=0.216，(5)∵03=0，下面我们思考这样一个问题：一个正数有几个平方根？负数有没有平方根？一个正数有几个立方根？负数有没有立方根？请学生来回答这个问题．由前面刚刚做过的题我们不难看出像8、0.126、103、这样的正数，有一个正的立方根；像－8、、这样的负数有一个负的立方根；0的立方根是0．由此我们得了立方根的性质．5．立方根的性质：(1)正数有一个正的立方根．(2)负数有一个负的立方根．(3)0的立方根是0．这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身．例2．求下列各式的值：解：(1)∵33=27，(2)∵ (－3)3=－27，(5)∵ (102)3=106，(6)∵ (103)3=109，例3．解方程：(1)x3=0.125；(2)3(x－4)3－1536=0．解：(1)x3=0.125x=0.5．(2)3(x－4)3－1536=0(此题可由学生先做，教师纠正错误)3(x－4)3=1536(x－4)3=512x－4=8x=12．尽管我们学习了立方根，而我们也只能由立方根的定义求解x3=a(a为常数)这一类型的简单的三次方程，所以像第(2)小题，我们要把(x－4)看成一个整体，依然转化成为x3=a 的形式，再由立方根定义去解．填空练习：(1)1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．(2)平方根是它本身的数是____．(3)立方根是其本身的数是____．(4)算术平方根是其本身的数是________．(5)的立方根为________.(6)的平方根为________.(7)的立方根为________ .(8)一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．解：(1)±1；1；1．(2)0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)(3)±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)(4)0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)(5)－2（此题学生易得出－4的答案，应引导学生将翻译为－8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）(6)（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）(7)－2．(8)，（此题引导学生先根据算术平方根来表示被开方数为a2，再表示相邻的下一个自然数为a2+1，注意表示其平方根时有两个值．）（三）小结今天我们主要学习了立方根的概念和性质，一定要与平方根的概念和性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个非常重要的概念，希望同学们能够熟练地掌握它，尤其是它们之间的联系与区别．（四）板书设计。
立方根的表示方法
立方根的表示方法立方根是数学中非常常见的概念，它可以用来描述一个数字的立方积。
立方根表达式有多种表示形式，比如开根号表示法、积分表示法、几何表示法等等。
一、开根号表示法开根号表示法是最常见的立方根表示法，它使用带有根号符号的数字或变量表示立方根。
如果要计算3的立方根，则可以用根号表示为：√3= 1.732显然，根号表示法只能用于计算实数的立方根，不能用于计算复数的。
二、积分表示法积分表示法是一种比较复杂的立方根表示法，它使用不同阶段的积分函数来表示立方根。
如果要计算3的立方根，则可以用积分表示法来表示：∫-∞∞ dn (x) = 3其中，n代表立方根的阶数，即n=3.显然，积分表示法可以用于计算复数的立方根，也可以用于计算实数的。
三、几何表示法几何表示法是一种简单的立方根表示法，它使用图形来表示立方根，这些图形包括三角形、正方形、立方体等等。
如果要计算3的立方根，则可以用几何表示法来表示：x =两个正方体+三个三角锥即使用两个正方体和三个三角锥重叠组成的图形，表示3的立方根。
四、其他表示法除了上述表示法，还有一些用于表示立方根的表示方法，比如三角级数表示法、偏微分表示法等等。
三角级数表示法是使用角θ的三角级数表示法来表示立方根，如果要表示3的立方根，可以表示为：x = sinθ+ 1/sinθ偏微分表示法是使用偏微分算子来表示立方根，如果要表示3的立方根，可以表示为：x =3总结以上就是立方根表示方法的介绍，它有多种表示形式，可以用于计算实数也可以用于计算复数，其中最常用的是开根号表示法，而几何表示法在表示立方根方面也有一定的优势。
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
【答案】B；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C．4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
【答案】D.
例2．（1）下列运算中错误的有（）
① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）
（3）
课堂巩固
1.估算31的立方根在两个整数之间.
【答案】4和5
2.比较 的大小
【答案】
3.比较3
【答案】<
【答案】
例4求下列各式中x的值
（1） （2）8(x－1)3＝－ （3） ．
【答案】（1） ； （2）x＝－ ；（2）x=3.
【详解】
（1） ； ； ；
（2） ； ； ；
（3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x＝3
实数
第二讲立方根
知识讲解
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
补充：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
五、平方根与立方根的联系
典例讲解
例1、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4； 是 的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
课堂巩固
1.下列说法正确的是（ ）
立方根和平方根的计算题
立方根和平方根的计算题立方根和平方根是数学中常见的运算，用于计算一个数的立方根或平方根。
在解决实际问题和进行数学运算时，对立方根和平方根的计算掌握是非常重要的。
本文将介绍立方根和平方根的计算方法及其应用。
一、立方根的计算方法立方根是指一个数的三次方等于该数的运算。
例如，数值8的立方根是2，因为2的三次方等于8。
下面是计算立方根的方法：1. 近似计算法：近似计算法是一种快速计算立方根的方法。
它基于牛顿迭代法，通过不断逼近求解立方根的近似解。
具体步骤如下：假设要计算一个数a的立方根x，首先猜测一个近似值x0，然后用以下公式更新近似值：x1 = (2 * x0 + a / (x0^2)) / 3重复以上步骤，直到近似值收敛于真实的立方根x。
2. 精确计算法：精确计算法是一种准确计算立方根的方法。
可通过数学公式来计算。
例如，一个数a的立方根可以表示为a^(1/3)，即a 的1/3次方。
可以使用计算器或数学软件计算。
二、平方根的计算方法平方根是指一个数的二次方等于该数的运算。
例如，数值9的平方根是3，因为3的二次方等于9。
下面是常用的计算平方根的方法：1. 方法一：通过迭代逼近计算平方根。
可使用牛顿迭代法来计算平方根的近似值。
具体步骤如下：假设要计算一个数a的平方根x，首先猜测一个近似值x0，然后用以下公式更新近似值：x1 = (x0 + a / x0) / 2重复以上步骤，直到近似值收敛于真实的平方根x。
2. 方法二：使用计算器或数学软件计算平方根。
现代科技的发展使得计算平方根变得极其便捷，我们可以使用计算器或数学软件轻松获得数的精确平方根。
三、立方根和平方根的应用立方根和平方根在实际生活和科学领域中有广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 几何学：立方根和平方根可以用于计算物体的体积和表面积。
例如，一个长方体的体积可以通过计算边长的立方根得到。
2. 物理学：立方根和平方根在物理学中常用于求解力、能量和电流等参数。
讲解立方根的概念与计算方法例如等
讲解立方根的概念与计算方法例如等立方根是数学中的一个重要概念，它指的是一个数的立方等于另一个数的运算。
在本文中，我们将讲解立方根的概念以及计算方法。
一、立方根的概念立方根被定义为一个数的立方等于另一个数时，求解这个数的运算。
以数学表示，如果 a 的立方等于 b，那么 a 就是 b 的立方根，记作 a =∛b。
其中，a 和 b 可以是实数或复数。
二、立方根与平方根的区别有些人可能会把立方根和平方根混淆。
其实，它们之间存在一些显著的区别。
平方根是一个数的平方等于另一个数时，求解这个数的运算。
以数学表示，如果 a 的平方等于 b，那么 a 就是 b 的平方根，记作a = √b。
平方根与立方根的主要区别在于，平方根是一个数的平方等于另一个数，而立方根是一个数的立方等于另一个数。
三、如何计算立方根计算立方根有几种常用的方法，下面我们将逐一介绍。
1. 手算法手算法是一种简便的方法，适用于小范围的计算。
假设我们要计算数 b 的立方根 (∛b)，可以通过不断猜测和调整来逼近答案。
步骤如下：（1）选择一个初始值 a，通常初始值可以选择 b 的整数部分，即 a = [b]。
（2）通过带入式子 (∛a)³，得到一个近似值。
（3）根据结果判断是否接近预期的值，如果不接近，则进行调整。
（4）不断重复步骤（2）和（3），直到得到满意的答案。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种快速计算立方根的方法，它利用函数的切线来逼近零点。
具体步骤如下：（1）设 f(x) = x³ - b，其中 b 是待求的数。
（2）选择一个初始值 a，通常初始值可以选择 b 的整数部分，即 a = [b]。
（3）通过式子 a - f(a)/f'(a) 计算新的近似值。
（4）不断重复步骤（3），直到得到满意的答案。
3. 应用软件工具除了手算法和牛顿迭代法，我们还可以利用计算机上的应用软件来计算立方根。
常见的数学软件工具、编程语言以及电子计算器等都可以进行立方根的计算，比如使用 MATLAB 中的 cubeRoot 函数。
实用的平方根表立方根表
3 实用的平方根表立方根表平方表立方表平方根立方根12=1 13=1 √1＝1 √1 = 1 22＝4 23=8 √2＝1.414 √2 = 1.260 32＝9 33＝27 √3＝1.732 √3 = 1.442 42＝16 43＝64 √4＝2 √4 = 1.587 52＝25 53＝125 √5＝2.236 √5 = 1.710 62＝36 63＝216 √6＝2.449 √6 = 1.817 72＝49 73＝343 √7＝2.646 √7 = 1.913 82＝64 83＝512 √8＝2.828 √8 = 2 92＝81 93＝729 √9＝3 √9 = 2.080 102＝100 103＝1000 √10＝3.162 √10 = 2.154 112＝121 113＝1331 √11 = 3.317 √11 = 2.224 122＝144 123＝1728 √12 = 3.464 √12 = 2.289 132＝169 133＝2197 √13 = 3.606 √13 = 2.351 142＝196 143＝2744 √14 = 3.742 √14 = 2.410 152＝225 153＝3375 √15 = 3.873 √15 = 2.466 162＝256 163＝4096 √16 = 4 √16 = 2.520 172＝289 173＝4913 √17 = 4.123 √17 = 2.571 182＝324 183＝5832 √18 = 4.243 √18 = 2.621 192＝361 193＝6859 √19 = 4.359 √19 = 2.668 202＝400203＝8000√20 = 4.472√20 = 2.7143√0 = 0（表示根号0等于0，下平方根表立方根表√1 = 1√2 = 1.414√3 = 1.732√4 = 2√5 = 2.236√6 = 2.449√7 = 2.646√8 = 2.828√9 = 3√10 = 3.162√11 = 3.317√12 = 3.464√13 = 3.606√14 = 3.742√15 = 3.873√16 = 4√17 = 4.123√18 = 4.243√19 = 4.359√20 = 4.472其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。
立方数和立方根的运算规则
立方数和立方根的运算规则立方数是指一个数的立方，也就是该数自乘三次。
立方根是指一个数的立方等于该数本身，即找到一个数，使得它的立方等于给定的数。
在数学中，立方数和立方根有着一些运算规则，下面将会详细介绍这些规则。
一、立方数的运算规则1. 两个立方数相加的规则：当有两个立方数a³和b³相加时，其结果为(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³。
例如，计算8³ + 5³：(8 + 5)³ = 8³ + 3(8²)(5) + 3(8)(5²) + 5³= 6892. 两个立方数相减的规则：当有两个立方数a³和b³相减时，其结果为(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³。
例如，计算8³ - 5³：(8 - 5)³ = 8³ - 3(8²)(5) + 3(8)(5²) - 5³= 3633. 两个立方数相乘的规则：当有两个立方数a³和b³相乘时，其结果为(a * b)³ = a³ * b³。
例如，计算(4³) * (3³)：(4 * 3)³ = 4³ * 3³= 138244. 立方数的乘幂规则：当一个立方数a³的乘幂为n时，其结果为(a³)ⁿ = a^(3n)。
例如，计算(2³)⁴：(2³)⁴ = 2^(3 * 4)= 2¹²= 4096二、立方根的运算规则1. 立方根的加法和减法规则：当有两个数a和b的立方根相加或相减时，其结果为∛a ±∛b。
第二章立方根习题汇总2
22．已知 的立方根是3， 的算术平方根是4， 是 的整数部分．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
23．已知 的算术平方根是 ， 的立方根是 的整数部分是 ，求 的平方根．
24．（1）已知3既是 的算术平方根，又是 的立方根，求 的平方根。
（2）若 均为实数，且 与 互为相反数，求 的值。
38．下列说法错误的是（ ）
A．a2与（﹣a）2相等B． 与 互为相反数
C． 与 互为相反数D．|a|与|﹣a|互为相反数
39．若 和 互为相反数，求 的为_______________
40．若 与 互为相反数，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
41．已知 ， ，求 的平方根．
42．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求 ＝_____．
51．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1） 1.414， 14.14， 141.4… 0.1732， 1.732， 17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；
（2）已知 2.236， 7.071，则 ， ；
（3） 1， 10， 100…小数点变化的规律是：．
（1）求a，b的值．
（2）求4a﹣b的平方根．
5．已知 的算术平方根是3， 的立方根是2，求 的平方根．
6．已知 的平方根是±4， 的立方根是-2．求 的平方根．
7．若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是( )
A．±3B．±4C．±2D．±5
8．已知 的算术平方根是3， 的立方根是-2，求 的平方根．
34．已知M= 是m+3的算术平方根，N= 是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
二分方法开立方根
二分方法开立方根（实用版）目录1.二分方法的概念2.开立方根的背景和意义3.二分方法在开立方根中的应用4.二分方法开立方根的具体步骤5.二分方法开立方根的优点和局限性正文1.二分方法的概念二分方法是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。
基本思路是将待查找的值与数组的中间值进行比较，根据比较结果进行下一步查找。
如果待查找的值等于中间值，则查找成功；如果待查找的值小于中间值，则在数组的左半部分继续查找；如果待查找的值大于中间值，则在数组的右半部分继续查找。
通过不断缩小查找范围，最终可以找到待查找的元素或者确定该元素不存在。
2.开立方根的背景和意义开立方根是数学中的一种运算，求一个数的立方根就是找到一个数，使得这个数的三次方等于原数。
在实际生活和科学研究中，开立方根有着广泛的应用，例如求解体积、速度等物理量。
3.二分方法在开立方根中的应用二分方法同样可以应用于开立方根的计算中。
由于立方根是一个无理数，无法直接通过代数方法求解，因此采用二分方法可以在有限次计算内得到一个近似值。
具体思路是：首先猜测一个立方根的近似值，然后根据二分方法不断缩小猜测范围，最终得到一个足够接近真实立方根的值。
4.二分方法开立方根的具体步骤二分方法开立方根的具体步骤如下：1) 猜测一个立方根的初始值，可以是任意一个数，但通常取为 1。
2) 使用二分方法，将猜测值与实际立方根进行比较，得到一个新的猜测值。
3) 重复步骤 2)，直到猜测值与实际立方根的误差足够小，或者达到预定的计算次数限制。
5.二分方法开立方根的优点和局限性二分方法开立方根的优点是计算速度快，可以在有限次计算内得到一个近似值。
同时，该方法具有较高的精度，随着计算次数的增加，猜测值与真实立方根的误差会逐渐减小。
然而，二分方法开立方根也存在局限性。
首先，由于每次迭代只能将猜测范围缩小一半，因此计算次数较多时，精度会受到影响。
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复习
3.立方根与平方根有什么异同？ 相同点：①0的平方根、立方根都只有一个，是0； ②平方根、立方根都是开方的结果.
不同点：①定义不同；
②个数不同；
③表示方法不同；
④被开方数的取值范围不同.
练习
1.-8的立方根是 -2 ，2的立方根是
3
2 ；
2.(-3)3的立方根是 -3
3.
3
；
；
8 27
512 的立方根是
练习
3.用你发现的规律填空：
3 60 ， 0.6 (1)已知 3 216 = 6，则 3 216000 = ____ 0.216 = ____; 3 1.1 ， 110 (2)已知 3 1331 = 11，则 3 1.331 = ____ 1331000 = ____;
(3)正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长变为原
第六章 实 数 6.2 立方根 (第2课时)
巢湖市柘皋中心学校 胡 宇
复习
1.什么是立方根？
若一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根 或三次方根。 正数 ，负数的立方根是一 2.正数的立方根是一个______ 个_______ 负数 ，0 的立方根是____ 0 ；立方根是它本身的数 是_________. 1、-1、0 平方根是它本身的数是____. 0 算术平方根 是它本身的数是______. 0、1
=
因为计算结果要求保留3位小数，所以 3 1.354 1.106 .
练习
1.用计算器求下列各数的立方根：
(1)1728 ;
解：
(2)15625 ;
(3)2197 .
(1)3 1728 12; (2)3 15625 25; (3)3 2197 13;
练习
2.用计算器求下列各式的值： (精确到0.01)
2 ，3 3 等都是无限不循环小数.
要求一个数的立方根(或近似值)，我们可以利用 计算器中的
3
键来计算.
注意： 1.不同型号的计算器按键顺序有可能不同，应注意 先阅读说明再按说明进行计算； 2.有些计算器求一个数的立方根时需要按功能键进 行转换.
例题
例1 用计算器求1845的立方根. 依次按键
3
1845
3
x 0.5;
1 1 2 (2)( x 1) , x 1 , x . 27 3 3
探究
问题：如果一个立方体的体积是2㎝³，则这个立 方体的棱长是多少呢？
3 思考： 2 是一个什么数？我们怎样才能知道它有 多大？
归纳
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数，
如
3
=
显示：12.264 940 81
例题
例2 用计算器求 3 1.354 的值(计算结果保留3位 小数). 解：用计算器求 3 1.354 的步骤如下：
按 键 显 示
2ndF
3
0. 1.354 1.354 1.106 299 938
用计算器求立方 根时，计算器里 显示的数值中， 许多都是近似值， 要根据题目要求 进行取舍.
2
2 4.一个数的立方根是 3 ，则这个数是 2 2 3 3 3 ； 5. m ，则m的值为
3
பைடு நூலகம்
；
6.已知 3 4a 3 3 ,则a= -6 ，a-2的立方根为 -2 .
例题
求下列各式中x的值：
(1) x 3 0.125;
解：
(2)27( x 1) 3 1.
(1) x 3 0.125,
(1)3 6.04; (2) 3 1.358; (3)3 0.235.
解： ⑴显示： 1.821 149 698
3
6.04 1.82;
⑵显示：-1.107 388 281
3 1.358 1.11 ;
⑶显示：-0.617 100 579
3
0.235 0.62.
探究
用计算器计算下列数值，并发现规律：
3.通过学习，你想继续探究的问题是什么？
布置作业
教科书 习题6.2 第4、5、8题.
初稿：胡 宇(安徽省巢湖市柘皋中心学校) 修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学) 审校：张永超(安徽省合肥市教育局教研室)
2 倍. 来的____
4.比 较 大 小 ： 3, 4,
3
50.
3 3 50 4
5.求下列各式中x的值： 5 3 3 3 (1) x 2 ; (2)(2 x) 27 0. (1) x ; (2) x 1. 4 64
小结
1.本节课你学习了哪些知识?
2.本节课你还有哪些收获？
…
3
0.000216 3 0.216
0.06 0.6
3
216
6
3
216000
60
…
…
…
归纳：被开方数的小数点每向右(或左)移动三位， 开方后立方根的小数点就向右(或左)移动一位.
探究
观察下面的运算，请你找出其中的规律：
3 3 1 1 ____, 3 10 1000 ____,
0.1 。 0.001 ____
立方根的基本规律是：
(1)被开方数每扩大 1000 倍，其结果就扩大 10 倍；
(2)被开方数每缩小 1000 倍，其结果就缩小 10 倍.
反之也成立.
练习
1.估计68的立方根的大小在( C ) A.2与3之间 C.4与5之间 B.3与4之间 D.5与6之间
2.一个正方体的水晶砖，体积为100cm³，它的棱长 大约在( A ) A.4㎝～5㎝之间 B.5cm～6cm之间 C.6㎝～7㎝之间 D.7㎝～8㎝之间